• Sonuç bulunamadı

Limit Süreklilik Türev

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Limit Süreklilik Türev"

Copied!
18
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

DERS 5

Limit Süreklilik ve Türev

İlk dersimizin sonlarında, “limit” sözcüğü kullanılmadan bu sözcükle ifade edilen kavram ele alınmıştı(Bak 1.10). Bu dersimizde, limit kavramına biraz daha yakından bakacağız ve bu kavram yardımıyla “süreklilik” ve “türev” i tanımlayacağız.

5.1. Limit. Bir f fonksiyonu; c , L ∈ R verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim.

Tanım 1. Eğer x in c ye yakın (her iki taraftan da) her değeri için f (x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve f x L

c

x→ ( )=

lim veya xc için f(x)→ L yazılır. Yandaki şekli inceleyerek tanım

üzerinde düşününüz. f x L

c

x→ ( )=

lim ise, x sayısı c ye soldan veya sağdan yaklaşır- ken f nin grafiği üzerindeki (x,f(x)) noktası ( Lc, ) noktasına yaklaşır.

Örnek 1. lim

(

2

)

?

2 + =

x

x

Sayısal olarak, x , 2 ye yakın bir sayı olursa, x + 2 sayısı 4 e yakın olur (Yandaki şekilden izleyiniz). Dolayısıyla,

(

+

)

= → 2 lim 2 x x 4. Örnek 2. ? 2 4 lim 2 2 − = − → x x x 2 4 ) ( 2 − − = x x x

f denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu x = 2 değeri için tanımsız, ancak 2 dışında tüm reel sayılar için tanımlıdır. Ayrıca, 2 den farklı her x için

2 2 ) 2 )( 2 ( 2 4 2 + = − − + = − − x x x x x x olduğundan , lim( 2) 4 2 4 lim 2 2 2 − = + = − → → x x x x x tür. x y (0,0) (c,L) c L x f(x) x (x,f(x)) (x,f(x)) x y (0,0) 1 2 4

(2)

Eğer f x L

c x→ ( ) =

lim olan bir L sayısı yoksa, f fonksiyonunun xc için limiti yoktur

denir. Örnek 3.

(

)

2 2 1 ) ( − = x x

f denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu x = 2 için tanımsız fakat x in 2 dışındaki her değeri için tanımlıdır. x , 2 ye yaklaştıkça(her iki taraftan da) f (x) gittikçe büyüyen değerler alır. Bu nedenle, f fonksiyonunun x→2 için limiti yoktur.

L x f

c

x→ ( )=

lim veya xc için f(x)→L olup olmadığı araştırılırken x in c ye her iki taraftan da yakın değerleri , yani hem c den küçük hem de c den büyük değerleri için f(x) in L ye yakın olup olmadığı kontrol edilmektedir. x in c ye sadece bir taraftan yakın değerleri için de f (x) in L ye yakın olup ulmadığı sorgulanabilir. Bu düşünce bizi tek yanlı limit kavramına götürür.

Tanım 2. Eğer x in c ye yakın fakat c den küçük her değeri için f (x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve L x f c xlim→ − ( )= veya − → c x için f(x)→L yazılır. Örnek 4. 1 2 2 lim 2 − =− − − → x x x .

Bunu görmek için, x < 2 olunca x – 2< 0 , ) 2 ( 2 =− − − x x ve böylece 1 1 ) 2 ( 2 2 − = − − − = − − x x x x

olduğunu görmek yeter.

Yukarıdaki tanımdan, eğer f x L

c x→ ( )= lim ise, f x L c x = − → ( )

lim olduğu görülür. Ancak, bu önermenin tersi doğru değildir. Örnek 4 te olduğu gibi x in c ye yakın fakat c den küçük

y x (0,0) 2 -1 1 x y (0,0) (c,L) c L x (x,f(x))

(3)

değerleri için f (x), L ye yakın olduğu halde x in c ye yakın fakat c den büyük değerleri için f (x), L ye yakın olmayabilir. Hatta, f fonksiyonu x in c den büyük değerleri için tanımlı dahi olmayabilir.

Tanım 3. Eğer x in c ye yakın fakat c den büyük her değeri için f (x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve L x f c x = + → ( ) lim veya → c+ x için f(x)→L yazılır. Örnek 5. 1 2 2 lim 2 − = − + → x x x

Örnek 4 teki gibi, x >2 olunca x – 2> 0 , ) 2 ( 2 = − − x x ve böylece 1 1 ) 2 ( 2 2 = − − = − − x x x x

olduğuna dikkat ediniz.

Yukarıdaki tanımdan, eğer f x L

c

x→ ( )=

lim ise, f x L

c

xlim→ + ( )= olduğu görülür. Ancak, bu

önermenin tersi doğru değildir. Örnek 5 te olduğu gibi x in c ye yakın fakat c den büyük değerleri için f (x), L ye yakın olduğu halde x in c ye yakın fakat c den küçük değerleri için f (x), L ye yakın olmayabilir. Hatta, f fonksiyonu x in c den küçük değerleri için tanımlı dahi olmayabilir.

Tek yanlı limitlerle limit arasındaki ilişkiyi bir cümle ile şöyle ifade edebiliriz: Bir f fonksiyonunun x , c ye yaklaşırken limitinin var olabilmesi için gerek ve yeter koşul, f nin x, c ye hem soldan hem de sağdan yaklaşırken limitlerinin var olması ve bu limitlerin eşit olmasıdır. Sembolik olarak,

L x f L x f L x f c x c x c x→ ( )= ⇔ lim − ( )= ve lim + ( )= lim . y x (0,0) 2 -1 1 x y (0,0) (c,L) c L x f(x) (x,f(x))

(4)

Örnek 6. 1 2 2 lim 2 − =− − − → x x x ve 2 1 2 lim 2 − = − + → x x x olduğundan 2 2 lim 2 − − → x x x mevcut değildir. Grafikten, ⎩ ⎨ ⎧ < − > = − − 2 , 1 2 , 1 2 2 x x x x olduğunu gözlemleyebilirsiniz. Örnek 7. ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ + = 1 , 2 1 , 1 ) ( 2 x x x x x f biçiminde

parçalı tanımlı f fonksiyonu için lim ( ) 2 lim ( ) 1 1 f x x f x x→ − → + = = ve böylece lim ( ) 2 1 = → f x x dir.

Örnek 8. Öyle bir grafik ( y = f(x) ) çiziniz ki, f(0)=0, f(1)=2, f(2)=0 ve

( )

2, lim

( )

3, lim

( )

2,lim

( )

1, lim

( )

0, lim

( )

0 lim 2 2 0 1 1 1 = = = − = = = + → − → → + → − → + − → f x x f x x f x x f x x f x x f x x olsun.

Aşağıda verilen grafik bu koşulları sağlar.

y x (0,0) 1 2 y x (0,0) 2 -1 1 (1,-2) x y (-1,2) (1,3) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x)

(5)

5.2. Limit ile ilgili bazı özellikler. f ve g fonksiyonlar; c , L , M reel sayılar; M x g L x f c x c x→ ( )= , lim→ ( )=

lim olsun. Bu takdirde

f x g x L M c x + = + • → ( ( ) ( )) lim . f x g x L M c x − = − • → ( ( ) ( )) lim . kf x kL c x = • → ( ( )) lim . k k c x = • → lim . f x g x LM c x = • → ( ( ) ( )) lim .

(

0

)

) ( ) ( lim ⎟⎟= ≠ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ • → M M L x g x f c x . • lim

(

( )

)

=

(

çiftse ≥0

)

f x L n L n n c x .

c yi içinealan bir araliktaki her x için f(x)≤g(x) ise, LM .

Örnek 1. Baştan beşinci özelliği kullanarak

(

2

)

lim

(

(

2

)

)

lim

( )

lim

(

2

)

3 5 15

lim 3 3 3 2 3 + = → ⋅ + = → ⋅ → + = ⋅ = → x x x x x x x x x x

olduğunu görürüz. Kuşkusuz, aynı limit başka özellikler kullanılarak da hesaplanabilir.

Yukarıdaki özelliklerin uygulaması olarak polinom fonksiyonların limiti için bir kural geliştirebiliriz. f bir polinom fonksiyon, 1 1 0

1 ) (x a x a x ax a f n n n n + + + + = − − L ise, olur. Örnek 2. lim

(

2 2

)

32 6 15. 3 + = + = → x x x Örnek 3. ( )

(

2

)

15 lim 2 lim 2 1 2 3 + = →− + = → x x x x x x

Polinom fonksiyonların limiti için geliştirilen kural ve bölümün limiti için ifade edilen özellik kullanılarak ) ( ) ( ) ( x d x p x

r = rasyonel fonksiyonunun limiti , d(c)≠0 olmak koşuluyla,

) ( ) ( ) ( ) ( lim c d c p x d x p c x→ = olarak bulunur. Örnek 4.

( )

( )

( )

2 5 3 1 4 1 2 1 3 4 2 lim 3 3 1 − + = + − − − = + + − − → x x x x . ) ( ) ( lim 1 1 0 1c ac a f c a c a x f n n n n c x = + + + + = − − → L

(6)

5.3. Süreklilik. Aşağıdaki fonksiyonlardan her birinin x = 2 civarında grafiğini gözden geçirelim (Bu grafikler önceki örneklerimizde geçmişti..):

f(x)= x+2 2 4 ) ( 2 − − = x x x f 2 2 ) ( − − = x x x f

Bu grafiklerden ilki, x = 2 de tanımlı bir fonksiyonun grafiği olup grafik üzerinde x koordinatı 2 den küçük fakat 2 ye yakın olan bir nokta seçip kalemimizin ucunu o noktaya getirsek, grafiği, kalemimizi kâğıttan hiç ayırmadan kaydırarak x koordinatı 2 olan (2,4) noktasının sağına doğru izleyebiliriz.

İkinci grafik, x = 2 de tanımlı olmayan bir fonksiyonun grafiği olup grafik üzerinde x koordinatı 2 den küçük fakat 2 ye yakın olan bir nokta seçip kalemimizin ucunu o noktaya getirsek, grafiği, kalemimizi kaydırarak sağa doğru izlemeye çalıştığımızda, x = 2 anında kalemi kâğıttan ayırmamız gerekir.

Üçüncü grafik de x = 2 de tanımlı olmayan bir fonksiyonun grafiği olup grafik üzerinde x koordinatı 2 den küçük fakat 2 ye yakın olan bir nokta seçip kalemimizin ucunu o noktaya getirsek, grafiği, kalemimizi kaydırarak sağa doğru izlemeye çalıştığımızda, x = 2 anında kalemi kâğıttan ayırmamız ve hatta sektirmemiz gerekir.

Tanım 1. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c de süreklidir denir: ). ( ) ( lim ) 3 , var ) ( ) 2 , var ) ( lim ) 1 f x f c f x f c c x c x→ → =

x = c de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c de süreksiz fonksiyon denir.

Örnek 1. Yukarıda grafiklerini gördüğümüz fonksiyonlardan ilk grafiğe karşılık gelen ve 2

) (x = x+

f denklemi ile tanımlanan fonksiyon x = 2 de süreklidir; çünkü, ) 2 ( 4 ) ( lim 2 f x f x→ = = dir. 2 4 ) ( 2 − − = x x x

f denklemi ile tanımlanan ve ikinci grafiğe karşılık gelen fonksiyon, x = 2 de süreksizdir; çünkü, f(2) tanımsızdır.

2 2 ) ( − − = x x x f denklemi

ile tanılanan ve üçüncü grafiğe karşılık gelen fonsiyon da x = 2 de süreksizdir; çünkü, f(2) tanımsızdır. Bu fonksiyon için ayrıca lim ( )

2 f x x→ de mevcut değildir. x y (0,0) 2 4 2 x = 2 de sürekli y x (0,0) 2 4 x = 2 de sürekli değil y x (0,0) 2 -1 1 x = 2 de sürekli değil

(7)

Tanım 2. a , b ∈ R , a < b olsun. Eğer a < c < b olan her c için f fonksiyonu x = c de sürekli ise, f fonksiyonu (a , b) aralığında süreklidir denir.

Örnek 2. Grafiği aşağıda verilen f fonksiyonunun sürekli olduğu aralıkları belirleyelim.

Grafiğin incelenmesinden, f nin sürekli olduğu aralıkların (-∝,-1) , (-1,0) , (0,1) ve (1, ∝) aralıkları olduğu görülür.

Bir aralık üzerinde sürekli olan fonksiyonların önemli bir özelliğini yansıtan aşağıdaki teorem aşikâr görünmekle birlikte ispatı göründüğü kadar kolay değildir.

Teorem. f fonksiyonu (a , b) aralığında sürekli ve her x ∈ (a , b) için f (x) ≠ 0 ise, ya her x ∈ (a , b) için f(x) > 0 dır; ya da her x ∈ (a , b) için f (x) < 0 dır.

Bu teoremden yararlanılarak, bir fonksiyonun sıfır değerini aldığı veya süreksiz olduğu sayılar bilindiği takdirde o fonksiyonun hangi aralıklar üzerinde pozitif, hangi aralıklar üzerinde negatif değerler aldığı kolayca belirlenebilir.

Tanım 3. Bir fonksiyonun sıfır değerini aldığı veya süreksiz olduğu sayılara o fonksiyonun işaret sayıları denir.

x y (-1,2) (1,3) (1,-2) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x) y x (0,0) a b y = f(x)

(8)

Örnek 3. 1 2 ) ( 2 − − = x x x

f denklemi ile verilen fonksiyonun işaret sayıları x = - 1 , 1 ve 2 dir.

f (x) > 0 ve f (x) < 0 olan aralıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

x (-1) 0 1 2 x+1 - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + x-1 - - - 0 + + + + + + + + x-2 - - - - - - 0 + + + 1 2 2x x − − − − − − − − − − −−−− −−−−

Grafiği aşağıda gösterilmiş olan bu fonksiyon, (-∞,-1) ve (1,2) aralıklarında negatif, (-1,1) ve (2,∞) aralıklarında pozitif değerler alır.

Tanım 4. Eğer lim f(x) f(c)

c x

=

ise, f fonksiyonu x = c de soldan süreklidir denir. Tanım. Eğer lim f(x) f(c)

c

x→ + = ise, f fonksiyonu x = c de sağdan süreklidir denir.

Örnek 3. Karekök fonksiyonu f(x)= x , x = 0 da sağdan süreklidir.

y x (0,0) x y= x = 0 da sağdan sürekli

+ + + + + +

+ + + 2 -1 1 x y

(9)

Örnek 4. ( ) 1 2 x x

f = − ile verilen fonksiyon x = 1 de soldan sürekli, x = -1 de sağdan süreklidir. Bu fonksiyonun grafiği üzerindeki her (x,y) noktası için 2 + y2 =1

x ve y ≥ 0 olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 5.

x x x

f( )= ile verilen fonksiyon x = 0 da ne soldan ne de sağdan süreklidir.

Bildiğimiz fonksiyonlardan bazılarını ve sürekli oldukları bölgeleri listeleyelim.

Fonksiyon Sürekli olduğu bölge

c x f( )= (Sabit fonksiyon) R = (-∝ , ∝) n x x f( )= (Kuvvet fonksiyonu) R = (-∝ , ∝) 0 ) (x a x a f = n n+L+ (polinom fonksiyon) R = (-∝ , ∝)

( )

( )

x d x p x

f( )= (Rasdyonel Fonksiyon R\{a : d(a) ≠ 0}

( )

n u x x

f( )= (n-inci kök) n tek ise, {a : u fonksiyonu x = a da sürekli}

n çift ise, {a : u(a)≥0 ve u, x = a da sürekli}

x = 1 de soldan sürekli x = -1 de sağdan sürekli y x (0,0) 2 1 x y= − -1 1

x = 0 da ne sağdan ne de soldan sürekli

y x (0,0) x x y=

(10)

5.4. Sonsuz Limitler ve Düşey Asimtotlar. f fonksiyonu bir c reel sayısını içine alan bir açık aralığın belki c hariç her noktasında tanımlı olsun. Eğer x , c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınırsız olarak artıyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, ∞ = → ( ) limf x c x veya xc için f(x)→∞

yazılır. Benzer şekilde, eğer x , c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınırsız olarak azalıyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) eksi sonsuza ıraksar denir. Bu durumda,

−∞ = → ( ) limf x c x veya xc için f(x)→−∞ yazılır.

Aşağıdaki şekillerin bu tanımlar için açıklayıcı olacağını düşünüyoruz.

x , c ye soldan veya sağdan yaklaşırken f nin limitinin sonsuz veya eksi sonsuz olması da yukarıdakilere benzer biçimde tanımlanabilir. Örneğin, x , c ye sağdan yaklaşırken f nin limitinin sonsuz olnması ( + =∞

→ ( ) lim f x

c x

) ve x , c ye sağdan yaklaşırken f nin limitinin eksi sonsuz olnması ( + =−∞

→ ( ) lim f x

c x

) aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir.

y x (0,0) c ( )=∞ + →c f x x lim y x (0,0) c ( )=−∞ + →c f x x lim y x (0,0) c y x (0,0) c ( )=∞ →c f x x lim ( )=−∞ →c f x x lim

(11)

Sonsuz limitlere birkaç somut örnek verelim. Örnek 1.

(

)

=∞ →1 12 1 lim x x .

Sayısal olarak, x→1 için

(

x−1

)

2 ≥0 ve

(

x−1

)

2 →0 olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 2. =−∞ − − → 1 1 lim 1 x x ve →+ −1=∞ 1 lim 1 x x .

Sayısal olarak, x→ 1− için 0 1≤ − x ve x−1→0; + → 1 x için x−1≥0 ve x−1→0

olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 3. =−∞ − − → 4 1 lim 2 2 x x ve =∞ − + → 4 1 lim 2 2 x x .

Sayısal olarak, x→ 2− için x2 −4≤0 ve x2−4→0; x→ 2+ için x2 −4≥0 ve 0

4 2

x olduğuna dikkat ediniz

Daha önceki derslerimizde(Bak 3.9) verdiğimiz düşey asimtot tanımını limit gösterimi kullanarak şöyle ifade edebiliriz:

Eğer aşağıdaki ∞ = → ( ) limf x c x , limxc f(x)=−∞,xlim→cf(x)=∞ , =−∞ → ( ) lim f x c x , + =∞ → ( ) lim f x c x , + =−∞ → ( ) lim f x c x

durumlarından biri geçerli ise, x = c doğrusu f fonksiyonunun grafiğine düşey asimtottur veya f fonksiyonunun düşey asimtotudur denir.

Örnek 4. Yukarıdaki örneklerden, x = 1 doğrusunun

(

)

2 1 1 ) ( − = x x

f nin grafiğine ve aynı zamanda 1 1 ) ( − = x x

f in grafiğine düşey asimtot olduğu; x = 2 doğrusunun da

4 1 ) ( 2 − = x x

f ün grafiğine düşey asimtot olduğu görülür.

4 1 ) ( 2 − = x x f in grafiğine bir düşey asimtot daha vardır: x = -2 doğrusu. Çünkü,

∞ = − − − → 4 1 lim 2 2 x x ve =−∞ − − + − → 4 1 lim 2 2 x x . y x (0,0) 1 1 y x (0,0)

(12)

5.5. Sonsuzda Limitler ve Yatay Asimtotlar. c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c,∞) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x→∞ için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak artarken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve

b x f

x→∞ ( )=

lim veya x→∞ için f(x)→b yazılır. Eğer f x b

x→∞ ( )=

lim ise, x in büyük değerleri için f fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir.

Benzer biçimde, c herhangi bir reel sayı olmak üzere (-∞,c) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak azalırken, yani x→−∞ için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak azalırken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x eksi sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve

b x f

xlim→−∞ ( )= veya x→−∞ için f(x)→b

yazılır. Eğer f x b

xlim→−∞ ( )= ise, x in büyük değerleri için f fonksiyonunun grafiği

aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir.

Bu tanımlara ek olarak, ∞ = ∞ → ( ) lim f x

x , limx→∞ f(x)=−∞ , xlim→−∞ f(x)=∞ ve xlim→−∞ f(x)=−∞

gösterimlerinin hangi anlamda kullanıldığının okuyucu tarafından kolayca anlaşılabileceğini kabul ediyoruz. y x (0,0) y x (0,0)

( )

x b f x→∞ = lim b b

( )

x b f x→∞ = lim y x (0,0) y x (0,0)

( )

x b f xlim→−∞ = b b

( )

x b f xlim→−∞ =

(13)

Örnek 1. İlk dersimizin sonlarındaki (Bak 1.10) yaklaşık değerlerle ilgili tartışmalardan 0 1 lim , 0 1 lim = = −∞ → ∞ → x x x x olduğu görülür.

Örnek 2. Biraz aritmetik, lim 1 =0 ∞ → x

x olduğu ve limitle ilgili özellikler kullanılarak

1 ) 1 1 ( ) 1 1 ( lim ) 1 1 ( ) 1 1 ( lim 1 1 lim = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + == − + ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x , 2 ) 1 1 ( ) 1 2 ( lim ) 1 1 ( ) 1 2 ( lim 1 1 2 lim = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x olduğu görülebilir.

Daha önceki derslerimizde(Bak 3.9) verdiğimiz yatay asimtot tanımını limit gösterimi kullanarak şöyle ifade edebiliriz: Eğer f

( )

x b

x→∞ =

lim veya f

( )

x b

xlim→−∞ = ise, y = b

doğrusu f fonksiyonunun grafiğine yatay asimtottur veya f nin yatay asimtotudur denir. Örnek 3. Yukarıdaki örneklerimizden, y = 0 doğrusunu

x x f( )= in grasfiğine, y = 1 1 doğrusunun 1 1 ) ( − + = x x x f in grafiğine, y = 2 doğrusunun da 1 1 2 ) ( − + = x x x f in grafiğine

yatay asimtot oldukları görülür.

5.6. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin a yı içine alan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim ve bu aralıkta a ya yakın bir a+h sayısı alarak

oranını oluşturalım. Bu oran, bağımsız değişken x in h kadar değişmesi durumunda bağımlı değişken y = f(x) te ortaya çıkan değişimin bağımsız değişkendeki değişime olan oranını ifade etmektedir. Bu nedenle, bu oran, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar

h a f h a f( + )− ( )

(14)

ortalama değişim oranı olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar ortalama değişim oranı aynı zamanda, f nin grafiği üzerindeki (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğrunun eğimidir.

Eğim:

Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim. h sıfıra yaklaşırken, f nin grafiği üzerinde (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğru değişerek teğet durumuna gelir.

Tanım 1. f fonksiyonu a sayısını içine alan bir aralıkta tanımlı olmak üzere

( )

h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ' 0 − + = →

ile tanımlanan f' a( ) değerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a daki türevi denir. f´(a) değeri f fonksiyonunun x = a daki anlık değişim oranını verir.

Tanımdan hemen önceki gözlemlerden, f' a( ) değeri f nin grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin eğimidir. Böylece, y = f (x) in grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin denklemi

) ( ) )( ( ' a x a f a f y = − + olur.

Örnek 1. f (x) = x2 + 2 denklemi ile verilen f fonksiyonu için

(

)

2 lim

(

2

)

2 lim ) 2 1 ( 2 ) 1 ( lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 2 0 2 2 0 0 = + = + = + − + + = − + = → → → → h h h h h h h f h f f h h h h f(a) y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a+h) h a f h a f( + )− ( ) y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h)

(15)

dir. Böylece, y = x2 + 2 nin grafiğinin (1,f (1)) = (1,3) noktasındaki teğetinin denklemi y = 2 (x - 1) + 3 ⇒ y = 2 x + 1

olur.

Tanım 2. Herhangi bir f fonksiyonu için

h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = → ile tanımlanan f ´ fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi denir.

'

f nün tanım kümesi, f' x( ) in tanımlı olduğu tüm x değerlerinden oluşur. Örnek 2. Bundan önceki örneğimizde ele aldığımız ( )= x2 +2

x

f denklemi ile verilen f fonksiyonu için

(

)

h x h x h x f h x f x f h h ) 2 ( 2 ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 2 2 0 0 + − + + = − + = → → h

(

h x

)

x xh h h h lim 2 2 2 lim 0 2 0 = + = + = → →

dir. 'f nün tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir.

Örnek 3. f (x) = |x + 2| ile tanımlanan f fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir. f'(−2) yi bulmaya çalıştığımız zaman

lim 2 2 2 2 lim ) 2 ( ) 2 ( lim ) 2 ( ' 0 0 0 h h h h h f h f f h h h→ → = → + − − + + − = − − + − = −

elde ederiz ki bu limit mevcut değildir(neden?). -2 dışında her reel sayı için f' x( ) mevcuttur. Örneğin

'(1) lim (1 ) (1) lim1 2 1 2 lim (3 ) 3 lim 1 0 0 0 0 = = − + = + − + + = − + = → → → → h h h h h h h f h f f h h h h

dir. Dolayısıyla, 'f nün tanım kümesi R\{-2} dir.

Örnek 4. f (x) = c denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi

0 0 lim lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 0 = = − = − + = → → → h h c c h x f h x f x f h h h

dır. 'f nün tanım kümesi R dir.

Örnek 5. f(x)= x denklemi ile verilen karekök fonksiyonunun türevi h x h x h x f h x f x f h h − + = − + = → →0 lim0 ) ( ) ( lim ) ( ' x x h x h h x h x x h x h h x h h 2 1 ) ( lim 1 lim 0 0 + + = + + = + + ⋅ − + = → →

(16)

olarak elde edilir. Buradan, örneğin 2 1 ) 1 ( ' = f olduğunu görebilirsiniz. Örnek 6. f (x) = x3 denklemi ile tanımlanan küp fonksiyonunun türevi

(

)

(

) (

(

) (

)

)

(

(

) (

)

2

)

2 2 0 2 2 0 3 3 0 0 3 lim lim lim ) ( ) ( lim ) ( ' x h x x h x h x h h x x h x h x x h x h x h x h x f h x f x f h h h h = + + + + = + + + + − + = − + = − + = → → → →

olarak elde edilir. 'f nün tanım kümesi [0,∞) dur.

Bir fonksiyonun türevi hesaplanırken, yukarıdaki örneklerde olduğu gibi her seferinde tanım kullanılmaz. Türev hesabında kullanılan çeşitli kural ve yöntemler geliştirilmiştir. Bunlar, bir sonraki dersimizin konusunu oluşturacaktır.

Bir f fonksiyonu için f nin x teki türevi

h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = →

varsa, f fonksiyonu x te türevlenebilir denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama işlemine türev alma denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak denir.

Bu dersimizi türevin uygulamasına bir örnekle sonlandıralım.

Örnek 7. Çocuk bisikleti üreten bir şirketin x adet bisiklet üretmek için toplam gideri 2 1 . 0 30 5000 ) (x x x Gi = + +

YTL olarak veriliyor.

a) Üretilen bisiklet sayısı 400 den 500 e yükseldiğinde giderdeki değişim nedir? b) Üretilen bisiklet sayısının bu değişimi için giderdeki ortalama değişim oranı nedir?

c) 500 bisiklet üretildiği anda giderdeki anlık değişim oranı nedir? Bu soruları sırasıyla şöyle yanıtlayabiliriz:

a) Gi(500)− Gi(400)=45000−33000=12000 YTL. b) 120 100 000 12 400 500 ) 400 ( ) 500 ( = = − − Gi Gi YTL. c) h h h h Gi h Gi Gi h h ] 500 ) 500 [( 1 . 0 30 lim ) 500 ( ) 500 ( lim ) 500 ( ' 2 2 0 0 − + + = − + = → → lim130 (0.1) 130 2 0 = + = → h h h h YTL.

(17)

Problemler 5

1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. a) lim(3 2 25) 5 + → x x b) lim( 2) (2 4) 2 3 + − → x x x c) 3 5 5 2 lim 10 − + → x x x ç) limx→2 x+2 d) 5 25 lim 2 5 + − − → x x x e) 2 6 lim 2 2 + − − − → x x x x f) 3 5 5 2 lim 2 10 + − → x x x g) 9) 3 3 ( lim 2 3 − − + + → x x x x x

2. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.

a) 3 3 lim 3 − − − → x x x b) 3 3 lim 3 − − + → x x x c) x x x − − + → 1 1 lim 1 ç) 1 1 lim 1 − − − → x x x 3. lim ( ) 5 3 = → f x

x ve limx→3g(x)=9 ise, aşağıdaki limitleri hesaplayınız. a)lim( ( ) ( )) 3 f x g x x→ − b) limx→3(f(x)+2g(x)) c) limx3 f(x)g(x) ç) ( ) ) ( lim 3 g x x f x

4. Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksiyonların süreksiz olduğu noktaları belirleyiniz.

5. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.

a) lim(4 2 +2 9) ∞ → x x x b) lim( 3 9 4) 5 6 + + − −∞ → x x x c) 5 9 7 4 lim − + ∞ → x x x ç) 1 3 2 lim 2 + + ∞ → x x x

6. Aşağıdaki fonksiyonların düşey asimptotlarını bulunuz; x = a düşey asimtot ise, ) ( lim f x a x→ − ve lim f(x) a x→ +

sonsuz limitlerini belirleyiniz. a) 3 1 ) ( + = x x f b) 4 4 ) ( 2 2 − + = x x x f c) 4 3 2 16 8 16 8 ) ( x x x x x f + − − = -5 5 x y y=f(x) x y y=f(x) -4 4 0 0 a) b)

(18)

7. Aşağıdaki fonksiyonların düşey ve yatay asimtotlarını bulunuz. a) 3 2 ) ( + = x x x f b) 1 1 ) ( 2 2 − + = x x x f c) 3 ) ( 2 − = x x x f ç) 3 ) ( 2 − = x x x f

8. Aşağıdaki problemlerde, belirtilen iki adımlı işlemi gerçekleştirerek '( ) x

f i hesaplayınız. f' nün tanım kümesini belirleyiniz.

1. adım: h x f h x f( + )− ( ) ın sadeleştirilmesi. 2. adım: h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → değerinin bulunması. a) f(x)=2x b) f(x)=2−x2 c) f(x)= x−3 d) x x f( )= 1

9. Aşağıdaki fonksiyonlar için

h f h f h ) 2 ( ) 2 ( lim 0 − + → limitini hesaplayınız. 4 3 ) (x = xf a) ( )=4 2 5 +1 x x x f b) ( ) 3 x x f = c) ç) f(x)= x

10. Aşağıdaki fonksiyonların her biri için x=2 deki teğet doğrusunun denklemini yazınız. a) f(x)= x5 −1 b) f(x)= x2 −2 c) f(x)= x− 2 ç) f(x)=2+ x−1

11. f(x)=x2 −4x fonksiyonu için

a) '( ) x

f i bulunuz.

b) f nin grafiğine x=0 , x=2 ve x=4 noktalarının her birinde teğet olan doğrunun eğimini

bulunuz ve her üç durumda da teğet doğrusunun denklemini yazınız.

c) f nin grafiğini ve bu noktalardaki teğet doğrularını çiziniz.

12. f(x)=3x2 fonksiyonu için aşağıdaki değerleri bulunuz.

a) x , 1 den 4 e kadar değiştiğinde y=f(x) deki değişim,

b) x , 1 den 4 e kadar değiştiğinde f(x) in ortalama değişim oranı,

c) y=f(x) in grafiğinin (1,f(1)) ve (4, f(4)) noktalarından geçen kirişin eğimi, ç) x=2 değeri için f(x) in anlık değişim oranı,

d) y=f(x) in grafiğinin (1,f(1)) noktasındaki teğetinin eğimi.

13. Plastik kutu üreten bir şirketin günde x adet kutu üretmesi durumunda toplam geliri 2400 0 , 025 . 0 60 ) ( = 2 x x x x

Ge olarak veriliyor. Para birimi YTL dir. a) Üretilen kutu sayısı 800 den 1000 e yükseldiğinde gelirdeki değişim nedir? b) Üretilen kutu sayısının bu değişimi için gelirdeki ortalama değişim oranı nedir? c) 1000 kutu üretildiği anda gelirdeki anlık değişim oranı nedir?

Referanslar

Benzer Belgeler

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde

cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu

Dersin Amacı Tek değişkenli fonksiyonlar için limit, süreklilik, türev, türevin uygulamalarının öğretilmesi. Dersin Süresi

1.Hafta The Concept of Functions 2.Hafta Trigonometric Functions 3.Hafta Introduction to Limit. 4.Hafta Main

Mutlak değer içeren fonksiyonun limiti alınmadan önce fonksiyonun aranan x değeri civarında kuralının ne olacağı bulunmalıdır. Sınıf Matematik

Yaz›n›n en son bölümünde direkt limitin tan›- m›n› hafifçe de¤ifltirece¤iz ve yukardaki X/) küme- si direkt limitlerden sadece biri olacak. Okur, umar›z, direkt

Bu çalışmada, doğal sayılar kümesinin alt kümelerinin bir ailesi yardımıyla tanımlanmış olan ideal kavramı ile oluşturulmuş olan I-yakınsaklık kavramı ve daha

[r]