RP (x)dx bulunur. Buna göre

B) Kanonik Forma · Indirgeme P ₁ (x) = 2

u du

dx + P (x) = 0 al¬n¬rsa

u = e

^{R P (x)dx} bulunur. Buna göre

Q 1 (x) = Q (x) 1

4 P ² (x) 1 2

dP

dx ve R 1 (x) = R (x) u

¸ seklinde hesaplan¬r. E¼ ger Q 1 (x) = A; bir sabit ise, o zaman (2) denklemi d ² v

dx ² + Av = R (x) u

¸ seklinde 2. basamaktan sabit katsay¬l¬ bir denkleme indirgenmi¸ s olur. E¼ ger Q 1 (x) = A

x ² ise, o zaman (2) denklemi x ² d ² v

dx ² + Av = x ² R (x) u

¸ seklinde bir Euler denklemine indirgenir.

Örnek 1.

y ⁰⁰ 2

x y ⁰ + 1 + 2

x ² y = xe ^x denklemini çözünüz.

Çözüm. Bu denklem için Q 1 (x) = 1 olarak hesaplan¬r. Ayr¬ca u = e

^R

^dx = x olup, orijinal denkleme y = xv dönü¸ sümü uygulan¬rsa,

d ² v

dx ² + v = e ^x

sabit katsay¬l¬denklemi elde edilir. Bu denklemin genel çözümü v = c 1 cos x + c 2 sin x + 1

2 e ^x dir, buradan orijinal denklemin genel çözümü

y = c 1 x cos x + c 2 x sin x + 1 2 xe ^x olur.

Örnek 2.

4x ² y ⁰⁰ + 4x ³ y ⁰ + x ² + 1 ² y = x ² e ^x

⁼⁴ ln x denklemini çözünüz.

1

Çözüm. Bu denklem için P (x) = x; Q (x) = x ² + 1 ²

4x ² and R (x) = e ^x

⁼⁴ ln x 4 olup, u = e ^x

⁼⁴ ¸ seklinde hesaplan¬r. O halde denkleme y = e ^x

⁼⁴ v dönü¸ sümü uygulan¬rsa, Q ₁ (x) = 1

4x ² olmak üzere v ⁰⁰ + 1

4x ² v = ln x 4 Euler denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü

v = (c 1 + c 2 ln x) x ¹⁼² + x ²

9 ln x 4 3 olup, verilen denklemin çözümü

y (x) = e ^x

⁼⁴ (c ₁ + c ₂ ln x) x ¹⁼² + x ²

9 ln x 4

3 :

2

2) Ba¼ g¬ms¬z De¼ gi¸ sken De¼ gi¸ stirme d ² y

dx ² + P (x) dy

dx + Q (x) y = R (x) (1)

denklemi için

z = (x) dönü¸ sümü uygulan¬rsa,

d ² y dz ² +

d

z dx

+ P ^dz _dx

dz dx

2

dy dz + Q

dz dx

2 y = R

dz dx

2 (2)

bulunur.z = (x) fonksiyonu dz dx =

r Q

a ²

olacak ¸ sekilde seçilsin; burada i¸ saretleri ^dz _dx türevini reel de¼ gerli k¬lmak içindir, a ² herhangi bir pozitif say¬d¬r ve ço¼ gunlukla a ² = 1 al¬n¬r. E¼ ger

d

z dx

+ P _dx ^dz

dz dx

2 = A; bir sabit, ise, o zaman (2) denklemi

d ² y dz ² + A dy

dz a ² y = R

dz dx

2

¸ seklinde sabit katsay¬l¬bir denkleme indirgenir.

Örnek.

d ² y

dx ² cot x dy

dx sin ² x y = cos x cos ³ x denklemini çözünüz.

Çözüm. Q = sin ² x oldu¼ gundan, dz

dx =

r Q

1 = p

sin ² x = sin x;

d

z dx

+ P _dx ^dz

dz dx

2 = 0

bulunur. O halde z = cos x dönü¸ sümü verilen denkleme uygulan¬rsa, d ² y

dz ² y = z

denklemin elde edilir. Bu denklemin çözümü z = c 1 e ^z + c 2 e ^z + z olup, verilen denklemin çözümü

y = c 1 e ^{cos x} + c 2 e ^{cos x} cos x

1

dir.

Örnek. A¸ sa¼ g¬daki denklemleri çözünüz.

1) y ⁰⁰ (1 + 4e ^x ) y ⁰ + 3e ^2x y = e ^2(x+e

⁾ ;

2) cos ⁴ x y ⁰⁰ + 2 cos ² x (1 cos x sin x) y ⁰ + y = 0:

2