İ. Ü. Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARI

(1)

İ. Ü. Elektrik&Elektronik Müh. Böl.

İŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARI

Deney 3 : Frekans Analizi

Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya

Umut Gündoğdu

Yeşim Hekim Tanç

(2)

Deney 3 : Frekans Analizi

1. Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

2. Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT)

i. Hızlı Fourier Dönüşümü Kullanarak DFT Hesaplama

ii. Faz Hesaplanmasında Karşılaşılan Problemler

3. FFT Kullanarak Filtreleme

4. Dairesel Konvolüsyon

5. Deney Prosedürü

(3)

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)



Ayrık zamanlı aperiyodik işaretlerin izgesel gösterimi için kullanılır.



Ayrık zamanlı periyodik bir işaretin periyodu sonsuz olarak düşünülüp Ayrık Fourier serisinin alınması mantığına dayanır.



Sürekli zamanlı Fourier Serilerini hatırlayalım:

( ) ¹ ^{( )}

^j² ^kt^/

k

x t X k e

T

∞ π

=−∞

= ∑

( )

^/2 ² ^/

/2

( )

T

j kt T T

X k x t e ^π dt

−

= ∫

(4)

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

 X(k)’nın -∞ ≤ k ≤ ∞ aralığında tanımlı olduğunu varsayalım.

 Son denklemde ( )

k→n

X(k) →x(n)

Tx(t) →X(e^jw)

-2πt/T →w ve dt →-T/2πdw dönüşümlerini yaparsak

elde ederiz. Bu ters dönüşüm formülüdür.

( )

¹ ⁽ ⁾

2

jw jwn

x n X e e dw

π

π ₋π

=

∫

( ) ^/2 ² ^/

/2

( )

T

j kt T T

X k x t e ^π dt

−

=

∫

(5)

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

 İleri dönüşümü bulmak için yine benzer şekilde,

 İlk denklemde ( )

k→n

X(k) →x(n) Tx(t) →X(e^jw)

-w →2πt/T ve dt →-T/2πdw dönüşümlerini yaparsak

elde ederiz. Bu ileri dönüşüm formülüdür.

( )

^jw ^{( )} ^jwn

n

X e x n e

∞ −

=−∞

=

∑

( )

¹ ^{( )} ^j² ^kt^/

k

x t X k e T

T

∞ π

=−∞

=

∑

(6)

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

 Pratikte ilgilendiğimiz işaretlerin çoğu sonlu uzunluklu olduğundan ya da sonlu işaret örneklerinden oluştuğundan dolayı n;

0≤ n ≤ N-1 seçilir.

 DTFT hesaplanırken karşılanırken en büyük sorun w’ nın sürekli bir frekans olmasıdır. Sayısal olarak bunu hesaplamak oldukça zordur.

Bu yüzden frekansı ayrıklaştırmak büyük kolaylık sağlar. Fourier gösteriminin dualite özelliğinden dolayı ayrıklaştırma, frekansta sürekli olan spektrumun örneklenmesiyle yapılabilir.

( )

¹ ⁽ ⁾

2

jw jwn

x n X e e dw

π

π ₋π

=

∫

( )

^jw ^{( )} ^jwn

n

X e x n e

∞ −

=−∞

=

∑

(7)

 Burada x(n)=0 N≤ n ≤ L-1. Frekans domeninde örneklemenin etkisi sonlu uzunluklu sinyalin pediyodik olarak tekrar etmesidir.

Örnekleme teoremine göre her 2π/L raydanda bir spektrumu örneklersek eklenmiş sıfırlarla beraber x(n) her L örnekte bir tekrar etmelidir. Örtüşme ya da üst üste binme olmaması için L ≥ N koşulu sağlanmalıdır. Spektrum düzgün örneklendiği sürece zaman ve frekans gösterimi periyodik olur.

 TersAyrık Fourier Dönüşümü (IDFT):

Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT)

( ) ( )

² ^/ ¹ ² ^/

0

| ( )

L

jw j nk L

w k L

n

X k X e _π x n e ^π

− −

=

= =

∑

( )

¹ ² ^/

0

1 ( )

L

j nk L k

x n X k e

L

− π

=

∑

(8)

Hızlı Fourier Dönüşümü Kullanarak DFT Hesaplama

 DFT hesaplamanın en etkin yolu Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) algoritmasıdır. FFT yeni bir dönüşüm olarak düşünülmemelidir. Sadece DFT hesaplamanın hızlı bir yöntemidir. FFT kullanarak DFT aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

1. x(n) işareti N ile periyodikse devam et yoksa adım 2’ye git.

 FFT uzunluğunu L=N’ e ya da daha iyi bir çözünürlük için N’ in katlarına ayarla.

 Bir ya da birkaç periyot için FFT hesapla. X(k) k = 0,1,⋯,L-1 genelde karmaşık formdadır.

 İşaretin genlik ve faz spektrumu k = 0,1,⋯,L-1 için sırasıyla |X(k)| ve arg [X(k)]

şeklindedir. Eğer FFT hesaplanırken birden fazla pediyot kullanılmışsa, örneğin M tane, genlik değerleri M’ e bölünür.

2. Eğer işaret N uzunluklu ve aperiyodikse:

 N’ den L-1’e kadar sıfır ekleyerek için L ≥ N ile periyodik bir işaret oluştur.

İşaretin bir periyodu için FFT hesapla.

 X(k)’nın faz ve genlik cevabını hesaplayıp w’ ya göre çizdir.

(9)

Faz Hesaplamasındaki Problemler

 DFT değerleri çoğunlukla komplekstir:

 X(k) reelken faz şu şekilde hesaplanır:

 X(k) >0 iken arg [X(k)]=0’dır. X(k) < 0 iken de iken arg [X(k)]= π’dır. X(k) = 0 ise faz tanımsız ya da önemsizdir. Genlik ve faz spektrumları çizilirken genliğin w’ ya göre çift fazın da tek simetrik olduğu unutulmalıdır.

 ’in bir periyoduna ait X(z) dönüşümü birim çember üzerinde sıfır ya da kutba sahip değilse faz frekansın sürekli bir fonksiyonudur. Aksi durumda süreksizlikleri gidermek için bir takım pratik çözümler

sunulmuştur. Bunlar:

( ) ( ) ^{( )} ( )

( )

jarg X k

R I

X k X k e

X k jX k

 

 

=

= +

( ) ^{X k}_R^I^{( )}( )

arg X k arctan

X k

 

=

   

 

( ) x n

(10)

Faz Hesaplamasında Karşılaşılan Problemler

1. arctan(θ), π periyotlu ve θ’nın sürekli bir fonksiyonudur. π/2’nin katlarında süreksizlik noktalarına sahiptir. Fonskiyonun temel değerleri (-π/2, π/2)’dir.F az değerleri yalnızca –π ve π arasında hesaplanabilir. Bu probleme fazın sarması (wrapping) denir. Birim çember üzerinde sıfır veya kutup yoksa faz sürekli olur.

Ancak süreksizlik durumunda faz değerleri [-π, π) sınırının dışında olur ve sınır içinde eşdeğer bir değere düşürülür. Bu faz sarma adı verilen hayali bir süreklilik yaratır .sarılmış fazdan sürekli veya sarılmamış faz elde etmek bazı durumlarda kolaydır.

Örnek:

2. Faz yalnızca genlik önemli iken önemlidir. Genlik değeri çok küçük olduğunda faz değeri de önemsiz olur.

[ ]

10 10

( ) , ( )

arg ( ) 10

jw jw

X z z X e e

X k w

− −

= =

= −

(11)

FFT Kullanarak Filtreleme

 x(n) işareti N uzunluklu bir işaret olsun ve M uzunluklu ve impuls h(n) cevabı olan bir LTI filtrenin girişine uygulansın.

 Filtre çıkışı y(n)=x(n)*h(n) lineer konvolüsyondur. y(n) ‘in DFT’ si Y(k)=X(k)H(k) ’dır. y(n) M+N-1 uzunluğundadır. Y(k) L≥M+N-1 için hesaplanmalıdır.

 Çarpma işlemi için X(k) ve H(k) ’nın boyunun L olması gereklidir, dolayısıyla x(n) ve h(n) ‘in FFT’ leri L noktalı olmalıdır. Bu kurala uyulmazsa zaman domeninde örtüşme meydana gelir.

(12)

Örnek

 y(n)’in boyu 2+2-1=3’tür. Bu yüzden L≥3 için FFT’ler hesaplanacaktır.

a) L=4

b) L=3

b) L=2

( ) ( ) ¹ ⁰ ¹

0 x n h n n

diğer

 ≤ ≤

= = 



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

4 / 2 0

3 2

/ 2 4

0

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 1 1 2 ( )

0 1, 1 2, 2 1, 3 0

j nk j k

n

j nk

k j k

n

X k x n e e H k

Y k X k H k e y n e

y y y y

π π

− −

=

− −

=

= = + =

 

= = + − + =

= = = =

∑

( ) ( ) ( )

2 2

2 /3 3

0

2 2

2 /3 2 2 /3 3

0

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 1 2 ( )

0 1, 1 2, 2 1

j nk

j k n

j nk

j k j k

n

X k x n e e H k

Y k X k H k e e y n e

y y y

π π

π π π

− −

=

− − −

=

= = + =

= = + + =

= = =

∑

1 2

2 0

1 2

2 0

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 2 2 ( )

j nk

j k n

j nk j k

n

X k x n e e H k

Y k X k H k e y n e

π π

− −

=

− −

=

= = + =

∑

(13)

Dairesel Konvolüsyon

 DFT’ nin yapısındaki periyodiklik nedeniyle DFT’ leri çarpılan iki işaret, sanki işaretlerin zaman uzayında periyodik hale getirilmiş şekillerinin periyodik konvolüsyonu gerçekleştiriliyormuş gibi işlem görmektedir. Dairesel ötelemenin mantığı kullanılarak bu konvolüsyon işlemi

 Şeklinde tanımlanmaktadır. İki işaretin DFT’ leri çarpımı dairesel konvolüsyonun DFT’ sine eşittir^.

( )

^{N 1}

( ) ( )

0 n

y n x n h n k

−

=

∑

^ −

 

1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N

n

y n x n h n k X k H k

−

=

∑

^ − ⇒

 

(14)

Dairesel Konvolüsyon

 İki sonlu işaretin dairesel konvolüsyonu, işaretlerin periyodik hale getirilerek periyodik konvolüsyon alınması olarak düşünülebilir. Ya da, Daire üzerine yerleştirilmiş iki işaretin konvolüsyonu olarak ele alınabilir. Bu durumda birinci işaretin değerlerinin yerleştirildiği daire sabit tutulup, ikinci işaretin değerlerinin bir diğer daireye ters sırayla yerleştirilir. Her seferinde birbirine karşılık gelen değerler çarpılarak toplanmaktadır. İkinci daire her seferinde saat yönünde bir birim döndürülerek dairesel konvolüsyon değerleri sırasıyla hesaplanmaktadır.

 Bir önceki örnek için dairesel konvolüsyon sonucunda y(0)=1,y(1)=2,y(2)=1,y(3)=0 değerlerini elde ederiz. Bu demek oluyor ki lineer konvolüsyon ile dairesel konvolüsyon sonuçlarının aynı olması için L=M+N-1 noktalı dairesel konvolüsyon alınmalıdır.

(15)

Deney Prosedürü

Bölüm I: Frekans Çözünürlüğü ve Yoğunlaşma

1.

Her 16 örnekte tekrarlayan, duty cycleı 1/2 ve uzunluğu 256 olan bir kare dalga oluşturun. Bu işaretin periyodu 16 olan periyodik kare dalganın bir parçası olduğunu dikkate alın.

2.

Bir önceki adımdaki işaretin Fourier Dönüşümünü FFT komutuyla bulun; genlik ve faz spektrumunu çizin. Genlik spektrumundaki tepe noktalar hangi frekans değerlerine karşılık geliyor? Frekans ve genlik değerleri neden sonlu bir frekans kümesinde ortaya çıkıyor?

3.

Birinci adımdaki işaretin ilk 16 örneğini alarak yeni bir

işaret oluşturun. Bu işaretin periyodu 16 olan periyodik

kare dalganın bir periyodu olduğunu dikkate alın.

(16)

Deney Prosedürü

Bölüm I: Frekans Çözünürlüğü ve Yoğunlaşma

4. Üçüncü adımdaki işaretin Fourier Dönüşümünü FFT komutuyla bulun; genlik ve faz spektrumunu çizin. 2. şıktaki genlik ve faz spektrumu ile karşılaştırın. Hangisi daha iyi bir frekans çözünürlüğü veriyor belirtin.

5. Her 64 örnekte tekrarlayan, duty cycleı 1/2 ve uzunluğu 256 olan bir kare dalga oluşturun. Bu işaretin periyodu 64 olan periyodik kare dalganın bir parçası olduğunu dikkate alın. Bu işaretin FFT’

sini hesaplayıp genlik ve faz spektrumunu çizdirin. Sonuçları ikinci adımdaki spektrum değerleri ile karşılaştırın. Frekans yoğunlaşması nasıl değişiyor belirtin.

6. İki tane aperiyodik işaret oluşturun: 5 tane bir, 251 tane de sıfırdan oluşan x(n) ve 5 tane bir ve 3 tane sıfırdan oluşan y(n) işaretleri. Her bir işaretin FFT’ sini hesaplayın, genlik - faz spektrumlarını karşılaştırın. x(n) ve y(n) arasındaki fark nedir, belirtin. İki işaret aynı DTFT’ ye mi sahiptir? FFT hesaplanırken kullanılan sıfırların etkisi nedir?

(17)

Deney Prosedürü

Bölüm I: Frekans Çözünürlüğü ve Yoğunlaşma

Tartışma:

 Periyodik bir işaretin FFT’ si hesaplanırken birden fazla periyod kullanmanın etkisi nedir, genliği ayarlamak için ne gibi bir değişiklik yapılmalıdır ,tartışınız.

 İşaretin zamandaki süresi ve frekans domenindeki yoğunlaşması arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

 Periyodik ve aperiyodik işaretlerin FFT’si hesaplanırken frekans çözünürlüğünü arttırmak için çeşitli yöntemler kullanılır: periyodik işaretlerde birden fazla periyotla FFT hesaplanır, aperiyodik işaretlerde de işarete sıfırlar eklenir. Periyodik işaretlerde sıfır eklemenin neden işe yaramadığını açıklayınız.

(18)

Deney Prosedürü

Bölüm II: Zamanda ve Fazda Öteleme

1. 5 tane bir, 251 tane de sıfırdan oluşan x(n) işaretini oluşturun. x(n) işaretini 2 örnek öteleyin ve y(n) işaretini oluşturun. Her bir işaretin FFT’ sini hesaplayın genlik- faz spektrumlarını karşılaştırın. Faz spektrumundan işaretin ötelenmiş olduğunu anlayabilir misiniz? Teorik olarak faz farkı nedir belirtin.

2. 128 noktalı işaretini değerleri için

oluşturun. Sonuç olarak fazları farklı üç cosinüs işareti elde edilecektir.

3. Her üç işaretin FFT’ lerini hesaplayın ve genlik-faz spektrumlarını çizdirin.

Teorik sonuçlarla faz spektrumlarını karşılaştırın. Bunun neden olduğunu açıklayınız. (ipucu: FFT değerlerine bakıp, değerlerin harmoniklerde olmadığına bakabilirsiniz.)

4. Cosinüsün FFT’ sinin fazını temizlemek için basit bir algoritma yazın. Genlik önemli değilken faz sıfıra eşitlenebilir. 2. Adımda üretilen cosinüslerin temizlenmiş faz spektrumlarını çizin.

( ) cos( / 16 )

x n = πn +θ 0, ,

2 θ _{= }^ π π^_

 

(19)

Deney Prosedürü

Bölüm II: Zamanda ve Fazda Öteleme

Tartışma:

 Faz spektrumu çizimlerinde görülen zorluk nedir? Zorluk arctan’ın hesaplanma yönteminden mi kaynaklamaktadır?

 İşaretin Z dönüşümünde birim çember üzerinde sıfır veya kutup var mıdır? İlgili faz spektrumu süreksiz midir?

(20)

Deney Prosedürü

Bölüm III: Modülasyon

1. 256 noktalı x(n)=u(n)-u(n-65) işaretini oluşturup FFT kullanarak genlik ve faz spektrumunu çizdirin.

2. x(n) işaretini 256 uzunluklu s(n)=cos(0.5πn) işareti ile çarpın.

Yeni oluşan işaretin genlik faz spektrumunu FFT yardımıyla hesaplayıp, çizdirin. Birinci adımdaki genlik ve faz spektrumu ile ilişkisini açıklayın.

3. x(n) işaretini 256 uzunluklu s(n)= sin(0.5πn) işareti ile çarpın.

Yeni oluşan işaretin genlik faz spektrumunu FFT yardımıyla hesaplayıp, çizdirin. Birinci ve ikinci adımdaki genlik ve faz spektrumları ile ilişkisini açıklayın.

4. x(n) işaretini 256 uzunluklu s(n)= e^(j0.5^πn) işareti ile çarpın. Yeni oluşan işaretin genlik faz spektrumunu FFT yardımıyla hesaplayıp, çizdirin. Birinci, ikinci ve üçüncü adımdaki genlik spektrumları ile farkını yorumlayın.

(21)

Deney Prosedürü

Bölüm III: Modülasyon

Tartışma:

 Bir işareti sinüsoidal ile çarpmak, işaretin frekans bileşenlerini nasıl etkiler, açıklayınız. Kompleks sinüsoidal kullanmak ile reel bir sinusoidal kullanmak oluşan frekans içeriğini nasıl etkiler?

 Modülasyonda cosinüs yerine sinüs kullanmanın farkı nedir?

(22)

Deney Prosedürü Bölüm IV: Filtreleme

1. 50 tane sıfır ve 50 tane birden oluşan x(n) işaretini oluşturun. Bu temiz işareti bozmak için, x(n) işaretini 0.1 ile çarpılmış 100 noktalı bir rasgele işaret işaret ile toplayın. Oluşan yeni işarete genliği, periyodu ve fazı sırasıyla 0.3, 16 ve 0 olan bir cosinüs işareti ekleyin. Oluşan yeni işarete z(n) diyelim. İlerleyen adımlarda bozucu etkiden kurtulmak ve orijinal işaretini geri elde etmeye çalışacağız.

2. FIR bir filtrenin cevabı h(n) ’in olduğunu varsayalım. h(n) ’in genlik ve faz spektrumunu 256 noktalı FFT kullanarak hesaplayıp çizdirelim. Bu nasıl bir filtredir ve geçirme bandında lineer fazlı mıdır?

3. Bir başka FIR filtre olan g(n) ’in impuls cevabı ise [1,0,0,0,0,0,0,0,1] ’dir. g(n) ’in genlik ve faz spektrumunu 256 noktalı FFT kullanarak hesaplayıp çizdirelim. Bu filtre band durduran bir filtredir. Durdurma frekansı nedir? geçirme bandında lineer fazlı mıdır?

(23)

Deney Prosedürü Bölüm IV: Filtreleme

4. 2. Adımda verilen filtrenin giriş/çıkışlarını belirtin. z (n) işaretini bu filtreden geçirin ve y(n) işaretini elde edin. Filtrenin z (n) üzerindeki etkisini açıklayın.

5. h(n) ve z(n) ’in 256 noktalı FFT’ sini hesaplayın. FFT’leri çarpıp, filtre çıkışını elde etmek için çarpımın IFFT’ sini hesaplayın.

Çıkış reel midir? Sanal kısım ihmal edilebilir düzeyde ise çıkışın reel kısmına y₁(n) diyelim. y(n) ve y₁(n)’ i karşılaştırın.

6. h(n), z(n) ve y₁(n) ’in FFT’ lerinin genliklerini çizdirin ve frekans domeninde filtrenin etkilerini belirtin.

(24)

Deney Prosedürü Bölüm IV: Filtreleme

7. g(n) ’in 256 noktalı FFT’ sini hesaplayın. Sonucu z(n) ’in FFT’ si ile çarpıp, filtre çıkışını elde etmek için çarpımın IFFT’ sini hesaplayın. Sanal kısım ihmal edilebilir düzeyde olduğundan çıkışın reel kısmına y₂(n) diyelim.

8. z(n), g(n) ve y₂(n) ’in FFT’ lerinin genliklerini çizdirin ve frekans domeninde filtrenin etkilerini belirtin.

9. Verilen FIR filtreleri kullanarak x(n) işaretindeki toplamsal gürültüden ve sinüsoidalden kaynaklanan bozucu etkilerden kurtulmak için bir algoritma yazın. Ve sonucu çizdirip yorumlayın.

(25)

Deney Prosedürü Bölüm IV: Filtreleme

Tartışma:

 FFT kullanılarak frekans domeninde yapılan filtrelemede konvolüsyon toplamı ve boyu arasındaki ilişkiyi tartışın.

 IIR filtreler ile FFT kullanarak filtreleme yapılır mı? Açıklayınız.