VEKTÖR KUVVET. Şekil 6 daki A vektörü B vektörüne, K vektörü. K = L biçiminde yazılır. Bu vektörlerin büyüklükleri. e.

A ® B x´

•

C x

Þekil 1

•

d₁ Æa

(a)

•

d₂ Æa

Þekil 2 (b)

x₁ x₂ ÆK

(a)

x₁ x₂ ÆK

(b) Þekil 3

ÆK

Þekil 6 ÆA

ÆB

ÆL

ÆK Þekil 7 ÆA

ÆB

ÆL Æa

Æa 2 Æa

Þekil 4 3 2 Æa 1 2

1. VEKTÖR

Fizikte büyüklükler, skaler ve vektörel olmak üzere ikiye ayrılır. Skaler büyüklüğü belirtmek için sayısal değer ve birim yeterlidir. Örneğin, cismin kütlesi 2 kg veya bugün hava sıcaklığı 10°C gibi.

Kütle, sıcaklık, ısı, zaman, enerji gibi nicelikler, skaler bü- yüklüklerdir.

Vektörel büyüklükleri belirtmek için, sayısal değer ve birim ile birlikte, büyüklüğünü doğrultu ve yönünü de belirtmek gerekir.

Kuvvet, ağırlık, hız, yer değiştirme gibi nicelikler vektörel büyüklüklerdir.

Vektör, yönlendirilmiş doğru parçasıdır.

a. Vektörlerin Elemanları

Şekil 1 deki vektör, AB^→ veya C^→ şeklinde yazılıp, AB vek- törü veya C vektörü şeklinde okunur.

Vektörel bir büyüklüğün dört elemanı vardır. Şekil 1 deki AB^→ vektörünün elemanları şunlardır:

I. Başlangıç noktası : A noktası

II. Doğrultusu : Vektörün üzerinde olduğu xx´

doğrusu veya buna paralel doğrudur.

III. Yönü : A dan B ye doğru IV. Şiddeti (büyüklüğü) : |AB| nin uzunluğudur.

b. Vektörlerin Kaydırılması

Bir vektör, doğrultusu boyunca Şekil 2 deki gibi kaydırıla- bilir.

Bir vektör, doğrultusuna paralel olarak Şekil 3 teki gibi kaydırılabilir.

c. Vektörlerin Skaler Bir Sayı ile Çarpılması Bir vektör pozitif sayı ile çar-

pıldığında elde edilen yeni vektörün yönü ve doğrultusu değişmez. Büyüklüğü çarpı- lan sayı oranında artar veya azalır (Şekil 4).

Bir vektör negatif bir sayı ile çar- pıldığında elde edilen yeni vektö- rün doğrultusu değişmez, yönü öncekine göre ters olur ve büyük- lüğü çarpılan sayı oranında artar veya azalır (Şekil 5).

d. Eşit Vektörler:

Yönleri, doğrultuları ve büyüklükleri (uzunlukları) aynı olan vektörlere eşit vektörler denir.

Şekil 6 daki A^→ vektörü B^→vektörüne, K^→ vek- törü L^→vektörüne eşit olup, A = B ve^{→ →}

K = L

→ →

biçiminde yazılır. Bu vektörlerin bü- yüklükleri ise A = B^{→ →}, K = L^{→ →} ya da A = B, K = L şeklinde ifade edilir.

e. Zıt Vektörler

Büyüklükleri ve doğrultuları aynı olup yönleri ters olan vektör- lere zıt vektörler denir.

Şekil 7 deki A^→ vektörü ile B^→ vektörü zıt vektörler olup A^→ = – B^→ veya B^→= – A^→ bi- çiminde yazılır. Yine Şekil 7 de K^→ vektörü ile

→L

vektörü zıt vektörler olup K→

= – L^→ ya da L^→ = – K^→ biçiminde yazılır.

Bu vektörlerin büyüklükleri ise, A = B^{→ →}, K = L^{→ →} ya da A = B, K = L şeklinde ifade edilir.

2. VEKTÖRLERİN TOPLANMASI

İki ya da daha çok vektörün yerine geçen vektöre, bileşke vektör denir. Bileşke vektör bulunurken yerine geçtiği vektörler toplanır.

VEKTÖR – KUVVET

Æa

–

–2 Æa

– Þekil 5

Æa 3 2 Æa 1 2

®A

®B

Þekil 10

®A

®B

Þekil 11

®A

®B

®A + ® B

®B + ® A

ÆN

(a)

Þekil 13 ÆM ÆL ÆK

ÆR

(b) ÆN

ÆL ÆK

• •

ÆM

®K

®M

®L

Þekil 12

a Æb

Æa (I)

a Æb

Æa (II) ÆR = Æa + Æb

Þekil 9 q a

Æb

Æa (I)

a Æb

Æa (II) ÆR = Æa + Æb

Þekil 8

®a ®

b

®R = ® a + ®

b Þekil 14

®b

®R = ® a + ®

b

•

^®a

Þekil 15

I. Paralelkenar Kuralı Bu kurala göre, vektörlerin başlangıç noktaları bir nok- taya gelecek şekilde kendi- lerine paralel olarak kaydı- rılır. Vektörlerin uçlarından çizilen paralellerle bir para- lelkenar oluşturulur. Vek- törlerin başlangıç nokta- sından başlayarak paralel- lerin birbirini kestiği nokta- ya doğru çizilen ve paralel- kenarın köşegeni olan vek-

tör bu iki vektörün toplamı (bileşkesi) olur (Şekil 8).

Şeki 8 deki a ve b vektörünün toplamı olan a^→ + b^→ vektö- rüne a^→ ve b^→ vektörlerinin bileşkesi denir. Bileşke vek- tör genellikle R^→ sembolü ile gösterilir.

II. Uç Uca ekleme (Üçgen) Kuralı Bu vektörlerden biri kendi doğrultusunda paralel kay- dırılarak başlangıç noktası diğerinin bitim noktasına ge- tirilir. Şekil 9 (II) deki gibi b^→ vektörü kendine paralel kaydırılarak başlangıç nok- tası a^→ nın bitim noktasına getirilir. a^→ + b^→ vektörü a^→ nın başlangıç noktasından

→b

nin bitim noktasına doğru çizilen vektördür (Şekil 9 (II)).

→a

ve b^→ vektörlerinin toplamı olan R bileşke vektörünün büyüklüğü;

R² = a² + b² –2ab Cosθ veya

R² = a² + b² + 2ab Cosα bağıntısıyla bulunur.

Şekil 10 daki A^→ ve B^→ vektörleri verilmiş olsun. Şekil 11 deki gibi A^→ nın ucuna; doğrultusu, yönü, büyüklüğü de- ğişmeden B^→ taşınır. A^→ nın başlangıç noktası, B^→ nin bi- tim noktasına birleştirilirse A^→ + B^→bileşke vektörü bulu- nur. Bileşke vektörün yönü A^→ nın başlangıç noktasından

B→

nin bitim noktasına doğrudur. Aynı işlem B^→ nin ucuna

→A

taşınarak da yapılabilir ( A^→+ B^→ = B^→ + A^→).

Vektörler uç uca eklendiğinde, son vek- törün bitim noktası, ilk vektörün başlan- gıç noktasına geliyorsa bileşke vektör sıfırdır.

Şekil 12 deki, K^→ + L^→ + M^→ = 0 dır.

Vektörler ikiden fazla olduğunda bir başlangıç noktası se- çilir. Bu noktadan başlanarak vektörlerden birinin başlan- gıç noktası diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde ken- dilerine paralel kaydırılarak uç uca eklenir.

Bileşke vektör ilk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitim noktasına doğru çizilen vektördür (Şekil 13).

Uyarı : İki vektör arasında açı değişirse, bileşke vektörün büyüklüğü değişir.

Uyarı: İki vektör arasında açı arttıkça bileşke vektö- rün büyüklüğü azalır.

Özel Durumlar

a. İki vektör arasındaki açı 0° ise (vektörler aynı doğrul- tuda, aynı yönde), bileşke vektörün büyüklüğü vektörlerin büyüklüklerinin toplamına eşit olur (Şekil 14).

R→

= a^→ + b^→ ise, R^→ nin büyüklüğü R = a + b olur.

Uyarı: Vektörler aynı yönde iken bileşke vektör en büyük değerdedir.

b. İki vektör arasındaki açı 180° ise, vektörler aynı doğrultuda zıt yönde, bi- leşke vektörün büyüklüğü, vektörlerin büyüklüklerinin farkına eşit olur. Bileş- ke vektörün yönü, büyük olan vektörün yönündedir.

R→

= a^→ + b^→ ise b > a olmak koşuluyla R^→nin büyüklüğü R = b – a olur (Şekil 15).

Uyarı : Vektörler aynı doğrultuda zıt yönlü iken (aralarındaki açı 180°) bileşke vektörün büyüklüğü en küçük değerdedir. İki vektörün bileşkesinin bü- yüklüğü, vektörlerin şiddetleri toplamından büyük, vektörlerin şiddetleri farkından küçük olamaz.

®K

®L

Þekil 1

®M

®P

Þekil 2

®Y

®T

Þekil 3

®Z

®U

®S

®K

®L

®R

®M

Þekil 1

®Y

®T

®Z

Þekil 3

®P ®

S Þekil 2

®U

®R = ^®a + ^®b ve

|^®a| = a ve |^®b| = b ise, R² = a² + b² olur.

|^®a| = |^®b| = a ise,

R = 2 a veya R = 2 b olur. ^®b

®R

®a

•

Þekil 16

®R = ^®a + ^®b ve

|^®a| = a ve |^®b| = a ise, R = 3 a olur.

®_b 60°

®_{a ®} R

Þekil 17

®R = ^®c + ^®d ise,

|^®c| = c ve |^®d| = c ise, R = c olur.

Þekil 18 120°

®_d

®_c

®R

Æb Þekil 19

Æa

Æb

Þekil 21 Æa

a – Æ bÆ

(a) Æa

(b) Æb

–

Æb

Þekil 22 Æa

a – Æ bÆ (a)

Æa (b) Æb

Æa Æa_y

Æa_x x y

•

•

a Þekil 23

c. İki vektör arasındaki açı 90° ise,

d. İki vektör eşit büyüklükte ve aralarındaki açı 60° ise,

e. İki vektör eşit büyüklükte ve aralarındaki açı 120°

ise,

ÖRNEK 1

Şekil 1, 2 ve 3 teki vektörler aynı düzlemdedir.

Buna göre, hangi şekillerdeki vektörlerin bileşkesi sı- fırdır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

ÇÖZÜM

K, L ve M vektörleri Şekil 1 deki gibi uç uca eklenirse, R^→ bulunur.

R→

= K^→ + ^→L + M^→ dir. R^→ sağa doğru 3 birim bulunur.

Vektörler Şekil 2 deki gibi uç uca eklenirse, P→

nin başlangıç noktası S^→ nin bitiş nokta- sına geldiğinden P^→ + U^→ + S^→ = 0 olur.

Şekil 3 teki gibi vektörler uç uca eklenirse,

→Z

nin bitiş noktası, ^→T nin başlangıç nok- tasına geldiğinden T^→ + Y^→ + Z^→ = 0 olur.

Yanıt : E

3. VEKTÖRLERİN ÇIKARILMASI (Vektörlerin Farkı) I. Paralelkenar Kuralı

Şekil 19 da a^→ ve b^→ vektörlerinin

→a

– b^→ fark vektörünü bulabilmek için,

→a

– b^→ = a^→ + (– b^→) olduğun- dan a^→ ile – b^→ vektörünü para- lelkenar kuralı ile Şekil 20 deki gibi toplamak gerekir.

II. Uç Uca Ekleme Kuralı

→a

– b^→ = a^→ +(– b^→) olduğundan

→a

– b^→ vektörünü bulabilmek için a^→ ile – b^→ vektörü Şekil 21 deki gibi uç uca eklenir.

III. Üçgen Kuralı

Şekil 22 (a) daki a^→ ve b^→ vektörle- rinin a^→ – b^→ fark vektörünü bula- bilmek için a^→ ve b^→ nin başlangıç noktaları bir noktada çakışacak bi- çimde kendilerine paralel olarak kaydırılır. Bu vektörlerin bitim nokta- larını birleştiren vektör, a^→ – b^→ fark vektörüdür.

→a

– b^→fark vektörünün yönü, çıkarılan b^→ vektörünün bi- tim noktasından a^→ vektörünün bitim noktasına doğrudur (Şekil 22 (b) ).

4. VEKTÖRLERİN BİLEŞENLERİNE AYRILMASI a. Bir Vektörün Dik Bileşenlerine Ayrılması

Bir a^→ vektörünü düzlemde birbirine dik iki koordinat ek- seni üzerinde dik bileşenlerine ayırmak için Şekil 23 teki gibi bir çizim yapılır.

→a

vektörünün bitim noktasından x ve y eksenlerine dikmeler indiri- lir. a^→ nın başlangıç noktasından bu dikmelerin eksenleri kestiği noktalara kadar çizilen vektörler bu eksenler üzerindeki dik bile- şenlerdir.

a^→x : a^→ nın x ekseni üzerindeki dik bileşenidir.

–Æ b

Þekil 20 Æa a – Æ

bÆ

Nicelik Kuvvet Uzama

miktarý Yayýn esneklik katsayýsý Sembol

Birim F Newton (N)

x metre (m)

k Newton

metre N

( )m

Birim Tablosu

®F

O

•

x

Þekil 24

®F m

®F

m etki

çizgisi

K

• •

L

Þekil 25 Þekil 26

x 2x

F 2F

Þekil 27

kuvvet (F)

uzama miktarý (x) x 2x

F 2F

a 0

Þekil 28

a^→y : a^→ nın y ekseni üzerindeki dik bileşenidir.

a^→x ve

a^→y nin büyüklükleri

y y

x x

Sin = a , a = a.Sin a

Cos = a , a = a.Cos a

α α

α α

bağıntılarıyla bulunur.

x y

2 2 2

x y

a = a + a dir.

a nın büyüklüğü a = a + a bağıntısıyla bulunur.

→ → →

→

ÖRNEK 2

Aynı düzlemde bulunan

→a

, b^→ ve c^→ vektörleri şekildeki gibidir.

a = 6 cm, b = 8 cm ol- duğuna göre, c^→ vektö- rünün uzunluğu kaç cm dir?

(Sin60° = 3 , Cos60 = 1)

2 ° 2

A) 37 B) 2 37 C) 3 37 D) 4 37 E) 5 37 ÇÖZÜM

c² = a² + b² – 2ab Cos120°

c² = 6² + 8² –2.6.8. 1 2

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

c² = 36 + 64 + 48 c² = 148

c² = 4.37

c = 2 37 cm bulunur.

Yanıt: B 5. KUVVET

Cisimleri hareket ettiren, hareket halindeki cisimleri durdu- ran, cisimlerin hareket doğrultusunu, hızını ve yönünü de- ğiştiren, cisimlerde şekil değişikliği oluşturan etkiye kuv- vet denir.

Kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Kuvvet genel olarak F sembolüyle gösterilir.

SI birimi sisteminde kuvvet birimi newton olup N sembo- lüyle gösterilir.

1 newton = 1 kg . m/s² dir.

Doğada pek çok kuvvet bulunmaktadır. Bunların başlıcaları; kütle çekim kuvveti, elektriksel kuvvet ve magnetik kuvvettir.

Bu kuvvetlerin nasıl oluştuğu ve nasıl hesaplandığı ileride anlatılacaktır. Bunların dışında maddelerin oluşturduğu başka kuvvetler de vardır. Bunlardan bazıları; gerilme kuvveti, tepki kuvveti, sürtünme kuvveti, bileşke kuvvet ve dengeleyici kuvvettir.

Maddelerin denge ve hareket koşullarını incelerken bu kuvvetlerin oluşma nedenlerini ve hesaplanmasını incele- yeceğiz.

a. Kuvvetin Özellikleri

Kuvvet vektörel bir büyüklük olduğundan Şekil 24 deki gibi bir vektörle gösterilir.

b. Kuvvetin Elemanları

Şekil 24 deki F^→ kuvvetinin elemanları şunlardır.

1. Kuvvetin uygulama noktası, kuvvet vektörünün O baş- langıç noktasıdır.

2. Kuvvetin doğrultusu x doğrusu, ya da x doğrusuna pa- ralel doğrulardır.

3. Kuvvetin yönü, kuvvet vektörünün ucundaki okun yönü- dür.

4. Kuvvetin şiddeti, kuvvet vektörünün uzunluğudur.

Şekil 25 de m cismine F kuvveti etki çizgisi üzerinde, K noktasında uygulanmıştır. Şekil 26 da olduğu gibi, bu kuv- vet etki çizgisi üzerinde kaydırılarak, cismin L noktasına uygulandığında, kuvvetin cisim üzerindeki etkisi değiş- mez.

Uyarı: Kuvvetin doğrultusu, yönü ve büyüklüğü de- ğişmemek koşuluyla, etki çizgisi üzerinde bir nok- tadan, başka bir noktaya taşınabilir.

c. Kuvvetin Ölçülmesi

Kuvvet dinamometre ile ölçülür.

Kuvvet uygulandığında şekli deği- şen, kuvvet etkisi kaldırılınca, eski şeklini alabilen cisimlere, esnek ci- simler denir.

Şekil 27 deki esnek yayın ucuna bir kuvvet uyguladığımızda, yay, kuv- vet yönünde x kadar uzar. Esneklik sınırı aşılmadan yay ucuna etkiyen kuvvet iki katına çıkarılırsa, yayın uzama miktarı da 2x olur.

Yayın uzama miktarı, yaya uy- gulanan kuvvetle doğru orantı- lıdır. Şekil 28 deki grafiğin eğimi yayın esneklik katsayı- sını verir ve k sembolü ile gös- terilir.

®c

®b

®a 120°

F x₂ x₁

k₂ k₁

Þekil 29

F₁ = F m

•

F₂ = F

Þekil 31 yatay

(a) k₂ k₁

Þekil 30 (b) k₂ k₁

x

F

•

•

•

P

•

P

•

P

• •

P T

P T = P

P

P P

P P P

P P P

T = P T = P

T = P

T T T

T T T

T T T T

T = P T

T

Þekil 32

®F₂

®F₁

®F₃ a₁

Þekil 33 a₂

a₃

•

K

I. Yayların Seri Bağlanması

Esneklik sabiti k₁ ve k₂ olan iki yay Şekil 29 daki gibi uç uca seri olarak bağlanmış ve F kuvvetiyle toplam olarak x kadar uzatılmıştır.

F₁ = k₁ . x₁ F = k₁ . x₁ (1) F₂ = k₂ . x₂ F = k₂.x₂ (2)

İki seri bağlı yayın eşdeğer yay sabitine k_eş, ya- yın toplam uzamasına x dersek

F = k_eş . x (3) yazabiliriz.

x = x₁ + x₂ (4)

(1), (2) ve (3) bağıntılarından bulunan x değerleri (4) te yerine yazılırsa

eş 1 2

eş 1 2

F = F + F

k k k

1 = 1 + 1 bulunur.

k k k

II. Yayların Paralel Bağlanması

Esneklik sabitleri k₁ ve k₂ olan iki yay Şekil 30 daki gibi birbirine paralel olarak bağlanmış ve F kuvvetiyle yaylar x kadar uzatılmıştır.

Her bir yaya uygulanan kuvvet şu şekilde yazılabilir.

F₁ = k₁ . x (1) F₂ = k₂ . x (2)

İki paralel bağlı yayın eşdeğer yay sabitine k_eş dersek, F = k_eş . x (3) yazabiliriz.

F = F₁ + F₂ (4)

olduğundan (1), (2), (3) teki bağıntılar (4) te yerine yazılır- sa,

k_eş . x = k₁ . x + k₂ . x k_eş = k₁ + k₂ bulunur.

ÖRNEK 3

Serbest haldeki boyu 12 cm olan esnek bir yay ucuna P ağırlığında cisim asılınca, yayın boyu 16 cm oluyor. P ağırlığın- daki cisim alınıp aynı yay ucu- na G ağırlığında bir cisim ası- lınca yayın boyu 13 cm oluyor.

Buna göre, cisimlerin ağırlıklarının oranı kaçtır?

1 1 1 1

A) 1 B) C) D) E)

2 3 4 5

ÇÖZÜM

Yayın ucuna yalnız P ağırlığı asılınca yay 4 cm, yalnız G ağırlığı asılınca, yay 1 cm uzamıştır. Yayın esneklik kat- sayısı değişmediğine göre,

P G

k = = olduğundan

4 1

G 1

= bulunur.

P 4

Yanıt: D

d. Bileşke ve Dengeleyici Kuvvet İki ya da daha çok kuvvetin gösterdiği etkiyi, tek başına gösteren kuvvete bileşke kuv- vet, kuvvetlerden her birine bi- leşke kuvvetin bileşenleri denir.

Cisme aynı doğrultuda aynı büyüklükte, zıt yönlü iki kuvvet Şekil 31 deki gibi uygulandığında bu kuvvetler birbirini denge- ler (Dengeleyici kuvvet). Bu iki kuvvetin bileşkesi sıfırdır.

6. DENGE

Durmakta olan bir cisme birçok kuvvet etkidiğinde cisim bi- leşke kuvvet yönünde hareket eder. Cismin bu hareketine öteleme hareketi denir. Duran bir cisme etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise, cisim durgun (hareketsiz) kalır (statik den- ge). Hareketli bir cisme etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise, cisim sabit hızla hareketini sürdürür (dinamik denge). Bir cismin statik veya dinamik dengede kalabilmesi için cisme etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır (R^→ = 0 veya

x y

F = 0, F = 0^{→ →}

Σ Σ ).

Şekil 32 deki sistemlerde iplerle asılmış P ağırlıklı cisimler dengededir. Cisimlerin ağırlıklarını dengeleyen kuvvet, ip- lerdeki gerilme kuvvetleridir.

Uyarı: Gerilen bir ipin her noktasındaki gerilme kuvvetlerinin büyüklükleri birbirine eşittir.

Lami Teoremi (Stewen bağıntısı):

Aynı düzlemde kesişen üç kuvvetin etki ettiği K noktasal cismi, Şekil 33 deki gibi dengede ise bu kuvvetler- den herhangi ikisinin bileşkesi, üçüncü kuvvetle aynı doğrultuda eşit şiddette ve zıt yönlüdür.

F^→1 + F^→₂ + F^→₃ = 0 olduğundan Şekil 33 deki üç kuvvet arasında

G P

16 cm 12 cm

13 cm

®F₁

®F₃

®F₂

®F₄ M

•

®F₁

®F₃

2® F₄ x

y

a F₂ = GCosa

F₃ N

G = mga yatay

F₁ = GSina

Þekil 34

•

• •

K L

yatay (yer) N

•

K L

yatay (yer) N

•

T₁ = G_L

G_L T₂

G_K 3

1 2

1 2 3

F

F F

= =

Sinα Sinα Sinα bağıntısı vardır.

Uyarı: Bir noktaya etki eden aynı düzlemdeki kesi- şen üç kuvvetin bileşkesi sıfır ise, kuvvetlerin bü- yüklüğü, karşısındaki açının büyüklüğü ile ters orantılıdır. α₃ < α₁ < α₂ ise F₃ > F₁ > F₂ dir.

Eğik Düzlem Üzerinde Denge Şekil 34 deki sürtünmesiz eğik düzlem üzerinde ağır- lığı G olan bir cisim düşü- nelim. Eğik düzlemin yatay- la yaptığı açı eğim açısıdır (α). Eğik düzlemdeki cis- min G ağırlığını, biri eğik düzleme paralel doğrultu- da, (F₁) diğeri eğik düzle- me dik doğrultuda, (F₂) iki

bileşene ayıralım. Cismin dengede kalabilmesi için uygu- layacağımız kuvvetin büyüklüğü,

F₃ =G Sinα ve yönü F₁ e zıt yöndedir.

N = G Cosα ise eğik düzlemin tepki kuvvetidir.

F₂ = G Cosα ise cismin, eğik düzleme uyguladığı etki kuvvetidir.

Uyarı: Sürtünmesiz eğik düzlemler üzerinde ci- simleri dengeleyen kuvvetin büyüklüğü, cismin ağırlığından küçüktür. Bu kuvvet, eğik düzlemin eğim açısı artarsa, artar.

ÖRNEK 4

Yatay ve sürtünmesiz bir düzlem üze- rinde hareketsiz tutulan M noktasal cismine, aynı düzlemde

F^→1, F^→2,

F^→3, F^→4 kuvvetleri şekildeki gibi etki ediyor.

Cismin, serbest bırakıldığında da hareketsiz kalması için;

I. F^→₂ kuvvetini yok etme II. F^→₄ kuvvetini yok etme

III. F^→₄ kuvvetinin büyüklüğünü iki katına çıkarma

işlemlerinden hangilerini yapmak gerekir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I ve II

(ÖSS–2000)

ÇÖZÜM

Cisim serbest bırakıldığında ha- reketsiz kalması için cisme etki- yen kuvvetlerin bileşkesi sıfır ol- malıdır. Bunu sağlamak için şekil- de görüldüğü gibi hem F^→₂ kuvveti yok edilmeli hem de F^→₄ kuvveti- nin büyüklüğü iki katına çıkarılmalıdır.

Yanıt: D

ÖRNEK 5

Her biri türdeş olan K ve L cisimleri- nin ağırlıkları G_K ve G_L, yüzeyin K cismine uyguladığı tepki kuvveti N dir.

Sistem dengede olduğuna göre, N, G_K ve G_L nin büyüklükleriyle ilgili;

I. N = G_K dir.

II. N = G_L dir.

III. G_L = G_K ise, N = 0 dır.

yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

(Makara sürtünmesizdir.)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

ÇÖZÜM

Sistem dengede olduğuna göre, T₁ = G_L dir.

K cisminin dengede kalabilmesi için G_K = T₂ + N olmalıdır. Aynı ipteki gerilme kuvvetleri eşit olduğundan T₁ = T₂ = G_L dir.

G_K = G_L + N N = G_K – G_L olur.

Bu nedenle, I. N = G_K yanlıştır.

II. N = G_L olabilir.

III. G_L = G_K ise, N = 0 doğrudur.

Yanıt : C

®K

®M

®N

®L

®M

®L

®K

®K

®N ®

K ®

N ®

L + = –

®K ® +M

®N ® +L

®L

®N ®

M

®K

®N

®K

®K ® N ® + =M

®K

®L

®K ® L ® + =P

®B

®C

®A 30° O•

®K

®L

®P

®N

®M

®B

®C

®A O• 120°

150°

®R₁

®R₂

®R₃

®L

®M ®

N

®P

®M ® +L

®P

®N +

ÇÖZÜMLÜ TEST 1.

^→K, →

L, → M ve →

N vektörleri şekildeki düzgün altıgen üzerinde bulunmaktadır.

Buna göre, I. →

K + → L + →

M = 0 II. →

K + → N = →

L III. →

N + → L = →

M + → K

eşitliklerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III

ÇÖZÜM

I. Vektörler uç uca eklendiğinde en son vektörün ucu, ilk vektörün başlangıç noktasına geliyorsa bileşke vektör sı- fırdır.

Buna göre, şekildeki gibi → K + →

L + →

M = 0 ifadesi doğ- rudur.

II. Şekil II deki gibi →

K nin ucuna

→N eklenirse → K + →

N = –→ L olur.

III. Şekilde görüldüğü gibi

→N + → L ile →

K + → M nin büyüklüklerinin eşit an- cak doğrultu ve yönle- rinin farklı olduğu görü- lür.

Yanıt: A

2.

Aynı düzlemde bulunan → K,

→L, → M, →

N ve →

P vektörleri için yazılan;

I. → M – →

K = → N II. →

K + → L = →

P III. →

M + → L – →

N = → P

eşitliklerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

ÇÖZÜM I. →

M – → K = →

N ise → M = →

K + → N olur. Şekildeki gibi →

K nin ucu- na →

N eklenirse → K + →

N = → M olur.

II. Şekildeki gibi →

K nin ucuna →

L eklenirse

→K + → L = →

P olur.

III. → M + →

L – → N = →

P ise → M + →

L = → P + →

N olur.

Şekildeki gibi → M + →

L ile → P + →

N bileşke vektörleri eşit vektörlerdir.

Yanıt : E

3.

O merkezi dairesel düzlemdeki →

A, → B, →

C vektörleri şekildeki gi- bidir.

→A + → B = →

R₁, → B + →

C = → R₂, →

A + → C = →

R₃ olduğuna göre, →

R₁, → R₂, →

R₃ vektörlerinin büyüklükleri ara- sındaki ilişki nedir?

A) R₁ = R₂ = R₃ B) R₂ > R₃ > R₁ C) R₂ > R₁ = R₃ D) R₂ > R₁ > R₃

E) R₂ = R₃ > R₁

ÇÖZÜM

→A, → B, →

C vektörlerinin büyüklükleri eşit ve r dir.

İki vektör arasındaki açı büyüdükçe bileşke vek- tör küçülür.

Buna göre, R₂ > R₃ > R₁ dir.

Yanıt: B

®k

®l

®m

O•

®F₂

®F₃

®F₄

®F₅

®F₁ y

0 1 2 3 4 5 6 x 6

5 4 3 2

1 ®

C

®B

®A

y

0 1 2 3 4 5 6 7 x 4

3 2 1

®B

®A

®C

®R Þekil 1

Þekil 2

4.

Şekildeki küpün bir ke- narının uzunluğu a dır.

Buna göre → k + →

+ → m vektörünün büyüklüğü kaç a dır?

A) 3 B) 2 2 C) 2 D) 3 E) 2

ÇÖZÜM

Şekildeki vektörlerin büyüklükleri, k = a = a m = a dır.

|→ k + →

| = 2 a

|→ k + →

+ →

m| = 3 a bulunur.

Yanıt: D

5.

xy düzleminde →

A vektörünün başlangıç noktası (0,0) bitiş noktası (5,4), →

B vektörünün başlangıç noktası (2,3) bitiş noktası (4,2), →

C vektörünün başlangıç nok- tası (6,0) bitiş noktası (3,0) dır.

Buna göre, → A + →

B + →

C bileşke vektörünün büyük- lüğü kaç birimdir?

A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4

ÇÖZÜM

xy koordinat sistemindeki A, B, C vektörleri Şekil 1 deki gibidir. Bu vektörlerin bileşkesi Şekil 2 deki R dir.

R_x = 4 birim R_y = 3 birim

2 2 x y

R= R +R R = 5 birimdir.

Yanıt: D

6.

Aynı düzlemde bulunan F₁ ve F₂ kuvvetlerinin bileş- kesinin en büyük değeri R₁, en küçük değeri ise R₂ dir.

¹

2

R 4

R = olduğuna göre kuvvetlerin büyüklükleri- nin oranı kaçtır?

A) 1 B) 4

3 C) 5

3 D) 2 E) 3 ÇÖZÜM

R₁ = F₁ + F₂

R₂ = F₁ – F₂ olduğundan

1 2 1 2

F F 4

F F

+ =

− , 4F₁ – 4F₂ = F₁ + F₂ 3F₁ = 5F₂

1 2

F 5

F = bulunur. 3

Yanıt: C

7.

O noktasal cismi aynı düzlemdeki →

F₁, → F₂, →

F₃,

→F₄, →

F₅ kuvvetlerinin et- kisinde hareket etmek- tedir.

Buna göre, I. →

F₁ kuvvetinin şiddeti artırılırsa cismin hareket doğrultusu değişmez.

II. →

F₃ kuvveti kaldırılırsa cisim sabit hızla hareket eder.

III. →

F₅ kuvveti kaldırılırsa cismin hareket yönü ve doğrultusu değişir.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

O• ® R

®F₂

®F₃

®F₄

®F₅

®F₁

Þekil 1

O•

®F₂

®F₄

®F₅

®F₁ ® R₂ Þekil 2

•O

®F

®F₂

®F₃

®F₄

®F₁

®R₃

Þekil 3

x₂

•

•

yatay

P

P x₃ P

P x₁

G K

P

yatay O

®T

®F

G/2

P O

a G K

®F T

II düþey

K

L _yatay M

yatay a yatay a N

PIV

yatay III

Þekil 1 Þekil 2 Þekil 3

I ^•

•

®P

®T

®F b a

ÇÖZÜM

→F₁ + → F₂ + →

F₃ + → F₄ + →

F₅ = → R Şekil 1 deki gibidir.

Buna göre, I. →

F₁ kuvvetinin şiddeti artırı- lırsa bileşke kuvvet azalabi- lir, sıfır olabilir ya da önce- kine ters yönde olabilir. Her üç durumda da bileşke kuvvetin doğrultusu değiş- mediğinden cismin hareket doğrultusu değişmez.

II. →

F₃ kuvveti kaldırılırsa kalan kuvvetlerin bileş- kesi →

R₂ şekildeki gibi olur. Cisim →

R₂ yönün- de hızlanır.

III. →

F₅ kuvveti kaldırılırsa kalan kuvvetlerin bileş- kesi →

R₃ şekildeki gibi olur. R₃ kuvvetinin yö- nü ve doğrultusu →

R₁ den farklı olduğundan cismin hareket doğrul- tusu ve yönü değişir.

YANIT: E

8.

Ağırlıkları önemsenmeyen özdeş yaylar ve P ağırlığındaki özdeş cisimlerden oluşan düzenek şe- kildeki gibi dengededir.

Buna göre, yaylardaki x₁ , x₂ , x₃ uzama miktarları arasındaki ilişki nedir?

(Makara sürtünmesizdir.)

A) x₁ > x₂ = x₃ B) x₁ = x₂ = x₃ C) x₂ = x₃ > x₁ D) x₁ > x₂ > x₃

E) x₃ < x₂ = x₁ ÇÖZÜM

Sistem dengede olduğuna göre, özdeş yaylardaki gerilme kuvvetlerinin büyüklüğü 1. yay için 2P, 2. ve 3. yaylar için P dir. Buna göre, özdeş yayların uzamaları, bu gerilme kuvvetlerinin büyüklükleri ile doğru orantılı olduğundan x₁ > x₂ = x₃ olur.

Yanıt : A

9.

Şekildeki O merkezli P ağırlı- ğındaki türdeş küre, K nokta- sından A uzunluğundaki iple duvara bağlı ve dengede iken ipteki gerilme kuvvetinin bü- yüklüğü T, duvarın küreye uy- guladığı tepki kuvvetinin bü- yüklüğü, F oluyor.

Aynı küre, aynı noktadan,

A /2 uzunluğundaki iple duvara bağlansaydı T ve F öncekine göre nasıl değişirdi?

T F

A) Değişmez Artar

B) Artar Artar

C) Artar Değişmez

D) Azalır Artar

E) Artar Azalır

ÇÖZÜM P ağırlıklı türdeş küre dengede olduğuna göre,

→T + → F + →

P = 0 ve

→T + → F = –→

P dir.

Küre A/2 uzunluğundaki iple aynı noktaya bağlanırsa, küre- nin ağırlığı P değişmez. α bü- yür, β küçülür P = T Sinα oldu- ğundan duvarın küreye uygu- ladığı tepki kuvveti, F artar. İp- teki gerilme kuvveti T, F ve P kuvvetlerinin bileşkesine eşit olduğundan F arttığında T de artar.

Yanıt: B

10.

KL çubuğu, I ve II yatay ve düşey düzlemlere dayalı Şekil 1 deki konumda dengededir. İpe bağlı MN çu- buğu, yatay bir tabla üzerinde iken Şekil 2 deki ko- numda dengededir. P ağırlıklı cisim ise eğik düzlem üzerinde Şekil 3 teki konumda dengededir.

Buna göre, I, II, III ve IV yüzeylerinin hangileri ke- sinlikle sürtünmelidir?

(Şekil 2 de ipteki gerilme kuvveti sıfırdan farklıdır.) A) I ve II B) II ve III C) III ve IV

D) I, II ve IV E) I, III ve IV

II^düþey K

L ^yatay N₂ F_S N₁

I P

P₁

T₂ a a

Þekil 1

P₂ Þekil 2

•

• •

T₁

•

K L

yatay

yatay

®T

®P

®N

Þekil 2

•

•

• yatay

r P x

O

h 4

3r

= 2r

3 T N

r

Þekil 1

M

yatay

N

Fs Tx

aT

P

yatay F_s P Sin

a

a •

•

• yatay G

r XP O

h

•

T

ÇÖZÜM KL çubuğuna düşey duva-

rın uyguladığı tepki kuvveti

→N₁, yatay düzlemin uygu-

ladığı tepki kuvveti → N₂ dir.

Çubuk dengede olduğuna göre, çubuğa etkiyen yatay ve düşey kuvvetlerin bileş- kesi sıfırdır. Cismin P ağır- lığı, düşey →

N₂ kuvveti ile dengededir.

→N₁ kuvvetini, çubuğa L noktasından etki eden yatay düz-

lemdeki →

N₁ ile zıt yönde olan bir sürtünme kuvveti (F_s) dengelemektedir.

Şekil 2 deki MN çubuğun- da, ipteki gerilme kuvveti- nin yatay bileşeni T_X kuv- veti, tabla yüzeyindeki sür- tünme kuvveti (F_s) ile den- gelenmektedir.

Şekil 3 teki P ağırlıklı cismi dengeleyen, eğik düzlem yüzeyindeki P Sinα ya zıt yönde olan sürtünme kuv- vetidir.

Yanıt: E

11.

P ağırlığında nok- tasal bir X cismi A uzunluğunda bir ip- le r yarıçaplı O merkezli yarım kü- re biçimindeki cis- me dayalı olarak şekildeki gibi den- gededir.

2 4

h r, r

3 3

= A= olduğuna göre ipte T gerilme kuvveti ile yarımküre biçimindeki cismin X cismine uygula- dığı N tepki kuvvetinin büyüklüğü kaç P dir?

T N

A) 4

5 3 5

B) 3

5 5 4

C) 5

4 1

D) 1 3

4

E) 4

3 3 4

ÇÖZÜM

X cismine etkiyen P, N, T kuvvetleri Şekil 1 deki gibidir.

Bu kuvvetlerin büyüklükleri Şekil 2 gibi

P 5r

= 3 T 4r

= 3

N = r olduğundan

N = 0,6 P T = 0,8 P dir.

Yanıt: A

12.

Şekil 1 ve Şekil 2 deki düzenekler dengededir. Bu durumda iplerdeki gerilme kuvvetleri T₁ ve T₂ büyük- lüğünde oluyor.

Şekil 1 de iplerin uçları K ve L halkalarına takılır- ken, Şekil 2 de P₂ ağırlığı yerine, daha ağır bir yük asılıp denge sağlandığında T₁ ve T₂ öncekine gö- re nasıl değişir?

(Makaraların sürtünmesi önemsenmiyor.) T₁ T₂

A) Azalır Azalır

B) Azalır Değişmez

C) Değişmez Değişmez

D) Artar Artar

E) Artar Değişmez

ÇÖZÜM

Şekil 1 deki düzenekte ipler K ve L halkalarına asılınca bu ipler arasındaki açı küçülmekte, bileşke kuvvet P₁ sabit kalmaktadır. Buna göre T₁ azalır. Şekil 2 deki düzenekte P₂ ağırlığının artmasına rağmen, T₂ gerilmesinin oluştuğu ipin taşıdığı yük değişmediğinden, bu ipteki gerilme kuv- vetinin büyüklüğü değişmez.

Yanıt: B

®S ®

P ® N

®M

®L

®K

45°

®k ®

m

®l ®

p

®n

• 45°

•

®F₁

®F₂

®F₃

–x

–y

+x +y

K

®M a b

®L

®K

O₁

Þekil I 45°

45°

®F₂

®F₁

®F₃

O₂

Þekil II 60°

® 60°

F₆

®F₄

®F₅

O₃

Þekil III 30°

30°

®F₇

®F₈

®F₉ 120°

120°

•

m m 2m

2m

x₁ x₂ • x₃

•

KONU TESTİ 1.

Aynı düzlemde bulunan

→K, → L, →

M, → N, →

P, → S vek- törleri şekildeki gibidir.

→K, →

L vektörleri ile hangi vektörlerin bi- leşkesi sıfırdır?

A) →

M + →

N B) → M + →

P C) → P + →

N D) →

S + →

P E) → S + →

N

2.

Şekilde aynı düzlemdeki → k, →

l, → m, →

n, →

p vektörle- rinden →

p vektörünün büyüklüğü 2 birim olduğuna göre, beş vektörün bileşkesinin büyüklüğü kaç birimdir?

A) 2 B) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 6

3.

Yatay ve sürtünmesiz düzlemde durmakta olan nok- tasal K cismine →

F₁ , → F₂ ve →

F₃ kuvvetleri şekildeki gi- bi uygulanmaktadır.

Buna göre, K cisminin hareketi için aşağıdakiler- den hangisi doğrudur?

A) Dengede kalır.

B) +x yönünde hareket eder.

C) –x yönünde hareket eder.

D) +y yönünde hareket eder.

E) –y yönünde hareket eder.

4.

Aynı düzlemde bulunan şekil- deki→

K, → L, →

M vektörlerinin bi- leşkesi sıfırdır.

Buna göre, I. →

L + → M = –→

K dir.

II. α = β dır.

III. → K – →

M = → L dir.

eşiliklerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

5.

Şekil I deki O₁ merkezli daire üzerinde → F₁, →

F₂, → F₃ kuvvetleri, Şekil II deki O₂ merkezli daire üzerinde

→F₄, → F₅, →

F₆ kuvvetleri, Şekil III teki O₃ merkezli daire üzerinde →

F₇, → F₈, →

F₉ kuvvetleri gösterilmiştir.

Buna göre, hangi şekillerdeki kuvvetlerin bileş- kesi sıfırdır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

6.

Şekildeki sürtünmesiz düzenekler, özdeş yaylar ve kütleleri verilen cisimlerle dengelenmiştir.

Sistemlerdeki yayların uzama miktarları x₁, x₂, x₃ ise, bunlar arasındaki ilişki nedir?

(Yayların ağırlığı önemsenmiyor.)

A) x₁ = x₂ > x₃ B) x₁ > x₂ > x₃ C) x₁ = x₃ = x₂ D) x₃ > x₁ = x₂ E) x₁ = x₃ > x₂

T₁ T₂

P

P

T₃

yer (yatay) yatay

•

• P

•

^{37° 53°}

•

K

L

M 3P

2P

P T₁

T₂

•

a a T₁

X

Y Z

b b

T₂ T₃

q q

yatay tavan

Þekil 1 Þekil 2 Þekil 3

a

yatay

yatay P₄ P₃ P₂

P₁

b

45° yatay

•

• •

®T ip

®N O

•

P I

F₁ F₂

45°

• II

F₃

• III

P P

• •

yatay yatay 45°

7.

Eşit P ağırlıklı üç cisim sürtünmesiz sistemde şekil- deki gibi dengelenmiştir.

Buna göre, iplerdeki T₁ , T₂, T₃ gerilme kuvvetle- rinin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir?

(Sin 37° = 0,6; Cos 37° = 0,8)

A) T₁ > T₂ > T₃ B) T₃ > T₁ > T₂ C) T₃ > T₂ > T₁ D) T₂ > T₁ > T₃

E) T₁ > T₃ > T₂

8.

3P, 2P ve P ağırlıklı K, L, M cisimleri şekildeki gibi dengede iken iplerdeki gerilme kuvvetlerinin büyüklüğü T₁ ve T₂ oluyor.

L ile M cisimleri arasındaki ip kesi- lirse T₁ ve T₂ gerilme kuvvetleri ön- cekine göre nasıl değişir?

T₁ T₂

A) Değişmez Değişmez

B) Azalır Değişmez

C) Değişmez Azalır

D) Azalır Azalır

E) Artar Azalır

9.

Özdeş P ağırlıklı cisimler üç ayrı biçimde F₁ , F₂ ve F₃ kuvvetleri ile dengelenmiştir.

Buna göre, bu kuvvetlerin büyüklükleri arasında- ki ilişki nedir?

(Sistemler sürtünmesizdir.)

A) F₁ = F₂ = F₃ B) F₁ = F₂ > F₃ C) F₁ = F₃ > F₂ D) F₂ > F₃ > F₁ E) F₂ = F₃ > F₁

10.

P ağırlıklı O merkezli türdeş küre şekildeki gibi den- gededir. Eğik düzlem sürtünmesiz olup ipteki gerilme

kuvveti →

T, eğik düzlemin küreye uyguladığı tepki kuvveti →

N dir.

Buna göre, T, P ve N nin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir?

A) P > T > N B) P > N > T C) P = N = T D) N > T > P E) P > T = N

11.

Özdeş X, Y, Z cisimleri iplerle asılı olarak Şekil 1, 2, 3 teki gibi dengelenmiştir.

α > θ > β olduğuna göre, iplerdeki T₁, T₂ ve T₃ geril- me kuvvetlerinin büyüklükleri arasındaki ilişki ne- dir?

A) T₁ = T₂ = T₃ B) T₂ > T₁ > T₃ C) T₂ > T₃ > T₁ D) T₁ > T₂ > T₃ E) T₂ > T₁ = T₃

12.

Ağırlıkları P₁, P₂, P₃ ve P₄ olan dört cisim iplere bağlı olarak şekildeki gibi dengededir.

β > α olduğuna göre, cisimlerin ağırlıkları ile ilgi- li aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

(Makaraların sürtünmeleri önemsizdir.)

A) P₄ > P₃ B) P₃ > P₂ C) P₄ > P₁ D) P₁ > P₂ E) P₂ = P₃

1. D 2. A 3. B 4. A 5. B 6. E 7. C 8. D 9. B 10. E 11. C 12. E