1.Düzlemde Eğik ve Dik Koordinat Sistemi
Bu bölüme Analitik Geometrinin kuruluşuna temel teşkil eden ve adına Nokta-Vektör eşlemesi diyeceğimiz , düzlemin afin aksiyomlarını vererek başlamak uygun olacaktır.
Afin Aksiyomlar :
1. Düzlemin herhangi A, B gibi iki noktası verildiğinde ; u = AB olacak şekilde bir tek u vektörü vardır.
2. Düzlemde bir A noktası ve R vektör uzayının bir 2 u vektörü verildiğinde ; u = AB olacak şekilde bir tek B noktası vardır.
1.1.Düzlemde Eğik Koordinat Sistemi
Şekil 1.1.1
Düzlemde bir A noktası ve lineer bağımsız { } u, v vektör cümlesi
verildiğinde Nokta-Vektör eşlemesinden ; u = AB , v = AC olacak şekilde
C
B, noktalarının varlığını biliyoruz. A noktasından geçen ve u vektörüne paralel olan doğruyu d 1 , v vektörüne paralel olan doğruyu da d 2 ile gösterelim. Düzlemin keyfi bir noktası P olsun. P noktasından d 2
doğrusuna paralel çizip d 1 doğrusunu kestiği noktaya Q ve d 1 doğrusuna paralel çizip d 2 doğrusunu kestiği noktaya da R diyelim.
AR QP QP AQ
AP = + , =
olduğundan ve
v P y AR
u P x AQ
AR AQ AP
) (
) (
=
= +
=
olarak yazılabileceğinden v P y u P x
AP = ( ) + ( )
bulunur. Böylece düzlemin her bir P noktasına { A , , u v } cümlesini sabit tutarak , ( x ( P ), y ( P ) ) reel sayı ikilisini karşılık tutarız.
Tersine { A , u , v } cümlesi sabit kalmak üzere; bir ( b a , ) reel sayı ikilisi verildiğinde
v b u a AP = +
olacak şekilde bir tek P noktasının bulunacağı , Nokta-Vektör eşlemesinden
açıktır. O halde düzlemin noktaları ile reel sayı ikililerinin cümlesi olan R 2
arasında { A , u , v } cümlesini sabit tutularak bire-bir eşleme kurmuş oluruz.
Buradaki { A , u , v } üçlüsüne düzlemin bir eğik(afin,paralel) koordinat sistemi , A noktasına bu koordinat sisteminin orijini ,
( x ( P ), y ( P ) ) ikilisine de bu koordinat sistemine göre P noktasının eğik(afin,paralel) koordinatları denir. Biz bu eşleme nedeniyle düzlemin her bir P noktası için P = ( x ( P ), y ( P ) ) gösterimini kullanacağız. Ayrıca
2 1 , d
d doğrularına bu koordinat sisteminin koordinat eksenleri , v
u AC v u
AB = 1 . + 0 . , = 0 . + 1 .
olduğundan da B = ( 1 , 0 ), C = ( 0 , 1 ) noktalarına koordinat sisteminin birim noktaları denir.
Yukarıdaki tanımlardan ; P noktasından her bir eksen üzerine , diğer eksen doğrultusunda, paralel izdüşümler alınarak oluşturulan reel sayı ikilisi ile , eğik koordinat sisteminde bir P noktasının koordinatlarının gösterildiği görülür. İlk eksen ( X − ekseni) genellikle yatay olarak çizilir.
{ } u, v vektör cümlesinin ortonormal olması halinde ; { A , u , v }
cümlesine düzlemin Kartezyen(Dik Dörtgensel,Dik,Öklidyen) koordinat sistemi karşılık gelir.
1.1.1.Düzlemde Bir Noktanın Yer Vektörü
Düzlemde { A , u , v } afin koordinat sistemi seçelim . Q noktasının bu koordinat sistemine göre koordinatları ( b 1 , b 2 ) olsun. Afin koordinat
sisteminin yukarıdaki tanımından;
v b u b
AQ = 1 + 2 veya
( b 1 , b 2 )
AQ =
vektörüne Q noktasının yer vektörü denir.
1.1.2.Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Düzlemin koordinat eksenleri arasındaki pozitif yönlü açısıα olan,
{ A , u , v } afin koordinat sistemini seçelim . Bu koordinat sisteminde koordinatları ( a 1 , a 2 ) , ( b 1 , b 2 ) olan noktalar da sırasıyla P, Q olsun.
Afin koordinat sisteminin yukarıdaki tanımından;
v a b u a b
PQ = ( 1 − 1 ) + ( 2 − 2 ) veya
( b 1 a 1 , b 2 a 2 )
PQ = − −
bulunur.
( P Q ) PQ PQ d
R xR R d
, ,
: 2 2
=
→
değerine veya
( P , Q ) ( b 1 a 1 ) 2 ( b 2 a 2 ) 2 2 ( b 1 a 1 )( b 2 a 2 ) cos α
d = − + − + − − ( 1.1.2.1)
değerine P, Q noktaları arasındaki uzaklık denir.
α
Şekil.1.1.2
1.1.3.Düzlemde Alan
Şekil.1.1.3.1
Düzlemde doğrudaş olmayan herhangi üç nokta P , Q , R olsun.
R noktasından P, Q noktalarından geçen doğruya dik indirip, bu dikin ayağına H diyelim. Şekil.1.1.3.1 den
PQ PQ PQ
PQ PR
PH ,
= ,
vektörüne PR vektörünün PQ üzerine dik izdüşüm vektörü denir.
PQ PQ
PR PQ PQ PQ PQ PR
RH ,
,
, −
=
vektörüne de P , Q , R noktaları üzerine kurulan paralel kenarın PQ
kenarına ait yükseklik vektörü denir. RH vektörünün uzunluğuna da
paralel kenarın PQ kenarına ait yüksekliği denir. Buna göre ;
, 2
,
, PQ PR PR PQ PR
PQ PQ
RH = −
veya
[ PQ PR ]
PQ
RH = . det ,
bulunur. Buradan da bu noktalar üzerine kurulan paralel kenarın alanı )
, , ( P Q R
ν ile gösterilmek üzere;
[ PQ PR ]
R Q
P , , ) det ,
( =
ν .
bulunur.
Koordinat eksenleri arasındaki açısı α olan { A , u , v } afin koordinat sistemine göre bu noktaların koordinatları ( a 1 , a 2 ) , ( b 1 , b 2 ), ( c 1 , c 2 ) ise
α
ν ( , , ) det sin
2 2 1 1
2 2 1
1 ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
−
−
= −
a c a c
a b a R b
Q P dır.
1.2 Düzlemde Dik ( Kartezyen) Koordinatlar
Bugün temel matematiğin gereksinim duyduğu ilk enstrüman , kartezyen koordinat sistemidir.
Kartezyen koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları ; bu noktanın yer vektörünün koordinat eksenleri üzerine alınan dik
izdüşümlerden oluşacağı ,eğik koordinat sistemlerinin tanımından açıktır.
Eğer koordinatların biri x diğeri y ile belirtilip eksenlerde X − ekseni ve
−
Y ekseni diye söylenirse , P = ( y x , ) şeklinde gösterilir. Buradaki eşitlik
karşılık gelme anlamındadır.
Genellikle X − ekseni yatay olarak çizilip, orijinden itibaren sağa doğru artar ; − Y ekseni de düşey olarak çizilip ,orijinden itibaren yukarı doğru artar( Şekil.1.2.1).
Şekil 1.2.1: Kartezyen koordinatlarda P=(4,3), Q=(-1.3,2.5), R=(-1.5,-1.5), S=(3.5,-1) ve T=(4.5,0).
Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırırlar. Şekil 1.2.1 de P birinci bölgede , Q ikinci bölgede , R üçüncü bölgede ve S de dördüncü bölgededir.
T , X − ekseninin pozitif kısmındadır.
Kartezyen koordinatlarda P, Q noktaları arasındaki uzaklığın
( P , Q ) ( b 1 a 1 ) 2 ( b 2 a 2 ) 2
d = − + −
şeklinde olacağı , (1.1.2.1) eşitliğinde 2
α = alınarak görülür. π
1.3.Düzlemde Doğrular
Düzlemde ) A = ( x 0 , y 0 ), B = ( x 1 , y 1 noktalarından geçen doğrunun denklemi
( ( , ) ( , ) )
) , ( ) ,
( x y = x 0 y 0 + λ x 1 y 1 − x 0 y 0
şeklinde λ parametresine bağlı olarak verilebilir. Bu eşitliğe B A, noktalarından geçen doğrunun parametrik denklemi denir.
1.3.1.Düzlemde Doğruların Bazı Özellikleri
1.3 de λ parametresi yok edilerek, x 1 ≠ x 0 , y 1 ≠ y 0 olmak üzere;
λ
− =
= −
−
−
0 1
0 1 0 0
y y
x x y y
x x
bulunur. Bu eşitliklerinden doğrunun kapalı denklemi de
= 0 + + by c ax
şeklinde olur.
Doğrunun eğimi
Düzlemde bir doğrunun X − ekseni ile yaptığı açının tanjantına bu doğrunun eğimi denir. Bu açı k π ,
2 ) 1 2 ( k − π
den farklı olsun.
Bir doğru üzerindeki herhangi iki noktadan X − eksenine çizilen paralellerin doğru ile yaptığı pozitif yönlü açı aynı olduğundan ,doğrunun eğimi , doğru için bir karakteristiktir. Yani ; aynı noktadan geçen ve aynı eğime sahip bir tek doğru vardır.
= 0 + + by c ax
doğrusunun eğimi
b m − a
=
ve ) A = ( x 0 , y 0 ), B = ( x 1 , y 1 noktalarından geçen doğrunun eğimi de
0 1
0 1
x x
y m y
−
= −
eşitliklerinden bulunur.
• Doğrunun − X ekseni ile kesiştiği noktanın orijine uzaklığı a
− c
birim
ve Y − ekseni ile kesiştiği noktanın orijine uzaklığı da b
− c
birimdir.
• Eğer a = 0 ise ( veya doğru X − ekseni ile k π açısı yapıyorsa) , X − eksenine paralel , b = 0 ise ( veya doğru X − ekseni ile
2 ) 1 2 ( k − π
açısı yapıyorsa) ,doğru Y − eksenine paraleldir.
• a 2 + b 2 = 1 ve c ≤ 0 ise
= 0 + + by c
ax
denklemine doğrunun normal formu ve buradaki p = − c değerine de doğrunun orijine uzaklığı denir. w = arcsin( a ) = arccos( b ) açısına orijinden doğruya indirilen dikmenin X − eksenin pozitif kısmıyla yaptığı açı denir. Bu halde
( w w )
b a
N = ( , ) = cos , sin
vektörüne doğrunun birim normal vektörü denir. γ = ( − b , a ) vektörüne
de doğrunun birim doğrultman vektörü denir.
Şekil.1.3.1.1 : L doğrusunun normal formu p = x cos w + y sin w
Herhangi ax + by + c = 0 denklemli doğrunun normal formunu elde etmek için aşağıdaki yol izlenir :
Denklemin her iki yanını c < 0 ise a 2 + b 2 değerine , c > 0 ise
2
2 b
a +
− değerine ve c = 0 olması halinde b > 0 ise a 2 + b 2 , b < 0 ise − a 2 + b 2 değerine bölerek normal formu bulunur.
1.3.2.Düzlemde Doğrunun Bazı Özel Halleri
• X − ekseni ile x = x 0 da kesişen m eğimli doğrunun denklemi, )
( x x 0 m
y = − dır.
• Y − ekseni ile y = y 0 da kesişen m eğimli doğrunun denklemi, y 0
mx
y = + dır.
• X − ekseni ile x = x 0 da , Y − ekseni ile y = y 0 da kesişen
doğrunun denklemi ,
1
0 0
= + y
y x
x
olup , bu denklem eğik koordinatlarda da aynen geçerlidir. Ayrıca bu
denkleme ; doğrunun eksenlerden ayırdığı parçalar cinsinden denklemi denir.
• Eğimi m olan ve ( x 0 , y 0 ) noktasından geçen doğrunun denklemi )
( 0
0 m x x
y
y − = −
dir.
• A = ( x 0 , y 0 ), B = ( x 1 , y 1 ) noktalarından geçen doğrunun denklemi
0 1 1 1
1 1
0
0 =
y x
y x
y x
şeklinde determinant yardımıyla da bulunur. Bu formül eğik koordinatlarda da geçerlidir.
• P = ( x 0 , y 0 ) , Q = ( x 1 , y 1 ) noktalarıyla sınırlı doğru parçasını λ oranında bölen noktanın koordinatları
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
+ + +
= +
λ λ λ
λ , 1 1
1 0 1
0 x y y
B x
veya λ λ +
= + 1
Q
B P dır.
• P = ( x 0 , y 0 ) noktasından Q = ( x 1 , y 1 ) noktasına olan yolun
0 k
0 noktasının koordinatları veya diğer bir deyişle ) P = ( x 0 , y 0 , )
, ( x 1 y 1
Q = noktalarıyla sınırlı doğru parçasını
k k
= −
λ 100 oranında bölen noktanın koordinatları
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + − + −
100 ) 100 , (
100 ) 100
( 0 1 0
1 k x ky k y
kx .
olup, ) , ( x 0 y 0
P = , Q = ( x 1 , y 1 ) noktalarıyla sınırlı doğru parçasını λ = 1 oranında bölen noktanın koordinatları
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
, 2 2
0 1 0
1 x y y
x
dır.
1.3.3.Düzlemde Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
P
A H
N
Şekil.1.3.3.1
Düzlemde bir P noktasının , A noktasından geçen ve normali N olan doğruya olan uzaklığı , bu noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğu olarak tanımlanır. Şekil 1.3.3.1 den
0 ,
, =
−
=
= N AH AP AH N
PH µ
olduğundan
N N
N AP
PH 2
− ,
=
ve
N N AP PH
,
=
bulunur.
Buna göre;
0 ... ax + by + c = L
denklemli doğrunun ) P = ( x 0 , y 0 noktasına olan uzaklığı
2 2
0
) 0
, (
b a
c by L ax
P
d +
+
= +
olur.
1.3.4.Düzlemde İki Doğru Arasındaki Açı
0 ...
0 ...
1 1 1 2
0 0 0 1
= + +
= + +
c y b x a d
c y b x a
d
doğruları arasındaki açı θ ise θ için aşağıdaki özellikler geçerlidir .
• Doğrular arasındaki açı
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
=
2 1
2 1
arctan ,
N N
N N θ
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= −
−
=
0 1 1 0
0 1 1 0 0
0 1
1 arctan arctan arctan
b b a a
b a b a a
b a
θ b
eşitliklerinden elde edilebilir.
• a 0 b 1 = a 1 b 0 iken doğrular paralel
• a 0 a 1 = − b 1 b 0 iken de doğrular diktir.
• Eğimleri m 0 ,m 1 olan iki doğru için θ = ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
1 0
0 1
arctan 1
m m
m
m .
• Eğimleri m 0 , m 1 olan iki doğru için m 0 = m 1 ise doğrular paralel
1 1
0 m = −
m ise doğrular diktir.
1.3.5.Düzlemde Doğruların Noktadaşlığı ve Noktaların Doğrudaşlığı
Düzlemde üç doğru eğik koordinatlarda
0 ....
0 ....
0 ....
2 2 2 3
1 1 1 2
0 0 0 1
= + +
= + +
= + +
c y b x a d
c y b x a d
c y b x a d
olmak üzere;aşağıdakilerin doğru olduğu lineer denklem sisteminin çözümünden görülebilir.
• Üç doğru noktadaştır ⇔ 0
2 2 2
1 1 1
0 0 0
= c b a
c b a
c b a
• Üç noktanın koordinatları ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) olsun.
Üç nokta doğrudaştır ⇔ 0
1 1 1
2 2
1 1
0 0
= y x
y x
y
x
1.4.Poligonlar
≥ 3
k olmak üzere;düzlemdeki sıralı A 1 , A 2 ,..., A k noktalarını ardışık olarak birbirine ve sonuncusunu da birincisine doğru parçalarıyla bağlayarak elde edilen geometrik şekle düzlemde bir k − kenarlı poligon ya da k − gen denir. Buradaki A i , i = 1 ,..., k noktalarına poligonun köşe
ya da tepe noktaları A i A i + 1 , i = 1 ,..., k doğru parçalarına da poligonun kenarları ya da ayrıtları denir. k = 3 ise poligon üçgen , k = 4 ise poligon dörtgen şeklinde isimlendirilir.
Bir poligonun ardışık kenarları aynı doğru üzerinde olmayan ve herhangi iki kenarı -ardışık iken ortak tepeleri hariç- kesişmeyen poligonlara basit poligon denir.
Şekil.1.4.1 : İki basit(baştaki ve ortadaki) bir basit olmayan poligon
• Bundan böyle poligon sözcüğünden basit poligonu anlayacağız
Poligonun herhangi tepe noktasındaki- iki kenarı arasındaki - açıya
poligonun bir iç açısı denir ve tepe noktasının sembolüyle gösterilir. Bu
açının tümleyenine - veya geometrik olarak tepe noktasındaki bir kenar ile
diğerinin uzantısı arasındaki açıya-poligonun bu tepe noktasındaki dış açısı denir. Herhangi k − genin iç açılarının toplamı ( k − 2 ) π .
Buna göre; üçgenin iç açıları toplamı π dörtgeninki de 2 π olur.
Seçilen bir koordinat sisteminde ;tepe noktalarının koordinatları k
i y x
A i = ( i , i ), = 1 ,..., olan bir poligonun sınırladığı bölgenin alanı , eksenler arasındaki açı α ve x k + 1 = x 1 , y k + 1 = y 1 olmak üzere ;
( ) ( ) α
ν sin
2 ,..., 1
,
1 1 1
2
1 ∑
= + − +
= k
i
i i i i
k x y x y
A A A
şeklinde olacağı 1.1.3. paragraf kullanılarak görülebilir.
2.Düzlemin Bazı Dönüşümleri
Düzlemde her bir ( y x , ) noktasını aynı koordinat sisteminde bir başka nokta ile eşleştirme kuralına düzlemin bir dönüşümü denir. Bir dönüşümün kuralı
( ( , ), ( , ) )
) , ( ) , (
:
2 1
2 2
y x f y x f y x F y x
R R F
=
→
→
şeklinde belirtilir.
Örneğin ; ( y x , ) noktasını d birim aşağıya öteleme dönüşümünün kuralı
( x y d )
y x F y x
R R F
−
=
→
→
, ) , ( ) , (
: 2 2
şeklindedir.
Bu örnekte de olduğu gibi ; koordinatları bilinen bir nokta üzerine bir dönüşümün etkisi , dönüşüm yardımı ile hemen bulunabilir. Diğer taraftan
0 ) , ( x y =
C kapalı denklemi ile verilen bir nesnenin F dönüşümü altındaki görüntüsünün denklemini bulmak için ,bu dönüşümün
)) , ( ( ) , ( )), , ( ( ) ,
( x y = G F x y x y = F G x y özelliğinde
) , ( ) , (
: 2 2
y x G y x
R R G
→
→
biçimindeki tersine ihtiyacımız vardır. Eğer F dönüşümünün G tersini bulabiliyorsak verilen nesnenin dönüşüm altındaki görüntüsünün kapalı denklemini
0 )) , (
( G x y = C
şeklinde bulabiliriz.
2.1.Düzlemde Öteleme ve Özellikleri
Düzlemin bir { A , , u v } afin koordinat sistemini sabit tutalım.
) , ( b a
β = olmak üzere ;
) , ( ) , ( 2 ,
: R 2 R T x y x a y b
T → = − −
β β
dönüşümüne düzlemde β = ( b a , ) doğrultusunda öteleme dönüşümü denir.
Ötelemelerin aşağıdaki özellikleri öteleme tanımı kullanarak gösterilebilir.
1. T β T γ = T β + γ = T γ T α
• ötelemeler bileşke işlemine göre kapalı ve değişmelidir 2. T − 1 : R 2 → R 2 , T ( x , y ) = ( x + a , y + b )
β β
• Her ötelemenin tersi de ters doğrultuda bir ötelemedir
3. d ( T u ( P ), T u ( Q ) ) = d ( P , Q )
• ötelemeler uzunlukları korur
4. ( ( ), ( ), ( R )) ( P , Q , R ) T u
u Q T u P
T ν
ν =
• ötelemeler alanları korur
5. S PQ RS T u
u R T u Q T u P
T ( ) ( ) , ( ) ( ) = ,
• ötelemeler açıları korur
Kapalı denklemle verilen bir nesnenin , verilen bir dönüşüm altındaki görüntüsünün kapalı denklemini bulmaya örnek olarak ;
verilen nesneyi
0 1 )
,
( x y = x 2 + y 2 − = C
denklemli bir çember verilen dönüşümü de , verilen her noktayı d birim kadar Y − ekseni doğrultusunda aşağıya öteleme alırsak, ters dönüşüm de d birim kadar Y − ekseni doğrultusunda yukarıya öteleme olur .Bu dönüşüm için
) , ( ) , ( ) , (
: 2 2
d y x y x G y x
R R G
+
=
→
→
olur. Çemberin ötelenmiş denklemi de
0 1 ) ( ))
, (
( G x y = x 2 + y + d 2 − = C
şeklinde bulunur.
2.2.Düzlemde Bir Nokta Etrafında Dönme ve Özellikleri Düzlemde koordinat eksenleri arasındaki açı α olan { A , , u v } afin koordinat sistemini alalım.
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ − + − − + + −
=
= +
=
−
=
→
α
γ α θ β
θ α α
θ α γ β
α α θ
θ
α θ γ θ α α β
θ
sin 2
) cos cos (cos ) cos cos cos , ( sin 2
) cos cos (cos ) cos cos ) (cos
, (
) , ( ), ( ), ( 2 , : 2
y x
y y x
x R
y x P R
R R
dönüşümüne düzlemde A noktası etrafında θ açısı kadar dönme dönüşümü denir.
Özel olarak dik koordinat sisteminde A noktası etrafındaki dönme dönüşümü yukarıda
2
α = π alarak,
( θ θ θ θ )
θ θ
cos sin
, sin cos
) , (
: 2 2
y x
y x
y x R
R R R
+
−
=
→
şeklinde bulunur. Bu dönüşümlerin terslerine A noktası etrafında θ açısı kadar ters dönme dönüşümleri denir ve sırasıyla;
( )
( ) ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − + − + − + −
− =
+
=
−
=
− →
α
β α θ β θ α α
θ α γ γ
α α θ
θ
α θ γ θ α α β
θ
sin 2
) cos cos (cos ) cos cos , (cos sin 2
) cos cos cos ( ) cos cos ) (cos
, 1 (
) ( ), ( 2 , : 2
1
y x
y y x
x R
R R R
( θ θ θ θ )
θ θ
cos sin
, sin cos
) , 1 (
2 : 2
1
y x
y x
y x R
R R
R
+
− +
− =
− →
şeklinde bulunur.
2.3.Bir Nokta Etrafında Dönme Dönüşümünün Özellikleri Dik koordinat sisteminde orijin etrafında dönme tanımı kullanılarak;
dönmenin aşağıdaki özellikleri gösterilir.
1.
1 2 2
1 2
1 θ θ θ θ θ
θ R R R R
R = + =
• Dönmeler bileşke işlemine göre kapalı ve değişmelidir 2. R 1 θ − = R − θ
• Her dönmenin tersi de ters yönde bir dönmedir 3. d ( R θ ( P ), R θ ( Q ) ) = d ( P , Q )
• Dönme dönüşümleri uzunlukları korur 4. ν ( R θ ( P ), R θ ( Q ), R θ ( R )) = ν ( P , Q , R )
• Dönme dönüşümleri alanları korur
5. R θ ( P ) R θ ( Q ) , R θ ( S ) R θ ( L ) = R θ ( PQ ), R θ ( SL ) = PQ , SL
• Dönme dönüşümleri açıları korur
6. R θ ( λ AP + µ AS ) = λ R θ ( AP ) + µ R θ ( AS )
• Dönme dönüşümü lineerdir.
7. ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ −
= θ θ
θ θ
θ sin cos
sin
~ cos
R matrisine düzlemde pozitif yönde dönme matrisi
denir.
8. ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
= −
− θ θ
θ θ
θ 1 cos sin cos sin
R ~ matrisine düzlemde pozitif yönde ters dönme
matrisi denir.
2.4. Diğer Dönme Örnekleri 2.4.1.Hiperbolik Dönme
2
: R 2 R
R H → , ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ x y y
x
R H µ
µ , ) , (
şeklindeki dönüşüme Hiperbolik Dönme denir.
Bu dönüşüm xy = hiperbolünü değiştirmediğinden ve c determinantı 1 olduğundan Öklidyen dönmenin Lorentz düzlemindeki versiyonudur. Bu nedenle de adına hiperbolik dönme denir.
Bu dönüşüm , çemberleri elipslere alan koruyarak dönüştürür.
2.4.2.Parabolik Dönme
2
: R 2 R
R P → , R P ( x , y ) = ( x + 1 , 2 x + y + 1 )
şeklinde tanımlı dönüşüme Parabolik Dönme denir. Bu dönüşüm y = x 2 parabolünü değiştirmediğinden parabolik dönme denmektedir.
2.4.3.Ötelemeli Dönme
Bir öteleme ve bir dönmenin bileşkesinden oluşan dönüşüme ötelemeli dönme denir. Ötelemeli dönmenin ifadesi öteleme ve dönme
dönüşümlerinin ifadelerinin bileşkesinden bulunabileceğinden burada
vermeyeceğiz.
2.5.Düzlemde Yansıma
2.5.1.Düzlemde Bir Noktaya Göre Yansıma
M P
S M (P)
Şekil 2.5.1.1
Düzlemin sabit noktası M ve değişken noktası da P olsun.
P , M noktalarından geçen doğru üzerinde bulunan ve PM vektörüyle aynı doğrultuda ,aynı yönde ,eşit uzunluktaki M ′ P vektörünün uç noktası olan P′
noktasına , P noktasının M noktasına göre simetriği denir ve P ′ = S M (P ) şeklinde gösterilir.
P M P S R R
S M : 2 → 2 , M ( ) = 2 −
dönüşümüne de M noktasına göre yansıma denir.
2.5.2.Düzlemde Bir Doğruya Göre Yansıma
P
S
A,αA
(P)H
d
Şekil 2.5.2.1 Düzlemde
α λ +
= A X
d...
parametrik denklemiyle verilen doğruyu göz önüne alalım.
Bir P noktasından d doğrusuna indirilen dikmenin ayağı H olsun PH vektörüyle aynı yönde ,aynı doğrultuda ve eşit uzunluktaki H ′ P vektörünün uç noktası olan P′ noktasına ; P noktasının d doğrusuna göre simetriği denir ve , ( P )
S A
P ′ = α şeklinde gösterilir.
Buna göre ; PH
P
P ′ = 2 veya
2 P H = P + ′
olur. H doğru üzerinde olduğundan α
λ 0 +
= A
F
olacak şekilde bir tek λ 0 ∈ R vardır. Buradan α
λ 0 2 ′ = +
+ P A
P (2.5.2.1) ve tanım nedeniyle
α α
α 0 , ,
, P P
P
P ′ = ⇒ ′ =
dır.
(2.5.2.1) eşitliğinin her iki yanını α ile iç çarpıma tabi tutarak
0 2
, α λ = AP α
bulunur. Böylece (2.5.2.1) den α α
α
2
,
2 2 AP
P A P ′ = − + bulunur.
2 2
, : R R
S A α → , α
α α
α 2
, 2 2
) , (
AP P
A A P
S = − +
şeklinde tanımlı dönüşüme d doğrusuna göre yansıma denir.
Düzlemde bir doğruya göre yansıma yukarıda olduğu gibi doğrunun doğrultman vektörüne bağlı olarak hesaplandığı gibi doğrunun normal vektörüne bağlı olarak da hesaplanabilir. Her ikisinde de aynı yansıma elde edilir.
Düzlemde α λ +
= A X
d...
parametrik denklemiyle verilen doğrunun normali N olsun N
PH = µ veya
N AP
AH − = µ eşitliğinden
N N
N AH
,
− , µ = ve
N N N
N AH
PH ,
− ,
=
bulunur. Buradan ;
N N N
N AP P
N P S A
, , ) 2
, ( = −
şeklinde yansıma dönüşümü elde edilir
2.5.3.Diğer Yansıma Örnekleri
2.5.3.1.Hiperbolik Yansıma
2
: R 2 R
S H → , ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= x y
y x
S H µ
µ , ) , (
Şeklindeki dönüşüme Hiperbolik Yansıma denir.
Bu dönüşüm xy = hiperbolünün kollarını birbirlerine dönüştürür. c determinantı 1 − olduğundan Öklidyen Yansımanın Lorentz düzlemindeki versiyonudur.
2.5.3.2.Parabolik Yansıma 2
: R 2 R
S P → , ( x , y ) = ( x + 1 , 2 x − y + 1 )
S P
şeklinde tanımlı dönüşüme Parabolik Yansıma denir.
2.5.3.3.Ötelemeli Yansıma (glide-reflection) Bir
0 ... ax + by + c = L
doğrusuna göre yansıma
S ve L doğrusu boyunca L u
k birim öteleme
u 2
u T k
olmak üzere ; S L u k u T
2
dönüşümüne Ötelemeli Yansıma denir.
Bu tanıma göre ;
( ) ( )
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+
−
− +
− +
±
−
−
= 2 − 2 2 2 2 2 2 2
2
2 , 2
2 ) 2
,
( a b
bd bc y b a abx b
a
ad ac aby x
a y b
L x S u k u
T ∓
elde edilir.
2.5.4.Düzlemde Bir Doğruya Göre Kırpma Dönüşümü Verilen bir doğru üzerindeki noktaları sabit bırakan
ve diğer bütün noktaları da doğruya olan uzaklıklarının belli katı oranında, doğru boyunca öteleyen dönüşüme Kırpma Dönüşümü denir
Şekil.2.5.4.1 Şekil 2.5.4.1 den ;
u L u P kd HQ = ( , ) ve
P Q HQ P
H ′ = + ′ HP HQ P
H ′ = +
u L u P kd P
P ′ = + ( , )
veya
u L u P kd P
P ) ( , )
( = +
Κ Eğer
0 .... ax + by + c = L
ise
( ) ( )
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
+ + + +
+ +
− +
=
Κ ( , ) 2 2 , 2 2
b a
c by ax y ak
b a
c by ax x bk
y x olur.
2.6.Düzlemde İzdüşümler
2.6.1.Bir Doğrunun Diğer Doğru Üzerine Paralel Ve Dik İzdüşümü
d 1 d 2
w
p φ(P)
Şekil.2.6.1.1 Düzlemde
0 ...
, 0 ...
2 1
′ =
′ +
′ +
= + +
c y b x a d
c by ax d
doğruları ve w vektörü verilsin. d 1 doğrusunun normali N = ( b a , ) ve d 2
doğrusunun normali de N ′ = ( a ′ , b ′ ) olduğu açıktır. d 1 doğrusu üzerindeki
P noktasından w vektörüne paralel çizip bu paralelin d 2 doğrusunu kestiği noktaya ) φ (P diyelim Buna göre ;
w P P φ ( ) = λ
olur. Bu eşitliğin her iki yanını N ′ ile iç çarpıma tabi tutarak;
0 N , ′ ≠ w
olmak üzere;
( )
N ,
N ,
′ + ′
− ′
= w
P λ c
ve ( )
w w
P c P
P , N
N ) ,
( ′
+ ′
− ′ φ =
bulunur. Gerekli hesaplamaları yaparak,
( )
2 1
2 1
2 1 1
2 ,
) ,
( a w b w
w c y w a x w a w c y w b x w y b
x ′ + ′
− ′ + ′
− ′
− ′
− ′
= ′ φ
dönüşümüne ulaşılır. Bu dönüşüme d 1 doğrusunun d 2 doğrusu üzerine w doğrultusundaki paralel izdüşümü denir.
Eğer w = N ′ ise
( )
2 2
2
2 ,
) ,
( a b
b c y a x b a a c y a b x y b
x ′ + ′
′
− ′ + ′
′
− ′
′
− ′
′
− ′
= ′ φ
dönüşümüne de d 1 doğrusunun d 2 doğrusu üzerine dik izdüşümü denir.
2.6.2.Düzlemde Merkezcil İzdüşüm
M 1
ψ M (P)
Şekil 2.6.2.1 Düzlemde
0 ...
, 0 ...
2 1
′ =
′ +
′ +
= + +
c y b x a d
c by ax d
doğruları ve bu doğrular üzerinde bulunmayan M noktası verilsin. M noktasından geçen doğrunun d 1 doğrusunu kestiği nokta P ve d 2 doğrusunu kestiği nokta da Ψ M (P ) olsun . Şekil 2.6.2.1 den
MP P
M Ψ M ( ) = λ
olur. Bu eşitliğin her iki yanını d 2 doğrusunun N ′ normali ile iç çarpıma tabi tutarak;
0 N , ′ ≠ MP
olmak üzere;
( )
N MP
N M c
′ + ′
− ′
=
,
λ ,
ve ( )
MP N
MP N M c M
M P ′
+ ′
− ′
=
Ψ ,
) , (
bulunur. M = ( m 1 , m 2 ) olmak üzere;
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+ ′
− ′ + ′
′
+ ′ + ′
− ′
′ + ′
− ′ + ′
′
+ ′ + ′
+ ′
− ′
=
Ψ ( )
) , (
) (
) ) (
(
2 1
2 1
2 2
1
1 1
2
m b m a y b x a
m c y c m a x m a m b m a y b x a
m c y b m x m b P c
M
bulunur. Bu dönüşüme d 1 doğrusunun d 2 doğrusu üzerine M merkezli merkezcil izdüşümü denir.
d 1 doğrusunun normali N = ( ) a , b olmak üzere;bu dönüşüm altında görüntüsü bulunmayan
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
− ′
′ + ′
− ′
′
− ′
′ + ′ + ′
− ′
= a b a b
m b a m a a b a b
a b a
m b b bm a b a
S 1 2 , 1 2
noktasına izdüşümün d 1 üzerindeki sıfır noktası denir.
2.6.2.1.Merkezcil İzdüşümün Özel Halleri
• M koordinat sisteminin orijini ise
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+ ′
′
− ′ + ′
′
− ′
=
Ψ a x b y
y c y b x a
x P c
O ( ) , ,
• d 2 doğrusu X − ekseni ise
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− +
= −
Ψ , 0
) ) (
2 1 2
m y
y m x P m
M ,
• d 2 doğrusu − Y ekseni ise
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= − Ψ
1 1 , 2
0 )
( x m
y m x m M P
olur.
2.6.3.Düzlemde Stereografik İzdüşüm Ve Özellikleri
d
M
Q X
σ( ) X
Şekil.2.6.3.1 Düzlemde
0 ... ax + by + c = d
doğrusu ve r 2
MX =
çemberi verilsin .Çemberin M merkezinden d doğrusuna indirilen dikmenin çemberi kestiği nokta Q olsun. Q noktasından geçen herhangi doğrunun çemberi ve d doğrusunu kestiği noktalar sırasıyla X , σ ( X ) olsun. Buna göre ; Şekil.2.6.3.1 den
N
MQ = λ , r 2 = MQ 2 = λ 2 N 2
veya MQ vektörünün yönü N vektörünün yönü ile aynı ise N
N M r
Q = + dir.
ters ise ; ( yukarıdaki Q noktasının M noktasına göre simetriğinden ) N
N M r Q = −
olur.
Diğer taraftan QX X
Q σ ( ) = µ olduğundan
) (
)
( X = Q + µ X − Q
σ
olur. ) σ (X , d üzerinde olduğundan
( )
N X N Q
c N Q
, ,
,
−
= + µ
ve ( )
) , (
, ) ,
( X Q
N X N Q
c N Q Q
X −
− + +
σ =
bulunur. Bu dönüşüme M merkezli r yarıçaplı çemberin d doğrusu üzerine stereografik izdüşümü denir.
Örnekler:
• M = O , d ... y = 0 ise
y r y rx x
R S
= −
→ ) , (
: 1 σ σ
dir.
• M = O , d ... x = 0 ise
x r y ry x
R S
= −
→ ) , (
: 1 σ σ
olur.
Bu örneklerle tanımlı stereografik izdüşümler 1-1 örten dönüşümler olduğundan tersleri vardır ve sırasıyla
•
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+
−
= +
→
−
−
2 2 2 1
1 1
1
) 1 , (
1 ) 2 (
:
X X r X X X
S R σ σ
•
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+ +
= −
→
−
−
2 2
2 1
1 1
1 , 2 1
) 1 ) (
( :
X X X
X X r
S R σ σ
şeklindedir.
2.7.Düzlemde İnversiyon
C
α x I C,α (x)
S
Şekil.2.7.1
{ } { }
CP CP P r
r C I
C R C R r C I
2 ) 2
2 ( ,
2 : 2
, 2
=
−
→
−
dönüşümüne C kutuplu α = r 2 kuvvetli inversiyon denir.
2.7.1.İnversiyonun Bazı Özellikleri
• R { } C
I r C
I , 2 = 2 − 2
•
{ } { }
CQ CP
Q P r Q r C I P r C I
C R C R r C I
2 2 2
) 2 ( ) , 2 ( ,
2 : ,
=
−
→
−
• ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
−
′ = CP
CP CQ CP CQ
CP CQ r
P r C
I 2 2
2 2 ,
) )(
2 (
, ,
burada 2
,r C
I ′ inversiyon dönüşümünün Jakobianıdır.
• Şekil.2.7.1 den 2 ,r C
I ′ dönüşümüne ; C merkezli r yarıçaplı S ( ) C , r çemberini değiştirmediğinden S ( ) C , r çemberine göre inversiyon da denir.
• CQ CR
CP CR r
P r C I CQ P r C
I ( )( ) ,
, 2 ), )(
2 (
, 4
= 4
′
′
olduğundan inversiyon açıları korur.
2.8.Benzerlik Dönüşümleri
Düzlemin şekillerini koruyan dönüşümlerinin tümüne Benzerlik Dönüşümü denir. Düzlemin her benzerlik dönüşümü ; bir homoteti ile izometrinin bileşkesinden oluştuğundan ,burada aşağıdaki homoteti ve izometri tanımını vermek uygun olacaktır.
2.8.1.Homoteti Dönüşümü
Fotokopi makinasında büyültme küçültme yapan işlev bir homoteti dönüşümüdür.
M
P
H M ,λ (P)
) (
) (
,
, ,
2
: 2
M P M P H
R R H
M M
− +
→
= λ
λ λ
