5. SWITCHING REGRESYONDA UYARLAMALI AĞ
5.3. Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda
5.3.1. Üstel dağılım için üyelik fonksiyonun oluşturulması
5.3.1. Üstel dağılım için üyelik fonksiyonun oluşturulması
Ele alınan bir problem bulanık küme yöntemleri kullanılarak çözümlenecekse en önemli adım problemde yer alan veri kümesi ya da veri kümelerine uygun üyelik fonksiyonunun belirlenmesidir. Kesim 3.4.’de üyelik fonksiyonun belirlenmesi için sezgisel tanımlamalara dayalı üyelik fonksiyonları, özel problemler için güvenilirliğe dayalı üyelik fonksiyonları ve teorik temele dayanan üyelik fonksiyonları verilmişti. Bu kesimde üstel dağılım ailesinden gelen bir veri kümesine uygun üyelik fonksiyonunun oluşturulmasında Civanlar ve Trussel (1986) tarafından önerilen, teorik ihtiyacı karşılayabilen, olasılık yoğunluk fonksiyonuna dayalı üyelik fonksiyonu belirleme yönteminden yararlanılacaktır.
Üstel dağılım için üyelik fonksiyonu oluşturulmak istendiğinde öncelikle, üyelik fonksiyonunda kullanılacak dağılıma uygun λ parametresi belirlenmelidir.
Bunun için üstel dağılıma ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
( ) 1
x
p x e μ
μ
= − x≥ 0
Üçüncü bölümde verilen (3.16) eşitliğinde yerine konulduğunda,
2 2
Üstel dağılımdan gelen bir veri kümesinde, verilerin hangi sınıra kadar 1 üyelik derecesi ile kümeye ait olacakları c sabitine ve dağılımın belirleyici parametresi
μ ’ye bağlıdır ve a c( ) ile verilen bu sınır;
a c sınırından daha büyük değerlere sahip gözlemlerin üyelik dereceleri ise, oluşturulacak üyelik fonksiyonu ile hesaplanacaktır. Üyelik fonksiyonu, (5.6) eşitliği ile elde edilen λ parametresi kullanılarak,
( ) ( ) 2 1
c’nin 1’den küçük bir sabit olduğu kesim (3.4)’te belirtilmişti.
c’nin farklı değerleri için ( )a c ile verilen sınırın belirlenmesi gerekir. c’ye 0 ile 1 arasında farklı değerler vererek ( )a c ’nin alabileceği değerler (5.7) eşitliğinden
0.1 ln (2(1 )) 0 ( ) 0 1’den küçük bir sabit olduğu bilindiğinden, üstel dağılım için 0.5≤ <c 1 aralığında değer alabileceği sonucuna ulaşıldı ve μ parametreli bir üstel dağılım için gözlemler [0, ( )]a c aralığında 1 üyelik derecesine sahip olacağı belirlendi.
Böylece üstel dağılım fonksiyonu için optimal üyelik fonksiyonu:
2 ( )
( )
1 ( )
x
c e eğer x a c x
eğer x a c μ = ⎨⎧⎪ − μ >
⎪ ≤
⎩
(5.9)
biçiminde bulunur. Üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu ve Eşitlik (5.9)’da tanımlanan üyelik fonksiyonu Şekil (5.1)’de gösterildiği gibidir.
1 ( )μ x ( )p x
0 a c ( ) x
Şekil 5.1. Üstel dağılım fonksiyonu için üyelik fonksiyonu
Üstel dağılımdan üretilmiş veri setlerine ilişkin (5.9) eşitliği ile verilen üyelik fonksiyonunun oluşturulması ve bu üyelik fonksiyonu kullanılarak gözlemlere ilişkin üyelik derecelerinin belirlenmesi için MATLAB’da oluşturulan program ile en uygun c değerine ulaşılmaya çalışılmıştır.
Farklı c değerleri kullanıldığında üyelik derecesi 1 olacak değişkenler için a(c) sınırı da farklı olmaktadır. Oluşturulan program ile bir çok farklı veri seti için c’nin alabileceği değerlere karşılık gelen üyelik fonksiyonları elde edildi ve en uygun üyelik fonksiyonuna c=0.6 olduğu durumda ulaşıldı. Ele alınan örnekte, üstel dağılımdan türetilmiş 30 birimlik bir veri seti için c’nin farklı değerlerine karşılık gelen üyelik dereceleri Çizelge 5.1.’de verilmiştir.
Ele alınan veri setine uygun olacak biçimde oluşturulan üyelik fonksiyonundan farklı c sabitleri için elde edilen üyelik dereceleri ve bu üyelik derecelerine karşılık gelen üyelik fonksiyonları Grafik (5.1)-(5.4) de verilmiştir. Grafikler incelendiğinde üstel dağılıma en uygun üyelik fonksiyonu c’nin 0.6 olduğu durumda ortaya çıkmaktadır. c=0.5 olduğunda ise a(c) değeri 0 olmakta ve 1 üyelik derecesine sahip gözlem bulunmamaktadır.
Çizelge 5.1. Farklı c değerlerine karşılık gelen üyelik dereceleri Üyelik Dereceleri
Grafik 5.1. c=0.5 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri
Grafik 5.2. c=0.6 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri
Grafik 5.3. c=0.7 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri
Grafik 5.4. c=0.8 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri
5.3.2 Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeli’nin Parametrelerinin Belirlenmesi İçin Önerilen Yönteme İlişkin Algoritma
Switching regresyon modeline ait parametrelerin belirlenmesi ve tahmin değerlerinin elde edilmesi için önerilen yönteme ilişkin algoritmanın ikinci adımında tanımlanan üyelik fonksiyonu, verilerin normal dağılım ailesinden geldiği durum ele alındığı için normal dağılıma uygun üyelik fonksiyonudur.
Bağımsız değişkenlere ait verilerin üstel dağılımdan gelmesi durumunda ise üstel dağılıma uygun üyelik fonksiyonu kullanılmalıdır. Bu amaçla üstel dağılım için optimal üyelik fonksiyonu Eşitlik (5.9)’de verildiği gibi elde edilmiştir.
Bağımsız değişkenlere ilişkin verilerin üstel dağılımdan gelmesi durumunda, kesim 5.2’de verilen, parametre tahmini için önerilen yönteme ilişkin algoritmanın ikinci adımında yer alan normal dağılıma ait üyelik fonksiyonunun yerine, üstel dağılım için oluşturulan ve eşitlik (5.9) ile tanımlanan μFh( )x üyelik fonksiyonu kullanılacaktır. Üstel dağılım için belirlenen üyelik fonksiyonunda normal dağılım için verilen üyelik fonksiyonundaki gibi merkez ve yayılım olmak üzere iki önsel parametre değil, sadece kümelere ilişkin merkezleri belirleyen tek bir önsel parametre bulunmaktadır. Bağımsız değişkenlerin üstel dağılımdan gelmesi durumunda, yöntem için oluşturulan algoritma aşağıda tanımlanmıştır.
ADIM 0: Bağımsız değişkenlere ait veri setlerine ilişkin optimal sınıf sayıları belirlenir.
ADIM 1: Önsel parametre seti belirlenir. Bağımsız değişkenlere ait küme merkezlerini gösteren önsel parametreler bağımsız değişkenlerin değer aldığı aralığa ve düzey sayısına bağlıdır ve
max( ) min( )
ADIM 2: Sonsal parametre setinin hesaplanmasında kullanılacak olan B matrisinin oluşturulmasında kullanılan wLağırlıkları hesaplanır. Bu ağırlıkların hesaplanmasında kullanılacak olan üyelik fonksiyonu, parametre seti
{ }
μh olan Üstel Dağılım fonksiyonu düşünüldüğünde, üyelik fonksiyonları,2 ( )
biçiminde tanımlanır. Burada
{ }
μh parametre seti önsel parametreleri gösterir.wL ağırlıkları wL ile belirtilen ağırlıkların normalizasyonudur ve, (4.1) eşitliği ile hesaplanır.
ADIM 3: Bağımsız değişkenlerin bulanık, bağımlı değişkenin kesin sayılardan oluştuğu durumda, sonsal parametre seti ciL =
(
a biL, iL)
, ciL =aiL biçiminde kesin sayılar olarak elde edilir.Bu durumda sonsal parametre setinin saptanması için,
( T ) 1 T
Z = B B − B Y
eşitliği kullanılır.
ADIM 4: Adım 3’de elde edilen sonsal parametre seti ciL =
(
a biL, iL)
kullanılarak,0 1 1 2 2 ...
L L L L L
p p
Y =c +c x +c x + +c x
biçiminde ifade edilen switching regresyon modelleri oluşturulur. Kurulan modellerden ve Adım 2’de belirlenen ağırlıklardan yola çıkarak tahmin değerleri,
1
ˆ m L L
L
Y w Y
=
=
∑
ifadesi ile elde edilir.
ADIM 5: Modele ilişkin hata (4.9) eşitliği ile hesaplanır.
Eğer ε φ< ise ulaşılan sonsal parametre, kurulacak olan regresyon modellerinin parametreleri olarak elde edilmiştir, sürece son verilir.
Eğer ε φ≥ ise adım 6’ya geçilir.
ADIM 6: Adım 1’de belirlenen merkezi önsel parametreler,
'
i i
v = ± v t (5.11)
ile güncellenir. Burada, t eşitlik (5.5) ile hesaplanır.
ADIM 7: Değişim ile elde edilen her önsel parametre için tahminler ve bu tahminlere ilişkin hata ölçütleri hesaplanır. Hesaplanan hata ölçütlerinden en küçük olanı belirlenir. Belirlenen en küçük hatayı veren önsel parametreler ve bu parametrelere ilişkin modellerden elde edilen tahmin çıktı olarak alınır.