· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Laplace denklemi

(1)

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Laplace denklemi

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, K¬smi Diferensiyel Denklemler

Ders-I

6 Nisan, 2020

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi, K¬smi Diferensiyel Denklemler Ders-I)·Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Laplace denklemi6 Nisan, 2020 1 / 20

(2)

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

denklemlerinin genel çözümlerini inceleyeceyiz ve özel olarak Laplace

denkleminin baz¬çözümlerini ara¸st¬raca¼ g¬z.

(3)

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu

Bu durumda denklem

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz.

(4)

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu Bu durumda denklem

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c

elde ederiz.

(5)

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu Bu durumda denklem

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek,

u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz.

(6)

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu Bu durumda denklem

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c

(7)

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

dy dx = ^c

b (3)

denklemini sa¼ glayan

y c

b x = sabit do¼ grular¬üzerinde

du ( x, y ( x ))

dx = u _x + u _y dy

dx = u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz. Karakteristikler üzerinde integral almak suretiyle

u =

Z

f ( x ) /cdx + G ( sabit )

= F ( x ) + G ( y c b x ) genel çözümünü elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c

Z

f ( x ) dx dir.

(8)

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

dy dx = ^c

b (3)

denklemini sa¼ glayan

y c

b x = sabit do¼ grular¬üzerinde

du ( x, y ( x ))

dx = u _x + u _y dy

dx = u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz. Karakteristikler üzerinde integral almak suretiyle

u =

Z

f ( x ) /cdx + G ( sabit )

= F ( x ) + G ( y c b x )

Z

(9)

II. durum

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m. Öncelikle Delta 6= 0,yani (1) denkleminin hiperbolik veya eliptik oldu¼ gunu kabul edelim.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

denkleminin kökleri olmak üzere (1) denkleminin genel çözümü, key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + b 1 x ) + G ( y + b 2 x ) (5) olarak elde ederiz.

(10)

II. durum

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m.

Öncelikle Delta 6= 0,yani (1) denkleminin hiperbolik veya eliptik oldu¼ gunu kabul edelim.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

denkleminin kökleri olmak üzere (1) denkleminin genel çözümü, key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + b 1 x ) + G ( y + b 2 x ) (5)

olarak elde ederiz.

(11)

II. durum

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m.

Öncelikle Delta 6= 0,yani (1) denkleminin hiperbolik veya eliptik oldu¼ gunu kabul edelim.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

denkleminin kökleri olmak üzere (1) denkleminin genel çözümü, key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + b 1 x ) + G ( y + b 2 x ) (5) olarak elde ederiz.

(12)

II. durum

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m.

Öncelikle Delta 6= 0,yani (1) denkleminin hiperbolik veya eliptik oldu¼ gunu kabul edelim.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

denkleminin kökleri olmak üzere (1) denkleminin genel çözümü, key…

F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + b 1 x ) + G ( y + b 2 x ) (5)

olarak elde ederiz.

(13)

III. durum

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac = 0 durumu

Bu durumda denklem parabolik denklemdir ve b ₁ = b ₂ = ^b

2a olup genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y b

2a x ) x + G ( y b

2a x ) (6)

olarak elde edilir.(Bknz ders notlar¬)

(14)

III. durum

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac = 0 durumu Bu durumda denklem parabolik denklemdir ve

b ₁ = b ₂ = ^b 2a olup genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y b

2a x ) x + G ( y b

2a x ) (6)

olarak elde edilir.(Bknz ders notlar¬)

(15)

Laplace denklemi

Örnek 1

u _xx + u _yy = 0

Laplace denkleminin genel çözümünü belirleyiniz. Bu denklem,

∆ : = ( ^∂

²

∂x

²

+ ^∂

²

∂x

²

) türev operatörü olmak üzere

∆u = ^∂

2 u

∂x ² + ^∂

2 u

∂x ² = 0 biçiminde de ifade edilir.

(16)

Laplace denklemi

a = 1, b = 0, c = 1 olup,

Delta = 4 6= ⁰ ve karakteristik denklem

ax ² + bx + c = x ² + 1 = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = i , b ₂ = i

dir

(17)

Laplace denklemi

(5) den, denklemin gerektirdi¼ gi basamaktan türevleri mevcut ve sürekli olan key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümümüzü

u = F ( y + ix ) + G ( y ix ) (7) olarak ifade edebiliriz.

Eliptik türden olan denklemin karakteristiklerinin karakteristikleri y + ix = sabit, y ix = sabit

sanal do¼ grular¬d¬r.

(18)

Laplace denklemi

(5) den, denklemin gerektirdi¼ gi basamaktan türevleri mevcut ve sürekli olan key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümümüzü

u = F ( y + ix ) + G ( y ix ) (7) olarak ifade edebiliriz.

Eliptik türden olan denklemin karakteristiklerinin karakteristikleri y + ix = sabit, y ix = sabit

sanal do¼ grular¬d¬r.

(19)

Laplace denkleminin …ziksel anlam¬

Fizikte, Laplace denklemi elektrik yük yo¼ gunlu¼ gunun olmad¬¼ g¬bir ortamda Maxwell denklemlerinden birisini olu¸sturur ve çözümü, yani u, potansiyel fonksiyonu olarak adland¬r¬l¬r ve E = ( u _x , u _y ) ise söz konusu ortamdaki elektrik alan¬n¬temsil eder.

Ak¬¸skanlar mekani¼ ginde, dü¸sük h¬zda ve uygun baz¬¸sartlarda u h¬z potansiyeli olarak adland¬r¬l¬r ve örne¼ gin iki boyutlu ak¬¸skan

hareketinde ( u x , u y ) s¬ras¬yla ak¬¸skan¬n x ve y yönündeki h¬z¬n¬temsil eder.

Statikte u yer de¼ gi¸smeyi temsil eder, Laplace denkleminin çözümü ile statikte yer de¼ gi¸stirme ve gerilme gibi ilgili …ziksel özellikler

belirlenebilir.

(20)

Laplace denkleminin …ziksel anlam¬

Fizikte, Laplace denklemi elektrik yük yo¼ gunlu¼ gunun olmad¬¼ g¬bir ortamda Maxwell denklemlerinden birisini olu¸sturur ve çözümü, yani u, potansiyel fonksiyonu olarak adland¬r¬l¬r ve E = ( u _x , u _y ) ise söz konusu ortamdaki elektrik alan¬n¬temsil eder.

Ak¬¸skanlar mekani¼ ginde, dü¸sük h¬zda ve uygun baz¬¸sartlarda u h¬z potansiyeli olarak adland¬r¬l¬r ve örne¼ gin iki boyutlu ak¬¸skan

hareketinde ( u x , u y ) s¬ras¬yla ak¬¸skan¬n x ve y yönündeki h¬z¬n¬temsil eder.

Statikte u yer de¼ gi¸smeyi temsil eder, Laplace denkleminin çözümü ile statikte yer de¼ gi¸stirme ve gerilme gibi ilgili …ziksel özellikler

belirlenebilir.

(21)

Laplace denkleminin …ziksel anlam¬

Fizikte, Laplace denklemi elektrik yük yo¼ gunlu¼ gunun olmad¬¼ g¬bir ortamda Maxwell denklemlerinden birisini olu¸sturur ve çözümü, yani u, potansiyel fonksiyonu olarak adland¬r¬l¬r ve E = ( u _x , u _y ) ise söz konusu ortamdaki elektrik alan¬n¬temsil eder.

Ak¬¸skanlar mekani¼ ginde, dü¸sük h¬zda ve uygun baz¬¸sartlarda u h¬z potansiyeli olarak adland¬r¬l¬r ve örne¼ gin iki boyutlu ak¬¸skan

hareketinde ( u x , u y ) s¬ras¬yla ak¬¸skan¬n x ve y yönündeki h¬z¬n¬temsil eder.

Statikte u yer de¼ gi¸smeyi temsil eder, Laplace denkleminin çözümü ile statikte yer de¼ gi¸stirme ve gerilme gibi ilgili …ziksel özellikler

belirlenebilir.

(22)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Laplace denklemi kompleks fonksiyonlar terisinde de önemli rol oynar:

f ( x, y ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )

olarak tan¬mlanan komplek de¼ gerli fonksiyonun bir nokta

kom¸sulu¼ gunda analitik olmas¬(türevlenebilir ve türevi sürekli) olmas¬

için Cauchy-Rieman denklemleri olarak bilinen u _x = v _y , u _y = v _x denklemlerinin sa¼ glanmas¬gerekti¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

u _xx + u _yy = 0 ve

v xx + v yy = 0 sa¼ glan¬r.

Yani analitik bir fonksiyonun hem reel ve hem de sanal k¬sm¬Laplace

denkleminin çözümüdür.

(23)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Laplace denklemi kompleks fonksiyonlar terisinde de önemli rol oynar:

f ( x, y ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )

olarak tan¬mlanan komplek de¼ gerli fonksiyonun bir nokta

kom¸sulu¼ gunda analitik olmas¬(türevlenebilir ve türevi sürekli) olmas¬

için Cauchy-Rieman denklemleri olarak bilinen u _x = v _y , u _y = v _x denklemlerinin sa¼ glanmas¬gerekti¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

u _xx + u _yy = 0 ve

v _xx + v _yy = 0 sa¼ glan¬r.

Yani analitik bir fonksiyonun hem reel ve hem de sanal k¬sm¬Laplace denkleminin çözümüdür.

(24)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Laplace denklemi kompleks fonksiyonlar terisinde de önemli rol oynar:

f ( x, y ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )

olarak tan¬mlanan komplek de¼ gerli fonksiyonun bir nokta

kom¸sulu¼ gunda analitik olmas¬(türevlenebilir ve türevi sürekli) olmas¬

için Cauchy-Rieman denklemleri olarak bilinen u _x = v _y , u _y = v _x denklemlerinin sa¼ glanmas¬gerekti¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

u _xx + u _yy = 0 ve

v _xx + v _yy = 0 sa¼ glan¬r.

Yani analitik bir fonksiyonun hem reel ve hem de sanal k¬sm¬Laplace

(25)

Baz¬analitik fonksiyonlar

Analitik fonksiyon denilince akl¬m¬za gelen örneklerden baz¬lar¬

z ⁿ , n 0, sin ( z ) , cos ( z ) , e ^z , dirler.

O halde bu fonksiyonlar¬n reel ve sanal k¬s¬mlar¬Laplace denkleminin çözümleridir:

Örne¼ gin

f ( z ) = z ² = ( x + iy ) ² = x ² y ² + 2ixy olup

u = reel ( f ) = x ² y ² , v = sanal ( f ) = 2xy fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

(26)

Baz¬analitik fonksiyonlar

Analitik fonksiyon denilince akl¬m¬za gelen örneklerden baz¬lar¬

z ⁿ , n 0, sin ( z ) , cos ( z ) , e ^z , dirler.

O halde bu fonksiyonlar¬n reel ve sanal k¬s¬mlar¬Laplace denkleminin çözümleridir:

Örne¼ gin

f ( z ) = z ² = ( x + iy ) ² = x ² y ² + 2ixy olup

u = reel ( f ) = x ² y ² ,

v = sanal ( f ) = 2xy

fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

(27)

Baz¬analitik fonksiyonlar

Analitik fonksiyon denilince akl¬m¬za gelen örneklerden baz¬lar¬

z ⁿ , n 0, sin ( z ) , cos ( z ) , e ^z , dirler.

O halde bu fonksiyonlar¬n reel ve sanal k¬s¬mlar¬Laplace denkleminin çözümleridir:

Örne¼ gin

f ( z ) = z ² = ( x + iy ) ² = x ² y ² + 2ixy olup

u = reel ( f ) = x ² y ² , v = sanal ( f ) = 2xy fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

(28)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Bu çözümler (7) ile verilen genel çözümde uygun F ve G ile elde edilebilir: Örne¼ gin F ( z ) = G ( z ) = z ² /2 için

F ( x + iy ) + G ( x iy )

= ( x + iy ) ²

2 + ( x iy ) ² 2

= x ² y ²

Benzer biçimde

F ( z ) = z ² /2i, G ( z ) = z ² /2i için

F ( x + iy ) + G ( x iy )

= ( x + iy ) ² 2i

( x iy ) ² 2i

= 2xy

çözümünü elde ederiz.

(29)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Bu çözümler (7) ile verilen genel çözümde uygun F ve G ile elde edilebilir: Örne¼ gin F ( z ) = G ( z ) = z ² /2 için

F ( x + iy ) + G ( x iy )

= ( x + iy ) ²

2 + ( x iy ) ² 2

= x ² y ² Benzer biçimde

F ( z ) = z ² /2i, G ( z ) = z ² /2i için

F ( x + iy ) + G ( x iy )

= ( x + iy ) ² 2i

( x iy ) ² 2i

= 2xy çözümünü elde ederiz.

(30)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Benzer biçimde

cos ( iy ) = cosh ( y ) , sin ( iy ) = sinh ( y ) ba¼ g¬nt¬lar¬ile birlikte

sin ( z ) = sin ( x + iy )

= sin ( x ) cos ( iy ) + cos ( x ) sin ( iy )

= sin ( x ) cosh ( y ) + i cos ( x ) sinh ( y )

u = reel ( sin ( z )) = sin ( x ) cosh ( y ) v = sanal ( sin ( z )) = cos ( x ) sinh ( y ) fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

Bu çözümleri hangi F ve G için 7 ile verilen genel çözümden elde

edebiliriz?

(31)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Benzer biçimde

cos ( iy ) = cosh ( y ) , sin ( iy ) = sinh ( y ) ba¼ g¬nt¬lar¬ile birlikte

sin ( z ) = sin ( x + iy )

= sin ( x ) cos ( iy ) + cos ( x ) sin ( iy )

= sin ( x ) cosh ( y ) + i cos ( x ) sinh ( y )

u = reel ( sin ( z )) = sin ( x ) cosh ( y ) v = sanal ( sin ( z )) = cos ( x ) sinh ( y ) fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

Bu çözümleri hangi F ve G için 7 ile verilen genel çözümden elde edebiliriz?

(32)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Benzer biçimde

cos ( iy ) = cosh ( y ) , sin ( iy ) = sinh ( y ) ba¼ g¬nt¬lar¬ile birlikte

sin ( z ) = sin ( x + iy )

= sin ( x ) cos ( iy ) + cos ( x ) sin ( iy )

= sin ( x ) cosh ( y ) + i cos ( x ) sinh ( y )

u = reel ( sin ( z )) = sin ( x ) cosh ( y ) v = sanal ( sin ( z )) = cos ( x ) sinh ( y ) fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

Bu çözümleri hangi F ve G için 7 ile verilen genel çözümden elde

edebiliriz?

(33)

Laplace denkleminin özel çözümleri

Benzer biçimde

cos ( iy ) = cosh ( y ) , sin ( iy ) = sinh ( y ) ba¼ g¬nt¬lar¬ile birlikte

sin ( z ) = sin ( x + iy )

= sin ( x ) cos ( iy ) + cos ( x ) sin ( iy )

= sin ( x ) cosh ( y ) + i cos ( x ) sinh ( y )

u = reel ( sin ( z )) = sin ( x ) cosh ( y ) v = sanal ( sin ( z )) = cos ( x ) sinh ( y ) fonksiyonlar¬Laplace denkleminin çözümleridir.

Bu çözümleri hangi F ve G için 7 ile verilen genel çözümden elde edebiliriz?

(34)

Al¬¸st¬rmalar

1

u = u ( x, y ) olmak üzere

u _xx + u _yx = 0, ∞ < x, y < _∞ denklemi verilsin.

(a) Verilen denklemi (u x + u y ) _x = 0 yazarak, integral almak suretiyle birinci basamaktan denkleme indirgeyerek çözünüz.

(b) Denklemin türünü belirleyerek çözünüz.

(c) (a) ve (b) de elde etti¼ giniz sonuçlar¬kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

(35)

Al¬¸st¬rmalar

(2) u = u ( x, y ) olmak üzere

u _xy + u _yy = 0, ∞ < x, y < ∞ denklemi verilsin.

(a) Verilen denklemi (u _x + u _y ) _y = 0 yazarak, integral almak suretiyle birinci basamaktan denkleme indirgeyerek çözünüz.

(b) Denklemin türünü belirleyerek bu bölümde inceledi¼ gimiz karakteristikler yöntemi ile çözünüz.

(c) (a) ve (b) de elde etti¼ giniz sonuçlar¬kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

(36)

Al¬¸st¬rmalar

(3) A¸sa¼ g¬da verilen denklemlerin genel çözümlerini belirleyiniz.

(a)

u xx 3u xy + 2u yy = 0 (b)

u _xx + 4u _yy = 0 (c)

u _xx 4u _xy + 4U _yy = 0

(37)

Al¬¸st¬rmalar

(4) A¸sa¼ g¬daki ba¼ g¬nt¬lar¬n do¼ grulu¼ gunu kontrol ediniz cosh ( ix ) = cos ( x )

sinh ( ix ) = i sin ( x ) cosh ( x ) = cos ( ix )

sinh ( x ) = i sin ( ix )

(38)

Al¬¸st¬rmalar

(5) f ( z ) = cos ( z ) fonksiyonunun reel ve sanal k¬s¬mlar¬n¬n Laplace denkleminin çözümleri oldu¼ gunu gösteriniz. Elde etti¼ giniz çözümler hangi F ve G için genel çözümden de elde edilebilir.

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Laplace denklemi

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Laplace denklemi

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, K¬smi Diferensiyel Denklemler

Ders-I

6 Nisan, 2020

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au xx + bu xy + cu yy =0 (1)

denklemlerinin genel çözümlerini inceleyeceyiz ve özel olarak Laplace

denkleminin baz¬çözümlerini ara¸st¬raca¼ g¬z.

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu

Bu durumda denklem

bu xy + cu yy = ( bu x + cu y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu x + cu y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= 0 ) olmak üzere u y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u x + c

b u y = f ( x ) /c elde ederiz.

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu Bu durumda denklem

bu xy + cu yy = ( bu x + cu y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu x + cu y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= 0 ) olmak üzere u y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u x + c

b u y = f ( x ) /c

elde ederiz.

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu Bu durumda denklem

bu xy + cu yy = ( bu x + cu y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu x + cu y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= 0 ) olmak üzere u y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek,

u x + c

b u y = f ( x ) /c elde ederiz.

I. Durum

a = 0 olmas¬durumu Bu durumda denklem

bu xy + cu yy = ( bu x + cu y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu x + cu y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= 0 ) olmak üzere u y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c Z

f ( x ) dx.

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u x + c

b u y = f ( x ) /c

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

dy dx = c

b (3)

denklemini sa¼ glayan

y c

b x = sabit do¼ grular¬üzerinde

du ( x, y ( x ))

dx = u x + u y dy

dx = u x + c

b u y = f ( x ) /c elde ederiz. Karakteristikler üzerinde integral almak suretiyle

u =

Z

f ( x ) /cdx + G ( sabit )

= F ( x ) + G ( y c b x ) genel çözümünü elde ederiz, burada F ( x ) : = 1/c

Z

f ( x ) dx dir.

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

dy dx = c

b (3)

denklemini sa¼ glayan

y c

b x = sabit do¼ grular¬üzerinde

du ( x, y ( x ))

dx = u x + u y dy

dx = u x + c

b u y = f ( x ) /c elde ederiz. Karakteristikler üzerinde integral almak suretiyle

u =

Z

f ( x ) /cdx + G ( sabit )

= F ( x ) + G ( y c b x )

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz.

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz.

bu _xy + cu _yy = ( bu _x + cu _y ) y = 0 (2) olarak yaz¬l¬r. Buradan x de¼ gi¸skenine göre integral alarak

bu _x + cu _y = f ( x )

elde ederiz. E¼ ger b = 0 ise (c 6= ⁰ ) olmak üzere u _y = f ( x ) /c den u = F ( x ) y + G ( x )

b 6= 0 olmas¬durumunda ise her iki taraf¬b ye bölerek, u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c

dy dx = ^c

dx = u _x + u _y dy

dx = u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz. Karakteristikler üzerinde integral almak suretiyle

dy dx = ^c

dx = u _x + u _y dy

dx = u _x + ^c

b u _y = f ( x ) /c elde ederiz. Karakteristikler üzerinde integral almak suretiyle

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m. Öncelikle Delta 6= 0,yani (1) denkleminin hiperbolik veya eliptik oldu¼ gunu kabul edelim.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac 6= ^{0 durumu}

Bu durumda Delta = b ² 4ac diskriminant¬n¬hesaplayal¬m.

b ₁ , b ₂ skalerleri

ax ² + bx + c = 0 (4)

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac = 0 durumu

Bu durumda denklem parabolik denklemdir ve b ₁ = b ₂ = ^b

a 6= ^{0 ve Delta} = b ² 4ac = 0 durumu Bu durumda denklem parabolik denklemdir ve

b ₁ = b ₂ = ^b 2a olup genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u _xx + u _yy = 0

∆ : = ( ^∂

+ ^∂

∆u = ^∂

∂x ² + ^∂

∂x ² = 0 biçiminde de ifade edilir.

Delta = 4 6= ⁰ ve karakteristik denklem

ax ² + bx + c = x ² + 1 = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = i , b ₂ = i