Ünite 09 Türev

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• türev kavramını anlayacak,

• türev alma kurallarını öğrenecek,

• türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

• çeşitli tipte fonksiyonların türevlerini bulabileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş

225

• Fonksiyon Türevi

227

• Türev Alma Kuralları

236

• Teğet Denklemi

240

• Yüksek Mertebeden Türevler

241

• Değerlendirme Soruları 243

ÜNİTE

9

Türev Kavramı

Yazar

• Türev

kavramını ve türev alma kurallarını iyi öğreniniz

• Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz

• Türevin geometrik ve fiziksel anlamına dikkat ediniz

• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp türevlerini (I. mertebeden, II.

mertebeden, ...) bulunuz

1. Giriş

Önce, denklemi y = f(x) olan bir eğrinin üzerindeki herhangi bir (x0, f(x0))

noktasındaki teğetinin bulunması problemini ele alalım. Bunun için önce teğetin tanımını hatırlayalım.

Eğri üzerinde bir T noktası verilsin. Eğri üzerinde bu noktadan farklı herhangi T1

noktası seçip TT1 kirişini çizelim. T1 noktası eğri boyunca T noktasına

yaklaştı-ğı zaman bu kiriş T noktası etrafında dönme hareketi yapar. TT1 kirişinin limit

konumuna (eğer varsa) bu eğrinin T noktasındaki teğeti denir. Teğetin x- ekseni ile oluşturduğu α açısının tanjantına ise teğetin eğimi denir. Teğetin eğimini bulmak için T1 noktasının apsisinin x0 + h olduğunu varsayalım. O zaman bu noktanın

ordinatı f(x0 + h) olur. TNT1 dik üçgeninden TN = h, T1 N = f(x0 + h) - f(x0),

olduğundan kirişin eğimi

olur.

T1 in eğri boyunca T ye yaklaşması h nin sıfıra yaklaşmasını gerektirdiğinden

h → 0 iken kirişin eğimi teğetin eğimine yaklaşır: Eğer limiti varsa,

olur. Buna göre, teğetin eğimini bulmak için yukarıdaki limiti hesaplamak gerek-mektedir. T1TN = β tan β = T1 N TN = f( x0 + h) - f( x0) h 0 ● α β N T y = f (x) α β x₀ T1 . x 0 + h y x T1 N TN lim h → 0

teğetin eğimi = tan α = lim

h → 0

f( x0 + h) - f( x0)

h

Örnek: 1) y = x3 _{ve 2) y = 1 + x}2

eğrilerinin herhangi x0 apsisli noktadaki teğet eğimlerini hesaplayalım.

Çözüm: 1) Eğri üzerinde x0 apsisli nokta, (x0 , x03 ) noktasıdır.

f(x0) = x03 , f (x0 + h) = (x0 + h)3 olduğundan

2) f(x0) = 1 + x02 , f(x0 + h) = 1 + (x0 + h)2

olur. Örneğin, (-2, 5) noktasındaki teğet eğimi 2 . (-2) = - 4 dür.

Şimdi ise hareketli bir cismin ani hızının hesaplanması problemini ele alalım. Düz-lemde bir doğru boyunca harekette olan cisim, başlangıçta (t=0 anında) doğru üze-rindeki O noktasında olsun. t anında cismin bulunduğu nokta ile O noktası arasın-daki s(t) uzaklığı t zamanının bir fonksiyonu olup, cismin t zamanı içinde katettiği yolu gösterir. s = s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir.

Bu hareketin to anındaki ani hızını bulmak için t0 a ∆t artması verelim. ∆t süresinde

kate-dilen yol, ∆s = s(t0 + ∆t) - s(t0) olur. Bu durumda oranı ise, [t0, t0 + ∆t] zaman

aralığındaki ortalama hız olur. t0 anındaki vani ani hızını bulmak için oranının

∆t → 0 iken limitini bulmamız gerekmektedir. Buna göre, ani hız

olur, dolayısıyla ani hızı bulmak için bu limiti hesaplamak gerekmektedir. Örnek olarak hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda serbest düşen cismin ani hızını bulalım. t = 0 (sn) anında cisim O başlangıç noktasında ise o zaman t0

sa-niye içinde katedilen yol

formülü ile veriliyor. Burada g ≅ 9,8 m/sn2 _dir.

tan α = lim h → 0 (x0 + h)3 - x0 3 h = limh → 0 x0 3 _{+ 3x} 0 2 _{h + 3x} 0 h2 + h3 - x0 3 h = lim h → 0 3x0 2 _{+ 3x} 0 h + h2 = 3x0 2 + 0 + 0 = 3x0 2 olur. tan α = lim h → 0 1 + (x0 + h)2 - (1 + x0 2) h = limh → 0 (2x0 + h) = 2x0 ∆s ∆t _∆s ∆t vani = s t0 + ∆t - s t0 ∆t lim ∆t → 0 s (t0) = g t0 2 2 (metre) Buna göre, s t0 + ∆t = g . t0 + ∆t 2 2 ,

Örnek: Hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda yeteri kadar yüksekten

ser-best düşen cismin, düşmeye başladıktan 10 saniye sonraki ani hızını bulunuz.

Çözüm: vani = gt0 , t0 = 10 sn , g ≅ 9,8 m/sn2 olduğundan aradığımız hız,

vani ≅ 9,8.10 m/sn = 98 m/sn olur.

Not: ∆t yi ∆ ile t nin çarpımı olarak düşünmeyiniz, küçük artmaları

göster-mek için kullanılan bir gösterimdir.

2. Fonksiyon Türevi

Yukarıda incelediğimiz her iki örnekte, fonksiyon artması denilen f(x0 + h) - f(x0)

ve s(t0 + ∆t) - s(t0) ifadeleri, bağımsız değişken artmaları olan h ve ∆t ye

bölü-nüp, bölümün bu artmalar sıfıra yaklaşırken limitleri alındı. Bu limitlerin hesap-lanması bizi türev kavramına getirir.

A ⊂ IR aralığı üzerinde tanımlı, gerçel değişkenli f: A→ IR, y = f(x) fonksiyonu ve-rilsin. x0 ∈ A olmak üzere x0 a ∆x kadar artma verelim. x0 + ∆x sayısının da ∆x in

küçük değerleri için yine A aralığı içinde kaldığını varsayalım (burada ∆x > 0 veya ∆x < 0 olabilir). O zaman ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) a y = f(x)

fonksiyonu-nun x0 noktasındaki artması, ifadesine ise fonksiyonun

[x0, x0 + ∆x] aralığında ortalama değişme hızı denir, (burada, eğer ∆x < 0

ise [x0 + ∆x, x0] aralığından sözetmeliyiz).

limiti varsa, bu limite y = f(x) fonksiyonunun x0

noktasındaki türevi denir. Bu durumda y = f(x) fonksiyonuna da x0

nok-tasında türevlenebilir fonksiyon denir.

Buna göre türev, fonksiyon artması ∆y nin bağımsız değişken artması olan ∆x e oranının ∆x sıfıra yaklaşırken limitidir.

olduğuna dikkat ediniz.

vani = g . t0 + ∆t 2 2 - g . t02 2 ∆t = g 2 lim∆t → 0 (t0 + ∆t)2 - t02 ∆t lim ∆t → 0 = g 2 t0 2 + 2t0 . ∆t + ∆t2 - t02 ∆t = g 2 ∆t → 0lim 2 t0 + ∆t = g t0 , lim ∆t → 0 vani = gt0 olur. ∆y ∆x = f(x0 + ∆x) - f(x0) ∆x Eğer f x0 + ∆x - f x0 ∆x lim ∆x → 0 f x0 + ∆x - f x0 ∆x = f x - f x0 x - x0 lim x → x0 lim ∆x → 0

Eğer y = f(x) fonksiyonunun her x ∈ A noktasında türevi varsa, o zaman bu fonksi-yona "A üzerinde (veya A kümesinde) türevlenebilir" veya "A üzerinde türevi

vardır" denir. Bu durumda A üzerinde yeni bir fonksiyon, türev fonksiyonu

tanımlanmış olur. Bu fonksiyon her x ∈ A sayısını fonksiyonun x noktasındaki türevi ile eşler.

Türev Fonksiyonu

gibi, x0 noktasındaki türev ise

gibi sembollerle gösterilir. Böylece,

yazılabilir. Türev alma işlemine bazen diferansiyelleme işlemi de denir. f

'

(x) türevine bazen f(x) fonksiyonunun x değişkenine göre türevi veya sadece f(x)

fonksiyonunun türevi denir.

Yukarıdaki örneklerde bulduğumuz sonuçları şöyle ifade edebiliriz:

x0 noktasında türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin (x0 , f(x0))

nok-tasındaki teğetinin eğimi olan tan αααα değeri f

'

(x0) türevine eşittir.

Doğru boyunca hareket eden ve denklemi s = s(t) ile verilen cismin hareketinde herhangi t0 anındaki ani hız s

'

(t0) türevine eşittir.

Giriş kesimindeki 1). ve 2). örneklere göre, y = x3 _{fonksiyonu için y}

_'

_(x 0) =

3x02 ve y = x2 + 1 fonksiyonu için y

'

(x0) = 2x0 diyebiliriz.

Tanımdan görüldüğü gibi y = f(x) fonksiyonu için x = x0 noktasındaki f

'

(x0)

türevinin sonucu bir sayıdır. Bu sayıyı bulmak için ya

limiti hesaplanır ya da eğer mümkünse, f

'

(x) türev fonksiyonu hesaplanıp x yeri-ne x0 yazılır.

Örnek: y = x birim fonksiyonun türevini bulalım. y

'

, f

'

x , dy dx , d f x dx y

'

x0 , f

'

x0 , dy dx x = x0 ,

d f x0 dx y

'

x0 = f

'

x0 = dy dx x = x0 = d f x0 dx = f x0 + ∆x - f x0 ∆x lim ∆x → 0 f x0 + ∆x - f x0 ∆x lim ∆x → 0

Çözüm: f(x) = x, f(x + ∆x) = x + ∆x olduğundan

Örnek: y = 2x2 _{- 3x + 5 fonksiyonunun türevini bulalım.}

Çözüm: f(x) = 2x2 _{- 3x + 5 , f(x + ∆x) = 2(x + ∆x)}2 _{- 3(x + ∆x) + 5}

= 2 ( x2 _{+ 2x . ∆x + ∆x}2_{) - 3x - 3 ∆x + 5 = 2x}2 _{+ 4x . ∆x + 2∆x}2 _{- 3x - 3∆x + 5}

olduğundan

= 4x + 2 . 0 - 3 = 4x - 3, buna göre (2x2 _{- 3x + 5)}

_'

_{= 4x - 3 dir.}

Örnek: f(x) = x + x3 _{fonksiyonunun x = -2 noktasındaki f}

_'

_{(-2) türevini bulalım.}

Çözüm: f(-2) = -2 + (-2)3 _{= -2 -8 = -10} f(-2 + ∆x) = -2 + ∆x + (-2 + ∆x)3 _{= -2 + ∆x + (-8 + 12 ∆x - 6 ∆x}2 _{+ ∆x}3₎ = ∆x3 _{- 6 ∆x}2 _{+ 13 ∆x - 10} olduğundan bulunur. Örnek: Çözüm: elde edilir. y

'

= x + ∆x - x

∆x = ∆x → 0lim 1 = 1 ve dolayısıyle x

'

= 1 elde edilir.

lim ∆x → 0 y

'

= 2x2 + 4x . ∆x + 2 ∆x2 - 3x - 3 ∆x + 5 - 2x2 + 3x - 5 ∆x = ∆x → 0lim 4x + 2 . ∆x - 3 lim ∆x → 0 f

'

-2 = f -2 + ∆x - f -2

∆x limitini (eğer varsa) bulmamız gerekiyor.

lim ∆x → 0 f

'

(-2) = ∆x 3 _{- 6 ∆x}2 _{+ 13 ∆x - 10 + 10} ∆x lim ∆x → 0 = ∆x 2 _{- 6 ∆x + 13} lim ∆x → 0 = 0 - 0 + 13 = 13 y = 1

x (x ≠ 0) fonksiyonunun türevini bulalım f(x) = 1 x , f(x + ∆x) = 1_{x + ∆x} olduğundan y

'

= 1 x + ∆x - 1x ∆x lim ∆x → 0 = x - x - ∆x x (x + ∆x) ∆x lim ∆x → 0 = - 1 x (x + ∆x) lim ∆x → 0 = - 1 x (x + 0) = - 1x2

Fonksiyonların süreklilik kavramını geçen ünitede tanımlamıştık. Süreklilik kav-ramı ile türev kavkav-ramı arasında aşağıdaki ilişki vardır:

Eğer y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasında türevi varsa o zaman bu

fonksiyon bu noktada süreklidir.

Not: y = f(x) fonksiyonu verilsin. x değiştikçe buna bağlı olarak y de değişir.

Farklı f(x) fonksiyonları için bu değişim farklıdır. İşte f

'

(x) türevi, y nin x e göre değişme hızını ifade eder. Gerçekten, fonksiyon artmasının bağımsız de-ğişken artmasına oranı olan oranı fonksiyonun [x, x+∆x] veya [x+ ∆x, x] aralığındaki ortalama değişme hızını,

limiti ise fonksiyonun x noktasındaki değişme hızını gösterir. Türevin bu anla-mı uygulama açısından çok önemlidir.

Örnek: y = x2 _{fonksiyonunun x = 3 noktasında değişme hızını bulalım.}

Çözüm: y

'

= f

'

(x) = 2x olduğundan x = 3 noktasında değişme hızı f

'

(3) = 2.3 = 6 olur.

Örnek: Çözüm:

Burada hızın negatif olması, fonksiyonun x = -2 noktası civarında azaldığına işaret eder.

Şimdi türevi olmayan bir fonksiyon örneği verelim.

Örnek: y = |x| fonksiyonunun x0 = 0 noktasında türevinin olmadığını

göste-relim.

Çözüm: x ≥ 0 ise |x| = x , x < 0 ise |x| = -x olduğunu hatırlayalım. Buna göre,

f(x0) = |x0| = |0| = 0, f(x0 + ∆x) = |0 + ∆x| = |∆x|

olur. Sonuncu limit yoktur, çünkü

f(x + ∆x) - f(x) ∆x f

_'

(x) = f(x + ∆x) - f(x) ∆x lim ∆x → 0 y = 1

x fonksiyonunun x = -2 noktasında değişme hızını bulalım. y

_'

= f

_'

(x) = - 1 x2 olduğundan f

'

(-2) = - 1_(-2)2 = - 1₄ olur f( x0 + ∆x) - f( x0) ∆x lim ∆x → 0 = |∆x| ∆x lim ∆x → 0 |∆x| ∆x lim ∆x → 0+ = ∆x ∆x lim ∆x → 0+ = 1 |∆x| ∆x lim ∆x → 0- = -∆x ∆x lim ∆x → 0- = -1

olduğundan sağdan limit soldan limite eşit değildir. O zaman bu fonksiyonun x0 = 0 da türevi yoktur.

Şimdi bazı fonksiyonların türevlerini hesaplayalım.

1) y = c sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır: y

'

= (c)

'

= 0.

f(x) = c , f(x + ∆x) = c olduğundan

2) a gerçel sayı olmak üzere, y = xa _{fonksiyonunun türevi y}

_'

_{= a x}a-1 _dir.

Bu formülü a nın doğal sayı olması durumda ispatlayacağız. (Genel durumda karmaşık limitler kullanılır). f(x) = xa _{, f(x + ∆x) = (x + ∆x)}a _{dır. 2. ünitedeki}

Binom formülüne göre,

yazabiliriz. Buradan

bulunur.

Örnek : fonksiyonlarının

tü-revlerini bulalım.

Çözüm: 1) y = x5 _{fonksiyonu için a = 5 dir. Buna göre y}

_'

_{= (x}5₎

_'

_{= 5x}5-1 _{= 5x}4

dür.

olur.

y

_'

= f(x + ∆x) - f(x) ∆x lim

∆x → 0 = ∆x → 0lim c - c_∆x = ∆x → 0lim 0_∆x = ∆x → 0lim 0 = 0

dır. f(x + ∆x) = xa _{+ ax}a-1 _{. ∆x +} a (a-1) 2 x a-2 _∆x2 _{+ ... + ∆x}a f(x + ∆x) - f(x) = xa _{+ ax}a-1_{. ∆x +} a (a-1) 2 x a-2 _∆x2 _{+ ... + ∆x}a _{- x}a = a xa-1 _{∆x +} a (a-1) 2 x a-2 _∆x2 _{+ ... + ∆x}a _, y

_'

= xa

'

₌ a x a-1 _{. ∆x +} a (a - 1) 2 x a-2 _∆x2 _{+ ... + ∆x}a ∆x lim ∆x → 0 = a xa-1 ₊ a (a - 1) 2 x

a-2 _{∆x + ... + ∆x}a-1 _{= ax}a-1 _{+ 0 + ... + 0 = ax}a-1

lim ∆x → 0 1) y = x5 _{, 2) y = 1} x , 3) y = x , 4) y = x 3 5 2) 1 x = x

-1 _{yazılabildiğinden bu örnekte a = - 1 dir. Buradan}

y

_'

= 1 x

'

_{= (-1) . x}-1 -1 _{= (-1) x}-2 _{= -x}-2 _{= - 1}

elde edilir.

bulunur.

3) a > 0 , a ≠ 1 gerçel sayı olmak üzere, y = f(x) = ax _{üstel fonksiyonunun}

türevi y

'

= ax _{ln a dır.}

f(x) = ax _{, f(x + ∆x) = a}x+∆x _olduğundan

yazılabilir (limit ∆x değişkenine göre hesaplandığından ax _{sabittir ve limitin}

önüne çıkarılabilir).

?

3) x = x

1

2 _{olduğundan yukarıdaki formülde a = 1}

2 olur. y

_'

= x

'

= 1 2 . x 1 2 -1 _{= 1} 2 x - 1 2 _{= 1} 2 x

4) x5 3 _{= x}35 _{gibi yazılabildiğinden, bu örnekte a = 3}

5 dir. y

_'

= x5 3

'

_{= 3} 5 x 3 5 -1 _{= 3} 5 x - 2 5 _{= 3} 5 x5 2 f(x) = x3 2 _{ise f}

'

_{(8) = ?} g(x) = 1 x 3 ise g

'

(8) = ? h(x) = x x ise h

'

(4) = ? Cevaplarınız 1 3 , - 148 ve 3 olmalıydı. y

'

= ax + ∆x - ax ∆x lim ∆x → 0 = ax _{. a}∆x _{- a}x ∆x lim ∆x → 0 = ax a∆x - 1 ∆x lim ∆x → 0 = ax . a∆x - 1 ∆x lim ∆x → 0 Öte yandan a∆x - 1 ∆x lim

∆x → 0 limitini bulmak için a

∆x _{- 1 = 1}

u diyelim. Buradan, ∆x = loga 1 + 1

u bulunur. Diğer taraftan ∆x → 0 için u → ∞ olduğundan a∆x - 1 ∆x lim ∆x → 0 = 1/u loga 1 + 1 u lim u → ∞ = 1 loga 1 + 1 u u lim u → ∞ = 1_{loga e} = ln a bulunur.

Buna göre y

'

= (ax ₎

_'

_{= a}x _{. lna bulunur. Özel olarak, a = e alınırsa lne = 1}

olduğundan (ex ₎

_'

_{= e}x _olur:

(ax ₎

_'

_{= a}x _{ln a , (e}x₎

_'

_{= e}x _.

Örnek: fonksiyonlarının türevlerini

bu-lalım.

Çözüm:

Örnek: 1) y = 4x _{2) y = e}x _{fonksiyonlarının x = -1 noktasındaki}

türev-lerini bulalım.

Çözüm: 1) y

'

= 4x _{ln 4 olduğundan}

2) y

'

= ex _olduğundan

4) a > 0 , a ≠ 1 gerçel sayı olmak üzere y = f(x) = loga x logaritmik

fonksiyonunun türevi

f(x + ∆x) = loga (x + ∆x) olduğundan 5. üniteden logaritmik fonksiyonun

özel-liklerini kullanırsak

elde ederiz.

olduğunu ve logaritmik fonksiyonun sürekliliğini gözönüne alırsak

bulunur. Eğer a = e alınırsa ln e = 1 olduğundan 1) y = 2x 2) y = 1 3 x , 3) y = 5 x 1) y

_'

= 2x ln 2 , 2) y

_'

= 1 3 x ln 1 3 = - 13 x ln 3 , 3) y

_'

= 5x ln 5 = 5 x ln 5 1 2 ₌ 5x 2 ln 5 . f

'

(-1) = 4-1 ln 4 = ln 4 4 ≅ 0,347 f

'

(-1) = e-1 = 1 e ≅ 0,368 olur y

_'

= 1

x lna = 1x logae dir.

y

_'

= loga (x + ∆x) - loga x ∆x lim ∆x → 0 = logax + ∆x x ∆x lim ∆x → 0 = 1 x . loga 1 + ∆x x ∆x x lim ∆x → 0 = 1x . lim∆x → 0loga 1 + ∆x x x ∆x 1 + ∆x x x ∆x lim ∆x → 0 = e y' = 1 x loga e = 1_{x . ln a} (ln x)

_'

= 1 x çıkar. Böylece,

dir.

Örnek: 1) y = log₅ x ve 2) y = ln x fonksiyonlarının x = 3 noktasındaki türevlerini bulalım.

Çözüm: olduğundan, x yerine 3 yazarsak

bulunur.

f(x) = log₂x ise f

'

(4) = ? g(x) = lnx ise g

'

(1) = ? k(x) = logx ise k

'

(10) = ?

5) Trigonometrik fonksiyonların türevi. y = sin x fonksiyonunun türevini bulalım. f(x) = sin x , f(x + ∆x) = sin (x + ∆x) olduğundan f(x + ∆x) - f(x) = sin (x + ∆x) - sin x olur. 6. ünitedeki formüllerden dolayı

yazabiliriz. Buna göre

yazılabilir.

y = cosx fonksiyonunun sürekliliğinden ve geçen ünitede ispatladığımız limitinden yararlanırsak

?

loga x

'

= 1 x ln a , (ln x)

'

= 1x 1) y

_'

= log₅ x

'

= 1 x ln 5 f

'

(3) = 1 3 ln 5 ≅ 0,207 2) (ln x)

'

= 1

x ve x yerine 3 yazarsak f

'

(3) = 1₃ bulunur

Cevaplarınız 1

4 log2e , 1 ve 110 ln10 = 110 log10e olmalıydı.

sin (x + ∆x) - sinx = 2sin x + ∆x - x 2 . cos x + ∆x + x 2 y

'

= sin (x + ∆x) - sinx ∆x lim ∆x → 0 = 2sin ∆x 2 . cos (x + ∆x2) ∆x lim ∆x → 0 = sin ∆x 2 . cos (x + ∆x2 ) ∆x 2 = lim ∆x → 0 sin ∆x 2 ∆x 2 . cos (x + ∆x 2) lim ∆x → 0 lim ∆x → 0 sinx x = 1 lim x → 0

yazabiliriz. Buradan

y

'

= (sinx)

'

= cosx

bulunur.

Benzer yolla y = cosx fonksiyonu için

y

'

= (cosx)

'

= -sinx

bulabiliriz.

Şimdi y = tanx fonksiyonunun türevini bulalım.

dir. 6. ünitedeki formüllerden dolayı

sin(x + ∆ x) . cosx - cos(x + ∆ x) . sinx = sin (x + ∆ x - x) = sin(∆ x) yazabiliriz. Buradan

bulunur. Böylece

olur.

y

'

= (tanx)

'

= tan (x + ∆x) - tanx ∆x lim

∆x → 0 =

sin (x + ∆x) cos (x + ∆x) - sinxcosx

∆x lim

∆x → 0

=

sin (x + ∆x). cosx - cos (x + ∆x) sinx

cos (x + ∆x) . cosx

∆x lim

∆x → 0

= sin (x + ∆x) . cosx - cos (x + ∆x) .sinx ∆x. cos (x + ∆x) . cosx lim ∆x → 0 y

'

= sin (∆x) ∆x . cos (x + ∆x) . cosx lim ∆x → 0 = sin∆x ∆x . 1 cos (x + ∆x) . cosx lim ∆x → 0 lim ∆x → 0 = 1 . 1

cos (x + 0) . cosx = 1cos2x = 1 + tan

2_x y

'

= (tanx)

'

= 1 cos2x = 1 + tan 2_x sin ∆x 2 ∆x 2 lim

Benzer yolla, y = cotx fonksiyonu için

bulunur.

3. Türev Alma Kuralları

Geçen bölümde bazı fonksiyonların türevlerini türev tanımından yararlanarak hesapladık. Şimdi bu bilgilerden yola çıkarak daha geniş bir sınıf fonksiyonların türevlerini hesaplamak için aşağıdaki kuralları (teoremleri) ispatsız vereceğiz (Bu ispatlar tanımdan yararlanarak kolayca yapılabilir).

1) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x) ± g(x) fonksiyonu da tü-revlenebilirdir ve

[f(x) ± g(x)]

'

= f

'

(x) ± g

'

(x)

(sinx)

'

= cosx , (cosx)

'

= - sinx , (tanx)

'

= 1

cos2_x , (cotx)

'

= - 1_sin2_x .

Türev Tablosu 1. y = c y' = 0 2. y = xa _{y' = ax}a-1 y = x y' = 1 y = 1 x y' = - 1_x2 y = x y' = 1 2 x 3. y = ax _{y' = a}x_lna y = ex _{y' = e}x 4. y = logax y' = 1 x lna y = ln x y' = 1 x 5. y = sinx y' = cosx 6. y = cosx y' = - sinx 7. y = tanx y' = 1 cos2_x 8. y = cotx y' = - 1 sin2x y

'

= (cotx)

'

= - 1 sin2x = - (1 + cot2x)

dir. Bu formül ikiden fazla fonksiyonlar için de geçerlidir: Eğer f1(x) , f2(x),

..., fn(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise o zaman

[f1(x) ± f2(x) ± ... ± fn(x)]

'

= f

'

(x) ± f

'

2 (x) ± ... ± f

'

n (x)

dır.

Örnek: (sinx + x5 ₎

_'

_{= (sinx)' + (x}5 ₎

_'

_{= cosx + 5x}4_,

( x3 _{- x}2 _{+ 5)}

_'

_{= ( x}3₎

_'

_{- (x}2₎

_'

_{+ (5)}

_'

_{= 3x}2 _{- 2x,}

2) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x). g(x) çarpım fonksiyonu da türevlenebilirdir ve

[f(x) . g(x)]

'

= f

'

(x) . g(x) + f(x) . g

'

(x) dir. Eğer g(x) = c (sabit) alırsak g

'(

x) = 0 olduğundan

[c f(x)]

'

= c f

'

(x)

bulunur. Yani sabiti türev işareti dışına çıkarmak mümkündür. İkiden fazla fonksiyonun çarpımı için de benzer formül geçerlidir: Eğer f1(x) , f2(x), f3(x),

..., fn(x) fonksiyonları türevlenebilir ise o zaman

[f1(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn(x)]

'

= [f1

'

(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn(x)] +

[f1(x) . f2

'

(x) . f3(x) . ... . fn(x) ] + [f1(x) . f2(x) . f3

'

(x) .

... . fn(x)]

+ ... + [f1(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn

'

(x)]

dir.

Örnek: (5 x2 _cosx)

_'

_{= 5 (x}2 _cosx)

_'

_{= 5 [(x}2 ₎

_'

_{cosx + x}2 _(cosx)

_'

_{] = 5 (2x cosx - x}2_sinx),

(x ex _{ln x)}

_'

_{= (x)}

_'

_ex _{ln x + x . (e}x₎

_'

_{. lnx + x e}x _{. (ln x)}

_'

= 1. ex _{ln x + x. e}x _{ln x + x e}x_.

= ex _{ln x + x e}x _{ln x + e}x _.

3) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ve g(x) ≠ 0 ise o zaman fonksiyonu da türevlenebilirdir ve dır. (ex + lnx - x)

_'

= (ex)

_'

+ (lnx)

_'

- ( x)

'

= ex + 1 x - 1_{2 x} . 1 x f x g x f x g x

'

= f

'

x . g x - f x . g

'

x g2 _x

Örnek:

4) Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)

Eğer y = f(u) fonksiyonu u değişkenine göre türevlenebilir ve u= g(x) fonksiyonu ise x değişkenine göre türevlenebilir ise o zaman y= f[g(x)] bileşke fonksiyonu x değişkenine göre türevlenebilir fonksiyondur ve

[f(g(x)]

'

= f

'

(g(x)) . g

'

(x) dir.

Zincir kuralı türev alma işleminde önemli araçlardan biridir.

Örnek: 1) x + 1

'

= 1 2 x + 1 . x + 1

'

_{= 1} 2 x + 1 , y = f (u) = u , u = x + 1 2) x2 _{- 4x + 2}3

'

_{= 3 x}2 _{- 4x + 2}2 _{. x}2 _{- 4x + 2}

'

_{= 3 x}2 _{- 4x + 2}2 _{. 2x - 4} = 6x - 12 x2 _{- 4x + 2}2 _{, y = f(u) = u}3 _{, u = x}2 _{- 4x + 2}

3) sin 2x

'

= cos 2x . 2x

'

= 2 cos 2x , y = f(u) = sinu , u = 2x

4) tan 1 + x2

'

= 1

cos2 1 + x2 1 + x

2

'

₌ 2x

cos2 1 + x2 , y = f(u) = tanu ,u =1 + x

2 5) 3 x2 - x2

'

= x2 - x 2 3

'

= 2 3 x 2 _{- x} 2 3 - 1 . x2 - x

'

= 2 3 x 2 _{- x} - 1 3 2x - 1 = 2 2x - 1 3 x3 2 _{- x} , y = f(u) = u3 2 _{, u = x}2 _{- x} 6) ln 1 + x2

'

_{= 1} 1 + x2 . 1 + x 2

'

_{= 2x} 1 + x2 , y = f(u) = lnu , u = 1+ x 2 2x + 3 x + 1

'

₌ 2x + 3

'

x + 1 - 2x + 3 . x + 1

'

x + 12 = 2 . x + 1 - 2x + 3 . 1 x + 12 = 2x + 2 - 2x -3 x + 12 = - 1 x + 12 , sin x x

'

₌ sin x

'

. x - sin x . x

'

Zincir kuralında türevin diğer sembolünü kullanırsak ,

yazabiliriz.

Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.

Cevaplarınız aşağıdaki şekilde olmalıydı.

Türevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verilsin. f

'

(x) türevi ile dx in çarpımına f(x) in

diferansiyeli denir ve dy ile gösterilir:

dy = f

'

(x) dx .

u= u(x) ve v= v(x) türevlenebilir fonksiyonları verilsin. O zaman d(u ± v) = du ± dv, d(u.v) = udv + vdu,

?

1) y = 1 + sinx 1 - sinx 2) y = cosππππx 3) y = ln (tanx) 4) y = esinx 5) y = lnx 6) y = 2x + 1 x - 3 7) y = e1/x 8) y = e- x2 9) y = sinx ecosx 10) y = lnx x 1) y

'

= 2 cosx (1 - sinx)2 , 2) y

'

= - π sin πx 2 cosπx , 3) y

'

= 1 + tan 2_x tanx , 4) y

'

= cosx esinx , 5) y

'

= 1 2x lnx , 6) y

'

= -7 (x - 3)2 , 7) y

'

= - 1 x2 e

1/x _{, 8) y}

'

_{= - 2x e}- x2 _{, 9) y}

'

_{= (cosx - sin}2_{x) e}cosx_,

10) y

'

= 2 - lnx 2x x dy dx = dy du . du dx

formülleri doğrudur.

Örnek:

1) y = cos 2x için dy = (cos 2x)

'

dx = -2 sin 2x dx

2) y = 5x3 _{+ x - 8 için dy= (5x}3 _{+ x - 8)}

_'

_{dx = (15x}2 _{+ 1) dx}

3) y = x . tanx için dy = (x . tanx)

'

dx =

Diferansiyel kavramı yaklaşık hesaplarda oldukça faydalı bir araçtır.

4. Teğet Denklemi

Yukarıda, türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafik eğrisi üzerindeki herhangi bir (x0 , f(x0)) noktasındaki teğetinin eğiminin f

'

(x0) olduğunu bulmuştuk.

Analitik geometriden bildiğimize göre, bir (x0 , y0) noktasından geçip, eğimi

m olan doğrunun denklemi

y - y0 = m (x - x0)

dir. Burada y0 yerine f(x0) , m yerine ise f

'

(x0) yazarsak y = f(x)

fonksi-yonunun (x0 , f(x0)) noktasındaki teğet denklemini aşağıdaki gibi bulmuş

olu-ruz: y - f(x ) = f

'

(x) (x - x ) . tanx + x cos2 _x dx d u v = v du - u dv_v2 Şekil 9.2

Örnek: y = 2x2 _{- 5x + 6 parabolünün (-1 , 13) noktasındaki teğet denklemini}

bulalım.

Çözüm: x0 = -1 , f

'

(x) = (2x2 - 5x + 6)' = 4x - 5 olduğundan

f

'

(-1) = 4 (-1) - 5 = -9 dur. Buna göre, teğet denklemi

y - 13 = -9 (x+1) veya y + 9x - 4 = 0 olarak bulunur.

Örnek: y = cosx fonksiyonun grafiğinin noktasındaki teğet

denk-lemini bulalım.

Çözüm:

olarak bulunur.

1) f(x) = ex _{eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini}

bulu-nuz.

2) g(x) = lnx eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bu-lunuz.

Cevaplarınız

1) y = x + 1 2) y = x - 1 olmalıydı.

5. Yüksek Mertebeden Türevler

f: A → IR , y = f(x) fonksiyonunun her bir x ∈ A için türevi varsa bu f

'

(x)

türevi x in yeni bir fonksiyonudur. Eğer f

'

(x) türev fonksiyonunun her bir x

için (f

'

(x))

'

türevi varsa, f(x) fonksiyonuna II. mertebeden türevlenebilir

fonksiyon, (f

'

(x))

'

türevine ise f(x) in II. mertebeden türevi denir ve

gibi sembollerle gösterilir.

?

y

_"

, f

_"

(x) , d 2_y dx2 , d2 f(x) dx2 π 4 , 22 x0 = π 4

, f x0 = cos



π

4 = 22 , f

'

(x) = cos x

'

= - sin x olduğundan f

'

π

4 = - sin π4 = - 22 . Buradan, teğet denklemi y - 22 = - 22 x - π4 veya 2y + 2 x - 2 - 2

Örnek:

1) y = 3x4 _{- 4x}2 _{+ 5 için}

y

'

= 12x3 _{- 8x , y}

_''

_{= (12x}3 _{- 8x)}

'

_{= 36x}2 _{- 8}

3) y = sin3x için y

'

= 3 cos3x , y

''

= (3 cos3x)

'

= -3 sin3x . (3x)

'

= -9 sin3x. f : A → IR fonksiyonu, her x ∈ A için ikinci mertebeden türevi olan bir fonksi-yon olsun. Bu durumda f

''

: A → IR fonksiyonundan söz etmek mümkün-dür. Eğer f

''

fonksiyonunun her bir x ∈ A noktasında türevi varsa, bu türeve f

nin üçüncü mertebeden türevi denir ve

gibi sembollerle gösterilir. f

'''

fonksiyonuna f nin üçüncü mertebeden türev

fonk-siyonu denir.

Bu şekilde devam ederek, f(n-1) _{: A → IR, (n ∈ IN) fonksiyonunun eğer varsa,}

türev fonksiyonuna f nin n. mertebeden türev fonksiyonu denir ve

gibi sembollerle gösterilir.

Örnek: y = f(x) = x4 _{- 5x}3 _{+ 2x}2 _{- 4 polinom fonksiyonu verilsin. Bu durumda}

f

'

(x) = 4x3 _{- 15x}2 _{+ 4x} f

''

(x) = 12x2 _{- 30x + 4} f

'''

(x) = 24x - 30 f(v))_{(x) = 24} f(v)_{(x) = 0} f(n) _{(x) = 0 , n ≥ 5} dir. 2) y = ln x için y

'

= 1 x , y

"

= 1x

'

_{= - 1} x2 y

_"'

, f

_"'

(x) , d 3 _y dx3 , d 3 _f(x) dx3 y(n) , f(n)(x) , d n _y dxn , dn f(x) dxn

Örnek: f (x) = lnx ise dir.

Değerlendirme Soruları

1. f(x) = (2x + 1)5 _{ise f}

'

_{(1) = ?} A. 15 B. 243 C. 405 D. 810 E. 1225 2. 3. f(x) = x lnx ise f

'

(e) = ? A. e2 B. e C. e + 1 D. 2 E. 1

?

1) f(x) = x ise f(v)(4) = ? 2) g(x) = sin3x g"' ππππ 2 = ? 3) h(x) = lnx x h"(1) = ? Cevaplarınız, 1) - 105 214 2) 0 3) -3 olmalıydı. f (x) = 3x - 1 x + 2 ise f

'

(0) = ? A. 7 2 B. 7 4 C. 3 D. 1 E. - 1 2 f

_'

(x) = 1 x , f

"

(x) = - 1_x2 , f'''(x) = 2_x3 f(ıv)(x) = - 6 x4 , ... , f (n)_{(x) = (-1)}n-1 (n-1) ! xn

4. 5. 6. f(x) = tan 3x f

'

(π) = ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 6 7. A. 0 B. 1 C. 2 D. 6 E. 12 f (x) = x e-2x _{ise f' (0) = ?} A. -1 e2 B. -2 e2 C. 1 D. 2 e E. 2 e2 f (x) = e x ise f'(4) = ? A. e2 B. 1 2 e 2 C. 1 4 e 2 D. 1 2 e E. 1 4 e f (x) = sin2 3x ise f

'

π 2 = ?

8. 9. f(x) = 22x _{ise f}

_'

_{(0) = ?} A. ln2 B. 2ln2 C. 4ln2 D. 4 E. 8

10. f(x) = x (1 - 3x)5 _{fonksiyonunun x = 1 noktasında değişme hızı}

aşağıdaki-lerden hangisidir? A. -272 B. -112 C. -32 D. -16 E. -8 11. f (x) = 4x3 2 - 7x ise f

'

(2) = ? A. 1 4 3 B. 3 4 3 C. 9 4 3 D. 9 2 43 E. 3 2 23 f (x) = lnx

x x fonksiyonunun x = e noktasında değişim hızı aşağıdakilerden hangisidir? A. -1 2e2 e B. 2e2 - 3 2e2 e C. 2 3e D. 2 3 e E. 2 - 3e e e

12. f(x) = x3 _{- 2x + 1 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin}

denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A. y = x

B. y = -x C. y = x - 1 D. y = x + 1 E. y = -x + 1

13. f(x) = sin2x - cosx fonksiyonu apsisli noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 14. 15. f(x) = e2lnx _{, (x > 0) ise f}

'

_{(x) = ?} A. 2 B. 2x C. 2lnx D. e2lnx E. x2 x = π 2 f (x) = 1 x 3 ise f

'

(8) = ? A. - 1 96 B. - 1 48 C. - 1 16 D. 1 16 E. 1 48

16. 17. f(x) = x lnx ise df(x) = ? A. lnx dx B. x dx C. (1 + lnx) dx D. (x + lnx) dx E. (1 + x lnx) dx 18. 19. f(x) = sinx ise f(v)_{(x) = ?} A. cosx B. -cosx C. sinx D. -sinx E. sin2x f (x) = x x + 1 ise f''(x) = ? A. 1 x + 13 B. 2 x + 13 C. - 2 x + 13 D. - 1 x + 13 E. -3 x + 14 f (x) = x ise f''' (x) = ? A. 3 4 x B. 3 8x x C. 3 8x3 _x D. x2 x E. 3 8x2 _x

20. f(x) = esinx _{ise f}

_"

_{(x) = ?}

A. esinx

B. ecosx

C. cosx esinx

D. sin2xesinx

E. (cos2_{x - sinx) e}sinx

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. B 10. A 11. A 12. C 13. B 14. B 15. B 16. C 17. C 18. E 19. A 20. E