E¼ ger, nüfuslar¬ile orant¬l¬olarak, örne¼ gin tuzak kurarak veya zehir

Av-Avc¬Modeli

E¼ ger, daha fazla avc¬eklersek, (2)-(3) modelinden nas¬l bir sonuç üretebiliriz?

¸

Sekil: Ortama aniden daha fazla avc¬ekleme etkisi.

Av-Avc¬Modeli

E¼ ger, nüfuslar¬ile orant¬l¬olarak, örne¼ gin tuzak kurarak veya zehir

kullanarak, her iki nüfus da azalt¬l¬rsa bu durumda ne olur? Bu durumda γ ve δ sabitler olmak üzere, yeni model

dF

dt = ( a cS ) F γF dS

dt = ( k + λF ) S δS

¸seklini al¬r. Böylece, av ve avc¬için yeni denge nüfuslar¬, s¬ras¬ile k + δ

λ ve a γ c

olur. Bu ise av¬n artmas¬ve avc¬n¬n azalmas¬demektir. O halde, halihaz¬rda do¼ gal avc¬lar¬taraf¬ndan kontrol alt¬nda tutulan av nüfusunu azaltmaya çal¬¸smak, asl¬nda ço¼ galmalar¬na yard¬m etmek demektir.

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 34 / 47

Av-Avc¬Modeli

A¸sa¼ g¬daki örnek olay bu durumu aç¬klamaya yeterli olacakt¬r: 1868 y¬l¬nda Avusturalya’da ya¸sayan bir böcek türü kazayla Amerika Birle¸sik

Devletlerine ta¸s¬n¬r ve bu böcek Amerikan turunçgil endüstrisini tehdit

etmeye ba¸slar. Böcekten kurtulmak için, Avusturalyadan onun avc¬s¬olan

u¼ gurböcekleri ithal edilir. U¼ gurböcekleri, bu böcekleri ba¼ g¬l olarak dü¸sük

bir düzeye çekmeyi ba¸sar¬rlar. Daha sonralar¬, böcekleri yok etmek için

DDT ke¸sfedildi¼ ginde, say¬lar¬n¬daha fazla azaltmak için DDT kullan¬lmaya

ba¸slan¬r. Fakat bu ilaç u¼ gurböcekleri için de öldürücü oldu¼ gu için, ilac¬n

kullan¬m¬sonucu zararl¬böcek say¬s¬n¬n¬n artt¬¼ g¬görülmü¸stür.

Av-Avc¬Modeli

Ço¼ gu avc¬, birden çok tür ile beslenir. Ço¼ galma için do¼ gal avlar¬n¬n olmas¬

tercih nedeni olmas¬na ra¼ gmen, e¼ ger avc¬lar alternatif bir kaynaktan da besleniyorsa, bu durumda olas¬bir alternatif model,

dF

dt = ( a bF cS ) F dS

dt = ( α βS + λF ) S sistemidir. b = 0 = β ve a = α durumunda, model

dF

dt = ( a cS ) F (20)

dS

dt = ( a + λF ) S (21)

olup, çözümü

S ( t ) = ( λF

+ cS

) e

λ

0

e

+ c

F ( t ) = ( λF

+ cS

) e

λ + c

0

e

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 36 / 47

Av-Avc¬Modeli

Durum 1. a > 0 :

λ ve c (> 0 ) ile verilen etkile¸simden ba¼ g¬ms¬z olarak t ! ∞ için F ( t ) ! ⁰ ve S ( t ) ! ∞ dur. Bunun anlam¬, etkile¸sim durumunda av ve avc¬ayn¬

pozitif büyüme oran¬na sahip oldu¼ gu zaman, av yok olacakt¬r.

Durum 2. a = 0 :

lim

a!⁰⁺

F ( t ) = ( λF

+ cS

) λ + c

0

e

lim

a!⁰⁺

S ( t ) = ( λF

+ cS

) λ

0

e

+ c olup, t ! ∞ için F ( t ) ! ^{0 ve S} ( t ) !

^dir.

Durum 3. a < 0 :

t ! ∞ için F ( t ) ! ^{0 ve S} ( t ) ! ^{0 d¬r.}

Karma¸sa

Karma¸sa

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P /K ) (22) lojistik modeli Euler yöntemi ile çözersek

P ( t + h ) P ( t ) + hP

( t ) (23)

= P ( t ) + h ( r sP ( t )) P ( t ) . t = t

ba¸slang¬ç an¬ndan ba¸slayarak ard¬¸s¬k zaman periyodlar¬n¬

t

= t

+ h ( n = 1, 2, ... ) ile ve kar¸s¬l¬k gelen nüfuslar¬da P ( t

+ h ) ile gösterirsek

P ( t

) = P ( t

+ h ) P ( t

) + h ( r sP ( t

)) P ( t

) olup, ard¬¸s¬k iterasyonlardan elde edilen P ( t

) de¼ gerini P

ile gösterirsek

P

= P

+ h ( r sP

) P

, ( n = 1, 2, 3... ) (24) ile elde edilen P

, t

zaman¬ndaki gerçek nüfus P ( t

) e bir yakla¸s¬m verir.

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 38 / 47

Karma¸sa

¸

Simdi öyle bir nüfus kabul edelim ki, (24) itersyonlar¬n¬kullanarak hesaplanan P

yakla¸s¬mlar¬n¬n P ( t

) gerçek nüfus de¼ gerlerine

yeterince yak¬n olacak ¸sekilde bir h ad¬m uzunlu¼ gu seçilebilsin. Örne¼ gin bu,

düzenli periyodlarla k¬sa süreli üreme sezonlar¬na sahip hayvan nüfuslar¬nda

uygulanabilir. h, arka arkaya gelen üreme sezonlar¬aras¬ndaki aral¬k kabul

edilirse, bu durumda bir üreme sezonundaki P

nüfusu sadece bir önceki

sezon boyuncaki P

nüfusuna ba¼ gl¬olur ve P

, bir sonraki üreme

sezonundaki P

nüfusunu tam olarak belirleyebilir.

Karma¸sa

(24) denkleminde a = 1 + hr ve b = hs yaz¬l¬rsa P

= P

+ h ( r sP

) P

= ( 1 + hr ) P

hsP

= ( a bP

) P

(25)

denklemi elde edilir ki bu lojistik fark denklemi olarak adland¬r¬l¬r. Son olarak, (25) denkleminde

P

= ^a

b x

(26)

al¬n¬rsa,

x

= a ( 1 x

) x

(27) basit formu elde edilir.

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 40 / 47

Karma¸sa Limit döngü

Limit döngü

x

= lim

n!∞

x

var oldu¼ gunu kabul ederek, x

un a büyüme parametresine ne ¸sekilde ba¼ gl¬

oldu¼ gunu ara¸st¬ral¬m. Yani a y¬i¸slemlerde girdi ve x

u ise ç¬kt¬olarak

kabul ederek, ç¬kt¬n¬n girdiye ne ¸sekilde ba¼ gl¬oldu¼ gunu inceleyelim. Belli

bir x

de¼ gerinden ba¸slayarak (27) iterasyonlar¬n¬bulundu¼ gunda a¸sa¼ g¬daki

tablo sonuçlar¬elde edilir:

Karma¸sa Limit döngü

a lim x

1.5 0.3333 1.7 0.4118 1.9 0.4737 2.0 0.5000 2.2 0.5455 2.5 0.6000 2.8 0.6429 2.9 0.6552

3.1 0.7646 0.5580 3.3 0.8236 0.4794 3.4 0.8422 0.4520

3.5 0.8270 0.3828 0.8750 0.5009 3.52 0.8233 0.3731 0.8795 0.5121 3.54 0.8203 0.3648 0.8833 0.5218

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 42 / 47

Karma¸sa Limit döngü

a lim x

3.55 0.8278 0.3703 0.8817 0.5405 0.8127 0.3548 0.8874 0.5060 3.56 0.8333 0.3738 0.8808 0.5509 0.8086 0.3488 0.8899 0.4945 3.565 0.8332 0.3724 0.8815 0.5523 0.8083 0.3475 0.8905 0.4860 0.8372 0.3769 0.8799 0.55659 0.80649 0.3457 0.8912 0.4954

3.57 kaos

3.597 0.8993 0.5008 0.8328 0.3641 0.8857 0.4386 0.8579 0.3927 0.8753 0.4183 0.8657 0.5967 0.7900 0.3257

3.599 kaos

3.60 0.8972 0.5275 0.8216 0.3525 0.9000 0.4474 0.8546 0.3877 0.8772 0.5794 0.7984 0.3320

3.61 kaos

3.835 0.958634 0.494515 0.152075

Karma¸sa Limit döngü

Tablodan görüldü¼ gü gibi x

= 0.5 ba¸slang¬ç nüfus kesiri ile ba¸sland¬¼ g¬nda a parametresinin 1.5 < a < 3 de¼ gerleri için (27) iterasyonlar¬yak¬nsak olup ( x

) belli bir x

de¼ gerine yak¬nsar (örne¼ gin a = 1.5 için x

! ^{0.33 olur).}

a > 3 için ( x

) dizisinin iki farkl¬noktaya (alterne) yak¬nsad¬¼ g¬n¬görürüz (örne¼ gin a = 3.10 için x

! ^{0.5580 (n tek) ve x}

! ^0.7646 (n çift) olur).

Yani, yakla¸s¬k olarak 3 < a < 3.5 için iki nüfuslu bir limit döngü vard¬r.

a = 3.5 oldu¼ gunda, ( x

) nin bu kez 4 farkl¬nüfusa yakla¸st¬¼ g¬n¬, yani

"periyodun ikiye katland¬¼ g¬n¬" farkediyoruz a = 3.55 de 8 periyodlu, a = 3.565 de 16 periyodlu limit döngülerin olu¸stu¼ gunu görmekteyiz. Peki bu periyod katlamas¬bu düzenle mi devam eder? a ! ^{3.570 için}

parçalanmalar¬n çok h¬zl¬bir ¸sekilde katlanarak bir karma¸ saya gitti¼ gini görmekteyiz. Daha ilginç olan, a = 3.59 ile a = 3.60 aras¬nda ondört periyodlu bir döngü ve katl¬parçalanmalar¬n¬, a = 3.60 ile a = 3.61 aras¬nda oniki periyodlu bir döngü ve katl¬parçalanmalar¬n¬ve aral¬k duyarl¬l¬¼ g¬n¬art¬rarak, örne¼ gin son olarak , a = 3.83 yak¬nlar¬nda kaosdan dönülerek bu kez üç limitli bir döngünün ortaya ç¬kt¬¼ g¬n¬ve a = 3.9 a kadar tekrar alt¬, oniki, yirmidört vs. periyodlu bölünmeler olu¸stu¼ gunu görebiliriz.

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 44 / 47

Karma¸sa Limit döngü

Üç periyodlu döngünün görülmesi önemlidir, çünkü 1975 y¬l¬nda J.York ve

T.Y.Li, "üç periyodlu bir döngünün" varl¬¼ g¬n¬n; her say¬da periyodik

döngünün yan¬s¬ra, hiç periyodik olmayan kaotik döngülerin de varl¬¼ g¬na

i¸saret etti¼ gini ispatlam¬¸slard¬r. "Üç periyod kaosa götürür".

Karma¸sa Limit döngü

Kaos hakk¬nda vurgulanmaya de¼ ger son nokta; …zikçi M. Feigenbaum’um 1970 li y¬llarda ke¸sfetti¼ gi Feigenbaum sabiti

lim

a

a

a

a

= 4.66920160981...

dir. Bu, kaotik davran¬¸s¬n da asl¬nda bir düzen içerdi¼ gini göstermektedir.

¸

Sekil: x

= 0.5 için yaba görüntüsü. Dikey beyaz bo¸sluklarda kaosdan dönülüp, tekrar limit döngüler ba¸slar.

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^{MATEMAT·IKSEL B·IYOLOJ·I}7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 46 / 47

Karma¸sa Limit döngü