{ ˆ c t 1 } ∞t=0 , { ˆ c t 2 } ∞t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

Pareto Etkinlik Tanımı:

{ ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

sa˘ glanmalıdır: 1. Ko¸sul:

Bu miktar serileri var olan kaynakları a¸smamalıdır (∀ t). Bir ba¸ska de˘ gi¸sle miktar serileri ”olanaklı” (feasible) olmalıdır.

Daha formel bir ¸sekilde ifade edersek: ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ²

| {z }

toplam t¨ uketim

≤ w _t ¹ + w _t ²

| {z }

toplam kaynaklar

t = 0, 1, 2, ...

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

Pareto Etkinlik Tanımı:

{ ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

sa˘ glanmalıdır:

1. Ko¸sul:

Bu miktar serileri var olan kaynakları a¸smamalıdır (∀ t). Bir ba¸ska de˘ gi¸sle miktar serileri ”olanaklı” (feasible) olmalıdır.

Daha formel bir ¸sekilde ifade edersek: ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ²

| {z }

toplam t¨ uketim

≤ w _t ¹ + w _t ²

| {z }

toplam kaynaklar

t = 0, 1, 2, ...

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

Pareto Etkinlik Tanımı:

{ ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

sa˘ glanmalıdır:

1. Ko¸sul:

Bu miktar serileri var olan kaynakları a¸smamalıdır (∀ t). Bir ba¸ska de˘ gi¸sle miktar serileri ”olanaklı” (feasible) olmalıdır.

Daha formel bir ¸sekilde ifade edersek: ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ²

| {z }

toplam t¨ uketim

≤ w _t ¹ + w _t ²

| {z }

toplam kaynaklar

t = 0, 1, 2, ...

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

Pareto Etkinlik Tanımı:

{ ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

sa˘ glanmalıdır:

1. Ko¸sul:

Bu miktar serileri var olan kaynakları a¸smamalıdır (∀ t).

Bir ba¸ska de˘ gi¸sle miktar serileri ”olanaklı” (feasible) olmalıdır.

Daha formel bir ¸sekilde ifade edersek: ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ²

| {z }

toplam t¨ uketim

≤ w _t ¹ + w _t ²

| {z }

toplam kaynaklar

t = 0, 1, 2, ...

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

Pareto Etkinlik Tanımı:

{ ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

sa˘ glanmalıdır:

1. Ko¸sul:

Bu miktar serileri var olan kaynakları a¸smamalıdır (∀ t).

Bir ba¸ska de˘ gi¸sle miktar serileri ”olanaklı” (feasible) olmalıdır.

Daha formel bir ¸sekilde ifade edersek: ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ²

| {z }

toplam t¨ uketim

≤ w _t ¹ + w _t ²

| {z }

toplam kaynaklar

t = 0, 1, 2, ...

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

Pareto Etkinlik Tanımı:

{ ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin (allocation) ”Pareto Etkin” (Pareto Optimal) olması i¸ cin ¸su ko¸sullar

sa˘ glanmalıdır:

1. Ko¸sul:

Bu miktar serileri var olan kaynakları a¸smamalıdır (∀ t).

Bir ba¸ska de˘ gi¸sle miktar serileri ”olanaklı” (feasible) olmalıdır.

Daha formel bir ¸sekilde ifade edersek:

ˆ c _t ¹ + ˆ c _t ²

| {z }

toplam t¨ uketim

≤ w _t ¹ + w _t ²

| {z }

toplam kaynaklar

t = 0, 1, 2, ...

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

2. Ko¸sul:

{ ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 gibi ba¸ska hi¸cbir alternatif miktar serisi olmamalıdır ki hem olanaklı (feasible) olsun, hem de a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glasın:

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ >

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ en azından bir i i¸ cin

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ ≥

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ ∀i

S¨ ozel olarak ifade edersek herhangi bir ki¸siyi iyile¸stirmek

ancak ve ancak ba¸ska bir ki¸siyi k¨ ot¨ ule¸stirmek suretiyle

m¨ umk¨ unse miktar serileri (allocation) Pareto etkin’dir.

Pareto etkinlik kavramı kaynakların da˘ gılımı ile ilgilenmez.

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

2. Ko¸sul:

{ ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 gibi ba¸ska hi¸ cbir alternatif miktar serisi olmamalıdır ki hem olanaklı (feasible) olsun, hem de a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glasın:

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ >

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ en azından bir i i¸ cin

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ ≥

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ ∀i

S¨ ozel olarak ifade edersek herhangi bir ki¸siyi iyile¸stirmek

ancak ve ancak ba¸ska bir ki¸siyi k¨ ot¨ ule¸stirmek suretiyle

m¨ umk¨ unse miktar serileri (allocation) Pareto etkin’dir.

Pareto etkinlik kavramı kaynakların da˘ gılımı ile ilgilenmez.

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

2. Ko¸sul:

{ ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 gibi ba¸ska hi¸ cbir alternatif miktar serisi olmamalıdır ki hem olanaklı (feasible) olsun, hem de a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glasın:

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ >

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ en azından bir i i¸ cin

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ ≥

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ ∀i

S¨ ozel olarak ifade edersek herhangi bir ki¸siyi iyile¸stirmek

ancak ve ancak ba¸ska bir ki¸siyi k¨ ot¨ ule¸stirmek suretiyle

m¨ umk¨ unse miktar serileri (allocation) Pareto etkin’dir.

Pareto etkinlik kavramı kaynakların da˘ gılımı ile ilgilenmez.

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

2. Ko¸sul:

{ ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 gibi ba¸ska hi¸ cbir alternatif miktar serisi olmamalıdır ki hem olanaklı (feasible) olsun, hem de a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glasın:

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ >

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ en azından bir i i¸ cin

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ ≥

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ ∀i

S¨ ozel olarak ifade edersek herhangi bir ki¸siyi iyile¸stirmek ancak ve ancak ba¸ska bir ki¸siyi k¨ ot¨ ule¸stirmek suretiyle m¨ umk¨ unse miktar serileri (allocation) Pareto etkin’dir.

Pareto etkinlik kavramı kaynakların da˘ gılımı ile ilgilenmez.

”Pareto Etkinlik” (Pareto Efficiency)

2. Ko¸sul:

{ ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 gibi ba¸ska hi¸ cbir alternatif miktar serisi olmamalıdır ki hem olanaklı (feasible) olsun, hem de a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glasın:

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ >

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ en azından bir i i¸ cin

∞

X

t=0

β ^t log ¯ c _t ⁱ ≥

∞

X

t=0

β ^t log ˆ c _t ⁱ ∀i

S¨ ozel olarak ifade edersek herhangi bir ki¸siyi iyile¸stirmek ancak ve ancak ba¸ska bir ki¸siyi k¨ ot¨ ule¸stirmek suretiyle m¨ umk¨ unse miktar serileri (allocation) Pareto etkin’dir.

Pareto etkinlik kavramı kaynakların da˘ gılımı ile ilgilenmez.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

”Pareto Etkin” miktar serilerinin bulunması

Pareto etkin miktar serilerini elde etmenin en kolay yolu

‘”Social Planner Problem (SPP)” ¸ c¨ ozmektir.

Bu problemin sonucu bize kaynakların en etkin kullanıldı˘ gı durumdaki miktar serilerini (allocation) verecektir.

Bu problem sadece kaynakların etkin kullanıldı˘ gı miktarlar ile ilgilendi˘ gi i¸ cin hi¸ cbir fiyat unsuru bu problemde yer almaz.

Social Planner t¨ uketicilerin (t¨ um i ’lerin) faydalarını

a˘ gırlıklandırmak suretiyle t¨ um kaynakların en etkin ¸sekilde

kullanılması vasıtasıyla toplumsal refahı maksimize eder.

SP da˘ gılımla ilgilenmedi˘ gi i¸ cin t¨ uketicilere verece˘ gi

a˘ gırlıklar problemde ¨ onem ta¸sımamaktadır.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

”Pareto Etkin” miktar serilerinin bulunması

Pareto etkin miktar serilerini elde etmenin en kolay yolu

‘”Social Planner Problem (SPP)” ¸ c¨ ozmektir.

Bu problemin sonucu bize kaynakların en etkin kullanıldı˘ gı durumdaki miktar serilerini (allocation) verecektir.

Bu problem sadece kaynakların etkin kullanıldı˘ gı miktarlar ile ilgilendi˘ gi i¸ cin hi¸ cbir fiyat unsuru bu problemde yer almaz.

Social Planner t¨ uketicilerin (t¨ um i ’lerin) faydalarını

a˘ gırlıklandırmak suretiyle t¨ um kaynakların en etkin ¸sekilde

kullanılması vasıtasıyla toplumsal refahı maksimize eder.

SP da˘ gılımla ilgilenmedi˘ gi i¸ cin t¨ uketicilere verece˘ gi

a˘ gırlıklar problemde ¨ onem ta¸sımamaktadır.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

”Pareto Etkin” miktar serilerinin bulunması

Pareto etkin miktar serilerini elde etmenin en kolay yolu

‘”Social Planner Problem (SPP)” ¸ c¨ ozmektir.

Bu problemin sonucu bize kaynakların en etkin kullanıldı˘ gı durumdaki miktar serilerini (allocation) verecektir.

Bu problem sadece kaynakların etkin kullanıldı˘ gı miktarlar ile ilgilendi˘ gi i¸ cin hi¸ cbir fiyat unsuru bu problemde yer almaz.

Social Planner t¨ uketicilerin (t¨ um i ’lerin) faydalarını

a˘ gırlıklandırmak suretiyle t¨ um kaynakların en etkin ¸sekilde

kullanılması vasıtasıyla toplumsal refahı maksimize eder.

SP da˘ gılımla ilgilenmedi˘ gi i¸ cin t¨ uketicilere verece˘ gi

a˘ gırlıklar problemde ¨ onem ta¸sımamaktadır.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

”Pareto Etkin” miktar serilerinin bulunması

Pareto etkin miktar serilerini elde etmenin en kolay yolu

‘”Social Planner Problem (SPP)” ¸ c¨ ozmektir.

Bu problemin sonucu bize kaynakların en etkin kullanıldı˘ gı durumdaki miktar serilerini (allocation) verecektir.

Bu problem sadece kaynakların etkin kullanıldı˘ gı miktarlar ile ilgilendi˘ gi i¸ cin hi¸ cbir fiyat unsuru bu problemde yer almaz.

Social Planner t¨ uketicilerin (t¨ um i ’lerin) faydalarını

a˘ gırlıklandırmak suretiyle t¨ um kaynakların en etkin ¸sekilde

kullanılması vasıtasıyla toplumsal refahı maksimize eder.

SP da˘ gılımla ilgilenmedi˘ gi i¸ cin t¨ uketicilere verece˘ gi

a˘ gırlıklar problemde ¨ onem ta¸sımamaktadır.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

”Pareto Etkin” miktar serilerinin bulunması

Pareto etkin miktar serilerini elde etmenin en kolay yolu

‘”Social Planner Problem (SPP)” ¸ c¨ ozmektir.

Bu problemin sonucu bize kaynakların en etkin kullanıldı˘ gı durumdaki miktar serilerini (allocation) verecektir.

Bu problem sadece kaynakların etkin kullanıldı˘ gı miktarlar ile ilgilendi˘ gi i¸ cin hi¸ cbir fiyat unsuru bu problemde yer almaz.

Social Planner t¨ uketicilerin (t¨ um i ’lerin) faydalarını a˘ gırlıklandırmak suretiyle t¨ um kaynakların en etkin ¸sekilde kullanılması vasıtasıyla toplumsal refahı maksimize eder.

SP da˘ gılımla ilgilenmedi˘ gi i¸ cin t¨ uketicilere verece˘ gi

a˘ gırlıklar problemde ¨ onem ta¸sımamaktadır.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

”Pareto Etkin” miktar serilerinin bulunması

Pareto etkin miktar serilerini elde etmenin en kolay yolu

‘”Social Planner Problem (SPP)” ¸ c¨ ozmektir.

Bu problemin sonucu bize kaynakların en etkin kullanıldı˘ gı durumdaki miktar serilerini (allocation) verecektir.

Bu problem sadece kaynakların etkin kullanıldı˘ gı miktarlar ile ilgilendi˘ gi i¸ cin hi¸ cbir fiyat unsuru bu problemde yer almaz.

Social Planner t¨ uketicilerin (t¨ um i ’lerin) faydalarını a˘ gırlıklandırmak suretiyle t¨ um kaynakların en etkin ¸sekilde kullanılması vasıtasıyla toplumsal refahı maksimize eder.

SP da˘ gılımla ilgilenmedi˘ gi i¸ cin t¨ uketicilere verece˘ gi

a˘ gırlıklar problemde ¨ onem ta¸sımamaktadır.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

SP problemini ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² ≤ w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

c _t ⁱ ≥ 0 ∀i , t

Burada α _i ≥ 0 social planner’in farklı t¨ uketicilerin faydasına verdi˘ gi ¨ onemi a˘ gırlıklandıran parametredir. En azından biri 0’dan b¨ uy¨ uk olmalıdır.

SPP sadece etkinlik ile ilgilendi˘ gi i¸ cin α _i parametresinin

hangi pozitif oldukları s¨ urece aldıkları de˘ ger ¨ onemli

de˘ gildir.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

SP problemini ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ²

s.t.

c _t ¹ + c _t ² ≤ w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

c _t ⁱ ≥ 0 ∀i , t

Burada α _i ≥ 0 social planner’in farklı t¨ uketicilerin faydasına verdi˘ gi ¨ onemi a˘ gırlıklandıran parametredir. En azından biri 0’dan b¨ uy¨ uk olmalıdır.

SPP sadece etkinlik ile ilgilendi˘ gi i¸ cin α _i parametresinin

hangi pozitif oldukları s¨ urece aldıkları de˘ ger ¨ onemli

de˘ gildir.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

SP problemini ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² ≤ w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

c _t ⁱ ≥ 0 ∀i , t

Burada α _i ≥ 0 social planner’in farklı t¨ uketicilerin faydasına verdi˘ gi ¨ onemi a˘ gırlıklandıran parametredir. En azından biri 0’dan b¨ uy¨ uk olmalıdır.

SPP sadece etkinlik ile ilgilendi˘ gi i¸ cin α _i parametresinin

hangi pozitif oldukları s¨ urece aldıkları de˘ ger ¨ onemli

de˘ gildir.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

SP problemini ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² ≤ w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

c _t ⁱ ≥ 0 ∀i , t

Burada α _i ≥ 0 social planner’in farklı t¨ uketicilerin faydasına verdi˘ gi ¨ onemi a˘ gırlıklandıran parametredir. En azından biri 0’dan b¨ uy¨ uk olmalıdır.

SPP sadece etkinlik ile ilgilendi˘ gi i¸ cin α _i parametresinin

hangi pozitif oldukları s¨ urece aldıkları de˘ ger ¨ onemli

de˘ gildir.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

SP problemini ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² ≤ w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

c _t ⁱ ≥ 0 ∀i , t

Burada α _i ≥ 0 social planner’in farklı t¨ uketicilerin faydasına verdi˘ gi ¨ onemi a˘ gırlıklandıran parametredir. En azından biri 0’dan b¨ uy¨ uk olmalıdır.

SPP sadece etkinlik ile ilgilendi˘ gi i¸ cin α _i parametresinin

hangi pozitif oldukları s¨ urece aldıkları de˘ ger ¨ onemli

de˘ gildir.

”Pareto Etkin” Miktar Serilerin Bulunması

SP problemini ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² ≤ w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

c _t ⁱ ≥ 0 ∀i , t

Burada α _i ≥ 0 social planner’in farklı t¨ uketicilerin faydasına verdi˘ gi ¨ onemi a˘ gırlıklandıran parametredir. En azından biri 0’dan b¨ uy¨ uk olmalıdır.

SPP sadece etkinlik ile ilgilendi˘ gi i¸ cin α _i parametresinin

hangi pozitif oldukları s¨ urece aldıkları de˘ ger ¨ onemli

de˘ gildir.

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

Daha ¨ once a¸ cıklanan sebeplerden dolayı (basitle¸stirilmi¸s) SPP

¸su ¸sekilde yazılabilir:

max

c

,c

α ₁

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α ₂

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² = w _t ¹ + w _t ² t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

Daha ¨ once a¸ cıklanan sebeplerden dolayı (basitle¸stirilmi¸s) SPP

¸su ¸sekilde yazılabilir:

max

c

,c

α 1

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t log c _t ²

s.t.

c _t ¹ + c _t ² = w _t ¹ + w _t ² t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

Daha ¨ once a¸ cıklanan sebeplerden dolayı (basitle¸stirilmi¸s) SPP

¸su ¸sekilde yazılabilir:

max

c

,c

α 1

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² = w _t ¹ + w _t ² t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

Daha ¨ once a¸ cıklanan sebeplerden dolayı (basitle¸stirilmi¸s) SPP

¸su ¸sekilde yazılabilir:

max

c

,c

α 1

∞

X

t=0

β ^t log c _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t log c _t ² s.t.

c _t ¹ + c _t ² = w _t ¹ + w _t ² t = 0, 1, 2, ... (feasibility constraint)

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸ cin Lagrange fonksiyonunu ¸su ¸sekilde yazabiliriz:

L = α 1

∞

X

t=0

β ^t logc _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t logc _t ² + π t w _t ¹ + w _t ² − c _t ¹ − c _t ²

F.O.C. (c _t ⁱ ’ye g¨ ore)

α i β ^t 1 ˆ

c _t ⁱ = ˆ π t ∀i , t.

Not:ˆ π t > 0 ∀t ¸c¨ unk¨ u kısıt her d¨ onem e¸sitlik halinde

sa˘ glanıyor.

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸ cin Lagrange fonksiyonunu ¸su ¸sekilde yazabiliriz:

L = α 1

∞

X

t=0

β ^t logc _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t logc _t ² + π t w _t ¹ + w _t ² − c _t ¹ − c _t ²

F.O.C. (c _t ⁱ ’ye g¨ ore)

α i β ^t 1 ˆ

c _t ⁱ = ˆ π t ∀i , t.

Not:ˆ π t > 0 ∀t ¸c¨ unk¨ u kısıt her d¨ onem e¸sitlik halinde

sa˘ glanıyor.

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸ cin Lagrange fonksiyonunu ¸su ¸sekilde yazabiliriz:

L = α 1

∞

X

t=0

β ^t logc _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t logc _t ² + π t w _t ¹ + w _t ² − c _t ¹ − c _t ²

F.O.C. (c _t ⁱ ’ye g¨ ore)

α i β ^t 1 ˆ

c _t ⁱ = ˆ π t ∀i , t.

Not:ˆ π t > 0 ∀t ¸c¨ unk¨ u kısıt her d¨ onem e¸sitlik halinde

sa˘ glanıyor.

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸ cin Lagrange fonksiyonunu ¸su ¸sekilde yazabiliriz:

L = α 1

∞

X

t=0

β ^t logc _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t logc _t ² + π t w _t ¹ + w _t ² − c _t ¹ − c _t ²

F.O.C. (c _t ⁱ ’ye g¨ ore)

α i β ^t 1 ˆ

c _t ⁱ = ˆ π t ∀i , t.

Not:ˆ π t > 0 ∀t ¸c¨ unk¨ u kısıt her d¨ onem e¸sitlik halinde

sa˘ glanıyor.

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸ cin Lagrange fonksiyonunu ¸su ¸sekilde yazabiliriz:

L = α 1

∞

X

t=0

β ^t logc _t ¹ + α 2

∞

X

t=0

β ^t logc _t ² + π t w _t ¹ + w _t ² − c _t ¹ − c _t ²

F.O.C. (c _t ⁱ ’ye g¨ ore)

α i β ^t 1 ˆ

c _t ⁱ = ˆ π t ∀i , t.

Not:ˆ π t > 0 ∀t ¸c¨ unk¨ u kısıt her d¨ onem e¸sitlik halinde

sa˘ glanıyor.

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸cin dengeyi karakterize eden denklemler ¸sunlardır:

α i β ^{t 1} _{c ˆ}

t

= ˆ π t , i = 1, 2, t = 0, 1, 2, ... ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ...

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸cin dengeyi karakterize eden denklemler ¸sunlardır:

α i β ^{t 1} _{c ˆ}

t

= ˆ π t , i = 1, 2, t = 0, 1, 2, ...

ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ...

Social Planner Problem’inin Karakterizasyonu:

SPP i¸cin dengeyi karakterize eden denklemler ¸sunlardır:

α i β ^{t 1} _{c ˆ}

t

= ˆ π t , i = 1, 2, t = 0, 1, 2, ...

ˆ

c _t ¹ + ˆ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² , t = 0, 1, 2, ...

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

(Tam Rekabet¸ ci) Piyasa ekonomisinde t¨ uketiciler kendi faydalarını maksimize eder, piyasalar vardır ve kaynak da˘ gılımı fiyatlar ile yapılır.

Piyasa ekonomisine ”Decentralized economy” de denir. SP probleminde ise Sosyal plancı toplumsal refahı

maksimize eder, piyasalar yoktur ve kaynak da˘ gılımını SP yaptı˘ gı i¸ cin fiyatlara ihtiya¸ c yoktur.

SP problemine ”centralized economy” de denir.

SP hipotetik bir problem olsa da bize Pareto Etkin

sonu¸ cları vermesi bakımından ¨ onemlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

(Tam Rekabet¸ ci) Piyasa ekonomisinde t¨ uketiciler kendi faydalarını maksimize eder, piyasalar vardır ve kaynak da˘ gılımı fiyatlar ile yapılır.

Piyasa ekonomisine ”Decentralized economy” de denir. SP probleminde ise Sosyal plancı toplumsal refahı

maksimize eder, piyasalar yoktur ve kaynak da˘ gılımını SP yaptı˘ gı i¸ cin fiyatlara ihtiya¸ c yoktur.

SP problemine ”centralized economy” de denir.

SP hipotetik bir problem olsa da bize Pareto Etkin

sonu¸ cları vermesi bakımından ¨ onemlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

(Tam Rekabet¸ ci) Piyasa ekonomisinde t¨ uketiciler kendi faydalarını maksimize eder, piyasalar vardır ve kaynak da˘ gılımı fiyatlar ile yapılır.

Piyasa ekonomisine ”Decentralized economy” de denir.

SP probleminde ise Sosyal plancı toplumsal refahı

maksimize eder, piyasalar yoktur ve kaynak da˘ gılımını SP yaptı˘ gı i¸ cin fiyatlara ihtiya¸ c yoktur.

SP problemine ”centralized economy” de denir.

SP hipotetik bir problem olsa da bize Pareto Etkin

sonu¸ cları vermesi bakımından ¨ onemlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

(Tam Rekabet¸ ci) Piyasa ekonomisinde t¨ uketiciler kendi faydalarını maksimize eder, piyasalar vardır ve kaynak da˘ gılımı fiyatlar ile yapılır.

Piyasa ekonomisine ”Decentralized economy” de denir.

SP probleminde ise Sosyal plancı toplumsal refahı

maksimize eder, piyasalar yoktur ve kaynak da˘ gılımını SP yaptı˘ gı i¸cin fiyatlara ihtiya¸ c yoktur.

SP problemine ”centralized economy” de denir.

SP hipotetik bir problem olsa da bize Pareto Etkin

sonu¸ cları vermesi bakımından ¨ onemlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

(Tam Rekabet¸ ci) Piyasa ekonomisinde t¨ uketiciler kendi faydalarını maksimize eder, piyasalar vardır ve kaynak da˘ gılımı fiyatlar ile yapılır.

Piyasa ekonomisine ”Decentralized economy” de denir.

SP probleminde ise Sosyal plancı toplumsal refahı

maksimize eder, piyasalar yoktur ve kaynak da˘ gılımını SP yaptı˘ gı i¸cin fiyatlara ihtiya¸ c yoktur.

SP problemine ”centralized economy” de denir.

SP hipotetik bir problem olsa da bize Pareto Etkin

sonu¸ cları vermesi bakımından ¨ onemlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

(Tam Rekabet¸ ci) Piyasa ekonomisinde t¨ uketiciler kendi faydalarını maksimize eder, piyasalar vardır ve kaynak da˘ gılımı fiyatlar ile yapılır.

Piyasa ekonomisine ”Decentralized economy” de denir.

SP probleminde ise Sosyal plancı toplumsal refahı

maksimize eder, piyasalar yoktur ve kaynak da˘ gılımını SP yaptı˘ gı i¸cin fiyatlara ihtiya¸ c yoktur.

SP problemine ”centralized economy” de denir.

SP hipotetik bir problem olsa da bize Pareto Etkin

sonu¸ cları vermesi bakımından ¨ onemlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

Bir piyasa ekonomisinin Pareto Etkin olup olmadı˘ gını kontrol etmek i¸ cin o piyasa ekonomisinin SP problemi

¸ c¨ oz¨ ul¨ ur.

Bulunan sonu¸ clar aynı ise CE (Rekabet¸ ci denge) Pareto etkindir, de˘ gilse CE Pareto etkin de˘ gildir.

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ ci Denge Pareto Etkindir.

1. Refah teoremi ¸ cok kısıtlı durumlarda ge¸ cerlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

Bir piyasa ekonomisinin Pareto Etkin olup olmadı˘ gını kontrol etmek i¸ cin o piyasa ekonomisinin SP problemi

¸c¨ oz¨ ul¨ ur.

Bulunan sonu¸ clar aynı ise CE (Rekabet¸ ci denge) Pareto etkindir, de˘ gilse CE Pareto etkin de˘ gildir.

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ ci Denge Pareto Etkindir.

1. Refah teoremi ¸ cok kısıtlı durumlarda ge¸ cerlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

Bir piyasa ekonomisinin Pareto Etkin olup olmadı˘ gını kontrol etmek i¸ cin o piyasa ekonomisinin SP problemi

¸c¨ oz¨ ul¨ ur.

Bulunan sonu¸ clar aynı ise CE (Rekabet¸ ci denge) Pareto etkindir, de˘ gilse CE Pareto etkin de˘ gildir.

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ ci Denge Pareto Etkindir.

1. Refah teoremi ¸ cok kısıtlı durumlarda ge¸ cerlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

Bir piyasa ekonomisinin Pareto Etkin olup olmadı˘ gını kontrol etmek i¸ cin o piyasa ekonomisinin SP problemi

¸c¨ oz¨ ul¨ ur.

Bulunan sonu¸ clar aynı ise CE (Rekabet¸ ci denge) Pareto etkindir, de˘ gilse CE Pareto etkin de˘ gildir.

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ ci Denge Pareto Etkindir.

1. Refah teoremi ¸ cok kısıtlı durumlarda ge¸ cerlidir.

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP

Tam Rekabet¸ci Piyasa ve SPP kar¸sıla¸stırılması:

Bir piyasa ekonomisinin Pareto Etkin olup olmadı˘ gını kontrol etmek i¸ cin o piyasa ekonomisinin SP problemi

¸c¨ oz¨ ul¨ ur.

Bulunan sonu¸ clar aynı ise CE (Rekabet¸ ci denge) Pareto etkindir, de˘ gilse CE Pareto etkin de˘ gildir.

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ ci Denge Pareto Etkindir.

1. Refah teoremi ¸ cok kısıtlı durumlarda ge¸ cerlidir.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ci Denge Pareto Etkindir.

{ ˆ p _t } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ² } ^∞ _t=0 tam rekabet dengesini yansıtan fiyat ve miktar serileri olsun.

Bu durumda { ˆ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri Pareto

Etkin’dir.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ci Denge Pareto Etkindir.

{ ˆ p _t } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ² } ^∞ _t=0 tam rekabet dengesini yansıtan fiyat ve miktar serileri olsun.

Bu durumda { ˆ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri Pareto

Etkin’dir.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoremi: Rekabet¸ci Denge Pareto Etkindir.

{ ˆ p _t } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ² } ^∞ _t=0 tam rekabet dengesini yansıtan fiyat ve miktar serileri olsun.

Bu durumda { ˆ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ˆ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri Pareto

Etkin’dir.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoreminin Kanıtı:

Kanıt: Kanıt ”contradiction (¸ celi¸ ski)” y¨ ontemi ile yapılacaktır.

Bu y¨ ontemde ilk olarak Rekabet¸ ci Denge ¸ c¨ oz¨ umleri olan { ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin olmadı˘ gını varsayalım.

Bu durumda alternatif olarak { ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri vardır ki bu miktar serileri hem ”feasible” olur, hem de WLOG (without loss of generality)

U( ¯ c _t ¹ ) > U( ˆ c _t ¹ ) U( ¯ c _t ² ) ≥ U( ˆ c _t ² )

¨

ozelliklerini sa˘ glar.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoreminin Kanıtı:

Kanıt: Kanıt ”contradiction (¸ celi¸ ski)” y¨ ontemi ile yapılacaktır.

Bu y¨ ontemde ilk olarak Rekabet¸ ci Denge ¸ c¨ oz¨ umleri olan { ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin olmadı˘ gını varsayalım.

Bu durumda alternatif olarak { ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri vardır ki bu miktar serileri hem ”feasible” olur, hem de WLOG (without loss of generality)

U( ¯ c _t ¹ ) > U( ˆ c _t ¹ ) U( ¯ c _t ² ) ≥ U( ˆ c _t ² )

¨

ozelliklerini sa˘ glar.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoreminin Kanıtı:

Kanıt: Kanıt ”contradiction (¸ celi¸ ski)” y¨ ontemi ile yapılacaktır.

Bu y¨ ontemde ilk olarak Rekabet¸ci Denge ¸ c¨ oz¨ umleri olan { ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin olmadı˘ gını varsayalım.

Bu durumda alternatif olarak { ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri vardır ki bu miktar serileri hem ”feasible” olur, hem de WLOG (without loss of generality)

U( ¯ c _t ¹ ) > U( ˆ c _t ¹ ) U( ¯ c _t ² ) ≥ U( ˆ c _t ² )

¨

ozelliklerini sa˘ glar.

1. Refah Teoremi

1. Refah Teoreminin Kanıtı:

Kanıt: Kanıt ”contradiction (¸ celi¸ ski)” y¨ ontemi ile yapılacaktır.

Bu y¨ ontemde ilk olarak Rekabet¸ci Denge ¸ c¨ oz¨ umleri olan { ˆ c t 1 } ^∞ _t=0 , { ˆ c t 2 } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin olmadı˘ gını varsayalım.

Bu durumda alternatif olarak { ¯ c _t ¹ } ^∞ _t=0 , { ¯ c _t ² } ^∞ _t=0 miktar serileri vardır ki bu miktar serileri hem ”feasible” olur, hem de WLOG (without loss of generality)

U( ¯ c _t ¹ ) > U( ˆ c _t ¹ ) U( ¯ c _t ² ) ≥ U( ˆ c _t ² )

¨

ozelliklerini sa˘ glar.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

Bu durumda

U( ¯ c _t ¹ ) > U( ˆ c _t ¹ ) olması ancak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t c ¯ _t ¹ > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t w _t ¹ (1)

(1) nolu denklemin ge¸ cerli oldu˘ gu durumda sa˘ glanır. C ¸ ¨ unk¨ u ¯ c t 1 serisinin daha fazla fayda sa˘ glayabilmesi ancak ve ancak ˆ c t 1 ’den daha ¸cok ¯ c t 1 miktarı kullanılmasını gerektirir ki bu da fiyat ve endowment serileri aynı iken (1) nolu denklemin sa˘ glanmasını gerektirir.

Ayrıca,

Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t c ¯ _t ² ≥ Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t w _t ² (2)

olmalıdır.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

Bu durumda

U( ¯ c t 1 ) > U( ˆ c t 1 ) olması ancak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t c ¯ _t ¹ > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t w _t ¹ (1)

(1) nolu denklemin ge¸ cerli oldu˘ gu durumda sa˘ glanır.

C ¸ ¨ unk¨ u ¯ c t 1 serisinin daha fazla fayda sa˘ glayabilmesi ancak ve ancak ˆ c t 1 ’den daha ¸cok ¯ c t 1 miktarı kullanılmasını gerektirir ki bu da fiyat ve endowment serileri aynı iken (1) nolu denklemin sa˘ glanmasını gerektirir.

Ayrıca,

Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t c ¯ _t ² ≥ Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t w _t ² (2)

olmalıdır.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

Bu durumda

U( ¯ c t 1 ) > U( ˆ c t 1 ) olması ancak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t c ¯ _t ¹ > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t w _t ¹ (1)

(1) nolu denklemin ge¸ cerli oldu˘ gu durumda sa˘ glanır.

C ¸ ¨ unk¨ u ¯ c t 1 serisinin daha fazla fayda sa˘ glayabilmesi ancak ve ancak ˆ c t 1 ’den daha ¸ cok ¯ c t 1 miktarı kullanılmasını gerektirir ki bu da fiyat ve endowment serileri aynı iken (1) nolu denklemin sa˘ glanmasını gerektirir.

Ayrıca,

Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t c ¯ _t ² ≥ Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t w _t ² (2)

olmalıdır.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

Bu durumda

U( ¯ c t 1 ) > U( ˆ c t 1 ) olması ancak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t c ¯ _t ¹ > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t w _t ¹ (1)

(1) nolu denklemin ge¸ cerli oldu˘ gu durumda sa˘ glanır.

C ¸ ¨ unk¨ u ¯ c t 1 serisinin daha fazla fayda sa˘ glayabilmesi ancak ve ancak ˆ c t 1 ’den daha ¸ cok ¯ c t 1 miktarı kullanılmasını gerektirir ki bu da fiyat ve endowment serileri aynı iken (1) nolu denklemin sa˘ glanmasını gerektirir.

Ayrıca,

Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t c ¯ _t ² ≥ Σ ^∞ _t=0 p ˆ _t w _t ² (2)

olmalıdır.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

1 ve 2 nolu denklemleri toplarsak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (3) olur.

Feasibility ko¸sulundan

¯

c _t ¹ + ¯ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² ∀t olur.

Her t i¸ cin ge¸ cerli olan ko¸sulu ˆ p t ile ¸ carpar ve zaman

¨

uzerinden toplarsak:

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) = Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (4)

olur.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

1 ve 2 nolu denklemleri toplarsak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (3) olur.

Feasibility ko¸sulundan

¯

c _t ¹ + ¯ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² ∀t olur.

Her t i¸ cin ge¸ cerli olan ko¸sulu ˆ p t ile ¸ carpar ve zaman

¨

uzerinden toplarsak:

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) = Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (4)

olur.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

1 ve 2 nolu denklemleri toplarsak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (3) olur.

Feasibility ko¸sulundan

¯

c _t ¹ + ¯ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² ∀t olur.

Her t i¸ cin ge¸ cerli olan ko¸sulu ˆ p t ile ¸ carpar ve zaman

¨

uzerinden toplarsak:

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) = Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (4)

olur.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

1 ve 2 nolu denklemleri toplarsak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (3) olur.

Feasibility ko¸sulundan

¯

c _t ¹ + ¯ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² ∀t olur.

Her t i¸ cin ge¸ cerli olan ko¸sulu ˆ p t ile ¸ carpar ve zaman

¨

uzerinden toplarsak:

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) = Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (4)

olur.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

1 ve 2 nolu denklemleri toplarsak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (3) olur.

Feasibility ko¸sulundan

¯

c _t ¹ + ¯ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² ∀t olur.

Her t i¸ cin ge¸ cerli olan ko¸sulu ˆ p t ile ¸ carpar ve zaman

¨

uzerinden toplarsak:

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) = Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (4)

olur.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

1 ve 2 nolu denklemleri toplarsak

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) > Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (3) olur.

Feasibility ko¸sulundan

¯

c _t ¹ + ¯ c _t ² = w _t ¹ + w _t ² ∀t olur.

Her t i¸ cin ge¸ cerli olan ko¸sulu ˆ p t ile ¸ carpar ve zaman

¨

uzerinden toplarsak:

Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (¯ c _t ¹ + ¯ c _t ² ) = Σ ^∞ _t=0 p ˆ t (w _t ¹ + w _t ² ) (4)

olur.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

(3) ve (4) ¸celi¸sti˘ gi i¸ cin ba¸staki arg¨ uman yani

”{ˆ c ¹ } ^∞ _t=0 , {ˆ c ² } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin

olmadı˘ gı” ifadesinin yanlı¸s oldugunu kanıtlamı¸s olduk.

Bir ba¸ska de˘ gi¸sle ”{ˆ c ¹ } ^∞ _t=0 , {ˆ c ² } ^∞ _t=0 miktar serilerinin

Pareto Etkin oldu˘ gunu kanıtladık.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

(3) ve (4) ¸celi¸sti˘ gi i¸ cin ba¸staki arg¨ uman yani

”{ˆ c ¹ } ^∞ _t=0 , {ˆ c ² } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin olmadı˘ gı” ifadesinin yanlı¸s oldugunu kanıtlamı¸s olduk.

Bir ba¸ska de˘ gi¸sle ”{ˆ c ¹ } ^∞ _t=0 , {ˆ c ² } ^∞ _t=0 miktar serilerinin

Pareto Etkin oldu˘ gunu kanıtladık.

1. Refah Teoremi

Kanıtın Devamı:

(3) ve (4) ¸celi¸sti˘ gi i¸ cin ba¸staki arg¨ uman yani

”{ˆ c ¹ } ^∞ _t=0 , {ˆ c ² } ^∞ _t=0 miktar serilerinin Pareto Etkin olmadı˘ gı” ifadesinin yanlı¸s oldugunu kanıtlamı¸s olduk.

Bir ba¸ska de˘ gi¸sle ”{ˆ c ¹ } ^∞ _t=0 , {ˆ c ² } ^∞ _t=0 miktar serilerinin

Pareto Etkin oldu˘ gunu kanıtladık.