DİK ÜÇGEN İLE İLGİLİ ÖRNEKLER ÖRNEK 1.

(1)

SAİT TANRIÖĞEN - CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ

DİK ÜÇGEN İLE İLGİLİ ÖRNEKLER

ÖRNEK 1.

Yatay ve düz bir zeminde bbir ağacın gölgesinin uzunluğu 4,70 m.dir. Güneş ışınları

yatay düzlemle tam 56^o 04’ 18” lik bir açı yaparak yeryüzüne ulaşmaktadır. Bu ağacın boyu kaç METREDİR?

ÇÖZÜM

TANJANT FONKSİYONUNUN TANIMINDAN

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐶𝐶 = 𝑘𝑘𝑡𝑡𝑟𝑟ş𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 =

𝑐𝑐 𝑡𝑡 =

𝑡𝑡ğ𝑡𝑡𝑐𝑐𝚤𝚤𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑦𝑦𝑢𝑢 𝑔𝑔ö𝑙𝑙𝑔𝑔𝑘𝑘𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑦𝑦𝑢𝑢 𝑡𝑡ğ𝑡𝑡𝑐𝑐𝚤𝚤𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑦𝑦𝑢𝑢 = 𝑐𝑐 = ℎ = 𝑔𝑔ö𝑙𝑙𝑔𝑔𝑘𝑘 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑦𝑦𝑢𝑢 × 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐶𝐶 𝑡𝑡ğ𝑡𝑡𝑐𝑐𝚤𝚤𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑦𝑦𝑢𝑢 = 4,70 × 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 56° 04’ 18” =6,99 𝑚𝑚.

ÖRNEK 2.

%8 eğimli bir yolun; yatay düzlemle yaptığı açı kaç GRADdır? Bu yolda 1420.73m.

yol kat eden bir SUV araç; yatayda kaç metre ilerlemiş olur? Bu araç başlangıçtan itibaren kaç metre yükseğe çıkar?

ÇÖZÜM

% 8 Eğimli Yol Demek; yatayda 100 m. ilerlendiğinde; yol 8 m. yükseliyor demektir. Şekildeki dik üçgenle ifade edilirse c / a demektir. Yani 8/100 = 0,08

Tanjant Fonksiyonunun Tanımından; Aynı üçgende C noktasındaki α açısının tanjantı da c /a dır.

Şu halde bir yolun eğimi demek o yolun yatay düzlemle yaptığı açının TANJANTI demektir.

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝= 𝑘𝑘𝑡𝑡𝑟𝑟ş𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 =

𝑐𝑐 𝑡𝑡 =

8

100 = 0,08 → ∝= 5^𝑔𝑔, 0821 =5^𝑔𝑔 08^𝑐𝑐 21^{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐶𝐶 = 𝑘𝑘𝑡𝑡𝑟𝑟ş𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟

yatay uzaklık = eğik uzaklık x cos ∝=1420.73 x cos 5^𝑔 08^𝑐 21^𝑐𝑐 =1416.21m. ilerlemiş olur.

yükseklik = eğik uzaklık x sin ∝=1420.73 x sin 5^𝑔 08^𝑐21^𝑐𝑐 = 113.30m. yükseğe çıkar.

(2)

ÖRNEK 3.

İçine girilemeyen bir bataklıktaki ağaç (A) ile bataklığın dışındaki B noktası arası ölçülmek isteniyor; Bunun için teknisyenler aşağıdaki gibi; C deki dik açı olmak üzere bir ölçü düzeneği planlamışlardır. BC arası uzaklığı 193,88m. ve CBA açısını da 55,7469^g ölçmüşlerdir.

Ağacın B noktasına uzaklığı kaç metredir?

ÇÖZÜM

COSİNÜS FONKSİYONUNUN TANIMINDAN

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝐵𝐵 =𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 ℎ𝑑𝑑𝑖𝑖𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡ü𝑐𝑐 = 𝐵𝐵𝐶𝐶

𝐴𝐴𝐵𝐵 → 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝐵𝐵 =

193,88

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐55,7469^𝑔𝑔 =302,71𝑚𝑚.

ÖRNEK 4.

Şekildeki dik üçgende b kenarı = 368,94 m. ve c kenarı = 195,23 m. olduğuna göre;

a kenarının uzunluğu ile C açısını GRAD olarak bulunuz.

ÇÖZÜM

SİNÜS FONKSİYONUNUN TANIMINDAN

𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡𝐶𝐶 = 𝑘𝑘𝑡𝑡𝑟𝑟ş𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 ℎ𝑑𝑑𝑖𝑖𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡ü𝑐𝑐 = 𝑐𝑐

𝑏𝑏 =

195,23

368,94 = 0,529164633 → 𝐶𝐶 = 35,498922^𝑔𝑔 COSİNÜS FONKSİYONUNUN TANIMINDAN

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐 𝐶𝐶 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 ℎ𝑑𝑑𝑖𝑖𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡ü𝑐𝑐 = 𝑡𝑡

𝑏𝑏 → 𝑡𝑡 = 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝐶𝐶 = 368,94 × 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐35,498922^𝑔𝑔 = 313,05 𝑚𝑚.

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝐵𝐵 =𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 ℎ𝑑𝑑𝑖𝑖𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡ü𝑐𝑐

𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐶𝐶 =𝑘𝑘𝑡𝑡𝑟𝑟ş𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 ℎ𝑑𝑑𝑖𝑖𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡ü𝑐𝑐

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐 𝐶𝐶 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟 ℎ𝑑𝑑𝑖𝑖𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡ü𝑐𝑐

(3)

SAİT TANRIÖĞEN - MANİSA CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ

ÖRNEK 5.

Dünyanın yarıçapı 6370 Km. dir. (Dünyanın şeklini küre kabul edersek) 48˚ Kuzey Enlem dairesinin yarıçapı kaç KİLOMETREdir?

ÇÖZÜM: OAB DİK ÜÇGENİNDEN

B

A O

Cosinüs Fonksiyonunun tanımından; B dar açısının kosinüsü:

cos 𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑚𝑚ş𝑢𝑢 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝜋𝜋 𝐻𝐻𝐷𝐷𝐻𝐻𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐻𝐻ü𝑠𝑠 =𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑂𝑂𝐵𝐵 → 𝑐𝑐𝐾𝐾𝑠𝑠48° = 𝜋𝜋₄₈ 6370

→ 𝜋𝜋₄₈= 6370 ∗ 𝑐𝑐𝐾𝐾𝑠𝑠48° = 4262,362 𝐾𝐾𝑚𝑚.

A= 90°

r48= AB ?

OB= 6370 Km.

B= 48°

ÖRNEK 7.

Mısırda bulunan piramit kaç metre yüksekliğindedir?

ÖRNEK 6.

Yandaki kulenin yüksekliğini hesaplayınız.

(4)

ÖRNEK 9.

Bir inşaata çatı yapılacaktır. Şekilde görüldüğü gibi soldaki duvarın yüksekliği 7.00 m., sağdaki duvarın yüksekliği 4,08 m. dir. Duvarların kalınlığı 1.00 m.

dir. Ve iki duvar arası 6,50 m. dir.

Çatı demir profilden yapılaca. ktır. Demir profilin duvarın üstüne tam oturması için demir ustası demir profili α = kaç derece olacak şekilde kaynak yapmalıdır?

ÖRNEK 8.

Kulenin yüksekliği hesaplanmak isteniyor. Bunun için teknisyenler kulenin

merkeziyle aynı doğrultuda aralarında tam 50.00 metre uzaklık bulunan A ve B gibi iki nokta tesis ediyorlar. Şekilde X ile gösterilen kulenin

merkezinden B ye uzaklık ölçülemiyor. A daki noktadan kulenin üst noktasına giden doğrultunun yatay düzlemle yaptığı açı 25^o, B deki açı 48^o

olduğuna göre; ölçülemeyen X uzaklığı ile kulenin h yüksekliğini hesaplayınız.

(5)

ÖRNEK 10.

İkiye katlanan merdiven 2 x 3 metre uzunluğundadır. Yani her ayak uzunluğu 3.00 m. dir. Bu merdiven ayakları arası açıklık α = 42^o olacak şekilde açılmıştır.

Merdiven üst yüzeyi yerden kaç metre yükseklikte olur?

ÖRNEK 11.

Traktör başlangıçtan itibaren, önce yatay düzlemle 8^o 32' 41" lik açı yapan yolda 116.61m.;

sonra yine yatay düzlemle 18^o 54' 37" lik açı yapan yolda 41.40m. ilerlemiştir. Traktör yatayda kaç metre gitmiştir? Traktör başlangıçtan itibaren kaç metre yükselmiştir?

ÖRNEK 12.

Taban çevresi 3.78m. olan koninin yan yüzeyi yatay düzlemle 65^o lik açı yapmaktadır. Bu koninin yüksekliği kaç metredir?

s = 116.61 x cos 8o32' 41" + 41.40 x cos 18o54' 37" = 154.48m.

yatayda ilerlemiş olur.

(6)

ÖRNEK 13.

Spor sahasının bir ucu 800m. yüksekteki uçaktan yatayla 33^o açıyla;

diğer ucu ise aynı yerden20^o açıyla

görünmektedir. Spor sahasının uzunluğunu hesaplayınız

ÖRNEK 14.

Yerden 750m. yüksekte uçan bir helikopter; 20m. yüksekliğindeki kuleden yatayda 4km.

uzaklıktadır. Helikopter yatayla kaç derecelik açı teşkil etmiştir?

(7)

SAİT TANRIÖĞEN - CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ

ÖDEV 3.

Buldozer A noktasından ne kadar yüksektedir? Buldozer yatayda kaç metre ilerlemiştir?

α1= 6° 34’ 32”

α2= 13° 42’ 39”

S1'= 142.86 m.

S2'= 67.63 m.

S=?h=?

ÖDEV 2.

Yandaki Binanın yüksekliğini hesaplayınız.

ÖDEV 1.

Yandaki apartmanın yüksekliği kaç METREDİR? Güneş ışınları yatay düzlemle kaç DERECELİK açı yapmaktadır?

(8)

ÖDEV 4.

Keops Piramidi: MÖ: 2551 yılında inşa edilmiştir.

Yaklaşık olarak 4575 yaşındadır. Mısır’da Kahire yakınlarındadır. Kral ve tanrı Keops tarafından yaptırılmıştır. Yapımı 100 000 işçiyle 30 yıl sürmüştür.

GEOMETRİK ŞEKLİ: Düzgün dikdörtgen pramit şeklindedir.

TABAN (DİKDÖRTGEN) BOYUTLARI:

222,572 m. x 227.001 m. boyutlarında ve 50524 m2 lik bir alanı kaplamaktadır.

Keops piramidinin yüksekliğini ölçülmek isteyen Mısır Arkeoloji Departmanı bünyesindeki harita teknisyenleri; Piramidin uzun kenarı tarafındaki yan yüzeyinin yatay düzlemle 53° 14’ 40,07” lik bir açı yaptığını eğim ölçen aletle ölçüp tespit ediyorlar.

Fakat piramidin zirvesinde bazı kısımların aşındığının farkına varıyorlar. Bunun için teknisyenler;

Piramidin uzun kenarının tam orta_

sından piramidin merkezinin aksi yönünde 161,00 metre ilerleyerek buradan piramidin zirvesinin yatay düzlemle 26° 52’ 36,5” lik açı yap_

tığını ölçerek belirliyorlar.

Buna göre;

1. Piramidin şu anki gerçek yük_

sekliği kaç metredir?

2. Piramidin 4575 yıl önce düz_

gün dikdörtgen piramit olarak inşa edildiği varsayılırsa; binlerce yıldır ayakta kalan piramit kaç metre aşınmıştır?

ÖDEV 5.

Baz istasyonunun yüksekliği ölçülmek isteniyor. Bunun için teknisyenler Baz anteninin yakınında ve baz istasyonuyla aynı doğrultuda A ve B noktalarını tesis ediyorlar. A noktasından ölçülen α açısı 26° 41’ 57” ; ve

B noktasından ölçülen β açısı ise 51° 05’ 43” dir.

AB = S1 = 46.58 m. ölçülüyor.

BC = S2 ise aradaki engel nedeniyle ölçülemiyor.

Buna göre

antenin yüksekliği h = kaç metredir?

ölçülemeyen BC = S2 uzunluğu kaç metredir?

(9)

ÖDEV 6.

324 metre yüksekliğindeki Eiffel kulesinin en ucundaki antenin üst uç noktası; zemindeki bir noktada yatay düzlemle 60° açı yapacak şekilde görülmektedir. Bu noktanın kulenin ayaklarına olan uzaklığı kaç metredir?