Dogru ve Parabol Denklemleri

Koordinat Duzlemi Dogru ve Parabol Denklemleri

Amaglar

Bit iiniteyigali§Hktan sunra;

<^>]R²ninnoktalanniduzlemeyerlegtirmeyi vebunadayaliolarakxve

y

^ye baghbirdenklemin(varsa) grafigini gizmeyi ugreuecek.

<53D>dogru veparaboldenklemlerini gikarabilecek ve gizebilecek,dogrulan

, 'ogruvepara-

KoordinatDuzlemiDogruveParabolDenklemleri

igindekiler

•KartezyenQarpim

•KoordinatDuzlemi

•Grafikler

•Dogru

•Parabol

•Birinci ve IkinciDer nli E§itsizlikler

•

Kumeler

ve sayilar

konusu

tekraredilmeli,

• koordinatduzlemi vebirdenklemin grafiginin ne

anlama

geldigiiize- rindedii§iinulmeU,

•

dogru

ve

parabol

denklemleri ve grafikcizimleri ogrenilmelidir.

Giri§

Bir uretimfir

Fiyat (TL) TabminiTalep(ki§i)

41rnilyoti 8040

66milyon 5040

88milyon 2400

108milyon

Izvebuba- gmtiyibulunuz(bkz.8.ornek).

Yukandakisoruda,goriildugu gibi fiyat He taleparc; -kilendirme

kiiriilmusltrr.Bu//. iabilmek igin

Diizlemdebirnoktaninyeri dik kesi§enikido; la verilebilir.

Bu

unitenir rtezyengarpimveko< 'minihatir-

latacagiz.Uguncukei uracagiz.Dordiincii

kesimdedogru,parabolvecemberinanalitikolarakincelenmesinekisaca

deginecegiz.Sonke> 'litslitnilan

ikidegi§kenli durulacaktir.

KARTEZYEN £ARPIM R

Gercelsayilarkiimesiolmakiizere a)

RxR

⁼{(x,y)Ix,

y

e

R}

kiimesine

R

nin kendisiylekartezyencarpimiveyadikcarpimiya daki- sacacarpimidenir.

Rx

Rgenellikle

R

²bicimindeyazilir.

R

²kumesininoge- leri(x,y) bicimindedir. Bunlara sirahikililer denir.

b)

R

²'ninherhangibiraltkiimesine

R

den,

R

yebirbagmtidenir.

KOORDiNAT DUZLEMJ

R

²ninnoktalarinidiizlemeyerlegtirmeyi ve

buna

dayaliola-

rak x

ve

y ye bagh

bir

denklemin

(varsa) grafigini qizmeyi ogreneceksiniz.

Birdogruiizerindekihernoktayabirgercelsayive her gercel sayiya dabudog- ruiizerindekibirnoktakarsriik getirilerek,

R

gercelsayilarkiimesininbirgeomet- rikmodeliolufturulur.

§imdi 1R²=

R

x1R icinbirgeometrikmodelkuralim.

Bunun

icinadayimiz diizlemdir.Diizleminnoktalanile 1R²=

R

x1Rninelemanlanolansirah ikililer birebiresknirler.Bu gozlemimizcebirseldenklemlerin,geometrikegriler olarakgoriinmesivegeometrikegrilerin,cebirseldenklemlerleverilmesi- nisaglar.

Oncediizleme dikkoordinat sisteminiyerlestirelim,sonrada

R

²ninogeleri- nindiizlemdeki noktalarlanasile§leneceginiaciklayahm.

Diizlemde dik olarak kesisenikidogrualalim.Diizlemdekibirnoktanmyeri bunoktanm budogrulara dikuzakhklanylabelirlenir.i§aretleriyle birliktebu uzakhklaronoktanm koordinatlariolarakadlandinlir.

Uzakhkolctimtineyarayanbudogrularakoordinat eksenleri veyakisacaek- senlerdenir.

Bu

dogrularmkesisjmnoktasinakoordinatbaslangiciveyakisa- cabaslangicnoktasidenir.

Bu

eksenlerdiizlemi, dortliikdiyeadlandinlan 4bolgeyeayinr.Bunlarsaatin

donme

yoniinezitnumaralandinlir.

Genelolarakbueksenlerden yatay olanina

x

^-ekseni, dii§ey olaninada

y

^- eksenidenir.Ancak,amacagore,bueksenlere degigikisimlerde ver

"y

y birim<

Ba^langif noktasi (I)

A

(4,3),

B

(-1,3),

C

(3^,-2),

D

^(-2,-3) ve

E

(0,4) noktalarimko- ordinat diizlemineyerle§tiriniz.

\

( >" ^

5- 4- 6 (-1,3).3

2-

ill"

²

-£(0,4)

1 2 3 4 5

-5-4 -3 -1

-2 D(-2,-3)4 -3

--4

.-5

MM.

GRAFIKLER

Giinluk hayatta,ikibuyukliigiinbirbirler yaygmdir.

Gazete ve dergilerde,haftamngtinler reigsizlikoranim veyakigibagmadiige karsriasmz.

Bu

tiirgrafiklerbirbirinebaghikibuyiikliiktenbirinindigerinegore degigimi- ningeometrik gosterimindenbaskabirsey d

ikibiiyiikliikarasmdaki baginti genelliklebirdenklemleverilir.

Ornegin, sicaklik olcumii birimleri olan FahrenheitileSantigradarasmdaki

;goreborsamn durumunu,yillarago- milligelirigosterengrafiklerle sik sik

F=^C+

³² veya

C

⁼ |(^-32)

bagmtilanndanbiriileverilebilir.

Bu

kesimde1Rden1Ryebirbagintiverenbutiirdenklemleringrafiklerininci- zimihakkindaki temel^bilgileriverecegiz.

ikidegigkenli

x

+₂

y

= 7 denklemini gozoniinealalim.xyerine1yazihrsa

l+

2y=

7, 2y⁼6,

y

= 3

olur. (x,y) =(1,3) sirali ikilisibu denkleminbircozumuolur.Benzergekilde (-3,5),(3,2),(0,7/2), (-2, 9/2), (-1, 4), (6,1/2) ve(7,0)da

aym

denkleminco-

zumu

olan siraliikililerdir.Gercekte,bu denklemincoziim kiimesisonsuzsayi-

daikililerdenolusur.

x

ve y degiskenlerinebaghbirdenklemverilsin.xy- dtizleminin,budenk- lemin coziim kiimesininelemanlanndanoluganaltkiimesine verilen

denklemin

Butanima goreyukandaverilen

x

+2y= 7 denkleminingrafigi yandaki§ekil olur.

Sonsuzsayidacoziime sahip olan

x

+2

y

^{= 7}denklemininturncozumlerini bulmakimkansizdir.Ashnda bucozi

tamammi

bulmak coguzamangereksizdir.

Birdenklemingrafiginidogrubirsekildeci- zebilmek,denkleminsagladigibirtakim ozel- liklerikontroledip yeterllsayidanokta eldeetmeklemiimkiinolabilir.

Grafikcizerken agagidakileri aragtirmakyararli olur.

1) Grafigin

x vej

eksenlerinikestigi

no

ktalarinbelirlenmesi:

• Grafiginx- ekseninikestiginoktayibulmakicindenklemde

y

^{= yazilir.}

• Grafiginy- ekseninikestiginoktayibulmakicindenklemde x= yazilir 2) Grafigin simetrilerinin belirlenmesi:

Diizlemdekisimetrilerin

^ g Ay

^^*<£~"

9/2

i

T\;

⁴

! i

2^-

-^^!:

²⁾

-3 -2 -1 1 3 6

7^*

olduklan hatirlamrsa;

• Verilendenklemdexyerine-xyazildigindadenklem degigmezse grafikj- eksenine goresimetriktir.

• Verilendenklemde y^yerine-y yazildigindadenklem degigmezsegrafikx- eksenine goresimetriktir.

• Verilendenklemde xyerine-x,y^yerine -yyazildigindadenklemdegig- mezsegrafik orijinegoresimetriktir.

Grafik,

hem

x-eksenine,

hem

dey-eksenine gore simetrikiseorijinegore simetrikolur.Tersidogrudegildir.

Emira y

⁼2x+1 denkleminingrafigini qiziniz.

Bu denklemde xve_ynin derecesi1oldugundanboylebirdenklemingrafiginin dogru oldugubilinmektedir.Ayncaikinoktadanbirdogrugectigide bilinmekte-

dir.Boylebir grafigicizmekicinsadecebudenkl ikinoktabulup bunlardangecen dogrunu zmekyeterlidir.Bun< in x-ve y-eksenlerinikestiginoktalar olaraksecilebilir.

x=

i?in

y=

2. +1 =>(O,l)

y=0

ign =2x+1 =>x=-

\

^{=> \'-y,o)}

x

y- 2x+

1 (x,y)

1 (0,1)

-1/2 (-1/2,0)

-1denkleminingrafigini qiziniz.

mum

y

nin derecesi1vexinderecesi2oldugundangrafik ileride aynntiliincelenecek olanbirparaboldiir.Grafigin (varsa) eksenlerikestiginoktalan bulalim.

x

⁼ ifin

y

^{= 2+1=1 =>} CO,1) y = ifin =

x

²+1 => x²*-1

oldugundangrafik x-eksenini kesmez. xyerine-xyazilirsa

y

⁼(-x)²+1=

x

²+1 oldugundandenklemdegismez. Grafikj/-eksenine goresimetriktir.Gra- figiny-eksenininsagmdakikisminicizipy-eksenine goresimetriginialmakgra- figintamamimverecektir.

Denklemisaglayanyardimci birkacnoktadahabulalim.

y =I2+1=2 => (1,2)

=2²+1=₅ => (2,5) ,\

J

2+I (x.y)

(0,I)

(1.2) (2,5)

J

5 •(2,5)

4

2- •

.(0,1

1.2)

1 2

x y

⁼1denkleminingrafigini qiziniz.

;y*\

.0*1

oldugundangrafik xve

y

eksenlerinikesmez.xyerine yazilirsa (-x)(-jy)=

xy

=1olurkidenklemdegi§mez.

O

haldex

y

⁼1=>

y

⁼-^ in grafigi orijine ((0, 0) a)goresimetriktir.

Denklemisaglayanyardimci birkacnokta bulalim.

x=\

icin

y= \

⁼

\=\

=* (1,1)

vey ^{yerine -y}

1

-y=

? ^2,

i

N

(I.I)

HI

-I ^{1 1}

*

1)Verilennoktalannverilendenklemleringrafigiiizerindeolupolmadiklanm belirleyiniz.

Noktalar

Denklem

a)

A

(3,2), B(8,3)

y

⁼

Vx+

1 b)

A

(0,2), B(1,5)

y=

x²+3x+2

c)

A

(0,0), B(1,5)

y-

^x

Verilendenklemleringrafiklerinin,varsakoordinat eksenlerinikestiginoktala- nbelirleyiniz.

a)

y

⁼2x-1 b)

y=

X2+

x-2

c)

y- Cx-3)Cx+

1) d)x²

y-

x²+

2y=

e)

x

= 4-y²

3) Verilensimetrikligikullanarakgrafigitamamlaymiz.

a)_y=x²-4 (y- ekseni) b) _y=x3 -x(orijin)

aEQm Si

DOGRU

Bu

kesimdeortaogrenimyillanndageometrikveanalitikolarakincelemi§ oldu-

gumuz

dogrudenklemlerinivegrafiklerinihatirlatacagiz.

Geometrikolarakduzlemdediiz bircizgiyedogrudenildiginibiliyoruz.

§imdidogrununanalitikolarak eldeedili§inihatirlatalm

Dogrunun Egimi

x

-ekseninikesenbirdogrunun egimagisidogrununx-ekseninikestiginok- tacivanndasaatin

donme

yoniinuntersyoniindeolciilen acidir.

x

-eksenine paralelolanbirdogruicinbuaci0°dir.

Birdogruiizerindekiherhangiikinoktanmordinadan arasmdakifarkmapsis- leriarasindaki farka oranisabittir.Busabitorana

dogrunun

egimidenirve

m

ile gosterilir.

Yl

Yl P,

Y\

Y

Pi_(*i.*i)

<l-Y\

>

V

⁼Yi-Y\

h

(xi-Yll/

^

=

x, x2 x2

'

/T

Yi

V J

Ax'= x2'-x,'

x ekseninedikolanbirdogri.icm xekseniyoniinde

nusu olmadigind vemtanimsizdir.

Grafiktekiyukselme x-ek.iizerindekihareket yatay

Birdogrununegin iizerindekiherhangiikinoktaile belirlenirveegimnoktacjftlerinin seciminden bagimsizdir.

Dogru

Dogru Denklemleri

Birdenklem,birdogruiizerindeki turnnoktalanve sadecebunoktalansagliyorsa, denklemebu

dogrunun

denklemidenir.

Verilenbirdogrunundenkleminibulmakiciniizerindekiikinoktamnkoordi- natlanniveyaiizerindekibirnoktayive egiminibilmemizyeterlidir.

iki

Noktasi

Bilinen

Dogru Denklemi

Birdogruiizerindekiikinokta

P

1(x

1,j/j),

P

2(x2,

y

^{2)olsun. Dogruiizerinde} hareketedenbir

P

(x,y) noktasialalim.

Bu

dogrununegimidegismeyeceginden

m~f_Pl, PP\dogruparcasmmegiminigostermekiizere

m

=

m —

⁼

m

dir.Buradan

y- yy=

yi-yi

y- yi ₌x- xi x-xi

x

2-x\

yi-yi x

2-x\

bulunur.Boylece

P

lt

P

₂ noktalanndangecendogrudenklemi

y-y

x _

x-xi

• Ozel olarakbuno

minx-

vey-eksen noktalarola-

P

1(*!,yi )=

P

_x(p,0),

P

₂(x2,

y

2)=

P

₂(0,q)ise

y-o

_{_}

x-p ^y

=

_x ₊₁

q-0

o-p

q ^'

p

tigi grafigin

y

^{-ekseninikestigi} noktamnxkoordinati noktamn ykoordinati

oldugundan, -+-=₁ denklemineeksenlerden ayirdigi

parqalara gore dogru

denklemi denir.

Bir

Noktasi ve Egimi

Bilinen

Dogru Denklemi

Birdogruiizerindekibirnokta

P

x{x

Y,y-y)ve egimi

m

olsun.Dogruiizerinde ha- reketlibir

P

(x,y) noktasialalim.Yineegimi kullanacagiz.

m—

^,

P

y

P

parcasi-

nm

egiminigostermekiizere

m

⁼

m —

dir.Boylece

oldugundan,birnoktasiveegimi bilinendogrudenklemi

y-

y\- -X.)

Egimivebirnoktasi bilinendogrudenkleminde

P

1

Oj

,y{)noktasidogrunun y-ekseninikestiginokta olarakalimrsa,yani

P

1(x

1,y-y)=

P

xCO,b)almirsa,

y

^-b =

m

(x^-0)=>

y

= rax + b

bulunur.Burada

m

dogrununegimive bgrafigin

y

^{-ekseninikestigi}noktaol- dugundan bu denkleme dogrunun

egim

^-

kesim

denklemidenir.

Yukandaki dort

durumda

da denklem x ve

y

bilinmeyenlerine go- rediizenlenirse

Ax

+

By

⁺

C

=

bicimindebirdenklemeldeedilir.Bu denklemededogrunungeneldenklemidenir.

yliuiSjUl

Verilenlere

gore dogru

denklemlerinibelirleyiniz.

a)

P

₁(-2,-1),

P

₂(3,4) b)

P

₁(3,0),

P

₂CO,5) c)

P

₁CO,0),

P

₂CI,3) d)

m

⁼-1,

P

1(3,1)

*

a^{) ,y-}(-D_ x-( 1

_

,y+i_

T^

I 4-(-L) 3-(-2) 5 5

«,,-.

+ 2 <=>

j=

x+1 c)lur.

,0),

P

2( 15)n .i

)

P

_x

G

ndeol

=kseni oktalann birincisix- ekseni,ikin siy- lugundar grafigineksenlerikestiginoktalardir.Ekse 3 annagore ogrudenklemikulamlirs

nj-el

grahg kestigi

noktan

nx

koordinati no]tanin

y

^koordinatt

'(" -1 olur.

x

4

3 .y

5

=1 <=>

y-i-* «

5 3 y⁼

C) -Pi(0,0),

P

2C1 3)r1Cktalanrclai biriorljindir.

y

⁼

mx

+h de bu alar yerine y

P-lCO0) = n b =>b=_C

P

₂(1 3) 3 =

w

(1 )

=> 3 hill

Boylece

=

mx

+ b =3x +(

=3x olur.

i=-1,

P

_a(3,1)

-

^

⁼

m

(x^-

xj x-

³¹

Verilendogrularingrafiklerini giziniz.

a)

2x+3y=6

b)

^

+

^

=1

c)

y=-5

d)

x=2

a) Grafiginy-ekseninikestigi noktayibulmakicin

x

= yazilir.2.0+_3-JV = 6

=>_y= 2 => (0,2)bulunur.Benzer §ekildegrafiginx-ekseninikestiginoktayi bulmakicin ise

y

⁼ yazilirve 2.x +3.0=

6=>x=3=>

(3,0) bulunur.(0,2) ve(3,0) noktalannibirlestirendogruparcasimicinealandogruistenendogru- dur (§ekil3.11Ob)).

b)

f +4=

ⁱ de grafigin

x

ve y-eksenlerinikestiginoktalarh \7rbirbicim- deverilmis.tir(?eki3.11(b)).Bunlarsirasiyla2ve-1dir.Gercekte

= = _

1 V 1

2

X

^{= =}

*

2

J'- -1

1 => J/--1 =>(0,-1) ck

c)

y

⁼-3 d^i n

mde

x degiskeni olmadigirdan X serbestce degi> iyorde- mektir, yani *j-3 tipindeki turnnoktaiarbudogi uzerindedir.

Oz

t\olarak (-1, -3)toa, 5)ⁱloktalandabu dogruiizerindedir.B noktalanbirle§tiendog- ru parcisinii/erind2bulunduran dogruistenen djr.Yada kisicabudog- rununegimisifirdir.Dolayisiyla

x

^-eksenineparaleldir.

y

^-ekseni iizerinde-3 noktasindangecenxeksenine paraleldogruistenendogruolur(§ekil3.12(a)).

,,y

I

2

d)

Aym

diigunceylex=₂dogrusunungrafigiyukand ekil3.12(b)).

LlLH*i

Grafikleri verilendogrularin denklemlerini bulunuz.

a> Y

\

/

^b) t^y

/-I ^-1

^KilUiiUV

J

Veilendogrulanr denklemleri birkacy^3labuulabilir.Agagidaenkolayyollabu

a) Grefik xeks enini (p,0)=(-20) ev-^ksenini(0,q)=(0,3)noktasinda Lden

<?

i

+i.=1

i 2 ;

2V-3.i--6 = c

b)C,nfiky

A

St

mm

.0,w)=(0,2)nc ka sincakestilinden,egim-kesimdenkle- kil

"LT+2 olur.

Gk

tiku Be

rinc iekic!£-ernok

1 I - z=-1 buluuir. de1

dem

=_m.\

y

Biriiretimfirmasi yenibir elektrikli siipiirgeuretmeyidii§iinmektedir.

Firmaninpiyasa ara§tirmabdliimiiasagidakifiyat-talep bilgilerini elde etmistir.

Fiyat(milyonTL) Tahmini Talep(ki§i)

41 8 040

66 5040

88 2400

Fiyatiletaleparastnda dogrusalbirbagmtioldugunu

gorunuz

ve(108, 0) iginbagintiyikurunuz.

w

-2400_ 2400-5040_ 5040-8040_

120 old <1l= Talep,

108-88 88-66

tj- ,i -r

«

1'"° fnrmfllflt,len

eya qd= 12 960-12C

F

lj- =-120(F-108)

Ayakkabi

iiretenbirfirmaningtinltiksabitgiderleri165 000 000TL. dir.

Giinliik100 adetayakkabiiqin2

365

000 000TL.

harcama

yapihnaktadir.

Firmaniniiretimiilemaliyetiarasindadogrusalbirbagintininvaroldu-

gunu

kabuledelini.

Bu

bagintiyibulunuz.

C=

Maliyet, x=tiretim isei,tenen baginti

w

(xx,

q)

⁼Co,l550000C 0) vt (x

2^,

C

₂)=(100, 2365 000 000) rendogrU1H111denklemiolacaktir.Ikinokta

noktalanni Jangecen dogru

C- Ci x-X\

d

^~C\

x

2 -

olduguhatirlamrsa C-165 000 000 x 2365000000-

1

55000 000

yet 1U-0

olur.Buradanmal

X

edilir

iki

Dogrunun

Birbirlerine

Gore Durumlan

Verilmi§ikidogrui^inug

durum

sozkonusudur.Budogrularya £aki§iktir ya paraleldir yada kesi§irler. §imdibudurumlarmhangi §artlardager<:ekle§ti- ginigorelim.

A)Dogrular

) denklemleriyleverilsin.

h

yi⁼

m

2x+b2I

£aki;ikdogrular paraleldogrular kesifen dogrular

ly=l

2<=>

m

Y=

m

₂veb{=

^

/j//l2<=>Wj =

m

2veb

x± b₂ llr\l2= {Pi*6f<^>

m

v*

m

₂

Dogrular

h

^:Ax x+Bx

y+

Cx⁼°

1

\ denklenleriyl

h

^:

A

2

x+ B

2

y+ C

2= )

A

2

B

2 _Cx '

c

2

^i*£i

olur.

HM3BF

Kesi§endogrulannkesimnoktalannibulmakiginbirkag yolvardir.Burada bunlannikitanesiniornekifinde agiklayahm.

Verilen

dogru

ciftlerininbirbirlerinegore durumlariniinceteyiniz.Kesism

durumuna uyanlann

kesim noktasini bulunuz.

|3x+ 5y=1

|-6x- 10.y=-;

[

x+

3y=12

(

x-y-3

|

3x-3y=

1

F

a) - olduguiidanbuikidogr cakigiktir.

-6 ^"(I

b)

3 7S -

oldugun danverilenikid

(CizST-kgcruniiz).

c) ¹*³ oldugundandogrularke§i§ir.Kesimnoktalanni

yok

etme

metodu

'i'Ionmetodla

acli\ hula lm.

Ikncice> kleminherikiya urn 3ilecarpip1.denklemeeklersek

3y= 12

3/

x+

3.y= 12

3x-3y

= 12

c=2i=6 =>

x

= 6

Bulunanx= 6 degeriniikinci denklemde(veyabirincidenk- lemde) x gordugumuzyere yazarsak

-y-

-y⁼

j

^{= 6-4 = 2}

bulunur.Boylecekesim noktasi

(x, y)=(6,2)

olur.

1)Verilennoktaciftlerindengecen dogrulannegimlerinive denklemlerini bulunuz.

a)

A

(0,0);

B

(3, -2) b)

A

(-1,3);

S

(4, 0) c)

X

(3,0);

B

(-1,-1) d)

X

(3,5);

5

C-l,3)

2)x-eksenini5,>>-eksenini 3 noktasindakesendogrunundenklemini bulunuz.

3) Verilendogrulannegimlerinibulunuz.

a) 2x+_y-3 = b)$x-2y+1= c)_y= 3

-EEEH1

4) Verilendogruciftlerinincaki§ik,paralelveyakesisenolup olmadiklarmi arasU- rimz.Varsa kesismi noktalannibulunuz.

x-3y=3 y=5x-5

5)

y

^{=5x-1dogrusunaparalelolan}ve

A

(2,3)noktasmdan gecen dogrunun denklemini bulunuz.

PARABOL

Buradasadecesimetriekseni

x

^-eksenine paralelveya

y

^-eksenine paralel olan parabolleriinceleyecegiz.

Geometrikolarak,diizlemde verilenbirnoktayave verilenbirdogruyae§it uzakliktakinoktalannkumesineparaboldenir.Bunoktaya paraboliin odagi, dog- ruyada paraboliindogrultmamadiverilir.

Eger paraboliindogrultmam y-eksenine dikve odagi dogrultmaniniisl sindesecili parabol eldeedilir.

Paraboliingrafigi,

odagmdan

gecenvedogrultmanmadikolanbirdogruya goresimetriktir.

Bu

dogruyasimetrieksenive paraboliikestiginoktayadatepe noktasidenir.

Ax

²+

Bx

+

C

+

Dy

=

denklemi

A

t- t-

D

oldugundasimetriekseni_j boliingenel denklemidir.Buradan

y

cekilirse

tparalelolanbirpara-

y--i-

²-i

bulunur.a^=-

denklemibulunur.Benzersekilde

Ay

²+

By

⁺

C+ Dx

= denklemisimetriek- seni x- eksenine paralel olanbirparabolgosterir.Bu denklemden xcekilirse

x

⁼ay²+ by + c

bulunur.

y = ax

²

+ bx +

c Paraboliiniin Grafigi

Butur birdenklema > isekollanyukanacilan,a < isekollan a§agi acilanbir parabolverir.Grafigikolayca cizebilmekicina§agidaki yolizlenir.

Ilkolarak; paraboliin tepenoktasimnkoordinatlan bulunur.

y

^{=ax2+bx+ c} deilk iki terim a parantezinealmipparantezi^indeki

x

inkat sayisininyansininkaresibireklenirbirglkanhrsa^egitlik

y^{= i+ b}

x+ ±YMY

=a

(

x-x

_T

) 2+

y

_T

bigimine donugiir.Burada x ⁼ paraboliintepenoktasimn x koordinati

1 2a

ve

y

^=4ac"- iseparaboliintepenoktasimn

y

^koordinatiolur.

T 4a

Tepenoktasi:

T

(x_T,y T)=

T

^--A,

4flc"

^

olur.

Ikinciolarak; parabol iizerinde tepenoktasimnikiyamnda enazikinokta belirlenir.Ozelolarakbuikinokta paraboliin x- ekseninikestiginoktalarola- raksecilebilir.

Son

olarak;a > iseparaboliinkollanninyukandogru,a< iseparaboliin kollannmasagidogruacildigigozoniine alarak cizim gercekl,

•

y

^=ax2+bx+ c paraboliiniin tepe noktasi su sekildedebulunabilir.

Once;x =-

—

bulunur.

T 2a

Sonra;xT,

y

⁼ax²+bx+cdenkleminde xyerine yazilarakyTeldeedilir.

Boylece T(x_T,

y

T) tepe noktasibulunmugolur.

• Tepenoktasi,a > isegrafiginenalt(minimum), a< isegrafigineniist

(maksimum)noktasiolur.

Benzerinceleme x=ay²+ by + cparaboliiicindeyapilabilir.

Grafiklerizleyensayfada ozetlenmisur.

BfTT

"Y I

/

Yt

j

^j

V

-%( b 4oc-b²

|

I"la^' 4a j

/ 'h

dnwH

etaeni / \

\y=ax²

+bx+c,o>ol

[y=ox²

+bx+c,o<0l

|_ kollaryukan J [ kollara§agi J

I

GM ^{^•J}

kollarsaga J

sy²+by+c,a<ol kollarsola J

a)

y

^=4x2-4x+ 2 b)

J

^-1-

^~

parabolleriningrafiklerini qiziniz.

a) y =4x²-4x+ 2paraboliinun tepe noktaf egitliginsag yaninikareyetamamlayalim.

y

⁼

4(x

²

-x)+2

= 4

1koordinatlanni helirlemekicin

LI 2) 4J

olur.

y

= (x-xr)2+

y

T 'da

xr,J

|

^!_,1 eldeic

J ')-

1) i? 4 )2-4. +;

l2-4 1+

J

oldugundanparabol iizerindeki(0,2)ve(1,2)noktalan bulunur.

y=4x²-4x+2 (x,y)

(0,2)

(1,2)

a= 4 > oldugundan paraboliinkollan yukan dogrudur. Grafik a§agidaki gibidir.(§ekil3.18(a))

b o

, °

la ₂ i

1 4)

=> rco,i) our.

„ 1 c

-=

1

JV ^1-

y

⁼ igin 1-

—

⁼ =>

x

²= 4=>x= ± 2 dir.

a=-

—

< oldugundankollaragagidogrudur.(§ekil3-18(b))

a)

x =.4U-|j +1

b)x=(.y+2)²-4

parabolleriniqiziniz.

9...

i

w M"

⁺

^-*(y-

^VT

^f

^{+ ve a=-4 < ollugundan}

\collrs )iaJc ir.

7(T

r^.yr)=

T

¹•

tjd,

^{r. Pirib ollin y-ekse, »i}noktayi bulalim.

= igin

My-%] ⁺¹

⁼

»=.4fr-if +

l

bulunur.Boylece

t-lf-1

\ 2) 4

Ji =^{2 ,}

j

2=1 / I

1 (0,I)

2 (0,2)

3/2 (1,3/2)

aki olur.Grahk yand

(§eki

b)

x

= (y +2)²-4 =a(y^-

j

r)2+

x

_T,a=₁> oldugundankollarsagadogru afilirve T(-4,-2) dir.Paraboliiny-ekseninikestiginoktalan bulalim.

x=

ifin (y+2)²-4= ^> (y+if= 4

=>

|^+2| =2

(

4[y

⁺2f⁼|y +2

|)

x=(y+ 2)2-4

=»

j+2

=

±2

=> .Vi= ,

j

^2=-4

(*,/)

(-4,-2)

(0,0)

-4 (0,-4)

olur.Grafigiyukandakigibidir (§ekil3.19(b)).

1)Denklemleri verilen parabollericiziniz.

a)

y

⁼2x²-5x b)

y

⁼ 3x²+2x

\XEnsm

c)y-ltx+tf

g)

y-

d)

y-

Or

h)

y-

-l)²,

2)Verilen parabollerin

minimum

noktalannibulunuz.

a)

y

= 3 (x-l)²+ 3 b)

y

⁼

x

^2-Ax-5 c)j/=3x²-4x+1 d) y =^2.x2+x+1 3) Verilen parabollerin

maksimum

noktalannibulunuz.

a)

y= -2x

²+x b)j>=1-3x²

BiRJNCi VE JKJNCi DERECEDEN

JKJ

BJLJNMEYENLi E§iTSiZLiKLER

Bukisimda,

y

^>ax2+bx+ c(x >ay²+by +

n

(y<m*

-bx+c (x ;)

bicimindeki (digerbirdeyigledogruya da parabol denklemleriyle olu§turulan) egitsizliklerin coziimu olan(x,y)ikililerininolugturduklan klimenin nasil be- lirlendiginiinceleyecegiz.

Verilenbirdogru(yadaparabol)duzlemiticbolgeye ayinr veduzlemdekibir (x,y) noktasibubolgelerdensadecebiriicindedir.

y> m

(Dogruru bolgesi)

nust

/

(Dogrunun

/

^kendisi) (Parabolun ust

^{y>a^}

Y +bx+c

y<ax

²⁺bxVc

7^ _y<mx+n ^,,

L

(Dogrununalt bolgesi)

1

(Parabolun kendisi)

1

(Parabolunalt bolgesi)

Bu, verilenbir (x,y) icin

(y >ax²+bx+ -bx+ hbx+c)

bagintilanndan sadecebirininsaglanmasi demektir. Tersine(*)bagintilanndanbi- rinisaglayanbirnokta yadogru(parabol) iizerindediryadabu dogrunun(para- bolun)duzlemdenayirdigi ikibolgedensadecebirisiicindedir.

meyenli E§it:

Em

inicizmekicinadim adimasagidaki yolizlenir.

Once;

y

⁼

mx

+ ndogrusunun(y =ax²+bx+c) paraboliinungrafiginok- tanoktacizilir.

Sonra; dogruCparabol) tizerindeolmayanherhangibirnokta almir vealman noktamnkoordinatlan verilenegitsizlikteyerine yazihr.Koordinadare§itsizligi sagliyorsanoktamn bulundugubolge aranangrafiktir,saglamiyorsa digerbolge aranangrafiktir.

Son

olarak, verilene§itsizlik>ya da<bicimindeysedogrunun(parabolijn) kendisidecoziime dahiledilir.

a)

y

<2x+ 4 b)

y

^-

x

²+5x>

e§itsizlikleriningoziimkumeleri olanbolgeleri giziniz.

a)

y

⁼2x+ 4 dogrusunufizelim.

(0,0)dogrutizerindedegildir.

Bu

noktayiy < 2x+ 4 deyerineyazahm.

0<2.0

+

4=

4e§itsizligidogruoldugundanistenencoztim bolgesi(0,0)ida icinealandogrununaltbolgesiolur.

Cozum kumesi

y^-x2+3x>

b)

y

⁼

x

²-3xparaboliinungrafigininokta nokta cizelim (neden?). Paraboltize- rindeolmayan(0,-1)noktasininkoordinatlanni verilenegitsizlikteyazahm.

y

^-

x

²+3x= -(-1)²+ 3(-1)=-4>

olurve estoizlik saglanmaz.

Bu

durumda bue§itsizligincoztim bolgesi(0,-1) noktasininoldugubolgedegil,paraboliindtizlemdeayirdigidiger bolgedir.

Bir e§itsizliksistemiverilmi§seherbir e§itsizlikayn ayncoztiltir.Ortak coztim bolgesi verilen sistemincoztim bolgesiolur.

2x-

y<\

\y-

x

^l>

a) b)

|

x+y>2

\

y-x<2

e§itsizliksistemlerini qoziinuz.

HE

Esksizliklerincoziim kiimesia lklerdegorulen ortaktaralibolgelerdir.

1)Verilenegitsizliklerincoziim kiimelerini diizlemde cizerekgosteriniz.

a)

y

^{-3x >} b) 2x-

y

^{<1 c) x-}3.y<

d)

j

^-(x-l)²> e)

y

^-x2-4x-5<

Verilene§itsizliksistemlerinincoziim kiimelerini diizlemde cizerekgosteriniz.

\\i

\

m

\

hj-3>0 (x-j<0

b)

!y>0 (x-J<2

fy-2x- 3<

e)

ll^-3x"+

y>

f)

K*+j/<3

Kendimizi Sinayahm

denklemi a§agidakilerden

Grafigiverilen dogruyadikolandogrua§agidak

b.x+y⁼3 c. x+ y^=-3

3.A§agidakilerd nklemidegildir?

a.

x-3y

=1

b.

3x+2j=l

c.y= 3x-1 d.x-y²⁼¹

e.fix+ y^=-1

4.d,:4j.se+Bj^ +

q

^{= ;t/}2^:A,* +

5

2>'+C2= ° dogrulanenazikiortaknoktayasahipseler agagi

denhangisikesin olarakdogrudur?

a. dive d2 paraleldir.

b. d\,diyedikiir.

Yukandakigeklegoreakactir?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 1

c. 5

KendimiziSinayalim g-|

paraboliindenklemiagagidakilerden ha:

a.y= dx +2)2-1 b.y=-(x+2)2-1 c. y= (x +I)2+2 d. y =(x-I)2+2 e. y= {x-I)²

7.Grafigiverilen x+y^>3 e§itsizliginincoziim a§agidakilerden hangisidir?

Tarah bolgeasagidakiesjitsizliks

cozumkiimesidir?

I,IIveIII.bolgelerin bile§imi

IveV.bolgelerin bile§imi

I,IIveVII.bolgelerin bile§imi II,III,IV,

V

veVI.bolgelerin bile§in IV,VIveVII.bolgelerin bile§imi

y>0

x+>><3

52 Kendimizi Sinayalitn

9.Tarah bolgeasagidakiesjtsizliksistemlerinden hangisi- 10.d₂dogrusud1edikis nincozumbolgesidir? asagidakilerden hangisidir?

a.y= 3x

c.y= 2x

11. d1

:2x-y=3;

d₂:y-4x = divec/

2 dogrularmin kesi§imnoktasiasagidakilerden

Mi

²)

b.f-i.6]

BirazDahaDO§Onelim 53

12.A§agidakijeklegore

P

noktasinin koordinatlanicin asagidakilerden hangisidogrudur?

+y⁼3dogrusunadikolanA(-1,-2)den gecen dog- n denklemini bulunuz.

4.

y

^=x+nvey⁼

mx

^-5dogrulannm

A

(3,1)nok- tasindakesistikleribiliniyorsa nve

m

nedir?

a.^-4(,-|J

^+l

b.

x=(y+2)

²-4 parabolleriniciziniz.

b.x2<y c. x²=y d. x²>y e.

x2.j=3

Biraz Daha

Diisiinelim

1.Verilen grafiklerin belirtilen simetriklerinibulunuz.

(y-xdogrusunagore)

2.xiiretilenuriinsayisivey^fiyatolmakuzerebir uretici firmamn gunlukuretim fiyati(ymilyon TL)

y=10.000-90a-+ 0.045x² olarak belirlenmistir.Firma fiyatiminimumyapabilmesiicingiindekacadet uretim yapmalidir?

"Descartes'inadimdliimsiizle§tirenonun felsefive teorik fikirierindendaha gokanalitik geometrikonusundaki gatismaiandir.Analitik geometripozitifbiiimieriniieriemesiyoiunda bugiinekadaratilmisoianenbiiyiikadimdir.^"

JohnStuart Mill