ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SWITCHING REGRESYON DA BULANIK SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMI İLE PARAMETRE TAHMİNİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

SWITCHING REGRESYON’DA BULANIK SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMI İLE PARAMETRE TAHMİNİ

Türkan ERBAY DALKILIÇ

İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2005

ÖZET

Doktora Tezi

SWITCHING REGRESYON’DA BULANIK SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMI İLE PARAMETRE TAHMİNİ

Türkan ERBAY DALKILIÇ

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN

Regresyon analizinde veri kümesi birden fazla sınıftan elde edilen gözlemlerin bir araya getirilmesiyle meydana gelmiş olabilir. c sınıf sayısını göstermek üzere, her sınıf bir fi fonksiyonuyla ifade edildiğinde oluşturulacak regresyon modeli, switching regresyon modeli olarak adlandırılmaktadır. Bu çalışmada elde edilen modellerin bir araya getirilerek farklı sınıflardan gelen verilere ait tek bir modelin oluşturulmasında uyarlamalı ağlardan faydalanılmıştır. Ayrıca ele alınan değişkenlerin sınıf sayıları başlangıçta sezgisel olarak öneren yöntemlere alternatif olarak bağımsız değişkenlere ilişkin optimal sınıf sayısının belirlenmesinde bulanık kümeleme için önerilen geçerlilik kriterinin kullanılması amaçlanmıştır. Bağımsız değişkenlerin üstel dağılımdan gelmeleri durumunda, üstel dağılıma uygun optimal üyelik fonksiyonu elde edilerek switching regresyon modelinin bilinmeyen parametrelerinin belirlenmesi ve tahmin değerlerinin elde edilmesi için bir algoritma önerilmiştir.

2005, 100 sayfa

Anahtar Kelimeler: Switching Regresyon, Uyarlamalı Ağ, Bulanık Kümeleme.

ABSTRACT

Ph. D. Thesis

PARAMETER ESTIMATION WITH FUZZY NEURAL NETWORK APPROACH IN SWITCHING REGRESSION

Türkan ERBAY DALKILIÇ

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Statistics

Supervisor: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN

In regression analysis, data set can be formed by collecting observations that have been obtained from more than one class. The regression model, which will be formed when each class is defined by an fi function and c shows the number of classes, can be called switching regression model. In this study adaptive networks have been used in constructing one model that has been formed by gathering obtained models. There are methods that suggest the class numbers of independent variables heuristically. Alternatively, in defining the optimal class number of independent variables the usage of suggested validity criteria for fuzzy clustering has been aimed. In the case that independent variable have exponential distribution, an algorithm has been suggested to define the unknown parameter of switching regression model and to obtain the estimated values after obtaining optimal membership function which is suitable for exponential distribution.

2005, 100 pages

TEŞEKKÜR

Bu çalışmada desteklerini benden esirgemeyen ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam Sayın Prof. Dr. Ayşen APAYDIN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Çalışmanın her aşamasında beni yönlendiren hocalarım Sayın Doç. Dr. Meral SUCU (Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya, Sayın Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’e ve Sayın Doç. Dr. Fazıl ALİOĞLU (Ankara Üniversitesi)’na en içten teşekkürlerimi sunarım.

Her zaman yanımda olduklarını hissedebildiğim aileme ve eşime sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Türkan ERBAY DALKILIÇ ANKARA, Ocak 2005

İÇİNDEKİLER

ÖZET... i

ABSTRACT... ii

TEŞEKKÜR... iii

ŞEKİLLER DİZİNİ... iv

ÇİZELGELER DİZİNİ... v

GRAFİKLER DİZİNİ... vi

1. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR... 1

1.1. Giriş... 1

1.2. Önceki Çalışmalar... 4

2. REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ... 10

2.1. Giriş... 10

2.2. Switching Regresyon Modeli... 12

3. BULANIK TEORİ... 15

3.1. Giriş... 15

3.2. Bulanık Küme Teorisinde Temel Tanımlar... 17

3.3. Bulanık Sıralama ve Bulanık Sayılar Arasındaki Fark... 21

3.4. Optimal Üyelik Fonksiyonunun Belirlenmesi... 26

3.5. Bulanık Kümeleme ve Optimal Sınıf Sayısı... 34

3.5.1. Bulanık kümeleme... 34

3.5.2. Bulanık kümeleme algoritması... 34

3.5.3. Optimal küme sayısının belirlenmesi... 37

3.6. Bulanık Eğer-İse Kuralları ve Bulanık Çıkarsama Sistemi... 38

4. YAPAY SİNİR AĞLARI VE BULANIK UYARLAMALI AĞ... 42

4.1. Yapay Sinir Ağları... 42

4.1.1. Yapay nöron modeli... 43

4.1.2. Yapay sinir ağı modelleri... 44

4.1.2.1. İleri beslemeli yapay sinir ağları... 45

4.1.2.2.Geri beslemeli yapay sinir... 46

4.2. Bulanık Uyarlamalı Ağ... 47

4.2.1. Bulanık uyarlamalı ağın eğitimi... 53

4.3. Uyarlamalı Ağlar İle Regresyon Modeline İlişkin Parametre Tahmini. 53 4.3.1. Sonsal parametrelerin belirlenmesi... 54

4.3.2. Önsel parametrelerin belirlenmesi... 57

5. SWITCHING REGRESYONDA UYARLAMALI AĞ YAKLAŞIMI İLE PARAMETRE TAHMİNİ... 60

5.1. Giriş... 60

5.2. Bağımsız Değişkenlerin Normal Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeli’nin Parametrelerinin Belirlenmesi İçin Önerilen Yönteme İlişkin Algoritma... 62

5.3. Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeline İlişkin Parametrelerin Belirlenmesi İçin Bir Yöntem... 67

5.3.1. Üstel dağılım için üyelik fonksiyonun oluşturulması... 67

5.3.2. Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeli’nin Parametrelerinin Belirlenmesi İçin Önerilen Yönteme İlişkin Algoritma... 74

6. UYGULAMA... 77

6.1. Bağımsız Değişkenlerin Normal Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeline Ait Parametrelerin Tahmini... 77

6.2. Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeline Ait Tahmin Değerlerinin Elde Edilmesi... 83

6.3. Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmeleri Durumunda Farklı Sayıdaki Değişkene Sahip Veri Setlerine İlişkin Tahminlerin Elde Edilmesi... 86

7. SONUÇ VE TARTIŞMA... 93

KAYNAKLAR... 96

ÖZGEÇMİŞ... 100

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1. Üçgensel bulanık sayı...19

Şekil 3.2. Yamuksal bulanık sayı...20

Şekil 3.3. L-R bulanık sayısı...21

Şekil 3.4. T =( , ,t S S_{L R LR}) üçgensel bulanık sayısı...25

Şekil 3.5. Bulanık çıkarsama sistemi...40

Şekil 4.1. Genelleştirilmiş nöron modeli...44

Şekil 4.2. Çok katmanlı bir yapay sinir ağı modeli...45

Şekil 4.3. Geri beslemeli yapay sinir ağı modeli...47

Şekil 4.4. Bulanık uyarlamalı ağ mimarisi...49

Şekil 5.1. Üstel dağılım fonksiyonu için üyelik fonksiyonu...70

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 5.1. Farklı c değerlerine karşılık gelen üyelik dereceleri...71

Çizelge 6.1. Normal dağılımdan gelen iki bağımsız değişkene ilişkin veri setine ait tahmin sonuçları ve hatalar ...80

Çizelge 6.2. Ağ’dan elde edilen merkezlere ilişkin başlangıç ve sonuç değerler...81

Çizelge 6.3. Chi-Bin tarafından kullanılan merkezlere ilişkin başlangıç ve sonuç değerler...81

Çizelge 6.4. Üstel dağılımdan gelen üç bağımsız değişkene ilişkin veri setine ait tahmin sonuçları ve hatalar...84

Çizelge 6.5. Ağ’dan elde edilen merkezlere ilişkin başlangıç ve sonuç değerler...85

Çizelge 6.6. Örnek 1’e ilişkin verilerin özellikleri...86

Çizelge 6.7. Örnek 2’ye ilişkin verilerin özellikleri...86

Çizelge 6.8. Örnek 3’e ilişkin verilerin özellikleri...87

Çizelge 6.9. Örnek 4’e ilişkin verilerin özellikleri...87

Çizelge 6.10. Örnek 5’e ilişkin verilerin özellikleri...88

Çizelge 6.11. Örnek 6’ya ilişkin verilerin özellikleri...88

Çizelge 6.12. Altı farklı örnek için ağ’dan ve EKK’dan elde edilen tahminlere ilişkin hata değerleri...89

GRAFİKLER DİZİNİ

Grafik 5.1. c=0.5 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin

üyelik dereceleri...72

Grafik 5.2. c=0.6 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri...72

Grafik 5.3. c=0.7 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri...73

Grafik 5.4. c=0.8 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri...73

Grafik 6.1. Çizelge 6.1’de yer alan veri setine ilişkin hataların grafikleri...82

Grafik 6.2. Çizelge 6.3’de yer alan veri setine ilişkin hataların grafikleri...85

Grafik 6.3. Örnek 1’de yer alan verilere ilişkin hataların grafikler...90

Grafik 6.4. Örnek 2’de yer alan verilere ilişkin hataların grafikler...90

Grafik 6.5. Örnek 3’de yer alan verilere ilişkin hataların grafikleri...91

Grafik 6.6. Örnek 4’de yer alan verilere ilişkin hataların grafikleri...91

Grafik 6.7. Örnek 5’de yer alan verilere ilişkin hataların grafikleri...92

Grafik 6.8. Örnek 6’de yer alan verilere ilişkin hataların grafikleri...92

1.GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR 1.1. Giriş

Regresyon analizinde, bir veri kümesinde gözlemlerin tek bir sınıftan geldiği düşünülür ve bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki basit fonksiyonel ilişki, Y = f X( )+ biçiminde genel model ile ifade edilebilir. ε Ancak veri kümesi birbirinden farklı dağılımlara sahip birden fazla sınıftan elde edilen gözlemlerin bir araya getirilmesiyle meydana gelmiş olabilir. c sınıf sayısını göstermek üzere, her sınıf bir f fonksiyonuyla ifade edildiğinde _i oluşturulacak regresyon modeli, switching regresyon modeli olarak adlandırılmakta ve Yi = fi(X)+εi ( 1 i≤ ≤c) ile ifade edilmektedir.

Uygulama alanındaki bir çok çalışmada, veri kümesinde yer alan bağımsız değişkenlerin tek bir dağılımdan gelmemeleri ya da aynı dağılımdan gelseler dahi aynı dağılım parametrelerine sahip olmama sorunu ile karşılaşılmaktadır. Bu durumda veri setine ait tek bir regresyon modeli kurulduğunda, bu modelden elde edilecek tahminlerin hataları yüksek olacaktır. Veri kümesi yukarıda sözü edilen biçimde bir yapıya sahip olduğunda farklı her sınıf için bir regresyon modeli oluşturması ve sonuç tahminlere bu modellerden elde edilen tahminlerin birleştirilmesi ile ulaşılabilir. Bu yöntem için uygun yapı switching regresyon modeli ile sunulmaktadır.

Switching regresyon modelinin oluşturulması süreci, verilerin kümelenmesi, birden fazla modelin kurulması ve bu modellerin sonuçta birleştirilmesi işlemlerini içermektedir. Birden fazla modelin oluşturulması klasik yöntemlere göre analiz sürecini uzatmaktadır. Ancak, süreç uzun olmasına rağmen, sonuçta hatası küçük tahminlere ulaşılmaktadır.

Switching regresyon modeli, ilk kez ele alındığı çalışmalarda en basit hali ile tanımlanmıştır. Bu çalışmalarda verilerin tek bir sınıf yerine iki farklı sınıftan gelmiş olabileceği düşüncesi ile uygun iki alt model oluşturulmuştur. Oluşturulan bu modellerden yola çıkarak tahmin değerlerine ulaşılması amaçlanmıştır. Daha sonraki çalışmalarda, verilerin ikiden daha fazla sınıfa ait gözlemlerin bir araya gelmesi ile oluşabileceği düşüncesi ile birlikte switching regresyon modelinin genelleştirilmesi amaçlanmıştır. Verilerin düzey sayılarının ve aynı zamanda bağımsız değişken sayısının ikiden fazla olması durumu kurulacak olan alt model sayısının da artmasını beraberinde getirmiştir. Bu aşamada karmaşık problemlerin ve sistemlerin çözümünde sıkça kullanılmaya başlanan sinir ağlarından faydalanılması amaçlanmıştır. Verilerin belirlenen sınıflardan herhangi birine ait olma durumunun kesin olmaması bir başka deyişle bulanık olması durumu ortaya atıldığında ise, switching regresyon modelinin oluşturulmasında uyarlamalı ağ olarak adlandırılan sinir ağları kullanılmıştır. Bu yöntemlerde verilerin sahip oldukları sınıf sayısı başka bir deyişle düzey sayısı sezgisel olarak belirlenmekte ve verilerin normal dağılım ailesinden geldiği durum ele alınmaktadır.

Bu çalışmada verilerin birden fazla sınıftan gelmesi ve her bir verinin sınıflara ait olma durumlarının kesin olmaması yani bulanık olması durumunda oluşturulan modellerin bir araya getirilerek farklı sınıflardan gelen verilere ait tek bir modelin elde edilmesi aşamasında uyarlamalı (adaptive) ağlardan faydalanılacaktır. Bağımsız değişkenlere ilişkin verilerin kaç farklı sınıftan geldiğinin önceden bilinmemesi durumunda ise, sınıf sayılarının sezgisel olarak belirlenmesi yerine, optimal sınıf sayısını belirlemede geçerlilik kriterinden faydalanılacaktır. Bağımsız değişkenlerin hem normal hem de üstel dağılımdan gelmesi durumunda Switching regresyon modeli tahmin edilecektir. Tahmin sürecinde üstel dağılıma uygun üyelik fonksiyonunun oluşturulması da çalışmanın amaçlarındandır.

Çalışmanın İkinci Bölümünde regresyon çözümlemesi üzerinde durulacak ve Switching Regresyon Modeli tanıtılacaktır.

Üçüncü Bölümde bulanık mantık ve bulanık teori üzerinde durulacak ve bulanık teorinin temel kavramları verilecektir. Ayrıca veri setlerine uygun üyelik fonksiyonlarının belirlenmesi yöntemleri üzerinde durularak bulanık çıkarsama sistemi tanıtılacaktır.

Dördüncü Bölümde yapay sinir ağları tanıtılacaktır. Switching regresyon modelinin bilinmeyen parametrelerinin tahmininde etkin olarak kullanılabilen uyarlamalı (adaptive) ağlar bu bölümde verilecektir.

Çalışmanın özgün yanını oluşturan Beşinci Bölümde Switching Regresyon modeline ait bilinmeyen parametrelerin tahmini için uyarlamalı ağların kullanımı üzerinde durulacaktır. Bu bölümde bağımsız değişkenlerin düzey sayılarını belirlemek için bulanık kümelemede kullanılan geçerlilik kriterinden faydalanılacaktır. Parametre tahmini için bağımsız değişkenlerin normal ve üstel dağılıma sahip olmaları durumunda, önsel parametrelerin belirlenmesi, güncellenmesi ve sonsal parametrelerin tahmininde yeni bir yaklaşım içeren yöntem önerilecektir. Bağımsız değişkenlerin üstel dağılımdan gelmeleri durumunda üstel dağılıma uygun üyelik fonksiyonu belirlenecek ve switching regresyon modeline ilişkin parametrelerin belirlenmesi ve tahmin değerlerinin elde edilmesi için algoritmik adımlar tanımlanacaktır.

Altıncı Bölümde, farklı yapıda oluşturulan örnekler ele alınarak Beşinci Bölümde önerilen algoritmaların geçerliliğinin irdelenebilmesi ve klasik yöntemlerle karşılaştırılabilmesi için bir uygulama yapılacaktır.

Yedinci bölümde ise simülasyonlardan elde edilmiş olan sonuçlar değerlendirilecek ve ileriki çalışmalar için önerilerde bulunulacaktır.

1.2. Önceki Çalışmalar

Bulanık yaklaşım ilk defa 1956 yılında Amerika Birleşik Devletlerinde düzenlenen bir konferansta duyurulmuş ancak bu konudaki ilk ciddi adım 1965 yılında Lotfi A. Zadeh tarafından yayınlanan “Bulanık Kümeler” adlı makale ile atılmıştır. Zadeh bulanık mantığın matematik ve bilgisayar bilimleri alanlarındaki uyarlanabilirliği üzerinde durmuştur. İnsan düşüncesinin büyük çoğunluğunun bulanık olduğunu, bu yüzden açık, kapalı, sıcak, soğuk, 0 ve 1 gibi değişkenlerden oluşan kesin ifadelerin yanı sıra az açık, az kapalı, serin, ılık gibi ara değerlerinde göz önüne aldığını belirtmiştir.

1970 yılından itibaren birçok ülkede bulanık teori alanında çalışmalar eş zamanlı olarak başlamış ve klasik denetim uygulamalarında karşılaşılan zorluklar nedeniyle, bulanık mantık denetimi alternatif yöntem olarak çok hızlı gelişmiş ve modern denetim alanında geniş uygulama alanı bulmuştur.

Takagi ve Sugeno (1985) Bulanık ifadeler ve ilişkilerin kullanıldığı sistemlerin bulanık modellerinin oluşturulmasında kullanılmak üzere matematiksel gereçler önerdikleri çalışmalarında bulanık sistemlerin modellenmesi ve kontrolü için uygulamalar verilmiştir.

Civanlar ve Trussel (1986) “İstatistiksel veriler kullanılarak üyelik fonksiyonlarının oluşturulması” başlıklı çalışmalarında üyelik fonksiyonunun belirlenmesinin, bulanık küme teorisinin pratik uygulamalarında önemli olduğu belirtilmiş ve elemanları bilinen bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirleyici niteliklere sahip, bulanık kümelere dair üyelik fonksiyonunun belirlenmesi için bir yöntem sunmuşlardır. Çalışmada üyelik fonksiyonunun sağlaması gereken koşullar da verilmiştir.

Dombi (1990) üyelik fonksiyonları üzerine yaptığı çalışmada kullanılan farklı üyelik fonksiyonlarını tanımlamış, üyelik fonksiyonlarının kurulması için gerekli özellikler ve üyelik fonksiyonlarının matematiksel formları ile ilgili bilgi vermiştir.

1943 yılı yaygın olarak yapay sinir sisteminin gelişmeye başladığı yıl olarak düşünülür. McCulloch ve Pitts (1943) hesaplama yapabilen ilk basit sinir modelinin taslağını oluşturmuşlardır. Bu ilk taslak teknik olarak çok yeterli bulunmasa da Sinir ağlarının geleceği için bir temel oluşturmuştur (Zaruda 1992).

Horikawa, Furuhashi ve Uchikawa (1992) çalışmalarında geri yayılım (back propagation) algoritmasının kullanıldığı bulanık sinir ağlarını ele alarak bulanık bir modelleme sunmuşlar.

Cichocki ve Unbehauen (1993) “Optimizasyon ve görüntü işleme için sinir ağları” adlı kitaplarında sinir ağlarının biyolojik yapısını anlatarak ağların yapay modelleri ile ilgili bilgi vermişler doğrusal programlama problemlerinin çözümü için geliştirilen yapay sinir ağlarından söz etmişlerdir.

Lee ve Wang (1994) çalışmalarında girdi değişkenlerinin LR tipi bulanık sayılar olması durumunda, bulanık girdilerin sınıflandırılması için bir sinir ağı mimarisi önermişlerdir.

Flitman (1997), Sinir Ağları ile lojistik regresyon analizini karşılaştırmak üzere yaptığı çalışmada, ele alınan veriler üzerinde sinir ağları ile yapılan tahminlerin regresyon teknikleri ile yapılan tahminlerden daha duyarlı olduğunu göstermişlerdir.

Dunyak ve Wunsch (2000) Doğrusal olmayan bulanık regresyon için sinir ağı modellerini kullanarak bir yöntem tanımladıkları çalışmalarında, sinir ağlarını bir kalite değerlendirme probleminin çözümünde kullanmışlardır.

Richard (1972) Switching regresyonların tahmini için önerdikleri yaklaşımda, verilerin iki farklı rejimden geldikleri durumu ele almış ve rejimler arasındaki seçimi λ ve 1−λ olasılıkları ile gerçekleştirerek klasik regresyondakinden farklı olarak, bir veri kümesine ait birden fazla model kurulabileceği üzerinde çalışmış ve bu çalışmayı gerçek bir ekonomik problem üzerinde uygulayarak geleneksel yöntemlerden elde edilen sonuçlar ile karşılaştırmıştır. Richard ve Ramsey’in 1978 de yaptıkları çalışmada da karma normal dağılımlar için switching regresyon modellerinin tahmini üzerinde durulmuştur.

Lung ve Robert (1984) Switching regresyon modelleri üzerine yaptıkları çalışmalarında örneklem ayrılması ile ilgili bilgileri de kullanarak Richard (1972) tarafından tanımlanan switching regresyon modeli genelleştirmeyi amaçlamışlar.

Farklı rejimlere ait modellerin bilinmeyen parametrelerini belirlemede genelleştirdikleri modelin potansiyelini analiz etmişlerdir.

Michel M. (2001) çalışmasında bulanık kümeleme ve switching regresyon modellerini bir arada ele almış ve belirsizlik kavramı altında bulanık kümeleme üzerinde durmuştur.

Chi-Bin ve Lee (2001) “Bulanık uyarlamalı ağ ile switching regresyon analizi”

adlı çalışmalarında bulanık Sugeno çıkarsama sisteminden ve bulanık uyarlamalı ağlardan faydalanarak regresyon modelinin bilinmeyen parametrelerinin tahmini üzerinde durmuşlar ve çalışmalarını sayısal örnekler ile desteklemişlerdir.

Bezdek, Ehrlich ve Full (1984) çalışmalarında bulanık c-ortalamaya dayalı kümeleme algoritmasını önermişler ve küme geçerliliği üzerinde durmuşlardır.

Sayısal örnekler ile sunulan algoritma desteklenmiştir.

Xie ve Beni (1991) Bulanık kümeleme için bir geçerlilik kriteri sundukları çalışmalarında bulanık kümeleme algoritmasını vermişler ve bulanık kümeleme için önerdikleri bulanık kümeleme geçerlilik fonksiyonunu S fonksiyonu olarak tanımlamışlardır ve bu fonksiyonun hesaplanmasında kullanılan yoğunlaşma ve ayrılma kriterlerinin tanımını vermişlerdir.

Hathaway ve Bezdek (1993) Switching regresyon modelleri ve bulanık kümeleme adı altında yaptıkları çalışmalarında karma dağılımlara sahip verilerin switching regresyon modellerinin oluşturulmasında kullanılabilen bulanık c- regresyon modellerinden söz etmişler. Doğrusal ya doğrusal olmayan modeller için iki sayısal örnek ile yeni bir yaklaşım önermişlerdir.

Bortolan (1998) Bulanık kümelerin; kesin olmayan verilerin sözel terimlerin ya da iyi tanımlanmamış kavramların varlığı durumunda işlem yapabilmek için başarıyla kullanıldığını belirttiği çalışmasında, kapsamlı denemelerin bulanık kümeler ile sinir ağları yaklaşımının bir araya getirilmesiyle yapılmakta olduğunu vurgulamıştır. Geri yayılım algoritmasının ve bulanık sinir ağlarının genel mimarisinin yer aldığı çalışmasında yamuksal bulanık kümelerin işlenebilmesi için ileri beslemeli bulanık sinir ağlarını incelemiştir.

Zahid, Limouri ve Essaid (1999) Bulanık sınıf geçerliliğinin, bulanık kümeleme algoritması ile üretilen bulanık bölünmelerin değerlendirilmesi için kullanıldığını belirttikleri çalışmalarında, küme yoğunluklarına ve küme ayrılmalarına dayalı yeni bir geçerlilik kriteri önermişlerdir. Verdikleri sayısal örnekler ile önceden önerilen diğer kriterler ile önerdikleri yeni kriteri karşılaştırmışlardır.

Ishibuchi ve Tanaka (1992) çalışmalarında sinir ağları kullanarak bulanık regresyon analizi için basit fakat güçlü metotlar önermişlerdir. Sinir ağlarının yüksek kapasitelerinden dolayı, önerilen yöntemlerin, karmaşık sistemler için var

olan temel doğrusal programlama yöntemlerinden daha uygulanabilir olduğunu ileri sürmüşlerdir.

Jang (1993), bulanık çıkarsama sisteminin ve bulanık eğer-ise kurallarının temellerinin verildiği ve uyarlamalı ağ yapılarının ve bu ağların öğrenme algoritmalarının tanımlandığı çalışmasında, uyarlamalı ağların yapısına bulanık çıkarsama sistemini yerleştirerek “bulanık çıkarsama sistemine dayalı uyarlamalı ağ” yapısını elde etmiştir.

Ishibuchi, Tanaka ve Okada (1993) çalışmalarında aralık ağırlıklarına sahip bir sinir ağı mimarisi önermişler. Önerilen bu ağlardan üretilen bulanık çıktılar ile hedeflenen çıktılar arasındaki farkı en küçüklemek için geri yayılım (back propagation) algoritmasını kullanmışlardır. Kurulacak bulanık regresyon modelleri için kullanılacak sinir ağlarına ilişkin öğrenme algoritması da aynı çalışmada yer almaktadır.

Jang ve Sun (1995) “Neuro-Fuzzy modelleme ve kontrol” başlıklı çalışmalarında, bulanık modelleme ve kontrol için temel ve ileri çalışmalar gözden geçirilmiş, bulanık kümeler, bulanık kurallar, bulanık muhakeme ve bulanık modeller tanımlanmıştır. Uyarlamalı ağ yapısının, sinir ağlarını ve bulanık modelleri bir araya getiren bir yapı olduğunun da belirtildiği çalışmada bulanık çıkarsama sistemine dayalı uyarlamalı ağlar için modelleme yöntemleri önerilmiştir.

Chi-Bin ve Lee (1998) bulanık regresyon analizi için bulanık uyarlamalı ağlardan faydalanmışlar ve yaptıkları çalışmada bulanık uyarlamalı ağın eğitiminde, tahmin edilen çıktılar ile beklenen çıktılar arasındaki fark olarak tanımlanan hata ölçüsünden faydalanmışlardır. Çıktıların bulanık olması durumunda hata ölçüsünün hesaplanma yöntemi de aynı çalışmada verilmiştir.

Chen ve Wang (1999) Bulanık üyelik fonksiyonlarının en iyilenmesi için bulanık kümeleme analizi isimli çalışmalarında bulanık modelleme tanımını vermişlerdir.

Bulanık modelleme için en önemli kriterlerden birinin bulanık sistemlerde kullanılan üyelik fonksiyonlarının parametrelerinin belirlenmesi olduğunu belirtmişlerdir. Bu parametrelerin belirlenmesinde bulanık kümelemeden faydalandıkları çalışmada bir değişkene ait optimal küme sayısının belirlenmesi için önceden önerilmiş Xie-Beni (1991) indeksini kullanmışlardır.

2. REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ 2.1. Giriş

Aynı gözlem sırasında raslantı değişkenlerinin aldıkları değerlerin birbirinden istatistiksel olarak bağımsız olmadığı, değişkenler arasında ilişki bulunduğu görülür. İki ya da daha çok değişkenin yer aldığı istatistiksel modellerde değişkenlerden bir ya da birkaçının diğer bir ya da birkaç değişkeni ne ölçüde etkilediği incelenir.

Eğer değişkenler arasında ilişki varsa ilişkinin derecesi ve fonksiyonel şekli belirlenmeye çalışılır. İki ya da daha çok değişken arasındaki ilişkinin yapısı

“Regresyon Çözümlemesi” ile incelenir. Regresyon çözümlemesinde “Açıklanan ya da Bağımlı Değişken” ve “Açıklayıcı ya da Bağımsız Değişken” olmak üzere iki değişken ile ilgilenilir. İlgilenilen olayı tanımlayan raslantı değişkeni bağımlı değişken, bu olayla ilgili ya da olayı etkileyen değişken ise bağımsız değişken olarak tanımlanır. Bağımsız değişken X ile, bağımlı değişken Y ile gösterildiğinde iki değişken arasında

( )

y= f x (2.1)

biçiminde bir bağlantı olduğu düşünülebilir.

X, ( , ,..., )x x_{1 2} x değerlerini ve Y , _n ( , ,..., )y y_{1 2} y_n değerlerini alan iki raslantı değişkeni olsun. Bu iki değişken arasındaki ilişki doğrusal regresyon çözümlemesi ile incelenebilir ve X ile Y arasındaki gerçek bağıntı

0 1

Y =β +β X + ε (2.2)

biçimindeki doğru denklemi ile gösterilir. X ile Y arasındaki doğrusal regresyon ilişkisini tahmin etmek, bu ilişkinin parametreleri olan β₀ ve β₁’in tahmin edilmesi demektir. Burada X, bağımsız değişken, Y bağımlı değişken, β₀ ve β₁ bilinmeyen regresyon katsayıları, ε ise hata terimidir (Apaydın vd 1994).

Yapılan çalışmaların çoğunda, bağımlı değişkeni etkileyen birden çok bağımsız değişken söz konusudur ve bu tür çalışmalarda amaç, bağımlı değişkene etki eden birden çok bağımsız değişkenin etkisini incelemek ya da sadece aralarındaki karmaşık yapıyı tanımlamak olduğu gibi, bağımsız değişkenlerden hangisi ya da hangilerinin bağımlı değişkeni daha çok etkilediğini belirlemek ya da bağımsız değişkenler yardımıyla bağımlı değişkeni kestirmektir. Bu durumda çoklu regresyon çözümlemesi gündeme gelmektedir (Alpar 1997).

Y bağımlı değişkenine karşılık birden çok sayıda X bağımsız değişkeni olduğunda, bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişki “Çoklu Doğrusal Regresyon Çözümlemesi” ile incelenir. Bir Y bağımlı değişkeninin

1, 2,..., _m

X X X gibi m bağımsız değişkenden etkilendiği ya da aralarında doğrusal bir ilişkinin varlığı kabul edilirse çoklu doğrusal regresyon denklemi,

0 1 1 2 2 ... _{m m}

Y =β +β X +β X + +β X + ε (2.3)

ya da

0 1 m

j j j

Y β β X ε

=

= +

∑

+ ^(2.4)

biçiminde verilir. Bu model m boyutlu uzayda bir hiper düzlemde tanımlanır.

,( 1,..., )

j j m

β = parametreleri X i_i( ≠ j) bağımsız değişkenleri sabit tutulduğunda X ’deki bir birimlik değişimin Y bağımlı değişkeni üzerindeki _j beklenen değişiklik miktarını verir. Burada X ’lerin sabit tutulması _i Y değişkeninin X değişkenlerinin etkisinden arındırılmış olduğu anlamındadır. _i

2.2. Switching Regresyon Modeli

Klasik regresyon analizinde verilerin tek bir sınıftan geldiği kabul edilir ve böylece bağımsız veriler X∈R^p ile bağımlı veri Y∈R¹ arasında basit fonksiyonel bir ilişkinin olduğu düşünülebilir ve genel model

( )

Y = f X + şeklinde ifade edilir. ε

Veri kümesi, klasik regresyondakinin aksine, birbirinden farklı dağılımlara sahip iki veya daha fazla sınıftan alınan gözlemlerin bir araya getirilmesiyle meydana gelmiş olabilir. Bu durumda, c sınıf sayısını göstermek üzere, her farklı sınıf bir f fonksiyonuyla ve rasgele hata i e ile ifade edildiğinde “switching regresyon _i modeli” olarak tanımlanan model;

i i( ) i

Y = f X + ε 1≤ ≤i c (2.5)

ile verilir (Richard 1972, Lung-Fei 1984, Michel 2001).

Switching regresyon, farklı ve karıştırılmış sınıflardan bir araya getirilmiş verileri analiz eder. Verilerin hangi sınıfa ait olduklarına ilişkin kesin bilginin var olmasına gerek yoktur.

Regresyon teorisindeki switching regresyon modelinin standart problemi;

“modeller arasında ayrım yoktur” ya da “bağımlı ve bağımsız değişkenler

arasındaki ilişki tek modelle ifade edilebilir” şeklinde kurulan yokluk hipotezine karşı, “veriler iki ya da daha fazla ayrı regresyon modeliyle ifade edilebilecek yapıda ise, genel tahmin, verileri ifade edebilecek iki ya da daha fazla modelin birleştirilmesi ile elde edilebilir” biçimindeki alternatif hipotezi test etmektir.

Verilen n tane gözlem ve p tane bağımsız değişken için yokluk hipotezine ilişkin model;

Y =Xβ ε+ (2.6)

biçiminde ifade edilir. Burada,

Y : n x 1 boyutunda bağımlı değişken için gözlem vektörü, X : n x p boyutunda bağımsız değişken için gözlem matrisi, ε : N ~ (0,σ²I) ile dağılan hata terimleri vektörü,

β : p x 1 boyutunda tahmin edilmiş katsayılar vektörüdür.

Eşitlik (2.6) ile ifade edilen yokluk hipotezine ilişkin modele karşı alternatif hipoteze ilişkin model; Y vektörünün ve X matrisinin kolonlarının bazı permütasyonlarının varlığının ileri sürülmesi ile ifade edilir. Böylece bağımlı değişken Y ve bağımsız değişkenler X,

1 2

l

Y Y Y

Y

⎡ ⎤⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ M ,

1 2,

l

X X X

X

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M

biçiminde parçalanabilir. Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki, yokluk hipotezi altında ifade edilen ve eşitlik (2.6) ile verilen model,

1 1 1 1

Y = X β ε+

2 2 2 2

Y =X β + ε (2.7)

M

l l l l

Y = X β ε+

biçiminde, l tane farklı model olarak tanımlanır.

Burada, ε₁, ε₂ ve ε_l sırasıyla N ~ (0,σ₁²I), N ~ (0,σ₂²I) ve N ~ (0,σ_l²I) ile normal dağılırlar ve

(

^{β σ1, 12}

) (

^{≠ β σ2, 22}

)

^≠L≠

(

^{β σl, l2}

)

dir (Richard 1972, Hathaway ve Bezdek 1993) .

3. BULANIK TEORİ 3.1. Giriş

Bulanık Mantık yaklaşımı ilk defa Amerika Birleşik Devletlerinde düzenlenen bir konferansta 1956 yılında duyurulmuştur. Ancak bu konudaki ilk ciddi adım 1965 yılında Lotfi A. Zadeh tarafından yayınlanan bir makalede bulanık mantık veya bulanık küme kuramı adı altında ortaya konmuştur. Bu çalışmada insan düşüncesinin büyük çoğunluğunun kesin olmadığı, bulanık olduğu belirtilmiştir.

Ayrıca Zadeh insanların denetim alanında mevcut makinelerden daha iyi olduğunu ve kesin olmayan dilsel bilgilere bağlı olarak etkili kararlar alabildiklerini savunmuştur (Klir ve Yuan 1995, Elmas 2003).

Klasik denetim uygulamalarında karşılaşılan zorluklar nedeniyle, bulanık mantık denetimi alternatif yöntem olarak çok hızlı gelişmiş ve modern denetim alanında geniş uygulama alanı bulmuştur. Bulanık mantığın genel özellikleri Zadeh tarafından şu şekilde ifade edilmiştir;

1- Bulanık mantıkta, kesin değerlere dayanan düşünme yerine yaklaşık düşünme kullanılır.

2- Bulanık mantıkta her şey [0,1] aralığında belirli bir derece ile gösterilir.

3- Bulanık mantıkta bilgi, büyük, küçük, çok, az gibi dilsel ifadeler şeklindedir.

4- Bulanık çıkarsama işlemi dilsel ifadeler arasında tanımlanan kurallar ile yapılır.

5- Her mantıksal sistem bulanık olarak ifade edilebilir.

6- Bulanık mantık matematiksel modeli çok zor elde edilen sistemler için çok uygundur.

7- Bulanık mantık, tam olarak bilinmeyen veya eksik girilen bilgilere göre işlem yapma yeteneğine sahiptir (Elmas 2003).

Bulanık mantığın ilk uygulaması, Mamdani tarafından 1974 yılında bir buhar makinesinin bulanık denetiminin gerçekleştirilmesi olmuştur. Bu tarihten sonra bulanık mantık yaklaşımı su arıtmadan metro denetimine, elektronik pazarından, otomotiv ürünlerine, ısı, sıvı, gaz akımı denetiminden, kimyasal ve fiziksel süreç denetimlerine kadar bir çok alanda kullanılmıştır.

Bulanık mantıkla yapılan modellemelerin en çok kullanıldığı problemler doğrusal programlama problemleridir. Doğrusal programlama problemlerinde amaç fonksiyonu katsayılarının getirdiği kar ya da zarar miktarı her zaman kesin olarak bilinmemektedir. Yeni pazarlaması planlanan bir ürünün karı tahmini bir rakam ile ifade edilebilmektedir. Benzer biçimde sağ yan değerleri ve teknolojik matris katsayıları da kesin olmayabilir. Bu durumda “yaklaşık” rakamlarla kurulan bir doğrusal programlama probleminde modelleme aşamasında bulanıklık devreye girmektedir. Bu durumunda,

( )

0 Min Max Z CX

Ax b X

=

=

≥

biçiminde tanımlanan doğrusal programlama modeli, tüm katsayılar ve sağ yan değerleri bulanık olarak düşünüldüğünde,

( )

0 Min Max Z CX

Ax b X

=

=

≥

%

% %

biçimine dönüşmektedir (Lai ve Hwanh 1992).

Bulanık küme teorisine ilişkin temel tanımlar, bulanık sıralama ve bulanık sayılar arasındaki fark, bulanık kümelere ilişkin optimal üyelik fonksiyonunun belirlenmesi, bulanık kümeleme ve bulanık çıkarsama sistemi konularına alt kesimlerde yer verilecektir.

3.2. Bulanık Küme Teorisinde Temel Tanımlar

X gözlemlerin klasik bir kümesi olmak üzere, x bu kümeye ait bir eleman ise bir A kümesinin karakteristik fonksiyonu,

( ) 1 ,

A 0 , x x A

μ _{= ⎨}^⎧ x A^∈

⎩ ∉

biçimindedir. Burada karakteristik fonksiyonun değer kümesi {0,1} olmaktadır.

Tanım 3.1.Bulanık Küme: Eğer karakteristik fonksiyonun değer kümesi [0,1]

aralığında sürekli ise ve bu aralıkta her gerçel sayıyı alabilecek şekilde tanımlanabilirse A kümesine bulanık küme denir (Lai ve Hwanh 1992).

Tanım 3.2. Destek kümesi: A bulanık kümesinin destek kümesi,

{ }

{ }

( ) 0

üyelik dereceleri 0 an büyük olan ler des A x A x ve x X

d x

μ

= > ∈

=

olarak ifade edilmektedir.

Tanım 3.3. α- Kesme Kümesi: A bulanık kümesinin α-kesme kümesi,

{ }

{ }

( )

üyelik dereceleri en az kadar olan ler

A x A x ve x X

x

α μ α

α

= ≥ ∈

=

ile belirlenmektedir.

Tanım 3.4. Normallik: A bulanık kümesi,

sup_{x A}( ) 1 Bulanık Akümesi normaldir⇔ μ x =

koşulunu sağlıyorsa A bulanık kümesi normaldir. Aksi takdirde A bulanık kümesi alt normaldir. Alt normal bir kümeyi normalize etmek için A bulanık kümesinin bütün elemanları A’nın en büyük üyelik derecesine bölünmelidir.

Tanım 3.5. Yükseklik: A bulanık kümesinin yüksekliği,

{ }

( )

bulanık kümesi'nin en büyük üyelik derecesi A Enb A x

A μ

=

=

biçiminde gösterilir.

Tanım 3.6. Dışbükeylik: X evrensel küme ve A bir bulanık küme olsun.

[ ]

^0,1

λ∈ olmak üzere, her x x₁, ₂∈ için, X

( )

1 2 1 2

( (1 ) ) min ( ), ( )

A x x A x A x

μ λ + −λ ≥ μ μ

koşulunu sağlıyorsa A bulanık kümesi dışbükey bir kümedir.

Tanım 3.7. Bulanık Sayı: A bulanık küme ve x A∈ olmak üzere, i. A kümesi normal ise,

ii. ^Aα∈

(

^0,1

]

ise,

iii. A’nın destek kümesi sınırlı ise

x bulanık sayıdır.

Tanım 3.8. Üçgensel Bulanık Sayı: A bulanık küme, x A∈ ve ( )μ x , x bulanık sayısının üyelik fonksiyonu olmak üzere, ( )μ x ,

( )

( ),

( ) 1 ,

( )

( ),

x a a x b

b a

x x b

c x b x c

c b μ

⎧ − ≤ <

⎪ −⎪⎪

=⎨ =

⎪⎪ − < ≤

⎪⎩ −

biçiminde tanımlandığında x bir üçgensel bulanık sayıdır.

Şekil 3.1’de x üçgensel bulanık sayısı x=(a,b,c) biçiminde gösterilmiştir. Burada b merkez, (b-a) sol yayılım ve (c-b) sağ yayılımlardır (Klir ve Yuan 1995).

(b-a) = (c-b) olduğunda üçgensel bulanık sayı, simetrik üçgensel bulanık sayı olarak adlandırılmaktadır.

μ

1

0 x

a b c Şekil 3.1. Üçgensel bulanık sayı

Tanım 3.9. Yamuksal Bulanık Sayı: A bulanık küme, x A∈ ve ( )μ x , x bulanık sayısının üyelik fonksiyonu olmak üzere, ( )μ x ,

( )

( ),

( ) 1 ,

( )

( ),

x a a x b

b a

x b x c

d x c x d

d c μ

⎧ − ≤ <

⎪ −⎪⎪

=⎨ ≤ ≤

⎪ −

⎪ < ≤

⎪⎩ −

biçiminde tanımlandığında x, yamuksal bulanık sayıdır ve Şekil 3.2’de yamuksal bulanık sayı x=(a,b,c,d) biçiminde gösterilmiştir. (b-a) sol yayılma ve (d-c) sağ yayılmalardır (Klir ve Yuan 1995).

b=c olduğunda yamuksal bulanık sayı üçgensel bulanık sayıya dönüşmektedir

μ

1

0 a b c d x Şekil 3.2. Yamuksal bulanık sayı

Tanım 3.10. L-R Bulanık Sayı: A bulanık küme, x A∈ ve ( )μ x , x bulanık sayısının üyelik fonksiyonu olmak üzere, ( )μ x ,

( )

( )

( )

( )

,

( ) ,

0 , . .

m L L m

m R m R

L x x e x x x

x R x x e x x x

d d μ

⎧ − ≤ <

⎪⎪

=⎨ − < ≤

⎪⎪⎩

biçiminde tanımlandığında x, L-R bulanık sayıdır ve Şekil 3.3’de L-R bulanık sayı ^x=

(

^{x x xm, ,L R}

)

_LR biçiminde gösterilmiştir. L-R bulanık sayılarda x^m merkez, e^L sol yayılma ve e^R sağ yayılma olarak adlandırılmaktadır. Üyelik fonksiyonun en büyük değeri aldığı nokta ise bulanık sayının yüksekliği olarak adlandırılır (Chen 1999).

μ

1

L R

0 x^L x^m x^R x

e^L e^R Şekil 3.3. L-R bulanık sayı

3.3. Bulanık Sıralama ve Bulanık Sayılar Arasındaki Fark

Bulanık sayılar doğrusal bir sıra içinde olmadıklarından karşılaştırılmaları ya da farklarının belirlenmesi, kesin sayılarda olduğu gibi tek işlemle gerçekleştirilemez. Literatürde farklı yaklaşımlar için farklı bulanık sıralama yöntemleri (Fuzzy Rank Method (FRM)) önerilmiştir. En çok tercih edileni α- kesme seviyelerinin kullanıldığı yöntemdir ve iki farklı biçimde düşünülmüştür.

Bunlardan birincisi tek bir α-kesmesinin kullanıldığı durum, ikincisi ise tüm α seviyelerinin kullanıldığı durumdur. Burada tüm α seviyelerini dikkate alan ve

“overall existence” olarak adlandırılan kavram göz önüne alınacaktır. Çünkü bulanık sayı hakkındaki mevcut bilgilerin hepsini kullanabilmek için tüm α seviyelerinin dikkate alınması gerekir. Bu yöntemde kullanılan indeks “overal existence indeksi (I)” olarak adlandırılır ve A ve B iki bulanık küme olarak düşünüldüğünde tanımı;

1 1

1 1

0 0

({ _A ( )}) ({ _B ( )})

I =

∫

g μ⁻ w dw−

∫

g μ⁻ w dw ^(3.1)

biçiminde verilir. Burada,

A, B

μ μ : A ve B bulanık kümelerinin üyelik fonksiyonları ve (.)

g : üyelik fonksiyonlarının tersinin bir fonksiyonudur (Chang and Lee 1994).

Eğer A bulanık kümesi, B bulanık kümesinden büyükse I > ε olmalıdır. Burada ε; eşik değeridir ve ε ≥ dır. 0

Üyelik fonksiyonları μ_A( )x ve μ_B( )x olan A ve B bulanık kümelerinin üyelik fonksiyonlarının ters görüntüleri {μ_A⁻¹( )}w ve {μ_B⁻¹( )}w ile gösterilir ve

{μ_A⁻1( )} { :w = x μ_A( )x =w} ,

{μ_B⁻1( )} { :w = y μ_B( )y =w} , x y, ∈ ℜ

biçiminde tanımlanır. Bu durumda A ile B bulanık kümeleri arasındaki fark,

* *

1 1

0 0

( , ) ({ ( )}) ({ ( )})

hgt hgt

w w

A A B B

d A B =

∫

g μ⁻ w dw−

∫

g μ⁻ w dw (3.2) ile verilir. Burada,

* min [ ( ), ( )]

whgt = w hgt A hgt B

hgt(A) : A bulanık sayısının alabileceği en yüksek üyelik derecesi, hgt(B) : B bulanık sayısının alabileceği en yüksek üyelik derecesi dir.

Her bulanık küme için özel ölçü,

*

1 0

( ) ({ ( )})

whgt

i i A

OM A =

∫

g μ⁻ w dw ^(3.3)

biçiminde elde edilebilir. Burada,

1 ' ''

1 2

({μ_A⁻ ( )})w =W w( )[ ( ) ( )χ w x w_i +χ ( ) ( )]w x w_i

ile tanımlanır. A bulanık LR sayısının sol yanı AL ile sağ yanı A ile R

gösterildiğinde; x w sol (L) ve ^'( ) x w sağ (R)^''( ) referansların ters görüntüsü olur ve

'( ) 1( ) ''( ) 1( )

L R

A A

x w =μ⁻ w ve x w =μ⁻ w

biçiminde ifade edilir. Bu gösterimlerle (3.3) eşitliği ile verilen tanım

1

1 1

1 2

0

( ) ( )[ ( ) _AL( ) ( ) _AR( )]

OM A =

∫

W w χ w μ⁻ w +χ w μ⁻ w dw (3.4) biçiminde yeniden düzenlenebilir. Burada, W w( ) , χ₁( ) ,w ve χ₂( )w , ağırlık ölçüleridir ve karar verici tarafından özel olarak belirlenir, ancak ,

1( )w 2( ) 1w

χ + χ = ve χ₁( ) ,w χ₂( ) (0,1]w ∈

olmalıdır. ( )W w ağırlığı ise,

* 2

( ) 1

( )

2 ^hgt W w w

w

=

biçimindedir (Chang ve Lee 1994).

Basit olarak χ₁( )w = χ₂( ) 1/ 2w = ve W w( ) 1= olarak belirlendiğinde, üyelik fonksiyonu,

0 , ( )

( ) , ( )

( )

( ) ( ) ,

( )

0 ,

L

L L

L T

R R

R

R

x t S

x t S t S x t t t S

x t S x t x t S t S t

x t S

μ

⎧⎪

⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎩

< −

− − − ≤ <

= − −

+ − ≤ < +

+ +

> +

(3.5)

biçiminde tanımlansın. Şekil 3.4. ile verilen T =( , , )t s s_{L R LR} üçgensel bulanık sayısına ilişkin OM(T) ölçütünü belirlemek için, (3.5) eşitliği ile verilen üyelik fonksiyonundan üyelik derecelerinin ters görüntüleri,

( )

( )

L

L L

L R

R R

R

x t S

w x wS t S

S

t S x

w x t S wS

S

− − = ⇒ = + −

+ − = ⇒ = + −

(3.6)

biçiminde elde edilir ve (3.6) eşitliği ile belirlenen değerler (3.4) eşitliğinde yerine konulduğunda,

( ) ( )

1 1 1

( ) 1

2 ^{L L} 2 ^{R R}

OM T =

∫

⎡⎢⎣ wS + −t S + t S+ −wS ⎤⎥⎦dw

elde edilir.

Bu integralin çözümü ile T bulanık sayısı için OM ölçütü,

(4 )

( ) 4

L R

t S S

OM T − +

= (3.7)

biçiminde elde edilebilir.

μ 1

S _L S_R

0 t S− _L t t S+ _R

Şekil 3.4. T =( , ,t S S_{L R LR}) üçgensel bulanık sayısı

Ele alınan T =( , ,t S S_{L R LR}) bulanık sayısı simetrik üçgensel bir sayı ise, S_L =S_R olur. Bu durumda T bulanık sayısı için OM ölçütü;

(

⁴

)

4

( ) 4 4

L L

t S S t

OM T − + t

= = = (3.8)

biçimine dönüşecektir.

3.4. Optimal Üyelik Fonksiyonunun Belirlenmesi

Üyelik fonksiyonlarının belirlenmesi, bulanık küme teorisinin uygulamalarında önemlidir. Üyelik fonksiyonunun oluşturulması için bir çok yöntem vardır. Bu yöntem ya da yaklaşımların tümünü kullanarak bir yapı kurmak oldukça zordur.

Ancak üyelik fonksiyonlarının ortak bazı özellikleri vardır ve bütün üyelik fonksiyonları bu özellikleri sağlamalıdır. Bu özellikler;

1- Üyelik fonksiyonları sürekli fonksiyonlardır,

2- Üyelik fonksiyonları bir [a,b] aralığını ( )μ x fonksiyonu yardımı ile [0,1]

aralığına dönüştürürler,

3- Üyelik fonksiyonları monoton artan, monoton azalan, ya da monoton artan ve monoton azalan bölümleri olan bir fonksiyon olabilir,

4- Bir aralıktaki üyelik fonksiyonları dışbükey fonksiyon, içbükey fonksiyon ya da “c” noktası [a,b] aralığında bir nokta olmak üzere [a,c] aralığında dışbükey ve [c,b] aralığında içbükey olabilmektedir. Bu tür fonksiyonlara S şeklinde fonksiyonlar denir.

5- Üyelik fonksiyonunun doğrusal biçimde ya da doğrusallaşabilen bir yapıda olması büyük önem taşımaktadır (Dombi 1990).

Problemlerin yapılarına göre üyelik fonksiyonları farklılık gösterebilmektedir.

Yapılan çalışmalardan aşağıdaki gibi bir sınıflamaya gidilebilmektedir;

I - Sezgisel tanımlamalara dayanan üyelik fonksiyonları,

II - Özel problemler için güvenilirliğe dayalı üyelik fonksiyonları, III - Teorik temele dayanan üyelik fonksiyonları,

I ) Sezgisel tanımlamalara dayanan üyelik fonksiyonları;

1. Zadeh tarafından önerilen ve daha sonra diğer araştırmacılar tarafından da kullanılan üyelik fonksiyonu,

2

1 25

1 25

( ) 25

1 5

genç

eğer x eğer x

x x

μ

⎧ ≤

⎪⎪ >

= ⎨⎪ + ⎜⎪⎩ ⎛⎝ − ⎞⎟⎠

2

0 50

1 50

( ) 50

1 5

yaşlı

eğer x eğer x

x x

μ ₋

⎧ <

⎪⎪ ≥

= ⎨⎪ + ⎜⎪⎩ ⎛⎝ − ⎞⎟⎠

biçimindedir.

2. Krusinska ve Liebhart tarafından önerilen fonksiyon,

[ ]

1 1

( ) , .

2

x arctg x a x

μ b

π

= + − ∈ −∞ +∞

dir.

3. Dimitru ve Luban tarafından önerilen üyelik fonksiyonları,

[ ]

2 2

( )x 1 x 1 , x 0, ,a

μ = a + ∈

ve

[ ]

2 2

1 2

( )x x 1 , x 0,a

a a

μ = − − + ∈

dir.

4. Svarawski tarafından önerilen fonksiyon,

1 1

[ ]

( ) sin , ,

2 2 2

x x a b x a b

b a

μ = + ^⎛⎜⎝ π− ⎝^⎛⎜ − ^{+ ⎞}⎟⎠^⎞⎟⎠ ∈

dir.

II ) Özel problemler için güvenilirliğe dayalı üyelik fonksiyonları:

1. En kullanışlılarından biri doğrusal bir fonksiyon olup Zimmermann tarafından önerilmiştir ve

[ ]

( ) 1 x , 0,

x x a

μ = − a ∈ .

biçimindedir.

2. Diğer doğrusal modeller Heshmaty, Kandel ve Tanaka tarafından kullanılmıştır. Simetrik bir fonksiyondur ve

( ) 1

0 . .

x eğer a x a

x a

d d

α α α

μ

⎧ −

− − ≤ ≤ +

= ⎨⎪

⎪⎩

biçimindedir.

3. Üyelik fonksiyonu doğrusal olmadığında doğrusallaştırılabilir. Bunun en iyi örneği Hannan ve Sakova’nın fonksiyonudur ve

[ ]

( ) 1 exp b x ,

x x a b

μ =α^⎛⎜⎝ − ^⎛⎜⎝b a⁻− ^⎞⎟⎠^⎞⎟⎠ ∈ .

biçimindedir.

4. Bartolon ve Degani ve Chen’in parçalı doğrusal fonksiyonu,

1

2

0

( ) 1

0 .

eğer x a w x a eğer a x b

b a

x eğer b x c

w d x eğer c x d d c

eğer d x μ

⎧ ≤

⎪ −

⎪ < ≤

⎪ −

=⎪⎨ < ≤

⎪ −

⎪ < ≤

⎪ −

⎪ >

⎩

dir.

5. Dimitru ve Luban’ın fonksiyonu,

( ) 1 1

x x

μ

α

=

+ .

dir.

III ) Teorik temele dayanan üyelik fonksiyonları:

Herhangi bir dağılımdan gelen bir veri setine uygun üyelik fonksiyonunun oluşturulması için kullanılabilir yöntem Civanlar ve Trussel (1986) tarafından önerilen, olasılık yoğunluk fonksiyonu ( )p x ’e dayalı üyelik fonksiyonu belirleme yöntemidir. Optimal üyelik fonksiyonunun bulunabilmesi için;

1- E

{

μ( ) bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre dağılsınx x

}

≥ c 2- 0≤μ( ) 1x ≤

3-

∫

μ²( ) ( ) en küçüklenmelidir.x d x

biçiminde verilen koşulların sağlaması gerekmektedir

Üçüncü koşul iyi bir üyelik fonksiyonu seçilebilmesi için gerek koşuldur.

Bu koşullar altında optimal üyelik fonksiyonu;

( ) ( ) 1

( ) 1 ( ) 1

p x eğer p x

x eğer p x

λ λ

μ λ

⎧ <

= ⎨⎩ ≥ (3.9)

biçiminde verilir. Burada,

( ) : olasılık yoğunluk fonksiyonu p x

: sabit

λ

tir (Civanlar ve Trussell 1986).

Verilen üyelik fonksiyonunda ( )p x , ilgilenilen dağılıma ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğundan formu belirlidir. Ancak λ sabiti,

{ }

1 2

: ( ) ( ) ( )

2

( ) { } ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) 1

P Min f x d x

G c E c x p x d x

x x

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

+∞

−∞

+∞

−∞

=

= − = − ≤

∈Ω = ≤ ≤

∫

∫

(3.10)

ile tanımlanan problemin çözümü ile elde edilebilir. P ile verilen problem, optimal üyelik fonksiyonu için tanımlanan koşullardan oluşturulmaktadır.

λ sabitinin elde edilmesi için, eşitlik (3.10)’da P ile ifade edilen problem, Lagrange yöntemi ile çözümlenebilir.

Buradan Lagrange Fonksiyonu,

1 2

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

L μ λ 2^+∞μ x d x λ c ^+∞μ x p x d x

−∞ −∞

⎧ ⎫

= + ⎨ − ⎬

⎩ ⎭

∫ ∫

(3.11)

biçimindedir. Burada,

λ≥ ve lagrange çarpanı ve 0 1

c< olacak biçimde bir sabittir.

Eşitlik (3.9)’da verilen üyelik fonksiyonun değerleri eşitlik (3.11)’de yerine konulduğunda,

( )( )

²

* 1 2 2

( , ) { ( ) ( ) 1 ( )} ( )

L μ λ 2^+∞ I λp x λp x λ p x d x λc

−∞

=

∫

− − + (3.12)

elde edilir. Burada,

0 1

( ) 1 . .

eğer x I x eğer d d

⎧ ≤

= ⎨⎩

dir.

Eşitlik (3.12)’de tanımlanan Lagrange Fonksiyonunda ^I

(

^{λp x( )}

)

’in alabileceği değerler yerine konarak λ sabitinin değerini verebilecek fonksiyona ulaşılmaya çalışılır. Bunun için,

(

^{λp x( )}

)

^{≤ ve 1}

(

^{λp x( )}

)

> olacak şekilde çözüm yapılır: ¹

i )

(

^{λp x( )}

)

^{≤1 ⇒ I}

(

^{λp x( )}

)

= olur. ⁰ Bu durumda,

( )

^{2 2 2}

1 {0* ( ) 1 ( )} ( )

L 2^+∞ λp x λ p x d x λc

−∞

=

∫

− − +

2 2

1 ( ) ( )

L 2^+∞λ p x d x λc

−∞

= −

∫

+

elde edilir.

Bu fonksiyonun λ sabitine göre türevi alındığında,

2( ) ( ) L λ p x d x c λ

+∞

−∞

∂ = − +

∂

∫

(3.13)

eşitliğine ulaşılır.

ii )

(

^{λp x( )}

)

^{>1 ⇒ I}

(

^{λp x( )}

)

^{= olur. 1}

Bu durumda,

( )

^{2 2 2}

1 {1* ( ) 1 ( )} ( )

L= 2^+∞

∫

λp x − −λ p x d x +λc

(

^{( ) 1 ( )}

)

L ^+∞ λp x d x λc

−∞

= −

∫

+ +

elde edilir.

Bu fonksiyonun λ sabitine göre türevi alındığında;

( ) ( )

L p x d x c

λ

+∞

−∞

∂ = − +

∂

∫

^(3.14)

eşitliğine ulaşılır.

İkinci aşamada elde edilen (3.14) eşitliği λ dan bağımsız olduğu için, birinci aşamada elde edilen (3.13) eşitliğini kullanarak λ parametresine ulaşılabilir,

2( ) ( ) 0 L λ p x d x c λ

+∞

−∞

∂ = − + =

∂

∫

(3.15)

biçiminde sıfıra eşitlenmesi ve elde edilen (3.15) eşitliğinin çözülmesi ile

2( ) ( ) c p x d x λ _+∞

−∞

=

∫

(3.16)

olarak bulunur.

3.5. Bulanık Kümeleme ve Optimal Sınıf Sayısı 3.5.1. Bulanık kümeleme

Kümeleme analizinin hedefi, uygun benzerlik ölçüsüne göre homojen sınıfların sayısına bağlı olarak, örneklemlerin kümesini alt kümelere ayırmaktır.

Sınıflardan birine ait olan örnekler benzerdir. Ayrı sınıfların örnekleri mümkün olduğu kadar farklıdır. Klasik kümeleme analizinde farklı sınıfların sınırları kesindir, yani bir örnek sadece bir sınıfa aittir. Ancak pratikte bazı durumlarda verilerin ait olabileceği sınıfın sınırları kesin olarak tanımlanamayabilir. Bu durumda, bir gözlem bir ya da daha fazla sınıfa farklı üyelik dereceleri ile ait olabilirler. Kesin kümeleme ve bulanık kümeleme için hesaplama etkinliğinden dolayı en yaygın kullanılan algoritmalar sırasıyla, “kesin c-ortalamaya dayalı kümeleme” ve “bulanık c-ortalamaya dayalı kümeleme” algoritmalarıdır. Bu algoritmaların kullanımında c sınıf sayısının açıkça belirtilmiş olması gerekmektedir. Veri setinin optimal küme ya da sınıf sayısının belirlenmesinde kullanılan küme geçerliliği ya da geçerlilik kriteri olarak adlandırılan çeşitli fonksiyonlar literatürde yer almaktadır. Verilerin ait oldukları sınıfların sınırları kesin olarak tanımlanamadığında, veri seti kümelere ayrılmak istendiğinde bulanık kümeleme için tanımlanmış algoritmalardan faydalanılabilir. Alt kesimlerde bulanık kümeleme algoritması ve bu algoritmadan faydalanılarak optimal küme sayısının belirlenmesine değinilecektir.

3.5.2. Bulanık kümeleme algoritması

Bulanık kümeleme algoritması (Fuzzy c-means FCM) X ={ , ,..., }x x_{1 2} x_n , veri setini c bulanık gruba ayırır. Bu ayırma işlemi,

2( , )

c n

m

m ij i j

J =

∑∑

μ d v x (3.17)

biçiminde verilen, bulanık kümeleme için tanımlanan amaç fonksiyonunun en küçüklenmesi ile gerçekleşir. Bu amaç fonksiyonu en küçüklenirken göz önünde bulundurulacak kısıtlar ise;

1

1

1, [0,1]

0 .

c ij i

ij n

ij j

n μ

μ μ

=

=

⎧ =

⎪⎪⎪ ∈

⎨⎪

⎪ < <

⎪⎩

∑

∑

dir. Burada,

μij : i. sınıftaki j. veri noktasının üyeliğini, vi : i. sınıfın merkezini,

d v x( , )_{i j} : v_i ile x arasındaki uzaklığı, _j c : sınıf sayısını,

n : gözlem sayısını

gösterir.

Eşitlik (3.17)’de m parametresi bulanık üs’tür ve m∈ ∞ dir. Bulanık üs (1, ) sınıflama sürecinde bulanıklığın miktarını kontrol eder. m büyüdükçe bulanıklık artar.

Jm’nin sabit μ_ij için v_i’ye göre ve sabit v_i için μ_ij’ye göre türevinin alınmasıyla sınıf merkezleri ve sınıf üyelikleri elde edilir ve bulanık kümeleme aşağıda adımsal olarak tanımlanan bulanık c-ortalamaya dayalı kümeleme algoritması ile gerçekleştirilir,