VEKTÖR UZAYLARI BÖLÜM TEMEL TANIMLAR

V EKTÖR U ZAYLARI

Bu bölümde öncelikle vektör uzayı kavramını tanımlayıp bunların elemanları olan vektörlerden belirli özelliklere sahip olan bazılarının, bunlara baz diyece˘giz, tüm vektör uzayını temsil etmekte nasıl kullanılabilece˘gini görece˘giz. Bu vektörler yardımıyla bir uzayın boyutu kavramını tanımlayıp boyutları aynı olan tüm vektör uzaylarının yapısal olarak benzer olduklarını gösterece˘giz. Daha sonra bir vektör uzayının alt uzayı kavramını tanıtıp bunların bazlarının vektör uzayının bazına tamamlanabilece˘gini gösterece˘giz.

1.1 T

T

Bu metin boyunca kümeleri A,B,C ,... gibi italik büyük harflerle gösterece˘giz. Bir x nesnesi bir A kümesinin elemanı ise bu durumu x 2 A olarak ifade ederiz, aksine bir y nesnesi A kümesinin elemanı de˘gilse y 62 A yazarız. A ile B kümelerinin bile¸simi, kesi¸simini ve farkını sırasıyla A [ B, A \ B ve A ° B ile gösterece˘giz. A Ω B ile A kümesinin B’nin bir alt kümesi oldu˘gunu belirtiriz, her kümenin kendisinin bir alt kümesi oldu˘gu unutulmamalıdır. Bir A kümesinin elemanları x1, x2,...

biçiminde ise bu durum A = {x1, x2,...} veya A = {ai : i 2 N} biçiminde ifade edilir, metin boyunca bu durumu kısaca {xi} olarak ifade edece˘giz.

Tanım 1.1.1 (Cisim). Üzerinde, toplama ve çarpma i¸slemi olarak adlandırdı˘gımız ve a¸sa˘gıdaki özellikleri sa˘glayan iki i¸slem tanımlı olan bo¸stan farklı bir F kümesine bir cisim denir.

F1 Her a,b 2 F eleman çiftine kar¸sılık F kümesinde bunların toplamı olarak adlandırılan ve a + b ile gösterilen tek bir eleman vardır.

F2 Toplama i¸slemi birle¸smelidir; her a,b,c 2 F için (a + b) + c = a + (b + c).

F3 F ’nin 0 ile gösterdi˘gimiz ve her a 2 F için a + 0 = a e¸sitli˘gini sa˘glayan bir elemanı vardır.

F4 Her a 2 F elemanına kar¸sılık °a ile gösterde˘gimiz ve a + (°a) = 0 olacak ¸sekilde bir eleman vardır. Pratikte kısaca b + (°a) = b ° a olarak yazarız.

F5 Toplama i¸slemi de˘gi¸smelidir; her a,b 2 F için a + b = b + a.

F6 Her a,b 2 F eleman çiftine kar¸sılık F kümesinde bunların çarpımı olarak adlandırılan ve a ·b veya kısaca ab ile gösterilen tek bir eleman vardır.

F7 Çarpma i¸slemi birle¸smelidir; her a,b,c 2 F için (ab)c = a(bc).

1

2 BÖLÜM1. VEKTÖRUZAYLARI

F8 F ’nin 0’dan farklı olan,1 ile gösterdi˘gimiz ve her a 2 F için a · 1 = a e¸sitli˘gini sa˘glayan bir elemanı vardır.

F9 Her a 2 F , a 6= 0 elamanına kar¸sılık a^°1ile gösterde˘gimiz ve a · a^°1= 1 olacak ¸sekilde bir eleman vardır.

F10 Çarpma i¸slemi de˘gi¸smelidir; her a,b 2 F için ab = ba.

F11 Toplama i¸sleminin çarpma i¸slemi üzerine da˘gılma özelli˘gi vardır; (a + b)c = ac + bc.

F cisminin elemanlarına birer skaler deriz ve bu metinde bunları italik küçük latin harfleriyle gösterece˘giz.

Cisimlerin en bilinen örnekleri, klasik toplama ve çarpma i¸slemleriyle birlikte, R, Q ve C küme- leridir. Cisimler sonlu elemanlı kümeler de olabilir, a¸sa˘gıdaki bu duruma bir örnek veriyoruz.

Örnek 1.1.2. F := {0,1} kümesi üzerinde toplama ve çarpma i¸slemleri

0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 ve

0 · 0 = 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1

e¸sitlikleriyle tanımlansın. Bu kümenin Tanım 1.1.1 ile verilen cisim aksiyomlarını sa˘gladı˘gı do˘gru-

lanabilir. Bu cismin sadece iki elemanı vardır. C

Bu metinde sadece birkaç sonucu elde ederken kendimizi R veya C cisimleri ile kısıtlayaca˘gız.

Bunun dı¸sında elde edece˘gimiz sonuçlar sadece yukarıda sayılan iyi bilinen cisimler için de˘gil her cisim için geçerli olacaktır. Metnin tamamında cisimler için tek bir kısıtlamamız olacak, bu da 1 + 1 6= 0 ko¸suludur. Bu ko¸sul Örnek 1.1.2 ile verilen cisimde sa˘glanmaz. Sadece reel veya kompleks elemanlı matrislerle ilgilenen okuyucu bu ko¸sulu yok sayabilir.

Tanım 1.1.3 (Vektör uzayı). F bir cisim ve V bo¸stan farklı bir küme olsun. V üzerinde, adına vektör toplama (kısaca toplama) ve skalerle çarpma diyece˘gimiz ve a¸sa˘gıdaki özellikleri sa˘glayan iki i¸slem tanımlanabiliyorsa V kümesine F cismi üzerinde bir vektör uzayı, V ’nin elemanlarına birer vektör denir.

A1 Her Æ,Ø 2 V vektör çiftine kar¸sılık V içinde bunların toplamı olarak adlandırılan ve Æ + Ø ile gösterilen tek bir vektör vardır.

A2 Toplama i¸slemi birle¸smelidir; her Æ,Ø,∞ 2 V için (Æ + Ø) + ∞ = Æ + (Ø + ∞).

A3 Her Æ 2 V için Æ + 0 = Æ olacak ¸sekilde bir 0 2 V vektörü vardır.

A4 Her Æ 2 V vektörüne kar¸sılık °Æ ile gösterece˘gimiz ve Æ + (°Æ) = 0 e¸sitli˘gini sa˘glayacak bir vektör vardır.

A5 Toplama i¸slemi birle¸smelidir; her Æ,Ø 2 V için Æ + Ø = Ø + Æ.

B1 Her a 2 F skaleri ve her Æ 2 V vektörüne kar¸sılık, a ile Æ’nın çarpımı olarak adlandıraca˘gımız ve aÆ ile gösterece˘gimiz V içinde tek bir vektör vardır.

B2 Skaler çarpımı birle¸smelidir; her a,b 2 F ve her Æ 2 V için a(bÆ) = (ab)Æ.

B3 Skaler çarpımının vektör toplama üzerine da˘gılma özelli˘gi vardır; her a 2 V ve her Æ,Ø 2 V için a(Æ + Ø) = aÆ + aØ.

B4 Skaler çarpımının skaler toplama üzerine da˘gılma özelli˘gi vardır; her a,b 2 F ve her Æ 2 V için (a + b)Æ = aÆ + bÆ.

B5 1 2 F skaleri ve her Æ 2 V vektörü için 1 · Æ = Æ.

Bu metinde vektörleri italik küçük Yunan harfleriyle gösterece˘giz. Yukarıdaki tanımda geçen 0 vektörü bu gösterim için istisnai bir durumdur. 0 skaleri ile karı¸stırılmaması için tanımda bu vektör koyu yazı tipi ile yazılmı¸s olup bundan sonra karı¸stırma ihtimali olmadıkça normal yazı tipi ile yazılacaktır fakat okuyucu 0 skaleri ile 0 vektörünü ayırt etmelidir.

Dikkat edilirse vektör uzayı tanımındaki toplama i¸slemi ile ilgili aksiyomlar cisim aksiyomları içinde de geçmektedir. Bu dört aksiyomu (A1-A4) sa˘glayan kümelere grup denir, ek olarak A5 aksiyomunu da sa˘glayan kümelere de de˘gi¸smeli grup yada abel grubu denir. Yani cisimler ve vektör uzayları ilgili toplama i¸slemlerine göre birer de˘gi¸smeli gruptur. Grupların teorisi detaylı olarak bilinmektedir ve vektör uzaylarının incelemesi bu teori yardımıyla büyük oranda kolayla¸sır. Bu metinde okuyucunun detaylı grup teorisi bilgisine sahip olmadı˘gı varsayılmı¸stır, dolayısıyla elde edilecek sonuçlar metin içinde sunulacak olan araçlarla elde edilecektir. ¸Simdi bazı vektör uzayı örnekleri verece˘giz.

Örnek 1.1.4. A¸sa˘gıda tanımlanan kümelerin vektör uzayı aksiyomlarını sa˘gladı˘gının gösterilmesi okuyucuya bırakılmı¸stır.

1. F herhangi bir cisim ve V = Rⁿolsun. Sıralı n°liler üzerinde alı¸sılmı¸s toplama ve skalerle çarpma i¸slemi ile birlikte V kümesi F üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu uzaya n°boyutlu koordinat uzayı denir.

2. F = R ve V = Rⁿolsun. Sıralı n°liler üzerinde alı¸sılmı¸s toplama ve skalerle çarpma i¸slemi ile birlikte V kümesi F cismi üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayına n° boyutlu reel koordinat uzayı denir.

3. F herhangi bir cisim ve V = P de katsayıları F cisminden olan bir t de˘gi¸skeninin tüm poli- nomlarının kümesi olsun. Toplama ve skalerle çarpma i¸slemleri polinomlarda alı¸sılmı¸s olan i¸slemler olarak tanımlanırsa P kümesi F cismi üzerinde bir vektör uzayı olur.

4. Sabit bir n 2 N için V = Pnile bir t de˘gi¸skeninin katsayısı herhangi bi F cisminden alınan ve derecesi n’den küçük olan tüm polinomlarının kümesini gösterelim. Polinomlarda alı¸sılm¸s olan toplama ve sabitle çarpma i¸slemlerine göre bu küme F üzerinde bir vektör uzayıdır.

Derecesi tam olarak n olan tüm polinomların kümesi bir vektör uzayı olmaz, böyle bir küme için A1 ko¸sulunun sa˘glanmadı˘gına dikkat edilmelidir.

5. F = R ve V de tek reel de˘gi¸skenli ve reel de˘gerli tüm fonksiyonların kümesi olsun. Bu durumda V kümesi fonksiyonlarda alı¸sılmı¸s olan toplama ve skalerle çarpma i¸slemine göre F üzerinde bir vektör uzayı olur.

6. F = R ve V de tek reel de˘gi¸skenli, reel de˘gerli ve sürekli tüm fonksiyonların kümesi olsun. Alı-

¸sılmı¸s fonksiyon toplama ve skalerle çarpma i¸slemine ile birlikte V kümesi F cismi üzerinde bir vektör uzayı olur.

7. F = R ve V de bir I := [a,b] aralı˘gında tanımlı ve bu aralıkta integrallenebilir tek de˘gi¸skenli reel de˘gerli tüm fonksiyonların kümesi olsun. Bu küme fonksiyonlarda alı¸sılmı¸s olan toplama ve skalerle çarpma i¸slemleri ile birlikte F cismi üzerinde bir vektör uzayıdır.

8. F = R ve V de en az iki defa türevlenebilen ve y⁰⁰+ 2y = 0 diferansiyel denklemini sa˘glayan tüm reel de˘gerli fonksiyonların kümesi olsun. Bu durumda alı¸sılmı¸s fonksiyon toplama ve skalerle çarpma i¸slemi ile birlikte V kümesi F cismi üzerinde bir vektör uzayı olur.

4 BÖLÜM1. VEKTÖRUZAYLARI

C Uyarı 1.1.5. Tanım 1.1.3’ün A3 ve A4 aksiyomlarıyla vektör uzaylarında varlı˘gı bildirilen 0 ve a^°1 vektörleri tektir ve bu do˘grudan bu aksiyomların bir sonucudur, do˘grudan A5 aksiyomu yardımıyla kanıtlanabilir. Farz edelim ki A3 aksiyomunu sa˘glayan iki tane 0,0 2 V vektörü var olsun, yani her Æ 2 V için Æ + 0 = Æ + 0 = Æ olsun. Bu durumda 0 = 0 + 0 = 0 + (Æ + (°Æ)) =°

0 + Ƣ

+ (°Æ) =

°Æ+ 0¢

+ (°Æ) = Æ + (°Æ) = 0 olur. Benzer ¸sekilde A4 aksiyomunu sa˘glayan iki tane °Æ,°Æ 2 V vektörü var olsun. Bu durumda °Æ = °Æ+0 = °Æ+Æ+(°Æ) = °Æ+Æ+(°Æ) = °Æ+0 = °Æ olur. Œ Uyarı 1.1.6. Sıfır vektörünün tekli˘gini kullanarak 0Æ = 0 e¸sitli˘gini kanıtlayabiliriz. Her Æ 2 V için Æ= 1 · Æ = (1 + 0)Æ = 1 · Æ + 0 · Æ = Æ + 0 · Æ olur, yani 0Æ = 0 elde edilmi¸s olur. Benzer ¸sekilde negatif vektörün tekli˘gi kullanılarak (°1)Æ = °Æ oldu˘gu da kanıtlanabilir; 0 = 0·Æ = (1°1)Æ = Æ+(°1)Æ. Œ Uyarı 1.1.7. Birle¸sme özelli˘gi (A2) gere˘gi (a1Æ1+a2Æ2)+a3Æ3= a1Æ1+(a2Æ2+a3Æ3) oldu˘gundan bu gibi ifadelerde parantezin önemi yoktur ve genellikle a1Æ1+ a2Æ2+ a3Æ3=P3

i =1aiÆiyazarız.

Bu durumun sadece üç toplam için de˘gil her sonlu toplam için geçerli oldu˘gu açıktır ve böyle toplamları kısacaP

iaiÆi biçiminde yazaca˘gız. Œ

ALI ¸STIRMALAR1.1

1. A¸sa˘gıdakileri do˘grulayın.

a) Her cisim kendi üzerinde bir vektör uzayıdır.

b) R kümesi Q cismi üzerinde bir vektör uzayıdır.

c) C kümesi R cismi üzerinde bir vektör uzayıdır.

2. Uyarı 1.1.5 ile elde edilen sıfır ve negatif vektörün tekli˘gi sonucunu de˘gi¸sme özelli˘gini (A5) kullanmadan kanıtlayın.

3. V kümesi F cismi üzerinde vektör uzayı olsun. Bu durumda a 2 F ve Æ 2 V için a¸sa˘gıdakileri kanıtlayın.

a) aÆ = 0 ve a 6= 0 ise Æ = 0 olur.

b) aÆ = 0 ve Æ 6= 0 ise a = 0 olur.

1.2 L

B

iaiÆi oluyorsa Ø vektörü {Æi} vektörlerinin bir lineer kombinasyonudur denir. Ayrıca PiaiÆi= 0 biçiminde bir e¸sitli˘ge {Æi} vektörleri arasında bir lineer ba˘gıntı denir. Bu e¸sitlik her ai= 0 için otomatik olarak sa˘glanır ve buna a¸sikar lineer ba˘gıntı denir, en az bir aiskaleri sıfırdan farklı iken sa˘glanıyorsa bu e¸sitlik bir a¸sikar olmayan lineer ba˘gıntı olarak adlandırılır.

Teorem 1.2.1. Æ vektörü {Ø_i} vektörlerinin bir lineer kombinasyonu ve her bir Øivektörü de {∞i} vektörlerinin bir lineer kombinasyonu ise bu durumda Æ vektörü {∞_i} vektörlerinin bir lineer kom- binasyonudur.

Kanıt. Æ =P

ib_iØ_ive Ø_i=P

jc_{i j}∞_jolsun. Bu durumda Æ =P

ib_i°P

jc_{i j}∞_j¢

=P

j°P

ib_ic_{i j}¢

∞_jelde

edilir ki istenendir. Á

Tanım 1.2.2 (Lineer ba˘gımsızlık). Bir vektör kümesi elemanları arasında a¸sikar olmayan bir lineer ba˘gıntı varsa bu kümedeki vektörler lineer ba˘gımlıdır denir. Aksi taktirde bu vektörler lineer ba˘gımsızdır denir.

Bu tanımdan a¸sa˘gıdaki sonuçlar çıkar:

1. {Æi} vektörleri lineer ba˘gımlı ise a¸sikar olmayan birP

iaiÆ_i= 0 lineer ba˘gıntısı vardır ve en az bir skaler sıfırdan farklıdır, a_k6= 0 olsun. Bu durumda Æk=P

i 6=k° a^°1_k a_i¢

Æ_i olur, yani bu kümedeki bir vektör di˘gerlerinin lineer kombinasyonudur.

2. {Æi} vektörleri lineer ba˘gımsız iseP

iaiÆi = 0 lineer ba˘gıntısının sa˘glanması sadece her katsayı için ai= 0 olmasıyla mümkündür.

Uyarı 1.2.3. Bir {Æi} kümesi içindeki vektörler lineer ba˘gımlı ise bunlardan bazıları birbirine e¸sit olabilir. Örne˘gin lineer ba˘gımlı bir {Æ1,Æ2} kümesi için Æ1= Æ2olabilir, bu durumda ise bu küme {Æ1} biçiminde tek elemanlı bir küme olur. Bu metinde Æi,Øi,∞igibi ifadeleri vektörlere referans veren de˘gi¸skenler gibi dü¸sünece˘giz, yani {Æi} kümesi elemanlarından bazıları aynı vektöre referans verse bile bunları farklı elemanlar olarak görece˘giz. Aksi taktirde lineer ba˘gımlılık tanımımız do˘gru olmaz. Bu bahsetti˘gimiz durum lineer ba˘gımsız vektör kümelerinde gerçekle¸smez. Œ

Örnek 1.2.4. A¸sa˘gıdaki örneklerden bazılarının do˘grulanması okuyucuya bırakılmı¸stır.

1. R³kümesinde {Æ1,Æ2,Æ3,Æ4} = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)} vektörleri lineer ba˘gımlıdır, çünkü bunlar arasında a¸sikar olmayan Æ1+ Æ2+ Æ3° 2Æ4= 0 ba˘gıntısı vardır.

2. R³kümesinde {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} vektörleri lineer ba˘gımsızdır.

3. {1, t, t², t³,...} polinomlar kümesi lineer ba˘gımsızdır.

4. {Æ₁,Æ₂,Æ₃,Æ₄} = {1,t,t², t²+ 2t + 1} kümesi lineer ba˘gımlıdır,çünkü elemanları arasında a¸sikar olmayan Æ₁+ 2Æ2+ Æ3° Æ4= 0 ba˘gıntısı vardır.

5. Örnek 1.1.4-4 ile tanımlanan Pnkümesinde herhangi n + 1 tane polinom lineer ba˘gımlı olur.

6. ˙Içinde sıfır vektörünü bulunduran her küme lineer ba˘gımlıdır.

7. ˙Içinde tam olarak bir tane ve sıfırdan farklı vektör olan küme lineer ba˘gımsızdır.

8. Bo¸s küme lineer ba˘gımsızdır.

C Teorem 1.2.5. Sıfırdan farklı vektörlerin bir {Æ₁,Æ₂,...} kümesinin lineer ba˘gımlı olması için gerek ve yeter ko¸sul, bir Æ_kvektörünün j < k olmak üzere Æj vektörlerinin bir lineer kombinasyonu olmasıdır.

Kanıt. Varsayalım ki {Æ1,Æ2,...} kümesi lineer ba˘gımlı olsun, bu durumda bu vektörler arasında a¸sikar olmayan birP

ia_iÆ_i= 0 lineer ba˘gıntısı vardır. Burada sıfır olmayan pozitif sonlu sayıda a_ikatsayısı vardır, bu katsayılardan sonuncusu a_kolsun. k ∏ 2 olmalıdır, çünkü e˘ger k = 1 olursa Æ₁6= 0 oldu˘gundan yukarıdaki lineer ba˘gıntı sa˘glanmaz. Bundan dolayı Æk= °a_k^°1P_k°1

i =1a_iÆ_i= P_k°1

i =1(°a^°1_k ai)Æi elde edilir. Kanıtın di˘ger yönü Tanım 1.2.2 gere˘gi açıktır. Á Tanım 1.2.6. Bir V vektör uzayının bir A alt kümesinin elemanlarının tüm lineer kombinasyon- larının olu¸sturdu˘gu küme hAi ile gösterilir ve A tarafından gerilen küme olarak adlandırılır. Bu durumu bazen A kümesi hAi kümesini gerer biçiminde ifade ederiz. h;i = {0} kabul ederiz.

Uyarı 1.2.7. A¸sa˘gıdakiler do˘grudan Tanım 1.2.6 sonucudur.

1. A Ω hAi

2. A Ω B ise hAi Ω hBi olur.

3. Teorem 1.2.1 sonucu ¸su ¸sekilde yeniden ifade edilebilir: A Ω hBi ve B Ω hCi ise bu durumda A Ω hCi olur.