• Sonuç bulunamadı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GEOMETRİK VE TOPOLOJİK FAZIN DOLANIK KUANTUM DURUMLARI İÇİN İNCELENMESİ Hasan Özgür ÇILDIROĞLU FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2020 Her hakkı saklıdır

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GEOMETRİK VE TOPOLOJİK FAZIN DOLANIK KUANTUM DURUMLARI İÇİN İNCELENMESİ Hasan Özgür ÇILDIROĞLU FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2020 Her hakkı saklıdır"

Copied!
139
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

GEOMETRİK VE TOPOLOJİK FAZIN DOLANIK KUANTUM DURUMLARI İÇİN İNCELENMESİ

Hasan Özgür ÇILDIROĞLU

FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2020

Her hakkı saklıdır

(2)

ii ÖZET

Doktora Tezi

GEOMETRİK VE TOPOLOJİK FAZIN DOLANIK KUANTUM DURUMLARI İÇİN İNCELENMESİ

Hasan Özgür ÇILDIROĞLU

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Ali Ulvi YILMAZER

Kuantum mekaniğinin en çarpıcı olgularından birisi olan dolanıklık, Einstein, Podolsky ve Rosen’ın yerellik-gerçeklik ilkelerinin tartışılması doğrultusunda yeni bir araç sağlar.

Öte yandan, temel fizikte önemli rolleri olan geometrik ve topolojik fazlar, çeşitli kuantum sistemlerinde geniş uygulama alanlarına sahiplerdir. Bu tezde, işte bu iki derin veçhenin birlikte tartışılması amaçlanarak, kuantum dolanık durumlar için geometrik ve topolojik fazlar sistematik bir biçimde incelenmişlerdir. İlk olarak, herhangi bir yaklaşım yapılmaksızın, bütünüyle göreli kuantum mekaniği çerçevesinde topolojik Aharonov- Bohm, Aharonov-Casher ve He-McKellar-Wilkens fazları iki boyutta türetilmişlerdir.

Sonrasında fazların aralarındaki elektromanyetik dualite ve özdeşlik ilişkilerinin bütünsel bir çerçevede irdelenmesiyle, dördüncü topolojik faz ve özel dinamik fazlar için matematiksel temellendirmeler yapılarak düşünsel deney düzenekleri önerilmiştir. Son aşamada, anılan süreçlerin dolanıklık ile olan ilişkilerinin anlaşılması ve sergilenen kuantum korelasyonlarını kavranabilmesi için Clauser-Horne-Shimony-Holt tipi Bell eşitsizlikleri tartışılarak, iki-taraflı Aharonov-Bohm ve Aharonov-Casher olayları dolanık demetler çerçevesinde ele alınmış, fazların spin bağımlılıkları araştırılmıştır.

Aralık 2020, 132 Sayfa

Anahtar Kelimeler: Aharonov-Bohm, Aharonov-Casher, He-McKellar-Wilkens, Dual- Aharonov-Bohm Etkileri, Topolojik, Geometrik ve Özel Dinamik Fazlar, Kuantum Dolanıklık, Bell Eşitsizlikleri, Clauser-Horne-Shimony-Holt Eşitsizliği.

(3)

iii ABSTRACT

Ph. D. Thesis

INVESTIGATION OF GEOMETRIC AND TOPOLOGICAL PHASE FOR ENTANGLED QUANTUM STATE

Hasan Özgür ÇILDIROĞLU

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Engineering

Supervisor: Prof. Dr. Ali Ulvi YILMAZER

Entanglement constitutes one of the most profound aspects of quantum mechanics and provides a new tool to discuss the locality-reality principles of Einstein, Podolsky, and Rosen. On the other hand, geometric and topological phases play also a considerable role in fundamental physics and have already a wide range of applications in various quantum systems. In this thesis it is aimed to study these two deep aspects together: Namely, geometric and topological phases for entangled quantum states are investigated systematically. In the first part, starting from the formalism of the relativistic quantum mechanics the expressions for the topological Aharonov-Bohm, Aharonov-Casher, and He-McKellar-Wilkens phases are obtained in two dimensions without any approximation.

Then electromagnetic duality and identity relationships between them are presented in detail and gedanken experiments for the fourth topological phase and special dynamic phases are proposed. In the last stage, to understand their roles in connection with the entanglement and comprehend the peculiar correlations exhibited, Clauser-Horne- Shimony-Holt type Bell inequalities are discussed, two-sided Aharonov-Bohm and Aharonov-Casher effects are reconsidered with the entangled beams, and the dependence of the phases on the spin has been investigated.

December 2020, 132 Pages

Key Words: Aharonov-Bohm, Aharonov-Casher, He-McKellar-Wilkens, Dual- Aharonov-Bohm Effects, Topological, Geometric, and Special Dynamic Phases, Quantum Entanglement, Bell Inequalities, Clauser-Horne-Shimony-Holt Inequality.

(4)

iv

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Çalışmalarım süresince büyük ilgi ve yardımlarını görmüş olduğum tez hocam Sayın Prof. Dr. Ali Ulvi YILMAZER’e (Ankara Üniversitesi) içten teşekkür eder, kendisi ile çalışmaktan duyduğum onur ve mutluluğu belirtmek isterim. Bilimsel yolculuğumda belirleyici rolü olan, bitmek tükenmek bilmeyen sabrı ile ilk günden bugüne dek bana bilgi ve kültür eken hocam Sayın Prof. Dr. Müge BOZ’a (Hacettepe Üniversitesi); her kapısını çaldığımda karşılaştığım problemleri dinleyerek fikir yürüten, çözüm için gerekenleri önüme koyan hocam Sayın Prof. Dr. Abdullah VERÇİN’e (Ankara Üniversitesi); bu çalışmanın temellerini atan, omuzlarımda ellerinin izini hasretle taşıdığım, miras bıraktığı sevgi ve bilgiyi paylaşarak çoğalttığım, her an yolumu aydınlatmayı sürdüren hocam Sayın Prof. Dr. Namık Kemal PAK’a (Orta Doğu Doğu Teknik Üniversitesi) minnet ve şükranlarımı sunarım.

Topolojik fazların spin bağımlılıklarının araştırılması konusunda yapmış olduğumuz tartışmalar ile çalışmama verdiği önemli katkılarından ötürü Sayın Prof. Sir Michael BERRY’e (Bristol Üniversitesi); ufkumun genişlemesinde pay sahibi olan Prof.

Francesco FASSÒ’ya (Padova Üniversitesi) ve araştırmacı Dr. Olga BERNARDI’ye (Padova Üniversitesi) müteşekkirim.

Son olarak, desteklerini bir an olsun esirgemeyen, tüm başarılarımın baş mimarları olan canım annem ve babam Güler ve Mehmet ÇILDIROĞLU’na; her daim yanımda olan biricik aileme, çok sevgili arkadaşlarıma; tüm eğitim hayatım boyunca öğrencileri olmaktan gurur duyduğum saygıdeğer hocalarıma; imkanlarından yararlandığım Hacettepe, Ankara, Bilkent ve Orta Doğu Teknik Üniversitesi kütüphanelerine ve tüm çalışanlarına teşekkür ederim.

Hasan Özgür ÇILDIROĞLU Ankara, Aralık 2020

(5)

v

İÇİNDEKİLER

TEZ ONAYI

ETİK ... i

ÖZET ... ii

ABSTRACT ... iii

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ... iv

SİMGELER DİZİNİ ... vi

ŞEKİLLER DİZİNİ ... vii

1. GİRİŞ ... 1

2. KUANTUM MEKANİKSEL FAZLAR ... 9

2.1Geometrik Fazlar ... 9

2.2Topolojik Fazlar ... 19

2.2.1Vektör Aharonov-Bohm (VAB) olayı ... 23

2.2.2Vektör Aharonov-Casher (VAC) olayı ... 32

2.2.3Vektör He-McKellar-Wilkens (VHMW) olayı ... 40

2.3Özel Dinamik Fazlar ... 49

2.3.1Skaler Aharonov-Bohm (SAB) olayı ... 51

2.3.2Skaler Aharonov-Casher (SAC) olayı ... 54

2.3.3Skaler HMW (SHMW) olayı ve düşünsel deney düzeneği önerisi ... 57

3. DUALİTE VE ÖZDEŞLİKLER ... 62

3.1Dual VAB (DVAB) Olayı ve Düşünsel Deney Düzeneği Önerisi ... 66

3.2Dual SAB (DSAB) Olayı ve Düşünsel Deney Düzeneği Önerisi ... 71

4. KUANTUM DOLANIKLIK ... 76

4.1Bell Eşitsizlikleri ... 80

4.1.1 Bell-CHSH eşitsizliğinin üç boyutlu uzayda ihlali ... 88

4.1.2Bell-CHSH eşitsizliğinin iki boyutlu uzayda ihlali ... 91

5.DOLANIK SİSTEMLERE KUANTUM FAZLARIN ETKİLERİ ... 94

5.1 Geometrik Fazların Dolanık Kuantum Durumlarına Etkileri ... 95

5.2 Topolojik Fazların Dolanık Kuantum Durumlarına Etkileri ... 101

5.2.1 VAB olayının dolanık kuantum durumlarına etkilerinin incelenmesi ... 103

5.2.2 VAC olayının dolanık kuantum durumlarına etkilerinin incelenmesi ... 107

6.TARTIŞMA VE SONUÇ ... 114

KAYNAKLAR ... 118

ÖZGEÇMİŞ ... 131

(6)

vi

SİMGELER DİZİNİ

𝑔𝜇𝜈= (

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

) Minkowski metriği

ℏ = 𝑐 = 1 𝑎𝑖𝑏𝑖 = ∑

𝑖

𝑎𝑖𝑏𝑖

Doğal Birim Sistemi Einstein Toplam Kuralı

Kısaltmalar

AB Aharonov-Bohm

VAB SAB DVAB DSAB SABN AC

Vektör Aharonov-Bohm Skaler Aharonov-Bohm Dual Vektör Aharonov-Bohm Dual Skaler Aharonov-Bohm

Polarize Nötronlarla Skaler Aharonov-Bohm Aharonov-Casher

VAC Vektör Aharonov-Casher

SAC Skaler Aharonov-Casher

HMW He-McKellar-Wilkens

VHMW Vektör He-McKellar-Wilkens

SHMW Skaler He-McKellar-Wilkens

EPR Einstein, Podolsky, Rosen

BI BT

Bell Eşitsizliği Bell Teoremi

CHSH Clauser, Horne, Shimony ve Holt

LHVM Yerel Saklı Değişken Modeller

KM Klasik Mekanik

QM Kuantum Mekaniği

RQM Göreli Kuantum Mekaniği

NRQM Göreli Olmayan Kuantum Mekaniği

MT Maxwell Teorisi

MDD Maxwell Dualite Dönüşümleri

(7)

vii

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 Skaler He-McKellar-Wilkens etkisi için tasarlanan düşünsel deney

düzeneğinin şematik gösterimi... 59 Şekil 3.1 Deneysel olarak gözlenmiş topolojik fazlar için tasarlanan düzeneklerin

iki boyutlu uzaydaki şematik temsilleri ... 62 Şekil 3.2 Maxwell dualite dönüşümleri... 63 Şekil 3.3 Topolojik fazların aralarındaki dualite ve özdeşlik ilişkileri ... 70 Şekil 3.4 Skaler potansiyel ya da skaler potansiyel-benzeri niceliklerin ölçülebilir

etkilerini ortaya koyan özel dinamik fazların aralarında tanımlanan

Maxwell dualite dönüşümleri... 74 Şekil 4.1 𝑓(𝜃) = 2cos𝜃 − cos2𝜃 fonksiyonuna ilişkin grafik ... 87 Şekil 5.1 İki boyutlu uzayda dolanık kuantum durumlarına VAB olayının olası

etkilerinin sınanması amacıyla tasarlanan düşünsel deney düzeneği ... 105 Şekil 5.2 İki boyutlu uzayda dolanık kuantum durumlarına VAC olayının olası

etkilerinin sınanması amacıyla tasarlanan düşünsel deney düzeneği ... 109 Şekil 5.3 VAC fazının alacağı değerlere göre S fonksiyonunun grafiği ... 111

(8)

1 1. GİRİŞ

Geometrik fazlar, anholonominin geometrik olgusu temelinde ortaya çıkan klasik ya da kuantum mekaniksel etkilerdir. Atom fiziğinden yoğun madde fiziğine, optikten parçacık fiziğine kadar çok sayıda uygulama alanları bulunan geometrik fazların bilinen ilk örneği, çift eksenli kristallerdeki konik kırılmalar ile oluşan 𝜋 fazıdır (Hamilton 1832, Llyod 1833). Yerel değişimler olmaksızın ortaya çıkan global değişimlerin klasik bir tezahürü olan Foucault sarkacı (1851) ve Darboux’un eğri yüzeyler için yaptığı diferansiyel geometri hesaplamaları da geometrik faz olgusunun en bilindik örneklerindendir (Darboux 1896).

Tarihsel süreç içinde geometrik fazların fizik açısından öneminin daha iyi kavranmaya başlanması ile yapılan teorik ve deneysel araştırmaların sayısı da hızla artmıştır. Bu bağlamda, Bortolotti, ışık polarizasyonlarının eğri ışınlar boyunca paralel şekilde taşındığının Maxwell denklemleri tarafından ima edildiğini göstermiş, Rytov, Bortolotti’nin çalışmasını yeniden ele alarak, elektromanyetik dalgaların polarizasyon düzlemlerinin rotasyonları açısından bir yasa türetmeyi başarmış, ortaya koyduğu yasanın geometrik özellikleri ise Vladimirsky tarafından daha ayrıntılı bir biçimde tanımlanmıştır (Bortolotti 1924, Rytov 1938, Vladimirsky 1941). Sürecin önemli gelişmelerinden birisi de Pancharatnam'ın, başlangıç durumu Poincaré küresi yüzeyi üzerindeki bir noktada seçilen ışık polarizasyonunun, yine Poincaré küresi yüzeyindeki kapalı bir çevrimi izleyerek başlangıç durumuna döndürülmesi sonucunda, izlenen yolun geometrisine bağlı bir faz kazanacağını gösterdiği çalışmasıdır (Pancharatnam 1956).

Kuantum mekaniği açısından, ilk bakışta, adiyabatik teoreme ve bu teoremle yakından ilişkili Born-Oppenheimer yaklaşımına bir düzeltme niteliğinde olduğu düşünülen geometrik fazların (Pak 2014), bu kapsamdaki ilk örnekleri Longuet-Higgins ve Mead- Truhlar’ın çekirdek koordinatlarının simetrik ve dejenere çevrimleri için, elektronik dalga fonksiyonlarının kazandıkları fazları gösterdikleri makaleleridir (Born ve Oppenheimer 1927, Higgins vd. 1958, Messiah 1961, Mead ve Truhlar 1979). Tüm bu öncü çalışmalarla şekillenen geometrik faz düşüncesi, M. Berry’nin, kapalı bir çevrim boyunca adiyabatik olarak evrilen sistemin, bilindik dinamik faza ek bir faz faktörü katkısıyla ilk durumuna

(9)

2

dönebileceğini gösterdiği önemli eseri ile bütünsel bir çerçeveye oturtulmuştur (Berry 1984). Geometrik faz olgusunun gelişimi çok değerli bilim insanlarının araştırmaları (Simon 1983, Wilczek-Zee 1984, Alvarez Gaume 1985, Hannay 1985, Stone 1986, Fujikawa 1986, Aharonov ve Anandan 1987) ile devam etmiş, bu aşamadan sonra gerçekleştirilen deneysel ve teorik çalışmalar ise geometrik fazların, kökenleri ortak görünen diğer kuantum mekaniksel süreçlerle ilişkilendirilmesi ve bu noktadan hareketle yeni teknolojiler üretilmesine yönelik olarak evrilerek günümüze dek sürmüştür (Zwanziger vd. 1990, He ve McKellar 1991, Mignani 1991, Mead 1992, Anandan 1992, Li 1998, Bomzon vd. 2002, Li 2002, Hua-Zhong 2002, Bohm vd. 2003, Whitney vd.

2003, Malykin ve Kharlamov 2003, Bertlmann vd. 2004, Bilokh 2004, Bertlmann ve Durstberger 2005, Bérard, A. ve Mohrbach, H. 2006, Tanaka ve Miyamoto 2007, Hosten vd. 2008, Bliokh 2009, Berry 2010, Popescu 2010, Alicea vd. 2011, Son ve Yamamoto 2012, Nagasawa vd. 2013, Berger vd. 2015, Larocque vd. 2016, Yale vd. 2016, Malhotra vd. 2018. Cohen 2019).

Topolojik fazlar, elektrik ya da manyetik alan kaynakları kullanılarak uzayda yaratılan tekilliklerin etrafında oluşturulacak kapalı yörüngeler üzerinde hareketlerini sürdüren parçacıkların dalga fonksiyonlarına, klasik bir kuvvetin etkisi olmaksızın, vektör potansiyel ya da vektör potansiyel-benzeri fiziksel niceliklerin kompleks bir faz faktörü olarak girmesi ile açıklanmaktadırlar. Bütünüyle fiziksel/kuantum mekaniksel süreçlerin sonucunda yalnızca uzayın topolojik yapısı ile ilişkili şekilde ortaya çıkan ve parçacıkların izledikleri yörüngelerin yeniden bir araya geldiği noktada oluşan girişim olayı, çoklu-bağlantılı uzayın singüler bölgesindeki fiziksel büyüklüğün değiştirilmesi yoluyla kontrol edilerek deneysel olarak gözlenebilen bu kompleks fazlar, parçacıkların aldığı yollardan ve bu yolların geometrisinden bağımsızlardır.

Topolojik fazların ilk ve en bilindik örneği, Y. Aharonov ve D. Bohm tarafından öngörülen ve vektör AB (VAB) olayı olarak bilinen kuantum mekaniksel etkidir (Aharonov ve Bohm 1959). Fizikte devrim niteliği taşıyan bu çalışmada, elektriksel yüklü parçacıkların manyetik alan kaynağı etrafında oluşturulmuş olan kapalı yörüngelerdeki hareketlerinin incelendiği düşünsel bir deney düzeneği geliştirilerek, kuantum teorisinde elektromanyetik potansiyellerin önemi gösterilmiştir. Buna göre, yüklü parçacıkların

(10)

3

ortamda mevcut olan manyetik alanla etkileşerek klasik bir kuvvetin etkisi altında kalacakları düşünülebilir. Ancak, solenoid sonsuz uzun ve ince olduğundan, elektronların hareket ettiği bölgenin dışından çevrimini tamamlayan manyetik alan çizgileri klasik bir Lorentz kuvvetine neden olmazlar. Klasik perspektiften bakıldığında, yörüngelerin yeniden bir araya geldiği noktada oluşacak girişim deseninin manyetik alanın/akının değişiminden etkilenmemesi beklense de elektronların hareketlerine izin verilen bölgelerde mevcudiyeti söz konusu olan vektör potansiyel, parçacıkların dalga fonksiyonuna kompleks bir faz faktörü olarak girerek girişim desenini ölçülebilir şekilde etkiler. VAB olayı, ilk olarak Chambers tarafından deneysel olarak gözlenmiştir (Chambers 1960).

Aharonov ve Bohm’un önemli çalışmaları ile başlayan süreçte, problemin detaylıca anlaşılabilmesi ve farklı kuantum mekaniksel etkilerin ortaya çıkartılabilmesi için yoğun bir çaba kaydedilerek çok sayıda bilimsel araştırma yapılmış ve yapılmaya devam etmektedir (Kretzschmar 1965, Roy 1980, Peshkin 1981, Olariu ve Popescu 1985, Berry 1986, Tonomura vd 1986, Goldhaber 1989, Silverman 1990, Berry 1990, Hagen 1990, Hagen 1991, He ve McKellar 1991, Holstein 1991, Mignani 1991, Zeilinger 1991, Allman vd. 1992, Elion vd. 1993, He ve McKellar 1993, Aharonov vd. 1994, Holstein 1995, Bruce 1998, Bachtold vd. 1999, He ve McKellar 2001, Jayannavar 2002, Malykin ve Kharlamov 2003, König vd. 2006, Delgado vd. 2008, Rohrlich 2009, Bardarson vd.

2010, Maciejko vd. 2010, Peng vd. 2010, Vaidman 2012, Lepoutre 2013, Su vd. 2013, McKellar vd. 2014, McKellar 2014, Noguchi vd. 2014, Aharonov vd. 2015, Duca vd.

2015, Aharonov vd. 2016, McKellar 2016, He ve McKellar 2017, Pearle ve Rizzi 2017, Maudlin 2018, Liv vd. 2018). Bu kapsamda, Y. Aharonov ve A. Casher, VAB olayına benzer şekilde tasarladıkları düşünsel bir deney düzeneği vasıtasıyla manyetik dipol momenti taşıyan nötronların çizgisel bir yük dağılımı etrafında oluşturulan kapalı yörüngelerdeki hareketlerini inceleyerek yeni bir topolojik faz keşfetmeyi başarmışlardır (Aharonov ve Casher 1984). Vektör AC (VAC) olayı olarak bilinen ve Cimmino ve çalışma arkadaşları tarafından deneysel olarak gözlemlenen bu kuantum mekaniksel etki, vektör potansiyeli benzeri fiziksel bir niceliğin yüksüz parçacıkların dalga fonksiyonlarına kompleks bir faz faktörü olarak girmesi ile açıklanır (Cimmino vd. 1989).

Topolojik faz düşüncesinin gelişim sürecine yapılan en önemli katkılardan birisi de He-

(11)

4

McKellar (1993) ve Wilkens’den (1994) gelmiştir. Anılan bilim insanları, elektriksel dipol taşıyan yüksüz nesnelerin manyetik bir yük dağılımının etrafında oluşturulacak kapalı yörüngeyi izlemelerinin sonucunda, parçacıkların dalga fonksiyonlarının vektör potansiyeli benzeri fiziksel bir nicelikle ilişkili ölçülebilir bir faz kazanacaklarını göstermişlerdir (He ve McKellar 1993, Wilkens 1994). Vektör HMW (VHMW) olayı olarak anılan ve basitçe, VAC olayının tam duali olarak ifade edilebilecek etki, S.

Lepoutre ve çalışma arkadaşları tarafından deneysel olarak doğrulanmıştır (Lepoutre 2013).

Topolojik fazların aralarında iki ve üç boyutlu uzaylarda tanımlanabilecek çeşitli elektrik- manyetik dualite ve özdeşlik ilişkileri bulunmaktadır (Çıldıroğlu 2015). Örneğin, VAB olayında elektronlar yerine manyetik dipoller, manyetik dipoller1 yerine ise elektronlar kullanılırsa VAC olayı ortaya çıkacaktır2. Bu bağlamda, bilinenin aksine, VAB ve VAC olayları arasında bir elektrik-manyetik dualite ilişkisinden ziyade, iki boyutlu uzayda betimlenebilecek bir çeşit özdeşlikten söz edilebilir. VAC ve VHMW fazları ise birbirlerinin tam duali olan kuantum mekaniksel etkilerdir. VAC olayında manyetik dipoller yerine elektrik dipoller, elektronlar yerine ise manyetik monopoller kullanılırsa VHMW olayı meydana gelir2. Bu perspektiften bakıldığında, iki boyutta VAB etkisine dual, VHMW etkisine ise bir çeşit özdeşlik ilişkisi ile bağlı dördüncü bir topolojik faza ihtiyaç duyulduğu aşikardır. Dual VAB (DVAB) olayı olarak nitelendirilebilecek ve manyetik monopollerin elektrik akısı tüpü etrafında oluşturulacak kapalı bir yörüngeyi izlemeleri sonucunda, manyetik vektör potansiyelin parçacıkların dalga fonksiyonlarına kompleks bir faz faktörü olarak girmesi ile açıklanacağı öngörülen topolojik faz, ilk olarak elektrik-manyetik dualite dönüşümleri ele alınarak önerilmiş, yakın tarihli bir çalışmada matematiksel olarak temellendirilmiştir (Dowling 1999, Çıldıroğlu ve Yılmazer 2018).

1 Manyetik alan kaynağı olarak kullanılan solenoid, manyetik dipollerin üst üste konulmuş uyumlu bir dizgesi olarak düşünülebileceğinden, VAB olayı iki boyutta elektronların manyetik dipol etrafındaki hareketi ile açıklanır. Benzer şekilde, çizgisel yük dağılımı da noktasal elektronların üst üste konulması ile elde edilebilir. Bu nedenle VAC olayı, iki boyutta, manyetik dipollerin durgun elektron etrafındaki hareketleri sonucunda ortaya çıkar.

2 Bunun tersi de doğrudur.

(12)

5

Kuantum mekaniksel sistemlerde evrilme süreçlerine bağlı olarak ortaya çıkan dinamik fazlar, genellikle sisteme etki eden dış kuvvet ve bu kuvvetin etki etme süresi ile ilişkili- dir. Bununla birlikte kuantum mekaniksel beklenen değer ifadelerinin, dalga fonksiyonu- nu ve bunun karmaşık eşleniğini bir arada bulundurmalarından hareketle, hemen her kuantum mekaniksel süreçte ortaya çıkan dinamik fazların fiziksel bir anlam taşımadık- ları düşünülebilir. Ancak, sistemler klasik kuvvetlerin etkisi olmaksızın da özel dinamik fazlar kazanabilir ve bu sistemler skaler potansiyel ya da skaler potansiyel benzeri fiziksel niceliklerin ölçülebilir etkilerini ortaya koymakta kullanılabilirler. Topolojik fazlarla olan bağlantısı kolaylıkla gösterilebilecek özel dinamik fazların ilki, Aharonov ve Bohm’un önemli çalışmalarının diğer bölümünde ortaya konulmuştur (Aharonov ve Bohm 1959).

Bu çalışmada, elektrik alan mevcudiyetinin olmadığı bölgelerde zamana göre değişen skaler potansiyelin ölçülebilir etkileri düşünsel bir deney düzeneği tasarımıyla gösterilmiştir. Skaler AB (SAB) olayı olarak bilinen bu kuantum mekaniksel etkiyi, elektrik ve manyetik skaler potansiyel benzeri terimlerin ölçülebilir etkilerini gösteren SAC ve SHMW olayları ile manyetik skaler potansiyellerin ölçülebilir etkilerini gösteren Dual SAB olaylarının keşifleri takip etmiştir (Allman vd. 1992, Çıldıroğlu 2015, Hashemi, Çıldıroğlu ve Yılmazer 2019, Çıldıroğlu ve Yılmazer 2019).

Klasik ve kuantum fiziğini birbirinden ayıran özelliklerden belki de en önemlisi ölçme işlemidir. Klasik fizik çerçevesinde gerçekleştirilecek bir ölçme işleminin, idealleştirmeler altında olayları etkilemeyeceği, teorinin nedensel ve belirleyici olması sebebiyle açıktır (Pak 2009, Turgut 2009). Kuantum mekaniksel bir sistemde yapılacak ölçme işlemi ise, ölçümden önce olası durumların çizgisel kompleks üst üste gelmeleri olarak tanımlanan sistemin durumunu kontrol edilemeyecek şekilde değiştirir ve ölçümün hemen ardından sistem olası durumlardan birisine çöker. Bir başka deyişle, ölçümden önce olası durumların tümünde aynı anda bulunan sistem, ölçümün hemen ardından olası durumların yalnızca birisinde bulunabilir3. Kuantum fiziğinde sistemlerin genişlemesi de

3 Kuantum mekaniksel sistemlerde, üzerinde herhangi bir ölçüm yapılmayan parçacıklar, üst üste gelme prensibinin bir gereği olarak, olası durumların tümünde aynı anda bulunurlar. Bunun en bilindik örneği, elektronlarla yapılan çift yarıkta girişim deneyidir: Buna göre, tekil elektronlar her iki yarıktan birden aynı anda geçerek ekranda gözlenebilir bir girişim deseni oluştururlar. Parçacığın hangi yarıktan geçtiğini öğrenmek üzere bir ölçüm yapılması halinde, sistemin durumu olası durumlardan birisine çöker ve elektronlar ya ilk yarıktan ya da ikinci yarıktan geçerek ekrana ulaşırlar. Bu durumda, ekranda gözlenen girişim deseninin kaybolduğu klasik bir süreç ortaya çıkar.

(13)

6

klasik fiziktekinden oldukça farklıdır. Klasik mekanikte bir kartezyen genişlemeden söz edilebilirken, kuantum mekaniğinde betimlenecek genişleme tensöreldir. Bu bağlamda, sistem iki ya da daha fazla ayrık alt sistemden oluşuyorsa, sistemin durumu alt sistemlere ait durumların tensör çarpımı şeklinde ifade edilebilir. Eğer sistemlerin durumları tek terimli tensör çarpımı olarak ifade edilemiyorsa, dolanık kuantum durumları olarak anılırlar. İlk olarak 1935 yılında Schrödinger tarafından birleşik kuantum sistemlerin alt sistemleri arasındaki karşılıklı ilintilerin vurgulanması düşüncesiyle kullanılan kuantum dolanıklık, aynı yıl Einstein, Podolsky ve Rosen’ın özgün çalışmasının4 ardından oldukça önemli ve büyük bir araştırma konusu haline gelmiştir (Schrödinger 1935, Einstein vd.

1935). Bu çalışmada, fiziksel bir teorinin yerel ve gerçekçi olması gerektiğini düşünen Einstein ve çalışma arkadaşları, ilk olarak kuantum mekaniğinin sınanabilmesi açısından üç kritik şart (fiziksel gerçeklik, yerellik ve kesinlik) önermiş, daha sonra bu şartların test edilebilmesi için önerdikleri düşünsel deney düzeneğini (EPR problemi) ele alarak kuantum teorisinin bu haliyle tamamlanamayacağını ve bazı yerel saklı değişkenlerle teorinin geliştirilmesi gerektiğini vurgulamışlardır. Takip eden süreçte Bell, yerel gerçekçi modellerle kuantum mekaniğinin bazı deneylerde farklı öngörülere sahip olduklarını göstermiş, EPR problemini yeniden ele aldığı çalışmasında, tüm yerel saklı değişken modellerin uyması beklenen ve Bell eşitsizlikleri olarak anılan bir sınır ortaya koymayı başarmıştır (Bell, 1964).

Kuantum mekaniği, Bell eşitsizliklerinin türetilmesi aşamasında kullanılan varsayımların en az birisi ile çelişmektedir. Yerel saklı değişken modeller ile kuantum mekaniği arasında böylesine bir uyumsuzluğun var olduğunun ispatı “Bell Teoremi” (BT) olarak bilinmektedir. Bell eşitsizliklerinin (matematiksel olarak) ihlali de BT’ye göre kuantum sistemlerinde yerel olmayan özelliklerin varlığını göstermektedir. Bell Eşitsizliklerinin, yerel saklı değişken modellerin deneysel olarak sınanabilmesine olanak sağlayan bir versiyonu ilk kez Clauser, Horne, Shimony ve Holt (CHSH) tarafından türetilmiş, anılan

4 EPR makalesinin temelinde, bir fiziksel teorinin sınanabilmesi amacıyla verilen gerçeklik, yerellik ve kesinlik şartları ile bu şartların test edilebilmesi için önerilen düşünsel bir deney düzeneği yer almaktadır.

Einstein, Podolsky ve Rosen’a göre, aralarında herhangi bir etkileşmenin bulunmadığı iki parçacıktan oluşan bir sistem ve sistemin sıra değiştirebilir operatörlerle tanımlanan durumu ele alınırsa, birinci parçacık üzerinde yapılacak ölçüm sonuçlarından hareketle ikinci parçacığın durumu kesin olarak tahmin edilebilir. Ancak, kuantum mekaniksel sıra değiştirmeyen operatörlerin ortak özvektörleri bulunamayacağından, kuantum mekaniksel durum vektörleri fiziksel gerçeklik kriterlerini sağlamamaktadır.

(14)

7

çalışma daha özel durumlar için J. Bell tarafından yeniden yorumlanmıştır (Clauser vd.

1969, Bell 1971). Bell-CHSH eşitsizliklerinin türetilmesi, kuantum dolanıklığın önerilen düşünsel deney düzeneklerinden laboratuvar ortamına geçiş sürecini ortaya çıkarmış, bu bağlamda, Kocher-Commins ve Freedman-Clauser’ın öncü çalışmalarının ardından, Aspect ve çalışma arkadaşları ilk kez deneysel olarak Bell-CHSH eşitsizliğinin ihlal edildiğini göstermeyi başarmışlardır (Kocher ve Commins 1967, Freedman ve Clauser 1972, Aspect vd. 1982). Takip eden süreçte yerel saklı değişken modeller açısından uyulması gereken bir sınır niteliğinde olan Bell-CHSH eşitsizlikleri, deneysel olarak çok sayıda çalışma ile sınanmıştır (Ou ve Mandel 1988, Kwiat vd. 1995, Weihs vd. 1998, Tittel vd. 1999, Rowe vd. 2001, Hasegawa vd. 2004, Bovino vd. 2006, Ursin vd. 2007).

Günümüz perspektifinden bakıldığında ise, yapılan tüm bu deneysel çalışmaların kuantum mekaniğinin öngörülerini doğruladığı görünmektedir.

Kuantum dolanıklığın bilim ve teknolojiye yönelik önemi son yıllarda çok daha iyi anlaşılmıştır. Dolayısıyla, var olan uygulamaların geliştirebilmesi ve yeni uygulama alanlarının ortaya çıkartılabilmesi amacıyla farklı kuantum mekaniksel süreçlerin bir araya getirilmesi doğrultusundaki deneysel ve teorik araştırmalar tüm hızıyla sürmektedir (Feynman 1982, Deutsch 1985, Ekert 1991, Bennett ve Wiesner 1992, Yurke ve Stoler 1992, Bennett vd. 1993, Horodecki 1994, Shor 1995, Horodecki vd. 1996, Schumacher ve Nielsen 1996, Steane 1996, Cerf ve Adami 1997, Lloyd 1997, Bose vd. 1998, Lo vd.

1999, Bouwmeester vd. 2000, Nielsen ve Chuang 2000, Alber vd. 2001, Braunstein ve Pati 2003, Hyllus vd. 2004, Blaauboer ve DiVincenzo 2005, Curty vd. 2005, Stobinska ve Wódkiewicz 2005, Wu vd. 2005, Basu 2006, Brukner vd. 2006, Cavalcanti vd. 2006, Bruß ve Leuchs 2007, Masanes 2007, Vallone vd. 2007, Delgado vd. 2008, Bliokh 2009, Berry 2010, Maciejko vd. 2010, Popescu 2010, Vaidman 2012, Dowling 2013, McKellar vd. 2014, Noguchi vd. 2014, Berger vd. 2015, Sjöqvist 2015, Vaidman 2015, Larocque vd. 2016, McKellar 2016, He ve McKellar 2017, Pearle ve Rizzi 2017, Li ve Wang 2018, Malhorta vd. 2018, Maudlin 2018, Bruce ve Leuchs 2019, Cohen vd. 2019). Yakın tarihlerde, yine bu kapsamda yapılan çalışmalarla, geometrik ve topolojik fazların dolanık durumdaki bir kuantum sistemi üzerindeki etkileri araştırılmış, fazların Bell-CHSH eşitsizliğini ne şekilde etkileyecekleri analiz edilmiştir (Bertlmann ve Durstberger 2004, Çıldıroğlu ve Yılmazer 2018).

(15)

8

Bu değerlendirmelerin ışığında, tezin ilk bölümünde, geometrik fazlar özetlenmiştir.

Deneysel olarak gözlenen topolojik fazların iki ve üç boyutlu uzaylarda göreli ve göreli olmayan kuantum mekaniği çerçevelerinde ele alınmalarının ardından, ilişkili özel dinamik fazlar incelenerek, SHMW etkisi için düşünsel bir deney düzeneği tasarımı yapılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, topolojik fazların ve özel dinamik fazların dualite ve özdeşlik ilişkileri araştırılmış, elde edilen sonuçlar ışığında DVAB ve DSAB etkileri matematiksel olarak temellendirilerek bu etkiler için düşünsel deney düzeneği tasarımları önerilmiştir. Dördüncü bölümde, kuantum dolanıklığa yoğunlaşılarak, bir ön hazırlık kapsamında, Bell-CHSH eşitsizliklerinin detaylıca türetilmesinin ardından, bu eşitsizliklerin iki ve üç boyutlu uzaylardaki ihlalleri tartışılmıştır. Tezin son bölümünde ise dolanık kuantum sistemlerine geometrik ve topolojik fazların etkileri incelenerek, kuantum mekaniğinin lokal olmayan özelliklerinin ve VAB etkisinin spin bağımlılığının test edilmesinde kullanılabilecek düşünsel deney düzeneği önerileri yapılmıştır.

(16)

9 2. KUANTUM MEKANİKSEL FAZLAR

2.1 Geometrik Fazlar

18. yüzyılın başlarından bu yana fiziksel olayların yerel tanımlarının, fizik teorilerine olan hâkimiyetinden söz edilebilir. Buna göre, fiziksel alanlar tarafından aracılık edilen bir çeşit temas eylemi olan etkileşmeler uzay-zamandaki bir noktadan komşu bir noktaya yayılırlar. Temel yasalar ise, genellikle, sınır koşulları ile ilişkilendirilen diferansiyel ya da kısmi diferansiyel denklemlerle ifade edilirler. Ancak, günümüz perspektifinden bakıldığında, yerel değişimler olmaksızın global değişimler sergileyen klasik ya da kuantum mekaniksel süreçler hesaba katılarak, fizik açısından tam bir betimlemenin yapılabilmesi için yerel ve global tanımların birlikte düşünülmesi gerekir. Bunun en bilindik ve önemli örneği, bu bölümde detaylandırılacak olan, geometrik fazlardır.

Geometrik faz düşüncesinin temelinde paralel-taşıma sonucunda ortaya çıkan anholonominin geometrik olgusu vardır (Berry 1990). Anholonomi5, sistemin bağlı olduğu dış parametrenin, bu parametrenin konfigürasyon uzayında tanımlanan kapalı bir çevrim boyunca çok yavaş şekilde hareket ettirilerek başlangıç noktasına yerel bir değişim olmaksızın geri döndürülmesi sonucunda, sistemin başlangıç durumuna geri dönememesi şeklinde açıklanır. Bu kavramın, salınım halindeki dalganın ayırt edici bir özelliği olan faz ile ele alınması geometrik faz veçhesini ortaya koyar.

Yerel değişimler olmaksızın ortaya çıkan global değişimlerin klasik bir örneği, paralel yer değiştirmenin küresel bir etkisi olan Foucault sarkacıdır (1851). Eğri yüzey üzerinde, örneğin dünyanın yüzeyi, sarkacın salınım yönünü betimleyen birim vektör, yönü radyal birim vektörü ile verilen yerel dikey tarafından sınırlandırılmaktadır. Yani, salınım

5 Eğri yüzeylerde paralel taşımanın anolonomisinin, 19. yüzyılın başlarında Gauss tarafından kullanıldığı bilinse de daha çok klasik mekanik kapsamında literatüre girdiği görülmektedir. Bilindiği üzere, klasik mekanikte bir bağ koşulu, integre edilebilirse holonomik olarak tanımlanır ve serbestlik derecelerinin azaltılabilmesi ile ilişkilidir. Sistem, integre edilemez bir bağ koşuluna sahipse, bu bağ koşulu holonomik olmayan (anholonomik ya da non-holonomik) olarak betimlenir. Bu bağlamda paralel taşıma örneğinde verilen sınırlandırıcı koşul integre edilemez olduğundan, holonomi yerine anholonomi kavramını kullanmak daha doğrudur. Geometri ve matematikte anholonomi kavramı sıklıkla kullanılmakla birlikte, genellikle holonomi olarak isimlendirilmektedir.

(17)

10

yönünü gösteren birim vektörü, yerel dikey etrafında dönemez. Buna rağmen, radyal birim vektörü bir tam tur atarak, örneğin bir gün sonra, başlangıç durumuna gelse bile, salınım yönünü betimleyen birim vektör yeniden ilk durumuna gelemez. Ortaya çıkan anholonomi, salınım yönünü veren birim vektörün ilk ve son durumları arasındaki açıdır ve kürenin merkezinden, izlenen yörüngeyi karşılayan katı açı ile ilintilidir.

Geometrik fazların bilinen ilk örneği, çift eksenli kristallerde konik kırılma için Humphrey Lloyd ve Rowan Hamilton tarafından 1830’lu yılların başlarında elde edilen 𝜋 fazıdır6 (Hamilton 1832, Llyod 1833). Jean-Gaston Darboux’un eğri yüzeyler için yaptığı diferansiyel geometri hesaplamaları da faz anholonomisinin ilk örneklerindendir (Darboux 1896). Bununla birlikte, geometrik faz olgusunun gelişim sürecine, çok sayıda bilim insanı öncü çalışmalarıyla önemli katkılar sağlamıştır: Bortolotti, Maxwell denklemlerinin, polarizasyonların eğri ışınlar boyunca paralel-taşındığını ima ettiğini göstermiştir (Bortolotti 1924). Rytov, anholonominin geometrik optik çerçevesinde ilk tutarlı analizi olarak kabul edilebilecek çalışmasında, Bortolotti’nin keşfini yeniden ele alarak, elektromanyetik dalgaların polarizasyon düzlemlerinin dönmeleri için bir yasa türetmeyi başarmış, ortaya koyduğu yasanın geometrik özellikleri ise Vladimirsky tarafından daha ayrıntılı bir biçimde tanımlanmıştır (Rytov 1938, Vlimirsky 1941).

Geometrik fazların ölçülebilir etkilerini göstermesi açısından sürecin en önemli çalışmalarından birisi, S. Pancharatnam’ın “Genelleştirilmiş girişim teorisi ve uygulamaları” isimli çalışmasıdır (Pancharatnam 1956). Özünde, anizotropik kristal plakalardan elde edilen girişim desenlerini araştıran Pancharatnam, farklı polarizasyon durumlarındaki iki ışının aynı fazda tanımlanamaması problemi nedeniyle, elde ettiği bulguları ilk aşamada açıklamakta zorlanmıştır. Pancharatnam bu problemi, iki ışının üst üste (koherent ve çizgisel olarak) bindirilmesiyle bulunan dalganın şiddetini7 göz önüne alarak aşmayı başarmış, böylelikle, ışının polarizasyon durumunun (yavaş olmak zorunda

6 Hamilton, yaptığı teorik hesaplamalarını 1832 yılında duyurmuş ve meslektaşı Humphrey Lloyd'dan ortaya koyduğu olgunun gözlemlenmesi için gereken deneyleri yapmasını istemiştir. H. Lloyd aynı yılın aralık ayında bir aragonit örneği ile dış konik kırılmayı, 1833 yılının başında ise iç konik kırılmayı gözlemlemeyi başarmıştır. Detaylı bilgi için Bkz. (O'Hara 1982).

7 Bilindiği gibi, ayrık ışınların fazlarının değişmesi, üst üste gelmiş dalganın şiddetini değiştirir. İki ışın, üst üste gelmiş dalganın şiddeti maksimum olduğunda aynı fazlı, sıfır olduğunda ise ters fazlı olarak tanımlanır.

(18)

11

olmadan) değişmesine karşın, fazının nasıl korunduğunu da ortaya çıkarmıştır. Aslına bakılacak olunursa, faz korunumuna ilişkin bu yasa (matematiksel dilde) geçişsizdir. Bir başka deyişle, başlangıçta A polarizasyon durumunda bulunan ışının polarizasyonu, ilk olarak A ile aynı faza sahip B polarizasyonuna, daha sonra B ile aynı faza sahip C polarizasyonuna ve son olarak C ile aynı faza sahip A polarizasyonuna değiştirilirse, (üç yerel faz değişimi de sıfır olmasına karşın) ilk ve son polarizasyon durumlarındaki ışınların fazları aynı olmak zorunda değildir. Pancharatnam bu aşamada, faz değişimini hesaplamak amacıyla polarizasyon durumlarının temsilleri için Poincaré küresini kullanmıştır. Başlangıç durumu Poincaré küresi yüzeyindeki herhangi bir noktada seçilen polarizasyonunun sahip olduğu fazın, yine Poincaré küresi yüzeyinde oluşturulacak kapalı bir çevrimin izlenmesinin ardından başlangıç noktasına geri dönülmesi sonucunda değişeceğini gösteren Pancharatnam, ortaya çıkan faz değişiminin8 küre merkezinden, yüzeyde izlenen yörüngeyi karşılayan katı açının yarısına eşit olduğunu keşfetmiştir.

Kuantum mekaniğinde paralel taşıma, Schrödinger denklemine göre sistemin ne şekilde evrileceğini belirleyen Hamiltonyendeki yavaş bir parametre döngüsü kullanılarak açıklanabilir9. Bu bağlamda, adiyabatik teorem, sistemin evrilme döngüsünün bitiminde başlangıç durumu için (izdüşümsel Hilbert uzayında) belirlenen anlık enerji özdurumunda kalacağını garanti eder. Bununla birlikte son durum vektörü fazının, başlangıç durumundaki faza geri dönmesi gerekmez (genellikle de dönmez). Sistemin ilk ve son durumları arasındaki bu değişim geometrik faz olarak tanımlanabilir ve anholonominin kuantum mekaniğindeki tezahürüdür. Böylelikle, geometrik fazlar kuantum mekaniğinde durumların paralel taşınması açısından anholonomik olarak düşünülebilir.

Kuantum mekaniğinde geometrik fazların varlığı, Hamiltonyenin bağlı olduğu dış parametrelerin devamlı değişimleri altında, enerji özdurumlarının dejenere oldukları anlamını taşır. Bu noktadan hareketle, geometrik fazların, kuantum mekaniksel bağlamından koparıldığında, dış parametrelere bağlı basit bir matris özelliğinin bir ifadesi

8 Literatürde Pancharatnam fazı olarak bilinmektedir.

9 Kuantum mekaniksel durumların matematiksel olarak Hilbert uzayında tanımlı kompleks birim vektörlerle ifade edilmelerine karşın

(19)

12

olacağı söylenebilir. Burada bahsedilen matrislerin özvektörleri10 bir dış parametrenin çevrimsel değişiminin ardından ilk değerlerini yeniden almazlar. Bu bağlamda, Hermityen matrislerin özvektörlerinin orijinal değerlerine geri dönememesi, faz kayması formunda ortaya çıkar. Öte yandan, kuantum mekaniksel bir sistemin Hamiltonyeni, Hermityen matrislerle temsil edilebilir ve bu matrislerin özdeğerleri de reeldir.

Dolayısıyla, buradaki tek faz anholonomisi, özvektörlerin işaret değiştirmesiyle ilişkili 𝜋 fazıdır11. Bunun, ilk ve kuantum mekaniğinde geometrik faz düşüncesinin şekil almasına katkıda bulunan örneklerinden birisi, Longuet-Higgins’in çekirdek koordinatlarının12 simetrik ve dejenere bir çevrim yapmasıyla, elektronik dalga fonksiyonlarının işaret değiştirdiğini13 gösterdikleri çalışmadır (Longuet-Higgins vd. 1958, Herzberg vd. 1963).

Bu kapsamdaki diğer bir önemli çalışmada ise Mead ve Truhlar, çekirdek koordinatlarının kapalı bir yörüngeyi takip etmesi sonucunda elektronik durumların bir faz kazanacağını göstermiş ve bunu sonsuz küçük çevrimler için genelleştirmeyi başarmıştır (Mead ve Truhlar 1979).

Tarihsel süreçte ortaya konulan tüm bu öncü çalışmalarla şekillenen geometrik faz düşüncesi, M. Berry’nin “Adiyabatik değişikliklere eşlik eden kuantal faz faktörleri”

isimli çalışması ile bilindik tanımına kavuşmuştur (Berry 1984). M. Berry fizik açısından ufuk açıcı çalışmasında, dış parametrenin, dolayısıyla Hamiltonyenin çok yavaş şekilde değiştirilmesi sonucunda, adiyabatik teoremin gereği olarak sistemin herhangi bir anda anlık Hamiltonyeninin özdurumunda olacağı sonucundan hareketle, Hamiltonyenin ilk formuna dönse bile sistemin ancak bilindik dinamik faza14 ek bir faz faktörü katkısıyla ilk durumuna dönebileceğini göstermiştir. Bu faz faktörü, adiyabatik olarak evrilen sistemin, önceki bir zamanda kendisinden ayrılan ve Hamiltoniyeni sabit tutulan bir başka sistemle bir araya getirilmesi sonucunda meydana gelecek girişim olayında gözlenebilir.

10 Dış parametrelerin çevrimsel olarak değiştirilmesi yoluyla yapılan paralel-taşıma altında dejeneredir.

11Özvektörlerin işaret değiştirmeleri, ancak parametrelerin izlediği çevrimin, taşınan durumların dejenereliğini çevrelemesiyle mümkün olur.

12 Born-Oppenheimer (adiyabatik) yaklaşımında, çekirdek koordinatlarının, elektronların kuantum durumlarının sınırlandırıcı parametreleri oldukları kabul edilir.

13 Bu, reel ve simetrik matrislerin 𝜋 anholonomisidir ve takip eden süreçte G. Herzberg ve Longuet- Higgins tarafından genelleştirilmiştir.

14 Detaylı bilgi için Bkz. 2.3 Özel Dinamik Fazlar Bölümü.

(20)

13

Sistemin 𝐻 Hamiltonyeninin, 𝑩 = (𝑋, 𝑌, … ) dış parametresindeki15 değişime bağlı olarak değiştiği varsayımı parametre uzayında betimlenen kapalı bir yörünge üzerinde 𝑡 = 0 anından 𝑡 = 𝜏 anına kadar evrilen sistemin Hamiltonyeni, 𝑩(𝜏) = 𝑩(0) olmak üzere, 𝐻(𝑩(𝑡)) şeklindedir. Burada, adiyabatik yaklaşımın kullanılabilmesi için 𝜏 zamanının çok büyük olması gerekir. Bilindiği üzere, göreli olmayan kuantum mekaniği çerçevesinde sistemin durumu |𝜓(𝑡)⟩ , zamana bağlı Schrödinger denklemine göre evrilir:

𝐻(𝑩(𝑡))|𝜓(𝑡)⟩ = 𝑖 𝑑

𝑑𝑡|𝜓(𝑡)⟩ (2.1)

Sistemin zamana bağlı Hamiltonyeni için, 𝑛 kuantum sayısıyla etiketlenen, anlık |𝑛(𝑩)⟩

özvektörleri16, baz vektörü17 olarak seçilerek, 𝐸𝑛(𝑩) enerjileri ile,

𝐻(𝑩)|𝑛(𝑩)⟩ = 𝐸𝑛(𝑩)|𝑛(𝑩)⟩ (2.2)

özdeğer eşitliğini sağlarlar. Aynı zamanda (2.2) denklemi, dış parametrenin alacağı farklı değerlerde |𝑛(𝑩)⟩ özdurumlarının fazları arasında bir ilişkinin olmadığı anlamını taşır.

Hamiltonyenin enerji özdurumları dejenere olmadıklarından, sistemin evrilme süreci boyunca herhangi bir şekilde enerji seviyelerinin çakışması da söz konusu değildir.

Gelinen aşamada, adiyabatik yaklaşımın rolü ortaya konulan problemde açıkça tanımlanmalıdır. Evrilme sürecinin adiyabatik olması, sistemin durumunun değişmemesi- ni garanti ederken zamansal bağımlılığını değiştirir. Yani sistem, tüm bu adiyabatik evrilme süreci boyunca, başlangıç Hamiltonyeninin aynı (izdüşümsel Hilbert uzayında tanımlı) anlık özdurumunda kalırken, fiziksel olarak etkilenmeyen sistemin (Hilbert uzayında tanımlı) durum vektörü bilindik dinamik faza (𝜃𝑛) ek bir faz (𝛾𝑛) kazanır:

15 Foucault sarkacı için yönü radyal birim vektör ile verilen yerel dikeye ve 𝜋 fazı için nükleer koordinatlara benzer biçimde seçilen dış parametreden söz edilmektedir.

16 Burada, anlık özvektörlerin ayrık oldukları kabul edilmektedir ve 𝑩(𝑡) = 𝑩 gösterimi ifadelerin sadeliği açısından kullanılmıştır.

17 Zamana bağlı |𝑛(𝑩)⟩ özvektörleri tam ve ortonormal olduklarından baz vektörü olarak kullanılabilirler.

(21)

14

|𝜓(𝑡 = 0)⟩ = |𝑛(𝑩(𝑡 = 0))⟩ → |𝜓(𝑡)⟩ = 𝑒𝑖[𝜃𝑛(𝑡)+𝛾𝑛(𝑡)]|𝑛(𝑩(𝑡))⟩ (2.3)

Burada18, 𝛾𝑛 dış parametrenin adiyabatik yaklaşımlar altında izlediği çevrim boyunca tek değerli olan [𝛾𝑛(0) ≠ 𝛾𝑛(𝜏)] ve 𝑩 cinsinden yazılamayan, integrallenemez geometrik faz faktörüdür. 𝛾𝑛(𝑡) fonksiyonu, (2.3) denklemindeki |𝜓(𝑡)⟩ durum vektörünün (2.1) ile verilen zamana bağlı Schrödinger denklemini sağlaması gereğinden hareketle kolaylıkla elde edilebilir:

𝐻(𝑩)𝑒𝑖[𝜃𝑛(𝑡)+𝛾𝑛(𝑡)]|𝑛(𝑩)⟩ = 𝑖 𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑖[𝜃𝑛(𝑡)+𝛾𝑛(𝑡)]|𝑛(𝑩)⟩ (2.4)

(2.4) eşitliğinin üstel çarpan dışındaki sağ tarafı (RHS),

𝑅𝐻𝑆 = − 𝑑

𝑑𝑡[𝜃𝑛(𝑡) + 𝛾𝑛(𝑡)]|𝑛(𝑩)⟩ + 𝑖 𝑑

𝑑𝑡|𝑛(𝑩)⟩ (2.5)

biçimindedir ve bulunan ifadenin (2.3) eşitliğinde yerine yazılmasının ardından, eşitliğin her iki tarafı soldan ⟨𝑛(𝑩)| ile çarpılır ve dinamik faz tanımından da yararlanılarak 𝑡 üzerinden integre edilirse,

∫ ⟨𝑛(𝑩)|

𝑡 0

𝛾𝑛̇ |𝑛(𝑩)⟩𝑑𝑡− 𝑖 ∫ ⟨𝑛(𝑩)| 𝑑

𝑑𝑡|𝑛(𝑩)⟩

𝑡 0

𝑑𝑡 = 0 (2.6)

denklemine ulaşılır. Böylelikle,

𝑖⟨𝑛(𝑩)| 𝑑

𝑑𝑡|𝑛(𝑩)⟩ = 𝑖⟨𝑛(𝑩)|𝛁𝑩|𝑛(𝑩)⟩𝑩̇ (2.7)

18 Dinamik fazlar, sistemin dinamiklerine ve zamana bağlı olarak hemen her kuantum mekaniksel evrilme sürecinde ortaya çıkan faz faktörleridir:

𝜃𝑛(𝑡) = ∫ 𝐸𝑛(𝑡)𝑑𝑡′

𝑡

0

Kuantum mekaniğinde beklenen değer ifadesi dalga fonksiyonu ve bunun karmaşık eşleniğini birlikte içerdiklerinden, tekil bölge barındırmayan uzayın tümü üzerinden alınacak integralde kaybolurlar.

(22)

15

sonucundan hareketle 𝛾𝑛(𝑡) fonksiyonun ifadesi bulunur:

𝛾𝑛(𝑡) = 𝑖 ∫ ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩|𝑛(𝑩)⟩ ∙ 𝑑𝑩

𝑩𝒔

𝑩𝒊

(2.8)

Parametre uzayında izlenen çevrimsel yörünge (𝑩(𝜏) = 𝑩(0)) göz önünde bulundurulduğunda, 𝑡 = 𝜏 anında ortaya çıkan geometrik faz değişimi,

𝛾𝑛 = 𝑖 ∮⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩ ∙ 𝑑𝑩 (2.9)

formundadır. Görüldüğü gibi parametre uzayında kapalı bir çizgi integrali ile bulunan 𝛾𝑛, adiyabatik yaklaşımın korunmasını sağlayacak kadar yavaş olmak kaydıyla, yörüngenin ne şekilde izlendiğinden bağımsızdır. |𝑛(𝑩)⟩ özdurumunun normalizasyonu,

0 = 𝜵𝑩⟨𝑛(𝑩)|𝑛(𝑩)⟩ = ⟨𝛻𝐵 𝑛(𝑩)|𝑛(𝑩)⟩ + ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩

= ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩+ ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩

= 2𝑅𝑒⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩ (2.10)

⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩ teriminin reel kısmının olmadığına, yani saf imajiner bir terim olduğuna işaret eder. Bu noktadan hareketle, 𝛾𝑛 geometrik faz değişiminin kesinlikle reel olacağı aşikardır. |𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩ ifadesinin hesaplanabilmesi açısından (2.9) denklemindeki kapalı çizgi integralinin, Stokes’ teoremi kullanılarak yüzey integraline dönüştürülmesi matematiksel olarak kolaylık sağlayacaktır19.

𝛾𝑛 = 𝑖 ∮ ⟨𝑛|𝜵𝑛⟩ ∙ 𝑑𝑩 = 𝑖 ∬[𝛁 × ⟨𝑛|𝜵𝑛⟩] ∙ 𝑑𝑺

𝑆(𝐶) 𝐶

(2.11)

19 Burada, vektörlerin bilindik hesaplamaları kullanılarak problemin ele alınabilmesi açısından, parametre uzayı üç boyutlu olarak kabul edilecektir. Daha yüksek boyutlu parametre uzayları için bir genelleştirme yapılması mümkün olmakla birlikte bu çalışmanın kapsamı dışında bırakılmıştır. Konu ile ilgili detaylı bilgi için Bkz. (Berry 1984).

(23)

16 Eşitliğin sağ tarafındaki rotasyonel ifadesi,

[𝜵 × ⟨𝑛|𝜵𝑛⟩]𝑖 = 𝜖𝑖𝑗𝑘𝛻𝑗⟨𝑛|𝛻𝑘𝑛⟩ = 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝛻𝑘𝑛⟩ (2.12)

biçiminde düzenlenerek20 (2.9)’da yerine yazılırsa,

𝛾𝑛 = 𝑖 ∬ 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝛻𝑘𝑛⟩

𝑺(𝑪)

𝑑𝑆𝑖 (2.13)

sonucuna ulaşılır. Bu aşamada, enerji özdurumlarının tamlık bağıntısından21 yararla- nılarak,

𝛾𝑛 = 𝑖 ∑ ∬ 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝑚⟩⟨𝑚|𝛻𝑘𝑛⟩

𝑆(𝐶)

𝑑𝑆𝑖

𝑚

(2.14)

toplam ifadesi 𝑚 = 𝑛 ve 𝑚 ≠ 𝑛 durumları için,

𝛾𝑛 = 𝑖 ∬ 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝑛⟩⟨𝑛|𝛻𝑘𝑛⟩

𝑆(𝐶)

𝑑𝑆𝑖+ 𝑖 ∑ ∬ 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝑚⟩⟨𝑚|𝛻𝑘𝑛⟩

𝑆(𝐶)

𝑑𝑆𝑖

𝑚≠𝑛

(2.15)

olarak ayrıştırıldığında eşitliğin sağ tarafındaki ilk terimin sıfır olacağı açıktır. Bu nedenle, geometrik faz değişimi,

𝛾𝑛 = −𝐼𝑚 ∑ ∬ 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝑚⟩⟨𝑚|𝛻𝑘𝑛⟩

𝑆(𝐶)

𝑑𝑆𝑖

𝑚≠𝑛

(2.16)

biçimindedir ve kapalı halde,

20 (2.12) denkleminde 𝜖𝑖𝑗𝑘𝛻𝑗⟨𝑛|𝛻𝑘𝑛⟩ = 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝛻𝑗𝑛|𝛻𝑘𝑛⟩ + 𝜖𝑖𝑗𝑘⟨𝑛|𝛻𝑗𝛻𝑘𝑛⟩ olmakla birlikte eşitliğin sağ tarafında yer alan ikinci terim, anti-simetrik ve simetrik tensörlerin çarpımını barındırdığından sıfırdır.

21 Burada zikredilen tamlık bağıntısı ∑|𝑚⟩ ⟨𝑚| = 𝐼 şeklindedir.

(24)

17

𝛾𝑛 = −𝐼𝑚 ∑ ∬[⟨𝜵𝑛|𝑚⟩ × ⟨𝑚|𝜵𝑛⟩]

𝑆(𝐶)

∙ 𝑑𝑺

𝑚≠𝑛

(2.17)

şeklinde yeniden yazılabilir. (2.17) denkleminde yer alan ⟨𝑚|𝜵𝑛⟩ ifadesi, (2.2) ile verilen anlık özdeğer eşitliği kullanılarak bulunabilir. Bu kapsamda, anlık enerji özdeğer denkleminin gradiyenti alınarak, soldan ⟨𝑚| ile çarpılması yeterlidir:

⟨𝑚|𝜵𝑛⟩ =⟨𝑚|𝜵𝐻|𝑛⟩

𝐸𝑛 − 𝐸𝑚 (2.18)

(2.17) ve (2.18) denklemleri birleştirilirse, 𝑽𝒏(𝑩),

𝑽𝒏(𝑩) = 𝐼𝑚 ∑ ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩𝐻(𝑩)|𝑚(𝑩)⟩ × ⟨𝑚(𝑩)|𝜵𝑩𝐻(𝑩)|𝑛(𝑩)⟩

(𝐸𝑚(𝑩) − 𝐸𝑛(𝑩))2

𝑚≠𝑛

(2.19)

olmak üzere, geometrik faz değişimi açıkça bulunmuş olur:

𝛾𝑛 = − ∬ 𝑽𝒏(𝑩)

𝑺(𝑪)

∙ 𝑑𝑺 (2.020)

(2.19) ve (2.20) denklemlerinde, (2.9) eşitliğinden farklı olarak, |𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩ terimine bağımlılık ortadan kalktığından, farklı parametrelerle betimlenecek özdurumlar arasındaki faz ilişkileri önemsiz hale gelmiştir. Yine, (2.18)’den de görülebileceği üzere

|𝑛(𝑩)⟩ ve |𝑚(𝑩)⟩ özdurumları, parametre uzayında tek değerli olmak zorunda değildir.

Bir başka deyişle, (2.2) anlık özdeğer eşitliğinin herhangi bir sonucu 𝑽𝒏(𝑩) ’yi dolayısıyla geometrik faz değişimini etkilemeksizin kullanılabilir. (2.20) denkleminin bu formda yazılması, (2.11) denklemi ile karşılaştırılabilmesi açısından da oldukça önemlidir: 𝑽𝒏(𝑩), ⟨𝑛|𝜵𝑛⟩ vektörünün rotasyonelidir ve ⟨𝑛|𝜵𝑛⟩ vektörü tek değerli

|𝑛(𝑩)⟩ özdurumunun fazına açıkça bağımlıdır. Burada bahsedilen faza bağımlılık,

|𝑛(𝑩)⟩ → 𝑒−𝑖𝑓(𝑩)|𝑛(𝑩)⟩ ⟹ ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩𝑛(𝑩)⟩ → ⟨𝑛(𝑩)|𝜵𝑩 𝑛(𝑩)⟩ + 𝑖𝜵𝑩𝑓(𝑩) (2.21)

(25)

18

şeklindedir. Ayrıca, (2.21) ifadesi skaler ve vektör potansiyel çiftleri (𝜙, 𝑨) için verilen ayar dönüşümü tanımlarını çağrıştırmaktadır22. Burada, ⟨𝑛|𝜵𝑛⟩ vektörü yegâne vektör değilken, rotasyoneli olan 𝑽𝒏(𝑩) ise tek değerlidir (Pak 2014). Bu noktada, bir sonraki bölümün sonunda detaylandırılacağı üzere, 𝐼𝑚⟨𝑛|𝜵𝑛⟩ teriminin vektör potansiyel- benzeri, 𝑽𝒏(𝑩) teriminin ise manyetik alan-benzeri fiziksel niceliklere karşılık gelecekleri açıktır.

Tüm bu çıkarımlar ışığında geometrik fazların, yalnızca izlenen yolun geometrisine ve taşınan fiziksel duruma bağlı oldukları söylenebilir. Örneğin, parçacıkların kütlesinden, zamandan, Planck sabitinden, dalga boyundan ya da manyetik alandan bağımsız olarak ortaya çıkan geometrik fazlar, dış parametre cinsinden yazılamaz ve dolayısıyla integrallenemezler. Bununla birlikte, tek değerli değillerdir. Yani, parametre uzayında izlenen kapalı yörüngede başlangıç noktasına yeniden ulaşıldığında sıfırdan farklı bir değer alabilirler (Çıldıroğlu 2015).

Fizikte geometrik faz düşüncesinin gelişimi, M. Berry’nin yukarıda detaylandırılan önemli çalışmasının ardından, Wilczek ve Zee’nin Abelyen olmayan dejenere durumlar için geometrik fazların karşılığını keşfettikleri, bir sonraki aşamada ise Hannay’ın klasik hareket için, kuantum mekaniksel fazlarla ilgili açıları (Hannay Açıları) türettiği araştırmalarla devam etmiştir (Wilczek ve Zee 1984, Hannay 1985). (Wilczek ve Zee 1984, Hannay 1985). Takip eden sürecin en önemli çalışmalarından birisi de kuantum mekaniksel durumlar için, eşdeğerlik ilişkilerinden yararlanılarak, zaman evrilmesinin izdüşümsel Hilbert uzayında tanımlanmasına dayanan ve geometrik faz olgusunun temelinde yer alan yeterince-yavaşlık kısıtlamasının ‘matematiksel olarak’ ortadan kaldırılması olmuştur (Aharonov ve Anandan 1987). Günümüzde, yüksek enerji fiziğinden katı hal fiziğine, optikten kozmolojiye kadar fiziğin tüm alanlarında uygulamaları bulunan geometrik fazların, kökenleri ortak görünen diğer kuantum mekaniksel süreçlerle aralarındaki ilişkileri ortaya koymak ve buradan hareketle yeni teknolojiler üretmek konusunda yapılan deneysel ve teorik çalışmaların sayısı artarak devam etmektedir.

22 Bilindiği gibi elektromanyetik teoride sonsuz sayıda (𝜙, 𝑨) çifti ayar dönüşümleri altında aynı (𝑬, 𝑩) elektrik ve manyetik alan çiftine karşılık gelir.

(26)

19 2.2 Topolojik Fazlar

Temelleri 17. yüzyılda Leibnitz tarafından yapılan geometri hesaplamalarına kadar uzanan topoloji bilimi, geometrik bir nesnenin yırtılmadan, kopartılmadan ya da yapıştırılmadan gerilmesi, esnetilip bükülmesi ve buruşturulması gibi sürekli deformasyonlar (homeomorfizma ve homotopiler23) altında korunan özellikleriyle ilgilenir24. Homeomorfizma ve homotopiler altında değişmez kalan özellikler, ilgilenilen geometrik nesnenin ya da uzayın topolojik özellikleri olarak tanımlanır. Örneğin, bir çizgi ile yüzeyin aralarında ayrım yapılabilmesine olanak veren boyut, uzayın topolojik bir özelliğidir.

Topoloji, geometride olduğu gibi nesnelerin tam şekilleri ile değil bir araya getiriliş biçimleriyle ilgilenir. Örneğin, üçgen ve dairenin topoloji açısından önemi, bir boyutlu olmaları ve iki boyutlu düzlemi iç-dış kısım olarak ayırmalarıdır. Buna göre, bire bir, örten ve sürekli homeomorfizmalar vasıtasıyla kulpu olan bir kupa, simite (torus); bir çay kaşığı ise küreye dönüştürülebilir (bunun tersi de doğrudur) ancak, bir çay kaşığı simite ya da bir simit çay kaşığına dönüştürülemez. Bu bağlamda topolojik uzaylar, uzayda tanımlanan tekilliklerin varlığından kaynaklı olarak basitçe-bağlantılı ya da çoklu- bağlantılı olabilirler. Bununla birlikte çoklu-bağlantılı bir uzaydan, sürekli bir deformasyon kullanılarak basitçe bağlantılı bir uzaya geçilmesi mümkün değildir.

23 Bir geometrik nesne, kesilmeden, kopartılmadan ya da yapıştırılmadan diğer bir geometrik nesneye deforme edilebilirse bu iki nesne homeomorfiktir. Kabaca, bire bir, örten vesürekli olan bu geçiş en temel topolojik eşdeğerlik olan homeomorfizmadır. Eğer, her iki geometrik nesne de aynı nesnenin (örneğin) ezilmesinden elde edilmişse, bu iki nesne birbirlerinin homotopi eşdeğeridir.

24 Topolojinin pratikteki ilk uygulamalarından birisi, Euler’in 1736 yılında yayınladığı “Königsberg’in Yedi Köprüsü” isimli çalışma olarak kabul edilmektedir. Euler, bu çalışmasında Königsberg’in yedi köprüsünün her birini tam olarak bir kez geçecek bir yol bulunmasının olanaksız olduğunu göstermiştir. Bu sonuç, köprülerin uzunluğuna veya birbirlerinden uzaklıkları ile değil, sadece bağlantı özellikleriyle ilgilidir. Bilimsel olarak, Cauchy, Schläfli, B. Riemann ve Betti gibi dönemin önemli bilim insanlarının katkıları ile temel seviyede şekillenen topoloji, bir terim olarak (kelime kökeni açısından) ilk kez Listing’in 1847'de kendi dilinde yazdığı “Vorstudien zur Topologie" isimli makalede kullanılmıştır. Öte yandan, Henri Poincaré, 1895 yılında yayınladığı makalesiyle, o zamana dek yapılan çalışmaları düzeltmesi, birleştirmesi, geliştirerek genişletmesi ve günümüzde cebirsel topolojinin bir parçası olarak görülen homotopi ve homoloji kavramlarını ortaya koyması açısından modern topolojinin kurucusu olarak bilinmektedir.

(27)

20

Fizikte, elektrik alan ya da manyetik alan gibi bir fiziksel nesne kullanarak yaratılan tekillikler göz önünde bulundurularak çoklu-bağlantılı bir uzay yaratılabilir. Bir başka deyişle, parçacıkların hareketleri boyunca bu fiziksel nesneyle etkileşmemesinin sağlandığı bölgelerin oluşturulması, uzayın çoklu-bağlantılı olarak betimlenmesi açısından yeterlidir. Yaratılan tekilliklerin etrafında oluşturulacak kapalı bir yörünge üzerinde hareketlerini sürdüren parçacıkların dalga fonksiyonları ölçülebilir bir faz kazanır. Bütünüyle kuantum mekaniksel süreçlerin sonucunda alınan yoldan ve yolun geometrisinden bağımsız şekilde ortaya çıkan bu fazlar, vektör potansiyel ya da vektör potansiyel-benzeri bir fiziksel niceliğin çizgi integralleri ile temellendirilirler. Bununla birlikte, yalnızca uzayın topolojisine bağlı olduklarından, kuantum mekaniksel topolojik fazlar olarak bilinirler. Bu bağlamda, topolojik fazların ortaya çıkabilmesi için, çoklu- bağlantılı uzayda hareketini sürdüren parçacıkların klasik kuvvetlerin etkisi altında olmamaları ve buna rağmen singüler bölgedeki fiziksel niceliğin değişimi ile kontrol edilebilmeleri gerekir. Bu bakış açısından hareketle, literatürde yer etmiş daha sonradan deneysel olarak da gözlemlenmiş olan, üç topolojik fazdan söz edilebilir.

Topolojik fazların ilk ve en bilindik örneği, Y. Aharonov ve D. Bohm’un “Kuantum teorisinde elektromanyetik potansiyellerin önemi” başlıklı çalışmasında25, düşünsel bir deney düzeneği vasıtasıyla ortaya konulmuştur (Aharonov ve Bohm 1959). Buna göre, elektriksel yüklü parçacıkların, çift yarıktan geçirilmelerinin ardından sonsuz uzun ve ince bir solenoidin etrafında oluşturulan kapalı yörüngeyi izlemeleri sağlanırsa, parçacıkların dalga fonksiyonları yörüngelerin yeniden bir araya geldiği noktaya yerleştirilecek bir girişimölçer yardımıyla gözlenebilecek bir faz kazanır. Solenoid sonsuz uzun ve ince olduğundan, homojen manyetik alan çizgileri elektronların hareket ettiği bölgenin çok dışından, yani parçacıklarla etkileşmeden, çevrimini tamamlar ve klasik bir kuvvete (burada Lorentz kuvveti) neden olmazlar. Klasik bakış açısıyla, manyetik alan/akı değişiminin (parçacıklar manyetik alanla etkileşmediklerinden) girişim desenini değiştirmemesi beklenir. Ancak, ortamda mevcudiyeti söz konusu olan vektör potansiyel, parçacıkların dalga fonksiyonuna kompleks bir faz faktörü olarak girerek girişim desenini

25 Burada bahsedilen çalışma iki kesimden oluşmaktadır. AB önemli çalışmalarının ilk kesiminde, elektrik alan mevcudiyetinin olmadığı bir bölgede, skaler potansiyelin hareketli parçacıkların dalga fonksiyonlarına faz katkısı olarak girerek ölçülebilir sonuçlara neden olduğunu göstermiştir. Ortaya çıkan faz faktörü, topolojik faz olarak sınıflandırılamaz. Bu tartışma, 2.3’te detaylandırılacaktır.

(28)

21

etkiler26. Vektör AB (VAB) olayı, anlaşılabileceği üzere, sonsuz uzun ve ince solenoidin bir singülerite olarak konfigürasyon uzayından çıkartılmasıyla oluşturulan çoklu- bağlantılı bir uzayda gerçekleşmektedir (Çıldıroğlu 2015). Aharonov ve Bohm’un fizikte devrim niteliğindeki bu çalışması, özünde, 1900’lerin ortalarına kadar fiziksel anlamları bulunmayan, yalnızca birer matematiksel yapı olduğu düşünülen elektromanyetik potansiyellerin27 en az alanlar kadar temel fiziksel nicelikler olabileceklerini işaret etmektedir. Süreç, ilk olarak Chambers tarafından deneysel olarak gözlenmiştir (Chambers 1960).

Topolojik fazların diğer bir örneği, 1984 yılında Y. Aharonov ve A. Casher (AC) tarafından yapılan ve manyetik dipol momenti taşıyan nötronların VAB olayına benzer şekilde tasarlanan düşünsel bir deney düzeneğindeki hareketlerini temel alan çalışmasında keşfedilmiştir (Aharonov ve Casher 1984). Nötronların, çift yarık kullanılarak ayrılan yörüngeleri, bu kez, sonsuz uzun ve ince çizgisel yük dağılımı etrafından geçirilerek birleştirilir ve parçacıkların dalga fonksiyonlarının kazandığı faz, bu noktaya yerleştirilen bir girişimölçer aracılığıyla gözlenir. İlk bakışta, çizgisel yük dağılımının, manyetik dipol taşıyıcısı parçacıkların hareketini sürdürdükleri bölgede yarattığı elektrik alan bir tedirginliğe neden olabilir. Ancak, nötronlar yüksüz parçacıklar olduklarından, elektrik alandan kaynaklanan bir Lorentz kuvvetinin etkisi altında kalmazlar. Durgun manyetik dipollerin, kaynağı hareketli olmayan elektrik alanla etkileşmeyeceği de açıktır28. Bununla birlikte; alan kaynağı durgun, dipoller hareketliyse ya da dipoller durgun, alan kaynağı hareketliyse göreli elektromanyetik etkiler ortaya çıkar29. Vektör AC olayı (VAC), nötronların durgun çerçevesinden izlenecek olunursa, elektrik alan kaynağının hareketli olması, basitçe, ortamda manyetik alan mevcudiyetinin oluşmasına neden olur. Manyetik dipollerin, dolaylı olarak bu manyetik alanla etkileşmesi, Dualite ve Özdeşlikler bölümünde detaylandırılacak olan vektör potansiyel- benzeri fiziksel bir niceliği açığa çıkartır. Bu terim parçacıkların dalga fonksiyonlarına

26 Daha sonra detaylandırılacağı üzere, burada vektör potansiyelin çizgi integralinden bahsedilmektredir.

27 Elektromanyetik ayar teorileri çerçevesinde, sonsuz sayıda doğrudan ölçülemez skaler ve vektör potansiyel (𝜙, 𝑨) çiftleri, aynı elektrik ve manyetik alan (𝑬, 𝑩) çiftine karşılık gelir.

28 Manyetik dipoller, manyetik alanla etkileşime girebilir ve genellikle ortamdaki manyetik alan mevcudiyetini sorgulamakta kullanılırlar.

29 Göreli etkilerin ortaya çıkabilmesi için 𝛽′ya göre birinci mertebeden etkilerin hesaba katılması gereken hız limitlerinde hareketlerin tanımlanmış olması gerekir.

Referanslar

Benzer Belgeler

Şimdi space-like vektör kısımlı birim time-like split kuaterniyonlar ile space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantısını verelim... Bu ise

Son bölümde ise 3 ve n−boyutlu Lorentz uzaylarında özel regle yüzeyler olan time- like B−scroll’lar tanıtılmı¸stır ve 3−boyutlu Lorentz uzayında dayanak e˘grisinin

1) Ultrasonik etki ve iyonik jelleşme yöntemleri ile sentezlenen ilaç yüklü örneklerin yükleme etkinlikleri HPLC analizi ile % 66 olarak bulunmuştur. 2) Ultrasonik etki ve

Ayrıca saf Markov durumu koruyan üniter gelişimlerin varlığı (5.21) denklemindeki iki Markov durum sınıfı için incelenmiştir. OQS ve çevresi bir Markov durumun

İnşa edilen yapılarda, kampüslerde, halen kullanımda olan kamu binalarında iç ve dış mekânda insanların erişim sağlayabileceği her noktaya ulaşan, engebe,

Test edilen sistem çok büyük olasılıkla böyle bir görüntüleme amacıyla kullanılacak olmamasına karşın, optik sistemin kaçak ışın performansının

Bu tez çalışması kapsamında, polianilin polimerinin silika kaplı demir oksit nanoparçacıklar ile katkılanması sonucu biyoaktif bileşen içerikli iletken ve manyetik alana

Mühye Köyü’nde kurulan saksı denemelerinde toprak, gübre ve kum (1:1:1) karışımı, metil bromit ile fümige edilmiştir. İlaçlamadan önce fümige edilecek sahaya plastik