1. Kuvvet Alanlar¬ve Bir Kuvvet Alan¬nda Yap¬lan · I¸ s

(1)

1. Kuvvet Alanlar¬ve Bir Kuvvet Alan¬nda Yap¬lan · I¸ s

Uzayda bir kuvvet alan¬ve yer vektörü ! r = ! r (x; y; z) olan e¼ grisinin vektörel denklemleri,

! V = X(x; y; z) ! i + Y (x; y; z) ! j + Z(x; y; z) ! k

! r = ! r (t) = x(t) ! i + y(t) ! j + z(t) ! k

olsunlar. Bu durumda

dT = ! V : d! r

dT = X(x; y; z) dx + Y (x; y; z) dy + Z(x; y; z) dz

ifadesine elemanter i¸ s ad¬verilir. O halde e¼ grisi boyunca A noktas¬ndan B noktas¬na gitmesi halinde yap¬lan i¸ s,

T

_AB

= Z

dT = Z

X(x; y; z) dx + Y (x; y; z) dy + Z(x; y; z) dz

dir.

Örnek 1.

! V = [x

²

2xy; 2xy + y

²

] vektörünün tan¬mlad¬¼ g¬bir kuvvet alan¬nda bir partikülün y = x

²

parabolü boyunca A(0; 0) noktas¬ndan B(1; 1) noktas¬na hareket etmesiyle yap¬lan i¸ si hesaplay¬n¬z.

Çözüm

X(x; y) = x

²

2xy; Y (x; y) = 2xy + y

²

olmak üzere @X

@y = 2x 6= @Y

@x = 2y oldu¼ gundan verilen kuvvet alan¬korunumlu de¼ gildir. O halde yap¬lan i¸ s yola ba¼ gl¬d¬r.

= (x; y) : y = x

²

; 0 x 1

1

(2)

olup,

T

_AB

= Z

dT = Z

X(x; y; z) dx + Y (x; y; z) dy

= Z

x

²

2xy dx + 2xy + y

²

dy

= Z

0 1

x

²

2x

³

dx + 2x

³

+ x

⁴

2xdx

= 29

30 i¸ s birimi

elde edilir.

Örnek 2.

! V = [x y + 2z; xy z

²

; 3x

²

+ 4yz] vektörünün tan¬mlad¬¼ g¬ bir kuvvet alan¬nda bir par-

tikül A(1; 0; 2) noktas¬ndan B(3; 3; 3) noktas¬na AB do¼ grusu boyunca hareket etmektedir.

Yap¬lan i¸ si hesaplay¬n¬z.

Çözüm

Verilen kuvvet alan¬ korunumlu olmay¬p, yap¬lan i¸ s yola ba¼ gl¬d¬r. A(1; 0; 2) ve B(3; 3; 3) noktalar¬n¬birle¸ stiren do¼ gru,

x 1

2 = y 0

3 = z + 2 1 = t

olmak üzere,

= f(x; y; z) : x = 2t + 1; y = 3t; z = t + 2; 0 t 1 g

olup,

T

_AB

= Z

dT = Z

X(x; y; z) dx + Y (x; y; z) dy + Z(x; y; z) dz

= 29

2 i¸ s birimi elde edilir.

2

(3)

Örnek 3. ! V = [2xz

³

+ 6y; 6x 2yz; 3x

²

z

²

y

²

] vektörünün tan¬mlad¬¼ g¬ kuvvet alan¬n¬n korunumlu oldu¼ gunu gösteriniz. Bu alanda bir partikülün A(1; 1; 1) noktas¬ndan B(2; 1; 1) noktas¬na hareket etmesiyle yap¬lan i¸ si hesaplay¬n¬z.

Çözüm: X(x; y; z) = 2xz

³

+ 6y; Y (x; y; z) = 6x 2yz ve Z(x; y; z) = 3x

²

z

²

y

²

olmak üzere

rot ! V =

! i ! j ! k

@

@x

@

@y

@

@z

2xz

³

+ 6y 6x 2yz 3x

²

z

²

y

²

= ! 0

oldu¼ gundan verilen kuvvet alan¬korunumludur ve yap¬lan i¸ s yoldan ba¼ g¬ms¬zd¬r. O halde öyle bir (x; y; z) fonksiyonu vard¬r ki,

@

@x = 2xz

³

+ 6y; @

@y = 6x 2yz; @

@z = 3x

²

z

²

y

²

yaz¬labilir. Buradan

(x; y; z) = x

²

z

³

+ 6xy y

²