· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Dalga denklemi

(1)

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Dalga denklemi

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, K¬smi Diferensiyel Denklemler

Ders-II

9 Nisan, 2020

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi, K¬smi Diferensiyel Denklemler Ders-II)·Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Dalga denklemi9 Nisan, 2020 1 / 33

(2)

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

denklemlemi kapsam¬nda Hiperbolik denklem örneklerinin genel çözümümlerini ve bu kapsamda

Dalga denkleminin genel çözümü ve

D’Alembert çözümünü interaktif Maxima uygulamalar¬yla birlikte inceleyece¼ giz.

(3)

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

denklemlemi kapsam¬nda Hiperbolik denklem örneklerinin genel çözümümlerini ve bu kapsamda

Dalga denkleminin genel çözümü ve

D’Alembert çözümünü interaktif Maxima uygulamalar¬yla birlikte inceleyece¼ giz.

(4)

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

denklemlemi kapsam¬nda Hiperbolik denklem örneklerinin genel çözümümlerini ve bu kapsamda

Dalga denkleminin genel çözümü ve

D’Alembert çözümünü interaktif Maxima uygulamalar¬yla birlikte inceleyece¼ giz.

(5)

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

(6)

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

(7)

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

(8)

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

(9)

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

Örnek 1

u _xx u _yy = 0 denkleminin genel çözümünü belirleyiniz.

(10)

Bu örnekte

a = 1, b = 0, c = 1

∆ = 4 6= ⁰ ve karakteristik denklem

ax ² + bx + c = x ² 1 = 0 olup, denklemin kökleri

b 1 = 1, b 2 = 1 dir. Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + x ) + G ( y x )

(11)

Bu örnekte

a = 1, b = 0, c = 1

∆ = 4 6= ⁰ ve karakteristik denklem

ax ² + bx + c = x ² 1 = 0 olup, denklemin kökleri

b 1 = 1, b 2 = 1 dir. Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + x ) + G ( y x )

(12)

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

Örnek 2

u _xx + 3u _xy + u _yy = 0 denkleminin genel çözümünü belirleyiniz.

(13)

∆ = 3 ² 4 > 0 olup, denklem hiperbolik türdendir. Karakteristik denklem

x ² + 3x + 1 = 0 olup, kökleri

b ₁ = ³ + p 5

2 , b ₂ = ³ p 5 2

Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için u = F (( 3 + p

5 ) x /2 + y ) + G (( 3 p

5 ) x /2 + y )

(14)

∆ = 3 ² 4 > 0 olup, denklem hiperbolik türdendir. Karakteristik denklem

x ² + 3x + 1 = 0 olup, kökleri

b ₁ = ³ + p 5

2 , b ₂ = ³ p 5 2 Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F (( 3 + p

5 ) x /2 + y ) + G (( 3 p

5 ) x /2 + y )

(15)

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

Örnek 3

u _tt c ² u _xx = 0 dalga denkleminin genel çözümünü belirleyiniz

(16)

∆ = 4c ² > 0 ve karakteristik denklem

x ² c ² = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = c, b ₂ = c

O halde key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( x + ct ) + G ( x ct ) (3) Karakteristikler x + ct = sabit, x ct = sabit do¼ grular¬d¬r.

(17)

∆ = 4c ² > 0 ve karakteristik denklem

x ² c ² = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = c, b ₂ = c O halde key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( x + ct ) + G ( x ct ) (3)

Karakteristikler x + ct = sabit, x ct = sabit do¼ grular¬d¬r.

(18)

∆ = 4c ² > 0 ve karakteristik denklem

x ² c ² = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = c, b ₂ = c O halde key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( x + ct ) + G ( x ct ) (3) Karakteristikler x + ct = sabit, x ct = sabit do¼ grular¬d¬r.

(19)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Örnek 4

Bir önceki örnekte göz önüne ald¬¼g¬m¬z dalga denklemini x t düzleminin t > 0 bölgesine k¬s¬tlamak suretiyle yeniden gözönüne alal¬m.

u tt c ² u xx = 0, ∞ < x < ∞, t > 0 u ( x, 0 ) = f ( x ) ,

u _t ( x, 0 ) = g ( x ) .

(20)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Genel çözümümüz

u = F ( x + ct ) + G ( x ct ) (4)

(21)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Ba¸slang¬ç konum ve h¬z yard¬m¬yla

F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) (5) cF ⁰ ( x ) cG ⁰ ( x ) = g ( x ) (6)

Ayr¬ca f ve g fonksiyonlar¬n¬n f , g ! ^{0, x} ! ∞ özelli¼gine sahip oldu¼ gunu kabul edelim

(6) ba¼ g¬nt¬s¬n¬ ( ∞, x ) aral¬¼ g¬üzerinde integre ederek,

F ( x ) G ( x ) = ¹ c

Z x

∞

g ( z ) dz (7)

ba¼ g¬nt¬s¬n¬elde ederiz.

(22)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Ba¸slang¬ç konum ve h¬z yard¬m¬yla

F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) (5) cF ⁰ ( x ) cG ⁰ ( x ) = g ( x ) (6) Ayr¬ca f ve g fonksiyonlar¬n¬n f , g ! ^{0, x} ! ∞ özelli¼gine sahip oldu¼ gunu kabul edelim

(6) ba¼ g¬nt¬s¬n¬ ( ∞, x ) aral¬¼ g¬üzerinde integre ederek,

F ( x ) G ( x ) = ¹ c

Z x

∞

g ( z ) dz (7)

ba¼ g¬nt¬s¬n¬elde ederiz.

(23)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Ba¸slang¬ç konum ve h¬z yard¬m¬yla

F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) (5) cF ⁰ ( x ) cG ⁰ ( x ) = g ( x ) (6) Ayr¬ca f ve g fonksiyonlar¬n¬n f , g ! ^{0, x} ! ∞ özelli¼gine sahip oldu¼ gunu kabul edelim

(6) ba¼ g¬nt¬s¬n¬ ( ∞, x ) aral¬¼ g¬üzerinde integre ederek,

F ( x ) G ( x ) = ¹ c

Z x

∞

g ( z ) dz (7)

ba¼ g¬nt¬s¬n¬elde ederiz.

(24)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

(7) denklemini (5) den ç¬kararak

G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (8)

elde ederiz.

(5) ve (7) denklemlerini tarafa tarafa toplayarak F ( x ) = ¹

2 f ( x ) + ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (9)

ve (7) denklemini (5) den ç¬kararak G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (10)

elde ederiz

(25)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

(7) denklemini (5) den ç¬kararak G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (8)

elde ederiz.

(5) ve (7) denklemlerini tarafa tarafa toplayarak

F ( x ) = ¹

2 f ( x ) + ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (9)

ve (7) denklemini (5) den ç¬kararak G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (10)

elde ederiz

(26)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

(7) denklemini (5) den ç¬kararak G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (8)

elde ederiz.

(5) ve (7) denklemlerini tarafa tarafa toplayarak F ( x ) = ¹

2 f ( x ) + ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (9)

ve (7) denklemini (5) den ç¬kararak

G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

Z x

∞

g ( z ) dz (10)

elde ederiz

(27)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

F ve G fonksiyonlar¬na kar¸s¬l¬k gelen ifadeleri (3) genel çözümünde yerine yazarak,

u = F ( x + ct ) + G ( x ct )

= ¹

2 f ( x + ct ) + ¹ 2c

x Z + ct

∞

g ( s ) ds + ¹

2 f ( x ct ) ¹ 2c

x Z ct

∞

g ( z ) dz

= ¹

2 ( f ( x + ct ) + f ( x ct )) + ¹ 2c

x Z + ct

x ct

g ( z ) dz (11)

D’Alembert çözümünü elde ederiz.

(28)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

F ve G fonksiyonlar¬na kar¸s¬l¬k gelen ifadeleri (3) genel çözümünde yerine yazarak,

u = F ( x + ct ) + G ( x ct )

= ¹

2 f ( x + ct ) + ¹ 2c

x Z + ct

∞

g ( s ) ds + ¹

2 f ( x ct ) ¹ 2c

x Z ct

∞

g ( z ) dz

= ¹

2 ( f ( x + ct ) + f ( x ct )) + ¹ 2c

x Z + ct

x ct

g ( z ) dz (11)

D’Alembert çözümünü elde ederiz.

(29)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Örnek 5

A¸ sa¼g¬da tan¬mlanan

u _tt u _xx = 0, ∞ < x < ∞, t > 0 u ( x, 0 ) = ¹

1 + x ² , u t ( x, 0 ) = 0.

Cauchy probleminin çözümünü belirleyiniz

(30)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Çözüm formülünde c = 1, f ( x ) = 1/ ( 1 + x ² ) , g ( x ) = 0 alarak u ( x, t ) = ¹

2

1 ( x + t ) ² + 1 + ¹ ( x t ) ² + 1 elde ederiz.

Çözümümüzün Maxima ortam¬nda ve [ 10, 10 ] [ 0, 4 ] bölgesi üzerindeki gra…¼ gi ¸ Sekil 1 ile sunulmaktad¬

(31)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Çözüm formülünde c = 1, f ( x ) = 1/ ( 1 + x ² ) , g ( x ) = 0 alarak u ( x, t ) = ¹

2

1 ( x + t ) ² + 1 + ¹ ( x t ) ² + 1 elde ederiz.

Çözümümüzün Maxima ortam¬nda ve [ 10, 10 ] [ 0, 4 ] bölgesi üzerindeki gra…¼ gi ¸ Sekil 1 ile sunulmaktad¬

(32)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

¸

Sekil 1: Örnek 5 e ait çözüm gra…¼ gi.

(33)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Örnek 6

A¸ sa¼g¬da tan¬mlanan

u tt u xx = 0, ∞ < x < _{∞, t} > 0 u ( x, 0 ) = 0,

u t ( x, 0 ) = ¹ 1 + x ² . Cauchy probleminin çözümünü belirleyiniz.

(34)

Çözüm formülünde c = 1, f ( x ) = 0, g ( x ) = ₁ ₊ ¹ _x

2

alarak

Z 1

1 + x ² dx = arctan ( x ) + c

u ( x, t ) = ¹

2 ( arctan ( x + t ) arctan ( x c )) elde ederiz.

(35)

Çözüm formülünde c = 1, f ( x ) = 0, g ( x ) = ₁ ₊ ¹ _x

2

alarak

Z 1

1 + x ² dx = arctan ( x ) + c

u ( x, t ) = ¹

2 ( arctan ( x + t ) arctan ( x c )) elde ederiz.

(36)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

¸

Sekil 2: Örnek 6 ye ait çözüm gra…¼ gi

(37)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Örnek 7

A¸ sa¼g¬da tan¬mlanan

u _tt u _xx = 0, ∞ < x < _{∞, t} > 0 u ( x, 0 ) = ¹ ^x

2 1 x 1

0 di¼ger x de¼gerleri u _t ( x, 0 ) = 0.

Cauchy probleminin çözümünü belirleyiniz

(38)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

Yukar¬da verilen D’Alembert çözüm formülünden u ( x, t ) = ¹

2 ( f ( x t ) + f ( x + t )) (12)

= U ₁ + U ₂

= ¹ 2

1 ( x t ) ² 1 x t 1 0 di¼ ger x de¼ gerleri + ¹

2 1 ( x + t ) ² 1 x + t 1 0 di¼ ger x de¼ gerleri

(39)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

¸

Sekil 3: Örnek 7 e ait çözüm bölgeleri ve de¼ gerleri

(40)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

1

x t < 1 ¸ Sekilde I, II ve III ile gösterilen bölgelerden (a) x + t < 1 e¸sitsizli¼ gini sa¼ glayan I. bölgede u = 0 d¬r.

(b) 1 x + t 1 e¸sitsizli¼ gini sa¼ glayan II . bölgede u = u ₂ = 1/2 ( 1 ( x + t ) ² ) (c) x + t > 1 e¸sitsizli¼ gini sa¼ glayan III . bölgede u = 0 d¬r.

(41)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

2 1 x t 1 e¸sitsizli¼ gi ile

(a) 1 x + t 1 e¸sitsizli¼ gini sa¼ glayan IV . bölgede u = u ₁ + u ₂

= 1/2 ( 1 ( x t ) ² ) + 1/2 ( 1 ( x + t ) ² )

= 1 [( x t ) ² + ( x + t ) ² ] dir.

(b) x + t > 1 e¸sitsizli¼ gini¼ g sa¼ glayan V . bölgede u = u ₂ = 1/2 ( 1 ( x t ) ² )

3 x t > 1 ve x + t > 1 e¸sitsizli¼ gini sa¼ glayan VI . bölgede u = 0 d¬r.

(42)

Dalga denkleminin D’Alembert çözümü

¸

Sekil 4: Örnek ?? e ait çözüm gra…¼ gi

(43)

Al¬¸st¬rmalar

1

A¸sa¼ g¬da verilen Dalga problemlerinin D’Alembert çözümlerini belirleyiniz. Bunun için ¸ Sekil 3 benzeri birer diyagram haz¬rlay¬n¬z.

(a)

u tt = 4u xx , ∞ < x < _{∞, t} > 0 u ( x, 0 ) = e ^2x

²

, u _t ( x, 0 ) = 1/ ( 4 + x ² ) (b)

u _tt = 2u _xx , ∞ < x < _{∞, t} > 0 u ( x, 0 ) = ¹ ² < x < 2

0 di¼ ger x ler , u _t ( x, 0 ) = 0 (c)

u tt = u xx , ∞ < x < ∞, t > 0 u ( x, 0 ) = 0, u t ( x, 0 ) = ¹ ² < x < 2

0 di¼ ger x ler

(44)

Al¬¸st¬rmalar

(2) (Bilgisayar uygulamas¬) Maxima ortam¬nda D’Alembert çözümü interaktif olarak incelenebilir. Örne¼ gin

u tt = 16u xx

u ( x, 0 ) = x / ( 1 + x ² ) u _t ( x, 0 ) = 0

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi [2](sayfa 134) te haz¬rlanan ve a¸sa¼ g¬da verilen

(45)

Al¬¸st¬rmalar

(3)

(46)

Al¬¸st¬rmalar

Maxima blokunu

f ( x ) : = x / ( 1 + x ² ) g ( x ) : = 0

tan¬mlamalar¬ve a¸sa¼ g¬da belirtilen komut ile çal¬¸st¬r¬larak analitik çözümü ve çizilen gra…¼ gini elde ediniz.

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Dalga denklemi

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homojen denklemler ve Dalga denklemi

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, K¬smi Diferensiyel Denklemler

Ders-II

9 Nisan, 2020

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au xx + bu xy + cu yy =0 (1)

denklemlemi kapsam¬nda Hiperbolik denklem örneklerinin genel çözümümlerini ve bu kapsamda

Dalga denkleminin genel çözümü ve

D’Alembert çözümünü interaktif Maxima uygulamalar¬yla birlikte inceleyece¼ giz.

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au xx + bu xy + cu yy =0 (1)

denklemlemi kapsam¬nda Hiperbolik denklem örneklerinin genel çözümümlerini ve bu kapsamda

Dalga denkleminin genel çözümü ve

D’Alembert çözümünü interaktif Maxima uygulamalar¬yla birlikte inceleyece¼ giz.

Özet

Bu derste ikinci basamaktan

au xx + bu xy + cu yy =0 (1)

denklemlemi kapsam¬nda Hiperbolik denklem örneklerinin genel çözümümlerini ve bu kapsamda

Dalga denkleminin genel çözümü ve

D’Alembert çözümünü interaktif Maxima uygulamalar¬yla birlikte inceleyece¼ giz.

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b 2 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax 2 + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b 2 x = c 1 ve y + b 1 x = c 2 do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b 2 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax 2 + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b 2 x = c 1 ve y + b 1 x = c 2 do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b 2 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax 2 + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b 2 x = c 1 ve y + b 1 x = c 2 do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Hat¬rlatma

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b 2 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax 2 + bx + c = 0

denkleminin b 1 , b 2 gibi iki reel çözümü oldu¼ gunu ve key… F ve G fonksiyonlar¬için genel çözümün

u = F ( b 1 x + y ) + G ( b 2 x + y ) (2) ile verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Bu durumda

y + b 2 x = c 1 ve y + b 1 x = c 2 do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

Örnek 1

u xx u yy = 0 denkleminin genel çözümünü belirleyiniz.

Bu örnekte

a = 1, b = 0, c = 1

∆ = 4 6= 0 ve karakteristik denklem

ax 2 + bx + c = x 2 1 = 0 olup, denklemin kökleri

b 1 = 1, b 2 = 1 dir. Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + x ) + G ( y x )

Bu örnekte

a = 1, b = 0, c = 1

∆ = 4 6= 0 ve karakteristik denklem

ax 2 + bx + c = x 2 1 = 0 olup, denklemin kökleri

b 1 = 1, b 2 = 1 dir. Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u = F ( y + x ) + G ( y x )

Karakteristikler yöntemi ile genel çözüm

Örnek 2

u xx + 3u xy + u yy = 0 denkleminin genel çözümünü belirleyiniz.

∆ = 3 2 4 > 0 olup, denklem hiperbolik türdendir. Karakteristik denklem

x 2 + 3x + 1 = 0 olup, kökleri

b 1 = 3 + p 5

2 , b 2 = 3 p 5 2

Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için u = F (( 3 + p

5 ) x /2 + y ) + G (( 3 p

5 ) x /2 + y )

∆ = 3 2 4 > 0 olup, denklem hiperbolik türdendir. Karakteristik denklem

x 2 + 3x + 1 = 0 olup, kökleri

b 1 = 3 + p 5

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

au _xx + bu _xy + cu _yy =0 (1)

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

Önceki dersimizden hiperbolik denklemler için ∆ = b ² 4ac > 0 ve dolay¬s¬yla

ax ² + bx + c = 0

y + b ₂ x = c ₁ ve y + b ₁ x = c ₂ do¼ grular¬ise denklemin karakteristik do¼ grular¬d¬rlar.

u _xx u _yy = 0 denkleminin genel çözümünü belirleyiniz.

∆ = 4 6= ⁰ ve karakteristik denklem

ax ² + bx + c = x ² 1 = 0 olup, denklemin kökleri

∆ = 4 6= ⁰ ve karakteristik denklem

ax ² + bx + c = x ² 1 = 0 olup, denklemin kökleri

u _xx + 3u _xy + u _yy = 0 denkleminin genel çözümünü belirleyiniz.

∆ = 3 ² 4 > 0 olup, denklem hiperbolik türdendir. Karakteristik denklem

x ² + 3x + 1 = 0 olup, kökleri

b ₁ = ³ + p 5

2 , b ₂ = ³ p 5 2

∆ = 3 ² 4 > 0 olup, denklem hiperbolik türdendir. Karakteristik denklem

x ² + 3x + 1 = 0 olup, kökleri

b ₁ = ³ + p 5

2 , b ₂ = ³ p 5 2 Genel çözüm key… F ve G fonksiyonlar¬için

u _tt c ² u _xx = 0 dalga denkleminin genel çözümünü belirleyiniz

∆ = 4c ² > 0 ve karakteristik denklem

x ² c ² = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = c, b ₂ = c

∆ = 4c ² > 0 ve karakteristik denklem

x ² c ² = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = c, b ₂ = c O halde key… F ve G fonksiyonlar¬için

∆ = 4c ² > 0 ve karakteristik denklem

x ² c ² = 0 olup, denklemin kökleri

b ₁ = c, b ₂ = c O halde key… F ve G fonksiyonlar¬için

u tt c ² u xx = 0, ∞ < x < ∞, t > 0 u ( x, 0 ) = f ( x ) ,

u _t ( x, 0 ) = g ( x ) .

F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) (5) cF ⁰ ( x ) cG ⁰ ( x ) = g ( x ) (6)

Ayr¬ca f ve g fonksiyonlar¬n¬n f , g ! ^{0, x} ! ∞ özelli¼gine sahip oldu¼ gunu kabul edelim

F ( x ) G ( x ) = ¹ c

F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) (5) cF ⁰ ( x ) cG ⁰ ( x ) = g ( x ) (6) Ayr¬ca f ve g fonksiyonlar¬n¬n f , g ! ^{0, x} ! ∞ özelli¼gine sahip oldu¼ gunu kabul edelim

F ( x ) G ( x ) = ¹ c

F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) (5) cF ⁰ ( x ) cG ⁰ ( x ) = g ( x ) (6) Ayr¬ca f ve g fonksiyonlar¬n¬n f , g ! ^{0, x} ! ∞ özelli¼gine sahip oldu¼ gunu kabul edelim

F ( x ) G ( x ) = ¹ c

G ( x ) = ¹

2 f ( x ) ¹ 2c

(5) ve (7) denklemlerini tarafa tarafa toplayarak F ( x ) = ¹

2 f ( x ) + ¹ 2c