Bulanık uyarlamalı ağın eğitimi

Bulanık uyarlamalı ağın amacı, verilen girdi-çıktı veri çiftleri arasındaki ilişkinin modelini elde etmektir. Ağdan elde edilen modele ilişkin çıktı (tahmin) ile hedeflenen çıktı arasındaki fark, hata ölçüsü olarak tanımlanır. Kullanılacak ağ, bu hatayı en küçük yapacak biçimde model oluşturabilmek üzere eğitilmelidir.

Bu hata ölçüsü önceden tanımlanan, kabul edilebilir küçük bir hatadan daha küçük olduğunda ağın eğitimi sonlanır. Her bir gözlem için tahmin edilen ve beklenen çıktılar arasındaki fark,

{ }ˆ

k Yk Yk

ε = − (4.5)

ile verilir. Burada;

Yk : k. beklenen çıktı

Yˆk :k. girdi vektörünün ağ çıktısı { }⁻ :fark operatördür.

Matematiksel modellerin kurulmasında bulanık küme teorisi kullanılıyorsa, bulanık sayıların arasındaki fark problemi ile karşılaşılır ve bu problem kesim 3.4’de tanımlanan, bulanık sayılar arasındaki farkı belirlemede kullanılan ve (3.1) eşitliğinde tanımlanan indeksin kullanılması ile çözülür (Ishibuchi ve Tanaka 1993).

4.3. Uyarlamalı Ağlar ile Regresyon Modeline İlişkin Parametre Tahmini

Hedeflenen çıktı ile tahmin edilen çıktı arasındaki fark ile verilen hata ölçüsünün en küçüklenmesi prensibine dayanarak parametrelerin tahmini, farklı dağılımlardan gelen verilere ilişkin regresyon modellerinin oluşturulması ve bu

regresyon modellerine dayanan ortak bir tahmin setinin elde edilmesi sürecinde bulanık uyarlamalı ağlardan faydalanılmaktadır.

Uyarlamalı ağlardan faydalanılarak switching regresyon modellerinin belirlenmesi ve bu modellerin birleştirilmesi ile sonuç tahminlerinin elde edilmesinde, parametreler iki farklı başlık altında ele alınmaktadır. Bunlardan ilki, sonuç ya da sonsal (consequence) parametreler olarak adlandırılan doğrusal regresyon modellerinin katsayılarıdır. Diğer parametreler ise önsel (premise) parametreler olarak adlandırılırlar. Bunlar girdi değişkenlerinin ait oldukları dağılıma bağlı ve bu dağılıma ilişkin üyelik fonksiyonunu karakterize eden parametrelerdir. Önsel ve sonuç parametrelerinin tahmin edilmesinde izlenecek aşamalar alt kesimlerde verilecektir.

4.3.1. Sonsal parametrelerin belirlenmesi

Doğrusal regresyon modellerinin katsayıları olarak tanımlanan sonuç parametrelerin belirlenmesinde bulanık uyarlamalı ağlardan faydalanıldığı daha önce belirtilmişti. Eşitlik (4.2) ile tanımlanan modelden de görülebileceği gibi uyarlamalı ağın çıktıları sonuç parametrelerinin doğrusal birleşimi olarak ifade edilebilir. Böylece Eşitlik (4.2) ve (4.3)’e göre ˆY çıktısı,

biçiminde ifade edilebilir ve w ile ifade edilen ağırlıklar bilindiğinde, ^l

0 1 1 2 2 p p

Y =A +A x +A x + +K A x (4.7)

biçimindeki doğrusal eşitlik formunda yazılabilir (Chi-Bin ve Lee 1999, 2001).

Eşitlik (4.7)’deki A_i ifadesi , Eşitlik (4.6)’daki c w_i^l _i^l ifadesine karşılık gelir.

Eşitlik (4.7), x girdileri ile _i Y çıktısı arasındaki doğrusal ilişkiyi ifade eden bulanık doğrusal bir modeldir. Burada A (i=1,...,p), bulanık parametrelerdir. _i

Eşitlik (4.7) ile verilen bulanık doğrusal regresyon modeli Tanaka (1982) tarafından doğrusal programlama yöntemleri kullanılarak çözümlenmiştir.

Tanaka tarafından önerilen yaklaşım, c_i^l =( , )a b_i^l _i^l sonsal (sonuç) parametrelerini belirlemede kullanılabilir.

Sonsal parametrelerin belirlenmesi için oluşturulacak doğrusal programlama problemi,

biçiminde formüle edilmektedir. Burada α önceden saptanan ve [0,1] aralığında bir sabittir (Ishibuchi ve Tanaka 1992, Chi-Bin ve Lee 2001).

Sonsal parametrelerin belirlenmesi için Tanaka tarafından önerilen doğrusal programlama probleminin çözümüne alternatif olarak kullanılabilecek bir başka yöntem de yine hata ölçütünün en küçüklenmesine dayanmaktadır ve,

1 1 1

eşitliğinin çözülmesi ile sonsal parametre seti elde edilebilir.

Burada,

Burada B matrisinin oluşturulmasında kullanılan w_i^l, Eşitlik (4.1) de tanımlandığı gibi, uyarlamalı ağın üçüncü tabakasındaki sinirlerin çıktısıdır.

Üyelik fonksiyonlarından elde edilen ağırlıkların normalizasyonu ile elde edilir.

Bu yöntem bağımlı değişkeni bulanık olması durumunda da kullanılabilen bir yöntemdir (Chi-Bin ve Lee 2001).

4.3.2. Önsel parametrelerin belirlenmesi

Önsel parametreler, girdi değişkenlerinin ait oldukları dağılıma bağlı ve bu dağılıma ilişkin üyelik fonksiyonunu karakterize eden parametrelerdir. Bu parametreler başlangıçta sezgisel olarak belirlendikten sonra geri yayılım (back propagation) algoritması kullanılarak güncellenirler. Geri yayılım algoritması, çok tabakalı sinir ağları için önerilmiş bir algoritmadır ve hata ölçütüne dayanır.

Uyarlamalı ağlar ile önsel parametreler güncellenirken kullanılacak hata ölçütü,

( )

² biçiminde ifade edilmektedir (Chi-Bin ve Lee 2001).

Öncelikle eşitlik (4.9) kullanılarak her tabaka için geri yayılım hatası belirlenmelidir. k. tahmin ile k. beklenen çıktı arasındaki fark, k. hata olarak tanımlandığında, sonucun elde edildiği çıktı siniri için hata sinyali,

( )

çıktı siniri için hata sinyali olarak tanımlanmaktadır. Jang ve Sun (1995) uyarlamalı ağın her bir tabakasındaki her bir sinir için geri yayılım hatasını,

1 1,

biçiminde tanımlamışlardır. Burada,

1

Mr₊ : (r+1). tabakadaki toplam sinir sayısı

r+1,h

∈ : (r+1). tabakadaki h. Sinirin hata sinyali

1,

r h

F₊ : (r+1). tabakadaki h. Sinirin sinir fonksiyonu

r l,

f : r. tabakadaki l. sinirin çıktısıdır.

Gradyan vektör, her parametreye göre hata ölçütünün türevi olarak tanımlanabilir. Eğer ρ, r. tabakadaki l. sinirin parametresi ise,

2 , biçiminde ifade edilir ve ρ için güncelleme formülü,

ˆ 2

Hata ölçüsünün en küçüklenmesi ilkesine göre parametrelerin tahmini, farklı dağılımlardan gelen verilere ilişkin regresyon modellerinin oluşturulması ve bu regresyon modellerine dayanan ortak bir tahmin setinin elde edilmesi süreci, adımsal olarak aşağıdaki algoritma ile verilebilir:

ADIM 1: Verilerin geldiği dağılıma bağlı olarak değişkenlik gösteren ve dağılımı karakterize eden önsel parametreler belirlenir.

ADIM 2: Eşitlik (4.8) ile verilen, Tanaka tarafından önerilen doğrusal programlama problemi çözülerek sonsal parametre olan; c_i^l =( , )a b_i^l _i^l parametre seti saptanır. Bağımlı değişkenlerin bulanık, bağımsız değişkenin kesin sayılardan oluştuğu durumda, sonsal parametre seti c de kesin sayılar olarak elde _i^l edilir.

ADIM 3: Eşitlik (4.9) ile verilen hata ölçüsü hesaplanır,

Eğer hata ölçüsü, önceden belirlenmiş kabul edilebilir bir değerden küçükse durulur. Adım 2’de sonucun bulanık yada kesin olması durumuna bağlı olarak izlenen yöntem sonucunda ulaşılan sonsal parametre, kurulacak olan regresyon modellerinin parametreleri olarak alınır. Sonuca ulaşıldığından sürece son verilir.

Eğer hata ölçüsü yeterince küçük değilse Adım 4’e geçilir ve sürece devam edilir.

ADIM 4: Eşitlik (4.10) ve (4.11) kullanılarak geri yayılım hataları hesaplanır.

Eşitlik (4.14) kullanılarak önsel parametre seti güncelleştirilir.

ADIM 5: Adım 1’e dönülür.

5. SWITCHING REGRESYONDA UYARLAMALI AĞ YAKLAŞIMI İLE PARAMETRE TAHMİNİ

5.1. Giriş

Uyarlamalı ağ ile parametre tahmini, hata ölçütünün en küçüklenmesi prensibine dayanır. Chi-Bin (1998) tarafından, farklı sınıflardan gelen verilere ilişkin regresyon modellerinin oluşturulması ve bu regresyon modellerine dayanan ortak bir tahmin setinin elde edilmesi süreci için bir algoritma önerilmiş ve Kesim (4.3)’de verilmişti. Regresyon modellerine ait tahmin setinin elde edilmesi süreci iki önemli adımdan oluşmaktadır. Bunlardan birincisi, verilerin geldiği sınıfı karakterize eden önsel parametre setinin belirlenmesi ve bu parametrelerin süreç içinde güncellenmesi, ikincisi ise sonsal parametre setinin tahmin edilmesidir.

Regresyon modellerini oluşturacak katsayıların belirlenmesi için verilen algoritmanın amacı, hatası en küçük olan tahmine ulaşmaktır. Hatası en küçük olan tahmine ulaşmak, önsel parametrelerin doğru belirlenmesine, güncellenmesine ve ayrıca sonsal parametrelere bağlıdır.

Son yıllarda yapılan çalışmalarda önsel parametre seti başlangıçta bağımsız değişkenlere ait verilerin yapısına ve değer aldığı aralığa bağlı olacak biçimde sezgisel olarak belirlenir ve süreç içerisinde geri yayılım hatalarına bağlı olarak güncellenir.

Chi-Bin tarafından önerilen algoritmada sonsal parametre seti c_i^l =( , )a b_i^l _i^l , Tanaka tarafından önerilen ve Kesim (4.3)’de Eşitlik (4.8) ile verilen doğrusal programlama probleminin çözülmesiyle elde edilir (Jyh-Shing 1993, James ve Donalt 2000).

Çözüm aşamasında Chi-Bin (1998) tarafından önerilen algoritmada yer alan doğrusal programlama modeli bazı durumlarda kullanıcıyı çözümsüzlüğe taşıyabilmekte ve bağımsız değişken sayısının fazla olduğu durumlar için etkin çözüm verememektedir. Önsel parametrelerin güncellenmesi de geri yayılım hatalarına bağlı olduğu için bir dizi karmaşık işlemi beraberinde getirmektedir.

Tüm bu sakıncaları gidermek için önsel ve sonsal parametre setlerinin sezgiselliğe izin vermeyecek biçimde belirlendiği ve güncellendiği bir yöntem önerildi. Burada merkezler ve yayılımlardan oluşan önsel parametre setinde oldukça önemli olan merkez parametrelerinin belirlenmesi amaçlandı. Bağımsız değişkenlere ait veri setlerine ilişkin optimal sınıf sayısını belirlemek için bulanık kümeleme algoritmasından yararlanıldı. Bulanık kümelemede optimal sınıf sayısını belirlemek için önerilen geçerlilik kriterinin kullanılması amaçlandı. Ele alınan bulanık verilerin düzey sayısının belirlenmesinde geçerlilik kriterinin kullanımı sezgisel yaklaşımın yerini alabilecek şekilde düzenlendi.

Optimal düzey sayılarını, önsel ve sonsal parametreleri belirleyerek, switching regresyon modelinin tahmin edilmesini ve sonuç tahminlere ulaşılmasını içeren bir yöntem önerildi. Yöntem ilk olarak bağımsız değişkenlere ait verilerin normal dağıldığı durumlar için düzenlendi. Daha sonra bağımsız değişkenlere ait verilerin, üstel dağılım ailesine ait olma durumu ele alındı. Bu durumda üstel dağılıma ilişkin üyelik fonksiyonu bulundu ve switching regresyon modelinin bilinmeyen parametrelerinin elde edilmesi ve sonuç tahminlere ulaşılması için önerilen yöntem yeniden düzenlendi. Değişkenlerin ait oldukları dağılım ailesine göre önerilen yöntemlere ilişkin algoritmik adımlar tanımlandı. Tanımlanan algoritmik adımları işletmek üzere MATLAB’da iki farklı program oluşturuldu.

Ele alınan problemlerin çözümü ve tahmin değerlerinin elde edilmesinde oluşturulan bu programlar kullanıldı. Önerilen yöntemlere ilişkin algoritma adımları alt kesimlerde tanımlandı.

5.2. Bağımsız Değişkenlerin Normal Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeli’nin Parametrelerinin Belirlenmesi İçin Önerilen Yönteme İlişkin Algoritma

Switching regresyon modelinin parametrelerinin belirlenmesi süreci bağımsız değişkenlerin sınıf ya da düzey sayılarının ve önsel parametrelerin belirlenmesi ile başlar. Bu çalışmada sınıf sayılarının belirlenmesinde, sezgisel yöntemlere alternatif olarak bulanık kümelemeye dayalı geçerlilik kriterinin kullanılması amaçlandı. Ayrıca veri setinin değişim aralığına bağlı kalacak biçimde önsel parametrelerin belirlenmesini içeren bir yapı oluşturuldu. Önsel parametrelerin güncellenmesinde ise kesim (4.3.2)’de verilen ve bir dizi işlemi beraberinde getiren yöntem yerine, parametrenin alabileceği tüm değerlerin gözden geçirildiği ve hatası en küçük tahmin değerlerine ulaştıran bir süreç oluşturuldu.

Bağımsız değişkenlerin normal dağılımdan gelmesi durumunda switching regresyon modelinin parametrelerinin belirlenmesi için önerilen yönteme ilişkin algoritmaaşağıdaki gibi tanımlandı .

ADIM 0: Bağımsız değişkenlere ait veri kümesine ilişkin optimal sınıf sayıları belirlenir. Sınıf sayısını ifade eden c’nin alabileceği tüm değerler (c=2, c=3,..., c=max) için S fonksiyonunun farklı değerleri,

( )

²

ile elde edilir ve S_k değerlerinden en küçüğünün hesaplanmasında kullanılan c, optimal sınıf sayısı olarak belirlenir.

ADIM 1: Önsel parametreler belirlenir. Yayılımlar, girdi değişkenlerinin değer aldığı aralığa ve değişkenlerin düzey sayılarına göre sezgisel olarak belirlenir.

Merkez parametreleri de değişkenlerin değer aldığı aralığa ve düzey sayısına bağlıdır ve

ile belirlenir. Burada c Adım 1’de belirlenen değişkenlere ilişkin optimal sınıf sayısını, p ise bağımsız değişken sayısını göstermektedir.

ADIM 2: Sonsal parametre setinin hesaplanmasında kullanılacak olan B matrisinin oluşturulmasında kullanılan w^Lağırlıkları hesaplanır. w^L ağırlıkları (4.1) eşitliğinde de tanımlandığı gibi uyarlamalı ağın üçüncü tabakasındaki sinirlerin çıktısıdır ve bağımsız değişkenin ait olduğu dağılım ailesine dair üyelik fonksiyonlarından yararlanılarak hesaplanır. Bağımsız değişken sayısı p ile gösterildiğinde her bir değişkene ait düzey sayısı (l i_i =1,..., )p ile ifade edilirse,

ile hesaplanır. Uyarlamalı ağın birinci tabakasındaki sinir fonksiyonları bağımsız değişkenlerin geldiği dağılıma ait üyelik fonksiyonları ile,

1,_{h Fh}( )_i f =μ x

biçiminde tanımlanır. F_h için üyelik fonksiyonu uygun bir çok fonksiyon olabilir.

Burada önsel parametre seti

{

vh^,σh

}

olan Normal Dağılım fonksiyonu düşünüldüğünde, üyelik fonksiyonları;

2

biçiminde tanımlanır. Tanımlanan üyelik fonksiyonundan, bağımsız değişkenler için, bu değişkenlerin ait olduğu her bir sınıf için ait üyelik dereceleri belirlenir.

Bu üyelik derecelerinin bağımsız değişken sayısına ve bu değişkenlerin düzey (sınıf) sayılarına bağlı miktarda karşılıklı çarpımlarından w ağırlıkları ^L

w^L =μ_FL( ).x_i μ_FL( )x_j

ile ifade edilir. w^L ağırlıkları w^L ile belirtilen ağırlıkların normalizasyonudur ve,

1

ADIM 3: Bağımsız değişkenlerin bulanık, bağımlı değişkenin kesin sayılardan oluştuğu durumda, sonsal parametre seti ^{ciL =}

(

^{a biL, iL}

)

^{, ciL =aiL} (i=1,...,p) biçiminde kesin sayılar olarak elde edilir. Bu durumda sonsal parametre setinin saptanması için,

( ^T ) 1 ^T

Z = B B ⁻ B Y

eşitliği kullanılır. Burada,

1 1 1

biçiminde ifade edilen switching regresyon modelleri oluşturulur. Kurulan modellerden ve Adım 2’de belirlenen ağırlıklardan yararlanılarak tahmin değerleri,

ifadesi ile elde edilir.

ADIM 5: Her bir gözleme ilişkin hata

{ }ˆ

k Yk Yk

ε = − k=1,...,n (5.2)

biçiminde verildiğinde, modele ilişkin hata

( )

²

biçiminde hesaplanır.

Eğer ε φ< ise ulaşılan sonsal parametre, kurulacak olan regresyon modellerinin parametreleri olarak elde edilmiştir, sürece son verilir.

Eğer ε φ≥ ise adım 6’ya geçilir.

Burada, φ , karar verici tarafından belirlenen küçük sabit bir değer,

{-}, bağımlı değişkenin de bulanık olması durumunda fark operatörüdür.

ADIM 6: Adım 1’de belirlenen merkezi önsel parametreler, en küçük değerden en büyük değere doğru artacak, en büyük değerden en küçük değere doğru azalacak şekilde,

'

i i

v = ± v t (5.4)

ile güncellenir. Burada,

max( ) min( )

1,..., 1,...,

ji ji

x x

t j n i p

a

= − = = (5.5)

ile hesaplanan adım büyüklüğüdür. Burada a, adım büyüklüğü (t)’yi ve dolayısıyla iterasyon sayısını belirleyen değişmez bir değerdir.

ADIM 7: Değişim ile elde edilen her önsel parametre için tahminler ve bu tahminlere ilişkin hata ölçütleri hesaplanır. Hesaplanan hata ölçütlerinden en küçük olanı belirlenir. Belirlenen en küçük hatayı veren önsel parametreler ve bu parametrelere ilişkin modellerden elde edilen tahmin çıktı olarak alınır.

Bu yöntem bağımlı değişkenin bulanık olması durumunda da kullanılabilen bir yöntemdir.

5.3. Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeline İlişkin Parametrelerin Belirlenmesi İçin Bir Yöntem

Switching regresyon modelinde, bağımsız değişkenlere ilişkin verilen normal dağılım ailesine ait olması durumunda literatürde yer alan, normal dağılım için oluşturulmuş üyelik fonksiyonundan faydalanılmaktadır.

Bu çalışmada, bağımsız değişkenlerin üstel dağılım ailesinden geldikleri durumda switching regresyon modellerinin parametrelerinin tahmin edilmesi de amaçlanmış ve bu tahminlerin ağırlıklandırılarak bir araya getirilmesiyle sonuç tahmin değerlerine ulaşılmaya çalışılmıştır.

Amaç üstel dağılımdan gelen veriler ile çalışmak olduğunda, bu verilere uygun üyelik derecesinin belirlenmesi problemi ile karşılaşılmaktadır. Üstel dağılıma uygun üyelik fonksiyonunun belirlenmesi konusuna alt kesimde yer verilmiştir.

5.3.1. Üstel dağılım için üyelik fonksiyonun oluşturulması

Ele alınan bir problem bulanık küme yöntemleri kullanılarak çözümlenecekse en önemli adım problemde yer alan veri kümesi ya da veri kümelerine uygun üyelik fonksiyonunun belirlenmesidir. Kesim 3.4.’de üyelik fonksiyonun belirlenmesi için sezgisel tanımlamalara dayalı üyelik fonksiyonları, özel problemler için güvenilirliğe dayalı üyelik fonksiyonları ve teorik temele dayanan üyelik fonksiyonları verilmişti. Bu kesimde üstel dağılım ailesinden gelen bir veri kümesine uygun üyelik fonksiyonunun oluşturulmasında Civanlar ve Trussel (1986) tarafından önerilen, teorik ihtiyacı karşılayabilen, olasılık yoğunluk fonksiyonuna dayalı üyelik fonksiyonu belirleme yönteminden yararlanılacaktır.

Üstel dağılım için üyelik fonksiyonu oluşturulmak istendiğinde öncelikle, üyelik fonksiyonunda kullanılacak dağılıma uygun λ parametresi belirlenmelidir.

Bunun için üstel dağılıma ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

( ) 1

x

p x e ^μ

μ

= − x≥ 0

Üçüncü bölümde verilen (3.16) eşitliğinde yerine konulduğunda,

2 2

Üstel dağılımdan gelen bir veri kümesinde, verilerin hangi sınıra kadar 1 üyelik derecesi ile kümeye ait olacakları c sabitine ve dağılımın belirleyici parametresi

μ ’ye bağlıdır ve a c( ) ile verilen bu sınır;

a c sınırından daha büyük değerlere sahip gözlemlerin üyelik dereceleri ise, oluşturulacak üyelik fonksiyonu ile hesaplanacaktır. Üyelik fonksiyonu, (5.6) eşitliği ile elde edilen λ parametresi kullanılarak,

( ) ( ) 2 1

c’nin 1’den küçük bir sabit olduğu kesim (3.4)’te belirtilmişti.

c’nin farklı değerleri için ( )a c ile verilen sınırın belirlenmesi gerekir. c’ye 0 ile 1 arasında farklı değerler vererek ( )a c ’nin alabileceği değerler (5.7) eşitliğinden

0.1 ln (2(1 )) 0 ( ) 0 1’den küçük bir sabit olduğu bilindiğinden, üstel dağılım için 0.5≤ <c 1 aralığında değer alabileceği sonucuna ulaşıldı ve μ parametreli bir üstel dağılım için gözlemler [0, ( )]a c aralığında 1 üyelik derecesine sahip olacağı belirlendi.

Böylece üstel dağılım fonksiyonu için optimal üyelik fonksiyonu:

2 ( )

( )

1 ( )

x

c e eğer x a c x

eğer x a c μ _{= ⎨}^{⎧⎪ −} μ ^>

⎪ ≤

⎩

(5.9)

biçiminde bulunur. Üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu ve Eşitlik (5.9)’da tanımlanan üyelik fonksiyonu Şekil (5.1)’de gösterildiği gibidir.

1 ( )μ x ( )p x

0 a c ( ) x

Şekil 5.1. Üstel dağılım fonksiyonu için üyelik fonksiyonu

Üstel dağılımdan üretilmiş veri setlerine ilişkin (5.9) eşitliği ile verilen üyelik fonksiyonunun oluşturulması ve bu üyelik fonksiyonu kullanılarak gözlemlere ilişkin üyelik derecelerinin belirlenmesi için MATLAB’da oluşturulan program ile en uygun c değerine ulaşılmaya çalışılmıştır.

Farklı c değerleri kullanıldığında üyelik derecesi 1 olacak değişkenler için a(c) sınırı da farklı olmaktadır. Oluşturulan program ile bir çok farklı veri seti için c’nin alabileceği değerlere karşılık gelen üyelik fonksiyonları elde edildi ve en uygun üyelik fonksiyonuna c=0.6 olduğu durumda ulaşıldı. Ele alınan örnekte, üstel dağılımdan türetilmiş 30 birimlik bir veri seti için c’nin farklı değerlerine karşılık gelen üyelik dereceleri Çizelge 5.1.’de verilmiştir.

Ele alınan veri setine uygun olacak biçimde oluşturulan üyelik fonksiyonundan farklı c sabitleri için elde edilen üyelik dereceleri ve bu üyelik derecelerine karşılık gelen üyelik fonksiyonları Grafik (5.1)-(5.4) de verilmiştir. Grafikler incelendiğinde üstel dağılıma en uygun üyelik fonksiyonu c’nin 0.6 olduğu durumda ortaya çıkmaktadır. c=0.5 olduğunda ise a(c) değeri 0 olmakta ve 1 üyelik derecesine sahip gözlem bulunmamaktadır.

Çizelge 5.1. Farklı c değerlerine karşılık gelen üyelik dereceleri Üyelik Dereceleri

Grafik 5.1. c=0.5 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri

Grafik 5.2. c=0.6 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri

Grafik 5.3. c=0.7 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri

Grafik 5.4. c=0.8 için üstel dağılımdan üretilen 30 gözleme ilişkin üyelik dereceleri

5.3.2 Bağımsız Değişkenlerin Üstel Dağılımdan Gelmesi Durumunda Switching Regresyon Modeli’nin Parametrelerinin Belirlenmesi İçin Önerilen Yönteme İlişkin Algoritma

Switching regresyon modeline ait parametrelerin belirlenmesi ve tahmin değerlerinin elde edilmesi için önerilen yönteme ilişkin algoritmanın ikinci adımında tanımlanan üyelik fonksiyonu, verilerin normal dağılım ailesinden geldiği durum ele alındığı için normal dağılıma uygun üyelik fonksiyonudur.

Bağımsız değişkenlere ait verilerin üstel dağılımdan gelmesi durumunda ise üstel dağılıma uygun üyelik fonksiyonu kullanılmalıdır. Bu amaçla üstel dağılım için optimal üyelik fonksiyonu Eşitlik (5.9)’de verildiği gibi elde edilmiştir.

Bağımsız değişkenlere ilişkin verilerin üstel dağılımdan gelmesi durumunda, kesim 5.2’de verilen, parametre tahmini için önerilen yönteme ilişkin algoritmanın ikinci adımında yer alan normal dağılıma ait üyelik fonksiyonunun yerine, üstel dağılım için oluşturulan ve eşitlik (5.9) ile tanımlanan μ_Fh( )x üyelik fonksiyonu kullanılacaktır. Üstel dağılım için belirlenen üyelik fonksiyonunda normal dağılım için verilen üyelik fonksiyonundaki gibi merkez ve yayılım olmak üzere iki önsel parametre değil, sadece kümelere ilişkin merkezleri belirleyen tek bir önsel parametre bulunmaktadır. Bağımsız değişkenlerin üstel dağılımdan gelmesi durumunda, yöntem için oluşturulan algoritma aşağıda tanımlanmıştır.

ADIM 0: Bağımsız değişkenlere ait veri setlerine ilişkin optimal sınıf sayıları belirlenir.

ADIM 1: Önsel parametre seti belirlenir. Bağımsız değişkenlere ait küme merkezlerini gösteren önsel parametreler bağımsız değişkenlerin değer aldığı aralığa ve düzey sayısına bağlıdır ve

max( ) min( )

ADIM 2: Sonsal parametre setinin hesaplanmasında kullanılacak olan B matrisinin oluşturulmasında kullanılan w^Lağırlıkları hesaplanır. Bu ağırlıkların hesaplanmasında kullanılacak olan üyelik fonksiyonu, parametre seti

{ }

μh olan Üstel Dağılım fonksiyonu düşünüldüğünde, üyelik fonksiyonları,

2 ( )

biçiminde tanımlanır. Burada

{ }

μh parametre seti önsel parametreleri gösterir.

wL ağırlıkları w^L ile belirtilen ağırlıkların normalizasyonudur ve, (4.1) eşitliği ile hesaplanır.

ADIM 3: Bağımsız değişkenlerin bulanık, bağımlı değişkenin kesin sayılardan oluştuğu durumda, sonsal parametre seti ci^L =

(

a bi^L, i^L

)

, c_i^L =a_i^L biçiminde kesin sayılar olarak elde edilir.

Bu durumda sonsal parametre setinin saptanması için,

( ^T ) 1 ^T

Z = B B ⁻ B Y

eşitliği kullanılır.

ADIM 4: Adım 3’de elde edilen sonsal parametre seti ci^L =

(

a bi^L, i^L

)

kullanılarak,

0 1 1 2 2 ...

L L L L L

p p

Y =c +c x +c x + +c x

biçiminde ifade edilen switching regresyon modelleri oluşturulur. Kurulan modellerden ve Adım 2’de belirlenen ağırlıklardan yola çıkarak tahmin değerleri,

1

ˆ ^{m L L}

L

Y w Y

=

=

∑

ifadesi ile elde edilir.

ADIM 5: Modele ilişkin hata (4.9) eşitliği ile hesaplanır.

Eğer ε φ< ise ulaşılan sonsal parametre, kurulacak olan regresyon modellerinin parametreleri olarak elde edilmiştir, sürece son verilir.

Eğer ε φ≥ ise adım 6’ya geçilir.

ADIM 6: Adım 1’de belirlenen merkezi önsel parametreler,

'

i i

v = ± v t (5.11)

ile güncellenir. Burada, t eşitlik (5.5) ile hesaplanır.

ADIM 7: Değişim ile elde edilen her önsel parametre için tahminler ve bu

ADIM 7: Değişim ile elde edilen her önsel parametre için tahminler ve bu

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SWITCHING REGRESYON DA BULANIK SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMI İLE PARAMETRE TAHMİNİ (sayfa 62-0)