Sabit Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2

Sabit Varyans

Var(u_i|X_i) = Var(u_i) = E(u_i²) = s²  Eşit Varyans

Y

X

1

EKKY’nin varsayımlarından biri anakütle regresyon fonksiyonu u_i lerin eşit varyanslı olmasıdır.

Her hata terimi varyansı bağımsız değişkenlerin verilen değerlerine göre s² ye eşit aynı (sabit) bir değerdir. Bu nedenle eşit varyansa sabit varyans da denir.

2

Sabit Varyansta Hataların Dağılımı

x

y

. . .

. . . .

. . . .

. . .

. .

. . . .

.. . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

.

.

Gelir

Tüketim

3

. .

x

x

x

f(y

)

Sabit Varyans Durumu

.

.

x

x

Gelir

Farklı Varyans Kavramı

4

• “Sabit varyans”(homoscedasticity) varsayımına göre verili açıklayıcı değişkenlerine bağlı olarak ’nin koşullu varyansı sabittir:

•“Farklı varyans” (heteroscedasticity) durumunda ise de- ğiştikçe ’nin koşullu varyansı da değişir:

•Farklı varyansa bir örnek olarak tasarrufların varyansının gelirle birlikte artmasını verebiliriz.

•Yüksek gelirli ailelerin tasarrufları, düşük gelirli ailelere oranla hem ortalama olarak daha çoktur hem de değişirliği daha fazladır.

i=1, 2,..,n

Xi Y_i

Xi

Yi

2 2

E(u )

 s

2 2

i i

E(u )  s

Farklı Varyans

Var(u_i|X_i) = Var(u_i) = E(u_i²) = s_i²  Farklı Varyans Hata

Zaman

5

Farklı Varyansta Hataların Dağılımı

x

y

.

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. .

.

. . .

. .

. . .

. . . .

. . .

. .

. . . .

. . .

. .

Gelir Tüketim

6

.

x

x

x

f(y

)

x

. .

Farklı Varyans Durumu

Gelir

Zengin bireyler

Yoksul bireyler

7

Farklı Varyansın Nedenleri

• Hata terimi varyansının değişken olma nedenlerinden bazıları şunlardır:

1. “Hata öğrenme” (error learning) modellerine göre bireyler bazı konuları öğrendikçe daha az hata yaparlar. Buna göre de nin de zamanla küçülmesi beklenir.

Örnek olarak, bilgisayarda klavye kullanma süresi arttıkça hem klavye hataları hem de bunların varyansları azalır.

8

s

2. Gelir düzeyi arttıkça gelirin harcanabileceği seçenekler de genişler.

Böylece, gelir düzeyi ile birlikte hem harcamaların hem de bunların varyanslarının artması beklenir.

3. Zaman içerisinde veri derleme tekniklerinin gelişmesine koşut olarak de düşebilir.

4. Farklı varyans “dışadüşen”(outlier) gözlemlerin bir sonucu olarak da ortaya çıkabilir.Böyle gözlemlerin alınması ya da bırakılması, özellikle de örneklem küçükken sonuçları önemli ölçüde değiştirebilir.

Farklı Varyansın Nedenleri

2

si

9

Farklı Varyansın Nedenleri

5. Farklı varyansın bir diğer nedeni de model belirleme (spesifikasyon) hatasıdır. Özellikle de önemli bir değişkenin modelden çıkartılması farklı varyansa yol açabilir.

6. Farklı varyans sorunu yatay kesit verilerinde zaman serisi verilerine oranla daha fazla görülebilmektedir. Bunun nedeni, zaman serilerinde değişkenlerin zaman içerisinde yakın büyüklüklerde olma eğilimidir.

10

Farklı Varyans ile Karşılaşılan Durumlar

Kar dağıtım modelleri, Sektör modelleri, Ücret modelleri ve Deneme - Yanılma modelleri gibi kesit verilerinde karşılaşılır.

11

En Küçük Kareler İle İlgili Özellikleri

1. En Küçük Kareler Tahmincileri doğrusal ve sapmasızdır.

2. Katsayı tahmincileri etkin değildir.

3. En Küçük kareler tahmincilerinin standart hataları doğru değildir.

4. Standart hata formulleri doğru olmadığından güven aralıkları ve hipotez testleri geçerli değildir.

12

y _t = b ₁ + b ₂ x _t + e _t

Farklı varyans durumunda:

En küçük kareler varyans formulu geçersizdir:

var(b

) = s

S ( ^x

^{- x} )

Enküçük kareler varyans formulu aşağıdaki gibi düzeltilmelidir.:

var(b

) = S ^s

( ^x

^{- x} )

[S ( ^x

^{- x} )

]

13

Farklı Varyansın Belirlenmesi

•Grafik Yöntemle.

•Sıra Korelasyonu testi ile.

•Goldfeld-Quandt testi ile.

•White testi ile.

•Lagrange çarpanları testi ile

14

Grafik Yöntem

YIL

50 40

30 20

10 0

LMAAS

5.2

5.0

4.8

4.6

4.4

4.2

4.0

3.8

3.6

15

Grafik Yöntem

YIL

50 40

30 20

10 0

E2 ^.7

.6

.5

.4

.3

.2

.1

0.0

-. 1

16

Grafik Yöntem

YIL

50 40

30 20

10 0

Standardized Residual

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

17

Sıra Korelasyonu Testi

1.Aşama H₀: r = 0 H₁: r  0

2.Aşama a = ? s.d.=?

3.Aşama

t

=?

r ? 1

2 n

t r

2 s

hes s



-

 -

4.Aşama

H₀ hipotezi reddedilebilir

t

> t

) ? 1 n

( n 6 d

1

r

2

s i



 

 



 





- S

  - 



18

Sıra Korelasyonu Testi

75 88 95 125 115 127 165 172 183 225

Y

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 X

7.0545 4.7091 -3.6364 11.0182 -14.327 -17.672 4.9818 -3.3636 -7.7091 18.9455

e X_s e_s d_i d_i²

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2

4 3

6 8 7 9

10 5

7 1

3 -1

3 -3 -3 -3

0 -4

49 1

9 1

9 9 9 9

0 16

Sd_i²=112 Mutlak değerli olarak bulundukları

yer itibariyle küçükten büyüğe sıra

numarası verilir d=X-e ¹⁹

Sıra Korelasyonu Testi

 

 



 





- S

  - 

 n ( n 1 ) 6 d

1

r

2 i

s

  

 

 





 -

  -

 10 ( 10 1 ) 6 112

1

1.Aşama H₀: r = 0 H₁: r  0

2.Aşama a = 0.05 s.d.= 8 3.Aşama

t

= 2.306

hes 2

) 3212 .

0 ( 1

2 10

3212 .

t 0

-

 -

^0.9593

4.Aşama

H₀ hipotezi reddedilemez.

t

< t

20

Büyük örneklere uygulanan bir F testidir. Bu test s²_i nin farklı varyansının bağımsız değişkenlerden biri ile pozitif ilişkili olduğunu varsayar.

2 2

2

.

i

s X

s 

s²_i X_i ile pozitif (aynı yönde) ilişkilidir ve s²_i farklı varyansı X’in karesi ile orantılıdır. Yani X_i değerleri arttıkça s²_i değeri de

artmaktadır.

Goldfeld-Quandt Testi

Goldfeld-Quandt Testi

Y X_2s X₃ ... X_k

Y = b₁ + b₂ X₂ + b₃ X₃+ ... + b_k X_k + u

I.Alt Örnek n₁

II.Alt Örnek n₂

Çıkarılan Gözlemler

Y_I = b₁₁ + b₂₁ X₂ + b₃₁ X₃+ ... + b_k1 X_k + u

Y_II = b₁₂ + b₂₂ X₂ + b₃₂ X₃+ ... + b_k2 X_k + u n(1/6) < c < n(1/3)

Se₁²=?

Se₂²=? ²²

Goldfeld-Quandt Testi

1.Aşama H₀: Eşit Varyans H₁: Farklı Varyans

2.Aşama a = ? 3.Aşama

F

=?

e ?

F e

1 2

hes 2



S

 S

4.Aşama

H₀ hipotezi reddedilebilir

F

> F

2 ?

) k 2 c n f (

f₁  ₂  - - 

23

X bağımsız değişkeninin değerleri küçükyen büyüğe doğru ilgili Y bağımlı değişkeninin değerleri de taşınarak sıralanır. Ortadan c kadar gözlem çıkarılır.

Yıl Tasarruf Gelir

1 264 8777

2 105 9210

3 90 9954

4 131 10508

5 122 10979

6 107 11912

7 406 12747

8 503 13499

9 431 14269

10 588 15522

11 898 16730

12 950 17663

13 779 18575

14 819 19635

15 1222 21163

16 1702 22880

17 1578 24127

Tasarruf 1654

Gelir 25604

1400 26500

1829 27670

2200 28300

2017 27430

2105 29560

1600 28150

2250 32100

2420 32500

2570 35250

1720 33500

1900 36000

2100 36200

2300 38200

Gelir bağımsız değişkenine göre

tasarrufu da sıralıyoruz.

n₁ Tasarrfuf Gelir n₂ Tasarrfuf Gelir

1 264 8777 1 1829 27670

2 105 9210 2 1600 28150

3 90 9954 3 2200 28300

4 131 10508 4 2105 29560

5 122 10979 5 2250 32100

6 107 11912 6 2420 32500

7 406 12747 7 1720 33500

8 503 13499 8 2570 35250

9 431 14269 9 1900 36000

10 588 15522 10 2100 36200

11 898 16730 11 2300 38200

Gelire göre sırandı.

Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak.

İki alt grup oluşturuldu.

X S

 - 738 . 84  0 . 008

(189.4) (0.015)

1447771

2 1

 Se

X S

 1141 . 07  0 . 029

(709.8) (0.02)

769899

2 2



Se

f₁=f₂=(n-c-2k)/2=9 sd de F_tab=3.18

144771

5

769899 2

1 2

2

 

S

 S

e

F

e

White Testi

Y = b₁ + b₂ X₂ + b₃ X₃+ u

White Testi için yardımcı regresyon:

u² = a₁ + a₂ X₂ + a₃ X₃+ a₄ X₂² + a₅ X₃² + a₆ X₂X₃ + v R_y² = ?

White Testi Aşamaları:

1.Aşama

2.Aşama a = ? 3.Aşama

4.Aşama

H₀: a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = a₆=0

H₁ : a_i’lerin en az bir tanesi anlamlıdır s.d.= k-1 c²_tab=?

W= n.R_y² = ?

W > c²_tab H₀ hipotezi reddedilebilir

29

White Testi

lnMaaş = 3.8094 + 0.439 Yıl + 0.06 eğitim n=222 White Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: a₂ = a₃ = a₄ = a₅= a₆=0

H₁ : a_i’lerin en az bir tanesi anlamlıdır s.d.=6-1=5 c²_tab=11.07 W= n.R_y² = 222(0.0901)= 20.0022

W > c²_tab H₀ hipotezi reddedilebilir

e²= -0.0018 + 0.02 Yıl + 0.07 Yıl²- 0.03 Eğitim + 0.004 Eğitim² + 0.014 Yıl*Eğitim

R_y² = 0.0901

30

Lagrange Çarpanları(LM) Testi

Y = b₁ + b₂ X₂ + b₃ X₃+ u

LM testi için yardımcı regresyon:

R_y² = ? LM Testi Aşamaları:

1.Aşama

2.Aşama a = ? 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁ : b0

s.d.= 1 c²_tab=?

LM= n.R_y² = ? LM > c²_tab

v Y ˆ

b a

e







H₀ hipotezi reddedilebilir

31

Lagrange Çarpanları(LM) Testi

lnMaaş = 3.8094 + 0.439 Yıl + 0.06 Eğitim n=222 LM Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁ : b0

s.d.=1 c²_tab=3.84146

LM= n.R_y² = 222(0.0537)= 11.9214

LM > c²_tab H₀ hipotezi reddedilebilir e² = -0.2736 + 0.0730 (lnMaas)²

R_y² = 0.0537

32

UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir.

Aile Sayısı Y X u Aile Sayısı Y X u

1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.25412

2 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.74247

3 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.41032

4 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.49313

5 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.11164

6 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.46933

7 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.90818

8 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.48841

9 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352

10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.30556

11 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.14142

12 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.2301

13 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.76094

14 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.56938

15 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.51373

16 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482₃₃

UYGULAMA: Y_i = b₀ + b₁X_i + _i modeli için sabit varyans varsayımının geçerli olup olmadığını

•Grafik Yöntemle.

•Sıra Korelasyonu testi ile.

•Goldfeld-Quandt testi ile.

•White testi ile.

•Lagrange çarpanı testi ile inceleyiniz.

34

Grafik Yöntem

35

Sıra Korelasyonu Testi

1.Aşama H₀: r = 0 H₁: r  0

2.Aşama a = 0.05 s.d.=?

3.Aşama

t

=?

r ? 1

2 n

t r

2 s

hes s



-

 -

4.Aşama

H₀ hipotezi reddedilebilir

t

> t

) ? 1 n

( n 6 d

1

r

2

s i



 

 



 





- S

  - 



36

Sıra Korelasyonu Testi

 

 



 





- S

  - 

 n ( n 1 ) 6 d

1

r

2 i

s 2

1 6 3630

32(32 1)

 

 

 -   -  

1.Aşama H₀: r = 0 H₁: r  0

2.Aşama a = 0.05 s.d.= 30

t

= 2.042

hes 2

0.3347 32 2 t

1 (0.3347)

 -

- =

1.9454

4.Aşama

H₀ hipotezi reddedilemez.

t

< t

37

Goldfeld-Quandt Testi

c = 32 / 5 = 6.4 6 gözlem atılacak. (14.-19. gözlemler)

13 gözlemden oluşan iki grup için modeller

1.-13. gözlemler için

Y_i = 0.5096 + 0.6078X_i



20.-32. gözlemler için

Y_i = 3.8153 + 0.1723X_i



38

Goldfeld-Quandt Testi

1.Aşama H₀: Eşit Varyans H₁: Farklı Varyans

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

F

=2.82

2 2

hes 2

1

e 49.9631

F 13.8016

e 3.6201

 S  

S

4.Aşama

H₀ hipotezi reddedilebilir

F

> F

1 2

(32 6 2 * 2)

f f 11

2

  - - 

39

White Testi

White Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: a₂ = a₃ = 0 ;

H₁ : a_i’lerin en az bir tanesi anlamlıdır s.d.=3-1=2 c²_tab=5.99 W= n.R_y² = 32(0.2296) = 7.3472

W > c²_tab H₀ hipotezi reddedilebilir e²= -0.6909 + 0.3498X – 0.0058X² R_y² = 0.2296

Y  2.2528  0.2507X

40

Lagrange Çarpanları(LM) Testi

LM Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁ : b0

s.d.=2-1=1 c²_tab=3.84146

LM= n.R_y² = 32(0.201) = 6.432

LM > c²_tab H₀ hipotezi reddedilebilir R_y² = 0.201

Y  2.2528  0.2507X

2 2

e  0.417 + 0.060 Y

41

 nin BİLİNMESİ HALİ

FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI

2

s



nin BİLİNMEMESİ HALİ

s

Farklı varyans durumunda EKKY tahmincileri etkinlik özelliklerini kaybettiklerinden güvenilir değildirler. Bu sebeple farklı varyans ortadan kaldırılmadan EKKY uygulanmamalıdır. Y

lerin (veya u

lerin) farklı varyansları s

nin bilinip bilinmemesine göre farklı varyansı kaldıran iki yol vardır:

42

 ^s

nin BİLİNMESİ HALİ

Y

= b

+ b

X

+ u

s

i i i

i 2 i

1 i

i X u

1 b Y b

 s

 s

 s s

( )

i 2

i

i 1 E u

E u

 s



 





s 1 ₂ 1

2 i i

 s s



2

* * * * *

i 1 i i

Y  b  b X  u

• Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

43

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

 Sabit terimi yoktur.

 İki tane bağımsız değişken vardır.

i i i

i 2 i

1 i

i X u

1 b Y b

 s

 s

 s s

44

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

2

* * *

* *

1 i

i i

Y  b  b X  e e

 e

s

(

)

2* * *

1 2

i i i

e  Y - b - b X min

 

(

)

(

)

(

)

(

)

 

(

^s

)

(

)

2 1 2

i i i i i

w e  w Y - b - b X

 

45

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

(

) ^{( )}

2 *

1 2

i i 1 i i i

w e b 2 w Y b b X 1







(

) ^{( )}

2 *

1 2

i i 2 i i i i

w e b 2 w Y b b X X







2 *

i i 1

w e b 0





2 *

i i 2

w e b 0





* *

1 2

i i i i i

w Y  b w  b w X

  

* *

2

1 2

i i i i i i i

w X Y  b w X  b w X

  

* *

* *

1 2

b  Y - b X

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

i i i i i i i i

*

2 2 2

i i i i i

w w X Y w X w Y

b

w w X w X

 -

-

   

  

*

i i i

X 



*

i i i

Y 



EKKY ve GEKKY Arasındaki Fark

( )

2

i i 1 2 i

e  Y - b - b X

 

EKKY

GEKKY ^{ w e}

^{  w Y}

(

^{- b}

^{- b X}

)

min

min

2

i i

w  1 s

47

 ^s

nin BİLİNMEMESİ HALİ

1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER

i 1 2 i i

Y  b  b X  u ln Y

 ln b

 b ln X

 v

2 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^X

i 1 2 i i

Y  b  b X  u Y X

 b 1 X

(

)  b X 1 X

(

)  u X

( )

1 i 2 i

 b 1 X  b  v

( )

⁽

⁾

( )

E v E u X 1 X E u 1 X

   X s  s

48

 ^s

nin BİLİNMEMESİ HALİ

3 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^X

i 1 2 i i

Y  b  b X  u

( ) ( )

i i 1 i 2 i i i i

Y X  b 1 X  b X 1 X  u X

( )

1 i 2 i i

 b 1 X  b X  v

( )

(

)

^{( )}

⁽

⁾

E v  E u X  1 X E u  1 X s X  s

49

4 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^{( a}

^{ a X}

⁾

 ^s

nin BİLİNMEMESİ HALİ

( )

E u  s  s f (X)

( ) (

) (

)

f X  a  a X  a  a X

i 1 2 i i

Y  b  b X  u ( ^a

^{ a X}

) ^bölünür

50

5 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^ _ ^{E Y ( )}

^ _

 ^s

nin BİLİNMEMESİ HALİ

i 1 2 i i

Y  b  b X  u

( ) ( ) ( ( ) ) ^{( )}

i i 1 i 2 i i i i

Y E Y  b E Y  b X E Y  u E Y

( ) ( )

1 i 2 i i i

  b 1 E Y     b X E Y  v

51

UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir.

Aile Sayısı Y X u Aile Sayısı Y X u

1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.25412

2 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.74247

3 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.41032

4 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.49313

5 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.11164

6 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.46933

7 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.90818

8 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.48841

9 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352

10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.30556

11 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.14142

12 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.2301

13 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.76094

14 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.56938

15 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.51373

16 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482

52 52

1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER

( )

ln Y 0.2546 0.5742ln X t (1.5691) (8.1077) prob (0.1271) (0.0000)

  R

 0.6866

( )

ln e  0.0472  0.0123ln Y R

 0.0178

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁: b  0

s.d.=2-1=1 c²_tab=3.84146

LM= n.R_y² = 32(0.0178) = 0.5696

LM < c²_tab H₀ hipotezi reddedilemez.

53

2 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^X

( )

i i i

Y X 1.277 1 X 0.3652 t (5.151) (8.109) prob (0.000) (0.000)

  R

 0.4694

2 2

e  0.0118  0.0297Y R

 0.0509

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁: b  0

s.d.=2-1=1 c²_tab=3.84146

LM= n.R_y² = 32(0.0509) = 1.6288

LM < c²_tab H₀ hipotezi reddedilemez.

54

3 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^X

( )

i i i i

Y X 22.246 1 X 8.3144 X

t (-4.686) (15.337) prob (0.001) (0.000)

 - 

R

 0.7938

2 2

e  2.7482  0.0749Y R

 0.2365

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁: b  0

s.d.=2-1=1 c²_tab=3.84146

LM= n.R_y² = 32(0.2365) = 7.568

LM > c²_tab H₀ hipotezi reddedilebilir.

55

5 .HAL:

^{E u} ( )

^{ s}

^{ s}

^ _ ^{E Y ( )}

^ _

( ) ( ) ( ( ) )

i i

i i i

1 1

Y E Y 1.839 0.292

E Y X E Y

t (5.2630) (7.4167) prob (0.0000) (0.0000)

 

R

 0.0442

2 2

e  -0.0439  0.1182Y

R

 0.0290

1.Aşama

2.Aşama a = 0.05 3.Aşama

4.Aşama

H₀: b = 0 H₁: b  0

s.d.=2-1=1 c²_tab=3.84146

LM= n.R_y² = 32(0.0290) = 0.928

LM < c²_tab H₀ hipotezi reddedilemez.

56