BAZI FORMÜLLER

(1)

H. Ü. FİZİK MÜH. BÖL. FİZ 217 (2016-17 ) I. ARA SINAV 15.11.2016 (09:00-11:00)

Adı-Soyadı:

No: Şubesi:

İmza:

Not: 4 ve 5’ ten sadece birisini çözün.

SORULAR

1. Şekilde gösterildiği gibi 𝑚𝑚1 kütlesi 𝑘𝑘1 yayı ile tavana asılı olup, 𝑘𝑘2 yayı ile de 𝑚𝑚2

kütlesine bağlıdır. 𝑚𝑚2 kütlesi 𝐹𝐹0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 kuvveti ile aşağı doğru sürülmektedir.

a-) Kütlelerin hareket denklemlerini yazınız.

b-) 𝑦𝑦₁ = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ve 𝑦𝑦₂ = 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 çözüm önerilerini kullanarak A ve B genliklerini bulunuz.

c-) 𝑚𝑚₁ = 4𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚₂ = 𝑚𝑚 ; 𝑘𝑘₁ = 3𝑘𝑘 ve 𝑘𝑘₂ = 𝑘𝑘 durumunda sistemin rezonans frekanslarını bulunuz.

2. 𝑚𝑚 = 0,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑏𝑏 = 2 𝑁𝑁. 𝑐𝑐/𝑚𝑚 ve 𝑘𝑘 = 20 𝑁𝑁/𝑚𝑚 değerlerine sahip bir sönümlü osilatör göz önüne alınız. Bu osilatörün 𝐹𝐹 = 2 cos(5𝑐𝑐) 𝑁𝑁 şeklinde bir sürücü kuvvetin etkisinde olduğunu kabul ediniz.

a-) Sistemin hareket denklemini yazınız. Serbest salınımların periyodunu hesaplayınız.

b-) Sistemin kararlı titreşim durumunu göz önüne alarak, hareketin genliğini (A) ve faz sabitini (𝛿𝛿) hesaplayınız.

c-) Bir salınımda sönüm kuvvetine karşı ne kadarlık enerji harcanır ve ortalama güç girdisi nedir?

3. Kütleleri m olan iki özdeş cisim yatay eksen üzerinde olacak şekilde, 3l uzunluğundaki bir iple birbirlerine ve l uzunluğundaki iplerle de sabit noktalara tutturulmuştur. Tüm ipler T gerilmesi altındadır.

a-) Herhangi bir anda cisimlerin 𝑦𝑦1 ve 𝑦𝑦2 gibi enine küçük salınımlar yaptığını varsayarak, her bir kütlenin hareket denklemini yazınız.

b-) Kütlelerin hareket denklemlerinin çözümlerinin 𝑦𝑦₁ = 𝐴𝐴₁𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠^ω𝑐𝑐 ve 𝑦𝑦₂ = 𝐴𝐴₂𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠^ω𝑐𝑐 fonksiyonları ile tanımlı olduğunu kabul ederek, normal mod frekanslarını bulunuz.

c-) Her bir titreşim modu için ^𝐴𝐴¹

𝐴𝐴₂ genlikler oranını bulunuz ve bu verilerden yararlanarak titreşim modlarının şekillerini çiziniz.

Soru ^Puan

1 30: a =12 , b =12 , c =6 2 25: a =10 , b =6 , c =9 3 30: a =10 , b =12 , c =8

4* 15: a =10 , b =5

5* 15: a = 5 , b =10 Toplam ¹⁰⁰

y

x

3l l

l m m

(2)

4. Kütlesi 𝑀𝑀, yarıçapı 𝑅𝑅 olan çember, şekildeki gibi, bir çiviye asılmıştır.

Çember P noktası etrafında küçük genlikli salınımlar yapacak şekilde 𝜃𝜃0 kadar sağa çekilip serbest bırakılmaktadır. Şekil, salınımın herhangi bir anını göstermektedir. (Çember için Ikm = MR²).

a-) Çemberin hareket denklemini yazınız. 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝜙𝜙) fonksiyonunun çözüm olabilmesi için 𝑐𝑐 ve 𝜙𝜙’ yi belirleyiniz.

b-) Salınım hareketinin maksimum kinetik enerjisini bulunuz.

5. Birbirlerine dik iki titreşim, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ve 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑐𝑐𝑐𝑐 ifadelerine uymaktadır.

a-) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin analitik ifadesini türetiniz.

b-) 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 1 özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini, aşağıdaki şekil üzerinde çiziniz.

Şekildeki çemberler ^𝜋𝜋

4 ’ lük eşit açılara bölünmüştür

*

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 =

x y

*

𝑅𝑅 𝜃𝜃 � 𝑃𝑃

(3)

BAZI FORMÜLLER

𝑒𝑒

^{𝑖𝑖𝑖𝑖}

= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = (𝑒𝑒

^{𝑖𝑖𝑖𝑖}

+ 𝑒𝑒

^{−𝑖𝑖𝑖𝑖}

)/2 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 = 𝑒𝑒

^{𝑖𝑖𝑖𝑖}

− 𝑒𝑒

^{−𝑖𝑖𝑖𝑖}

2𝑠𝑠 ; 𝑠𝑠 = √−1 sinx = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

³

3! + 𝑥𝑥

⁵

5! − 𝑥𝑥

⁷

7! + ⋯ ; cosx = 1 − 𝑥𝑥

²

2! + 𝑥𝑥

⁴

4! − 𝑥𝑥

⁶

6! + ⋯ sin 𝑥𝑥 ± sin 𝑦𝑦 = 2 sin 1

2 (𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) cos 1

2 (𝑥𝑥 ∓ 𝑦𝑦) cos 𝑥𝑥 + cos 𝑦𝑦 = 2 cos 1

2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) cos 1

2 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) cos 𝑥𝑥 − cos 𝑦𝑦 = −2 sin 1

2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) sin 1

2 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦 ± 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦

cos(𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦 ± 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝑥𝑥 = 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

²

𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

²

𝑥𝑥 = 1 − 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

²

𝑥𝑥 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

²

𝑥𝑥 − 1 1

𝑇𝑇 � sin

^𝑇𝑇 ²

(𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝛿𝛿) 𝑑𝑑𝑐𝑐

0

= 1

𝑇𝑇 � cos

^𝑇𝑇 ²

(𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝛿𝛿) 𝑑𝑑𝑐𝑐

0

= 1

2 𝑥𝑥(𝑐𝑐) = 𝐴𝐴

₀

𝑒𝑒

⁻^{𝛾𝛾𝛾𝛾}²

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ��𝑐𝑐

₀²

−

^𝛾𝛾₄²

𝑐𝑐�+ 𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠

(𝑐𝑐) ; 𝑐𝑐

₀

>

^𝛾𝛾₂

𝑥𝑥_{𝑠𝑠𝑠𝑠}(𝑐𝑐) = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝛿𝛿)

𝐴𝐴 =

^𝐹𝐹0^𝑚𝑚

�(𝜔𝜔₀²−𝜔𝜔²)²+𝛾𝛾²𝜔𝜔²�^1/2

; tan 𝛿𝛿 = (

_𝜔𝜔 ^{𝛾𝛾𝜔𝜔}

02−𝜔𝜔²

)

Başarılar

Prof. Dr. Leyla Yıldırım & Prof. Dr. Mustafa Polat

(4)

H. Ü. FİZİK MÜH. BÖL. FİZ 217 (2016-17 ) I. ARA SINAV 15.11.2016 (09:00-11:00) Adı-Soyadı:

No: Şubesi:

İmzası :

CEVAPLAR

Soru ^Puan

1 30: a = , b = , c = 2 25: a = , b = , c = 3 30: a = , b = , c = 4* 15: a = , b =

5* 15: a = , b = Toplam ¹⁰⁰