BÖLÜM 12 Nümerik Türev

(1)

BÖLÜM 12

Nümerik Türev









2 1 2 1 2 1 1 ' '' ... 2 ' '' ... 2 2 ' 0( ) i i i i i i i i i i i i i h f x h f f hf f h f x h f f hf f f f hf h                     1 1 ' 2 i i i f f f h     Örnek: 4 3 2 ( ) 0.1 0.15 0.5 0.25 f x   x  x  x  x 0.5 i x 

h 

0.5

Çözüm: 1 1 ' 2 i i i f f f h     0.5 i

x  olduğuna göre x_i_₁1 ve xi1 0 olur. Bu değerlerin fonksiyondaki değerleri

4 3 2 (1) 0.1(1) 0.15(1) 0.5(1) 0.25(1) 1 f        4 3 2 (0) 0.1 0.15 0.5 0.25 0 f   x  x  x  x 1 1 1 0 ' 1 2 2(0.5) i i i f f f h        Gerçek değer: 3 2 ( ) 0.4 0.45 0.25 f x   x  x  x 3 2 (0.5) 0.4(0.5) 0.45(0.5) (0.5) 0.25 0.9125 f        

Yapılan göreli hata: 1 ( 0.9125)

0.096 0.9125

r    



(2)

2 1 ' '' ... 2 i i i i h f_  f hf  f  2 2 4 2 ' '' ... 2! i i i i h f_  f hf  f  2 1 ' '' ... 2 i i i i h f_  f hf  f  2 1 4 2 ' '' ... 2! i i i i h f_  f hf  f 

Birincinin 8 katı ile dördüncü Toplanıp, ikinci ve üçüncünün sekiz katından çıkarılırsa

4 2 8 1 8 1 2 ' 0( ) 12 i i i i i f f f f f h h           2 8 1 8 1 2 ' 12 i i i i i f f f f f h         

2. Mertebeden Türev Yaklaşımı

2 1 2 1 2 1 1

'

'' ...

2 '

'' ...

2

2 '' ...

i i i i i i i i i i i i

h

f

hf

f

h

f

hf

f

h f

   

 



 











 

2 1 1 2 1 1 2

2 ''

0

2 ''

i i i i i i i i

f

h

f

h

   















4 noktanın bilinmesi durumunda 2. Türev ;

(3)

ÖRNEK:

 

x

f x



xe

fonksiyonu ile ilgili olarak aşağıdaki tabloda verildi.

2 i x_ x_i_₁ x_i x_i_₁ x_i_₂

x

1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 ( ) f x 10.889 12.703 14.778 17.149 19.855 2 i f_ f_i_₁ f_i f_i_₁ f_i_₂

x=2 için

h 

0.1

alarak fonksiyonun 1.ve 2. Türevlerini hesaplayınız. 1. türev ;



 



 

2

8

1

8

1 2

'

12 19.855 8 17.149

8 12.703

10.889

22.168 12 0.1

i i i i i

f

h

   





















Fonksiyonun gerçek değeri;

(4)

3. türev;



 



 

2 1 1 2 3 3 2 2 ''' 2 19.855 2 17.149 2 12.703 10.889 37 2 0.1 i i i i i f f f f f h              Gerçek değer;

 

2





''

x x x x

2 3

36.9452

f

x

   

e

xe



e

 

Göreli hata

36.9452 37

0.0015

36.9452

r



 



Türev Eşitlikleri 1 1 ' 2 i i i f f f h     2 8 1 8 1 2 ' 12 i i i i i f f f f f h          1 2 2 2 '' i i i i f f f f h      2 1 1 2 2 16 30 16 '' 12 i i i i i i f f f f f f h           2 1 1 2 3 2 2 ''' 2 i i i i i f f f f f h        

Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)