Çok boyutlu q-deforme fermiyonik newton salınıcısı için inhomojen kuantum değişmezlik grubu

(1)

6$.$5<$h1ø9(56ø7(6øT.C.

)(1%ø/ø0/(5ø(167ø7h6h

ÇOK BOYUTLU Q- '()250()(50ø<21ø.

1(:7216$/,1,&,6,ødø1ø1+202-(1.8$1780

'(öøù0(=/ø.GRUBU

<h.6(./ø6$167(=ø

SEMRA ARLI

(QVWLW$QDELOLP'DOÕ : )ø=ø.

7H]'DQÕúPDQÕ : Yrd. Doç. Dr. Ali Serdar ARIKAN

Haziran 2011

(2)

(3)

ii

7(ù(..h5

dDOÕúPDODUÕPER\XQFD\DUGÕPODUÕQÕEHQGHQHVLUJHPH\HQYHKer zaman yol gösteren GH÷HUOLKRFDP<UG'Ro'U$OL6HUGDU$5,.$1¶oRNWHúHNNUHGHULP

=RUOX JHoHQ o \ÕO ER\XQFD VDEÕUODUÕ LOH EDQD GHVWHN RODQ KHU ]DPDQ \DQÕPGD Ye

\DUGÕPFÕRODQ FDQÕPDLOHPH WHúHNNUOHU

(4)

iii

7(ù(..h5... ii

ødø1'(.ø/(5... iii

6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø... iv

ù(.ø//(5/ø67(6ø... vi

ÖZET... vii

SUMMARY... viii

BÖLÜM 1. *ø5øù... 1

BÖLÜM 2. Q DEFORME NEWTON SALINICISI…... 6

BÖLÜM 3. 6ø0(75ø9(.8$17800$75ø6*583/$5,«««««….………… 16

BÖLÜM 4. ÇOK BOYUTLU Q-'()250( )(50ø<21ø. 1(:721 6$/,1,&,6, ødø1ø1+202-(1.8$1780'(öøù0(=/ø.*58%8«………... 22 22 BÖLÜM 5. SONUÇ………..………... 35

KAYNAKLAR……….. 36

g=*(d0øù……….……….. 40

(5)

iv

**6ø0*(LER 9(.,6$/70$/$5/ø67(6ø**

: Dalga fonksiyonu

: Deformasyon parametresi : Yay sabiti

: Potansiyel enerji fonksiyonu : Hamiltonyen operatörü : Momentum operatörü : Konum operatörü : Kütle

: Kuvvet

:$oÕVDOIUHNDQV : Planck sabiti

: Yok etme operatörü : Yaratma operatörü : Poisson parantezi :6D\Õoperatörü

: Kronecker delta fonksiyonu : R matrisi

:0DWULVWHQVRUoDUSÕPÕ : ko-oDUSÕP

: ko-birim : Antipod

: Fermiyonik yok etme operatörü : Fermiyonik yaratma operatörü

(6)

iv GL(n,R) : Genel lineer grup

SO(n) :g]HOGLNG|QúPPDWULVL

(7)

vi

ù(.ø//(5/ø67(6ø

ùHNLO.1. Bir ݎԦ YHNW|UQQELOHúHQOHULQLQ[\YHݔ^ᇱݕ^ᇱ koordinat sisteminde gösterilmesi... 18

(8)

vii

Anahtar kelimeler: 1HZWRQ6DOÕQÕFÕVÕ'HIRUPH)HUPL\RQ&HELUL6LPHWUL.XDQWXP

0DWULV*UXSODUÕ5-Matrisi

%XoDOÕúPDGDGboyutlu q deforme fermiyonik Newton SDOÕQÕFÕVLVWHPLQLJ|]|QQH

DOGÕN YHEX VLVWHPLQ LQKRPRMHQNXDQWXPVLPHWUL JUXEXQXQYDUOÕ÷ÕQÕ LQFHOHGLNG

için kuantum matris grubunun elemanlarÕ DUDVÕQGDNL VÕUD GH÷LúWLUPH ED÷ÕQWÕODUÕ

KDNNÕQGDNLELOJL\LLoHUHQ5PDWULVLQLEXOGXN

(9)

viii

THE INHOMOGENEOUS QUANTUM INVARIANCE GROUP

OF THE Q-DEFORMED FERMIONIC NEWTON OSCILLATOR

SUMMARY

Key Words: Newton Oscillator, Deformed Fermion Algebra, Symmetry, Quantum Matrix Groups, R-Matrix

In this study we consider d dimensional q deformed fermionic Newton oscillator system and investigate the existence of the inhomogeneous quantum symmetry group of this system. For d=2 case, we find the R matrix which includes all information about the commutation relations among the elements of quantum matrix group.

(10)

0HNDQLN IL]L÷LQ HQ HVNL GDOÕGÕU 0DNURVNRELN |OoHNWHNL FLVLmlerin, yani gündelik KD\DWÕPÕ]GD NDUúÕODúWÕ÷ÕPÕ] ER\XWODUGDNL FLVLPOHULQ NRQXPODUÕQÕQ ]DPDQOD GH÷LúPHVL

YH\DGXUXPYH\DSÕODUÕQÕQER]XOPDGDQNDODELOPHVLyle ilgili problemleri inceler. Newton

\DVDODUÕ DGÕQÕ DODQoWHPHO \DVD]HULQHNXUXODQ PHNDQLN\\¶GD EDúWDG¶$OHPEHUW

/DJUDQJH+DPLOWRQROPDN]HUHSHNoRNDUDúWÕUPDFÕQÕQNDWNÕODUÕ\ODQHUGH\VHNXVXUVX]

ELU VLVWHPDWLN \DSÕ\D NDYXúWXUXOPXúWXU 1HZWRQ \DVDODUÕ ]HULQH NXUXODQ EWQ \DSÕ

bugün Klasik Mekanik veya Newton mekaQL÷LRODUDNLVLPOHQGLULOPHNWHGLU[1].

Klasik mekanik cisLPOHULQ KDUHNHWOHULQL DQFDN FLVLPOHULQ ER\XWODUÕQÕQ YH VUDWOHULQLQ

EHOLUOL VÕQÕUODU LoHULVLQGHNDOPDVÕGXUXPXQGD, GHQH\ YHJ|]OHP VRQXoODUÕ\ODWDPRODUDN

X\XúDQELUELoLPGHDoÕNOD\DELOLU6ÕQÕUODUÕQGÕúÕQDoÕNÕOGÕ÷ÕQGD, YHUGL÷LVRQXoODUGHQH\YH

J|]OHPVRQXoODUÕ\ODX\XúPD] Bu sHEHSOHGHV|]NRQXVXVÕQÕUODUGD Klasik Mekanik Teori yerini Özel Rölativite, Genel Rölativite, .XDQWXP 0HNDQL÷L YHya Kuantum Alan TeorileriQHEÕUDNÕU.

.XDQWXP PHNDQL÷L DWRP DOWÕ G]H\GHNL VLVWHPOHULQ GDYUDQÕúODUÕQÕn DoÕNODQDELOPHVLQL

VD÷ODU IúÕ÷ÕQGDOJDYHWDQHFLN PRGHOOHULQLQKHULNLVLQLGHJHUHNOLJ|UUYHbu modelleri birbirinin WDPDPOD\ÕFÕVÕRODUDNHOHDOÕU

Klasik fizikte dalgalar elektromanyetik dalgalar ve mekanik dalgalar olmak üzere iki ana JUXSWDWRSODQÕU'HBURJOLHGDOJDODUÕLVHNDUDNWHURODUDNKHULNLGDOJDWUQGHQGHIDUNOÕ

üçüncü bir dalgDJUXEXROXúWXUPDNWDGÕU%X dalga türüQH6FKU|GLQJHUGDOJDVÕYH\D madde GDOJDVÕdenilir [2].

'H %URJOLH GDOJDODUÕ ELU RODVÕOÕN GDOJDVÕGÕU <DQL SDUoDFÕ÷ÕQ EHOLUOL ELU ݐ DQÕQGD ݔ NRQXPXQGDEXOXQPDRODVÕOÕ÷Õ KDNNÕQGDELOJL verir. Bu tür dalgalar ߰(ݔ, ݐ) fonksiyonu LOH J|VWHULOLU YH EX IRQNVL\RQXQ IL]LNVHO DQODPÕ \RNWXU <DQL ݕ(ݔ, ݐ) gibi bir uzunluk

(11)

2

GH÷LOGLU$QFDN|߰(ݔ, ݐ)|^ଶµQLQIL]LNVHODQODPÕYDUGÕUYHSDUoDFÕ÷ÕQݐ DQÕQGDݔ konumunda EXOXQPDRODVÕOÕ÷ÕQÕLIDGHHGHU [2].

$\ÕUW HGLOHPH] LNL SDUoDFÕNOÕ bir sistem için |߰(ݍ_ଵ,ݍ_ଶ)|^ଶifadesi, SDUoDFÕNODUÕQݍ_ଵ’de ve ݍ_ଶ¶GH EXOXQPD RODVÕOÕ÷ÕQÕ YHULU 3DUoDFÕNODUÕQ \HQLGHQ VÕUDODQPDVÕ GXUXPXQGD \DQL ݍ’

ODUÕQ GH÷Lú WRNXúX GXUXPXQGD EX RODVÕOÕN |߰(ݍ_ଶ,ݍ_ଵ)|^ଶ olur. ParçacÕNODU D\ÕUW HGLOHPH]

ROGX÷XQGDQ

|߰ (ݍ_ଵ,ݍ_ଶ)|^ଶ = |߰ (ݍ_ଶ,ݍ_ଵ)|^ଶ (1.1)

HúLWOL÷L\D]ÕODELOLU%XHúLWOLN

߰(ݍ_ଵ,ݍ_ଶ) =ט߰ (ݍ_ଶ,ݍ_ଵ) (1.2)

iIDGHVLQL\D]DELOPH\LPPNQNÕODU

PDUoDFÕNODUÕQGH÷LúWRNXúXGDOJD IRQNVL\RQXQXQ LúDUHWLQGHGH÷LúPH\H QHGHQROPX\RUVD

dalga fonksiyonu simetriktir ve EX SDUoDFÕNODU bozon olarak isimlendirilir (÷HU

SDUoDFÕNODUÕQ \HU GH÷LúWLUPHVL LúDUHWLQLQ GH÷LúPHVL LOH VRQXoODQÕUVD GDOJD IRQNVL\RQX

antisimetriktir denilir ve b|\OH GDYUDQDQ SDUoDFÕNODU IHUPL\RQODU RODUDN DGODQGÕUÕOÕU [3].

Bilinen tüm fermiyonlar buçuklu spine sahiptirler.

Dalga fonksiyonunun antisimetrisi IHUPL\RQ VLVWHPOHULQLQ ED]Õ |QHPOL |]HOOLNOHULQL

görmemizi VD÷ODUg\OHNLIHUPL\RQODUÕQ DQWLVLPHWULNGDOJDIRQNVL\RQXQDVDKLSROPDODUÕ

VHEHEL\OH KHUKDQJL ELU HQHUML GXUXPXQGD VSLQOHUL GH D\QÕ RODFDN úHNLOGH LNL IHUPL\RQ

EXOPDN PPNQ GH÷LOGLU %X |]HOOLN LON GHID \ÕOÕQGD HOHPHQWOHULQ SHUL\RGLN

FHWYHOLQLDoÕNODPDNLoLQ3DXOL WDUDIÕQGDQRUWD\DDWÕOPÕúYHEXVHEHSOHGH3DXOL GÕúDUODPD

iONHVL RODUDN LVLPOHQGLULOPLúWLU. Bu ilkeye göre herhangi bir enerji durumunda spin

\|QHOLPOHUL ]ÕW RODFDN úHNLOGH HQ ID]OD LNL HOHNWURQ EXOXQDELOLU Bütün elementlerin HOHNWURQLN\HUOHúLPOHULEXLONH\HJ|UHROXúPDNWDGÕU6SLQL s olan bir fermiyon için 2ݏ + 1 IDUNOÕVSLQ\|QHOLPLPPNQGU%XGXUXPGDD\QÕELUHQHUMLGzeyinde spin yönelimleri IDUNOÕ RODFDN úHNLOGH en fazla 2ݏ + 1 WDQH IHUPL\RQ EXOXQDELOLU <DQL D\QÕ HQHUML

GXUXPXQGDEXOXQDQLNLIHUPL\RQXQHQD]ELUHUNXDQWXPVD\ÕODUÕIDUNOÕROPDOÕGÕU.

(12)

Bozon sistemleri için Pauli GÕúDUODPD LONHVLQLQ JHoHUOL ROPDGÕ÷Õ DoÕNWÕU +HUKDQJL ELU

HQHUMLGXUXPXQGDNH\ILVD\ÕGDER]RQEXOXQDELOLU [4].

*HUHNNODVLNPHNDQLNJHUHNVHNXDQWXPPHNDQL÷LQGHKDUPRQLN VDOÕQÕFÕSUREOHPL|QHPOL

bir yere sahiptir. 0ROHNOOHUGH NULVWDO \DSÕODUGD WHN WHN DWRPODUÕQ GHQJH NRQXPX

FLYDUÕQGDNL WLWUHúLP KDUHNHWOHULQLQ YH ELU NRYXN LoLQGHNL HOHNWURPDQ\HWLN DODQ

VDOÕQÕPODUÕQÕQ NXDQWXP PHNDQLNVHO LQFHOHPHOHULQGH KDUPRQLN VDOÕQÕFÕ |QHPOL URO R\QDU

[5].

Harmonik sDOÕQÕFÕ KDUHNHWLQGHGHQJHNRQXPXQGDQoÕNDUÕODQSDUoDFÕ÷ÕQGHQJHNRQXPXQD

JHULoD÷ÕUÕFÕNXYYHWLGHQJH konumundan D\UÕODQSDUoDFÕ÷ÕQGHQJHNRQXPXQGDQD\UÕOPD

PLNWDUÕLOHGR÷UXRUDQWÕOÕGÕU Yani söz konusu kuvvet; k yay sabiti, x denge konumundan D\UÕOPDPLNWDUÕQÕgöstermek üzere,

F =െkx (1.3)

HúLWOL÷LLOHLIDGHHGLOHELOLUKuvvetin (െ) HNVLLúDUHWHVDKLSROPDVÕ söz konusu kuvvetin JHULoD÷ÕUÕFÕNXYYHWROPDVÕQGDQND\QDNODQPDNWDGÕU3DUoDFÕ÷DHWNL\HQNXYYHWSRWDQVLyel HQHUMLQLQQHJDWLIJUDG\DQÕ ile

F =െ^ப୚_ப୶= െkx (1.4)

úHNOLQGH gösterilebilir. Bu ifadenin integrali DOÕQDUDNpotansiyel enerji fonksiyonu için,

V =^ଵ

ଶkx^ଶ (1.5)

HúLWOL÷LHOGHHGLOHELOLU

Kuantum harmonik VDOÕQÕFÕ SUREOHPL LoLQ VLVWHPLQ +DPLOWRQ\HQL, ऴ_࢞ momentum, ़ NRQXPLúOHPFLVLROPDN]HUH

࣢ =_ଶ௠^ऴ^ೣ^మ +^ଵ

ଶ݉߱^ଶ़^ଶ (1.6)

(13)

4

HúLWOL÷L ile ifade edilebilir. %XVLVWHPLQoDUSDQODUDD\ÕUPDPHWRGXRODUDNELOLQHQbir metod çerçevesinde incelenmesi mümkündür. Bu metod hem sade bir matematik içermesi hem de DODQ WHRULVL LOH LOJLOL GLNNDWH GH÷HU \DNODúÕPODUD XIXN DoPDVÕ EDNÕPÕQGDQ

önemlidir[2,6]. Kuantum harmonikVDOÕQÕFÕSUREOHPLLoLQ+DPLOWRQ\HQRSHUDW|U,

࣢ =^ଵ_ଶ൭ට^௠ఠ_ଶ^మቀ़ െ_௠ఠ^௜ऴ^࢞ቁ ට^௠ఠ_ଶ^మቀ़ +_௠ఠ^௜ऴ^࢞ቁ + ට^௠ఠ_ଶ^మቀ़ +_௠ఠ^௜ऴ^࢞ቁ ට^௠ఠ_ଶ^మቀ़ െ_௠ఠ^௜ऴ^࢞ቁ൱ (1.7)

úeklinde \HQLGHQ \D]ÕOGÕ÷ÕQGD़ ve ऴ࢞ LúOHPFLOHULQGHQROXúDQKHUPLWLN olmayan bir ࣵ operatörünü

ܽ =_ξଶ^ఈ ቀ़ + ݅_¾ఈ^ऴ^࢞_మቁ (1.8)

HúLWOL÷LLOHWDQÕPODPDNPPNQROXU BXRSHUDW|UQKHUPLWLNHúOHQL÷L,

ܽ^ା = ^ఈ

ξଶቀ़ െ ݅_¾ఈ^ऴ^࢞_మቁ (1.9)

HúLWOL÷LLOHLIDGHHGLOHELOLUNHQ [5], ߙ sabiti,

ߙ = (^୫ன_¾ )^ଵൗଶ (1.10)

úeklinde \D]ÕODELOLUܽ ve ܽ^ାLúOHPFLOHULQLQVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕODUÕ

[ऴ_࢞,़] = െ݅¾ (1.11)

HúLWOL÷LNXOODQÕODUDN

[ܽ,ܽ^ା]=1 (1.12)

(14)

úHNOLQGH EXOXQXU %X HúLWOLNWHNL ܽ^ା ve ܽ LúOHPFLOHUL VÕUDVÕ\OD \DUDWPD ve yok etme LúOHPFLOHULRODUDNGa ELOLQLU%XFHELUVHOLIDGHER]RQRODUDN LVLPOHQGLULOHQSDUoDFÕNODUÕQ

FHELUVHO\DSÕVÕKDNNÕQGDELOJLYHUPHVLDoÕVÕQGDQGDROGXNoD|QHPOLGLU

ܽ^ଶ = 0 (1.13)

eúLWOL÷L LOHEHUDEHUHúLWOL÷LQGHNLoÕNDUPD LúOHPL \HULQHWRSODPD LúOHPLJ|]önüne DOÕQGÕ÷ÕQGD IHUPL\RQ RODUDN LVLPOHQGLULOHQ SDUoDFÕNODUÕ FHELUVHO RODUDN LIDGH HGHQ

HúLWOLNOHUL HOGH HWPHN PPNQ ROXU HúLWOL÷LQLQ KHUPLWLN HúOHQL÷LQLQ, Pauli GÕúDUODPDLONHVLQLQPDWHPDWLNVHOELULIDGHVLROGX÷XQXJ|UPHNKLode ]RUGH÷LOGLU

dDOÕúPDPÕ]ÕQ LNLQFL E|OPQGH GHIRUPH SDUoDFÕN FHELUOHULQGHQ ݍ-deforme Newton VDOÕQÕFÕVÕRODUDNELOLQHQFHELUVHOVLVWHPKDNNÕQGD|]HWELUELOJLYHULOGL

*|] |QQH DOGÕ÷ÕPÕ] SUREOHPLQ ݀-boyutlu ݍ-GHIRUPH IHUPL\RQLN 1HZWRQ VDOÕQÕFÕVÕQÕQ

inhomojen VLPHWULVLQLQYDUOÕ÷ÕQÕQDUDúWÕUÕOPDVÕROPDVÕVHEHEL\OHGHEXDUDúWÕUPDQÕQKDQJL

\DNODúÕPODU oHUoHYHVLQGH JHUoHNOHúWLULOGL÷L KDNNÕQGD ELOJL YHUHELOPHN LoLQ oQF

bölümdeVLPHWULNDYUDPÕVLPHWULQLQPDWHPDWL÷LYHNXDQWXPPDWULVJUXSODUÕLOe ilgili özet bLUELOJLYHULOPLúWLU

dDOÕúPDQÕQG|UGQFE|OPQGHGH݀-boyutlu ݍ-GHIRUPHIHUPL\RQLN1HZWRQVDOÕQÕFÕVÕ

VLVWHPLQLQLQKRPRMHQNXDQWXPVLPHWULVLQLQYDUOÕ÷ÕQÕQQDVÕOLQFHOHQGL÷LGHWD\OÕELUúHNLOGH

RUWD\DNRQXOPXúWXU

(15)

BÖLÜM 2. Q DEFORME NEWTON SALINICISI

%X E|OPGH 1HZWRQ VDOÕQÕFÕVÕ RODUDN LVLPOHQGLULOHQ VLVWHPLQ EX LVLPOHQGLUPHnin

\DSÕOPDVÕQDVHEHSRODQ|]HOOLNOHULKDNNÕQGDELOJLYHULOHFHNWLU.XDQWXPKDUPRQLN VDOÕQÕFÕ

sisteminin o|]PQQ QDVÕO HOGH HGLOGL÷LQH EDNÕOGÕ÷ÕQGD EX o|]PQ HOGH HGLOLúLQGH

VÕNOÕNOD LNL \DNODúÕP LOHNDUúÕODúÕOÕU%XQODUGDQELULQFLVLVLVWHPLWDQÕPOD\DQGLIHUDQVL\HO

denklemin kuvvet serisi yöntemi ile çözülmesidir. 'L÷HUL LVH sistemin Hamiltonyenini merdiven operatörleri olarak isimlenGLULOHQ RSHUDW|UOHU \DUGÕPÕ LOH oDUSDQODUD D\ÕUDrak elde edilen çözüm metodudur [7].

1HZWRQ VDOÕQÕFÕVÕ RODUDN LVLPOHQGLULOHQ VLVWHPGH GH KDUPRQLN VDOÕQÕFÕ VLVWHPLQL

tDQÕPOD\DQ

ܸ(ݍ) =^ଵ_ଶ݇ݍ^ଶ (2.1)

potansiyel fonksiyonu için Newton’un LNLQFL\DVDVÕQÕ NXOODQÕODUDN,

ܨ = ݉ݍሷ = െ^డ௏_డ௤ =െ݇ݍ (2.2)

eúLWOL÷L \D]ÕOPÕú YH NXDQWL]DV\RQ LúOHPLQH VLVWHPLQ +DPLOWRQ\HQL yerine Newton denkleminden harekHWOH EDúODQPÕúWÕU [8,9,10]. HúLWOL÷LQGH ݍ konum, ݉ kütle, ݇’da yay sabitini ifade etmektedir. øOHULGHLúOHPOHUGHNROD\OÕNVD÷ODPDVÕDoÕVÕQGDQ

߱ = ට_௠^௞ (2.3)

eúLWOL÷L LOH WDQÕPODQDQ DoÕVDO frekans, ߱ = 1 VHoLOLUVH HúLWOL÷LQGH LIDGH HGLOHQ

potansiyel enerjiye sahip klasik bir sistem için Newton denklemi,

(16)

ݍሷ = െݍ (2.4)

úHNOLQGH\HQLGHQ\D]ÕODELOLU

+DPLOWRQPHNDQL÷LQGHQELOLQPHNWHGLUNLELUVLVWHPLQGLQDPL÷LQL1HZWRQGHQNlemlerinin

\DQÕVÕUD

ݍሶ_௜ = ^డ࣢_డ௣

೔ (2.5)

݌ሶ_௜ = െ^డ࣢_డ௤

೔ (2.6)

HúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHQ +DPLOWRQ GHQNOHPOHUL LOH GH LIDGH etmek mümkündür. Bu HúLWOLNOHUde ݍ௜ JHQHOOHúWLULOPLú NRRUGLQDWODUÕ ݌௜ JHQHOOHúWLULOPLú PRPHQWXPX ࣢ ’de Hamilton fonksiyonunu temsil etmek ioLQNXOODQÕOPÕúWÕU>].

ݍ_௜ JHQHOOHúWLULOPLú NRRUGLQDWODUÕQD, ݌_௜JHQHOOHúWLULOPLú PRPHQWXPODUÕQD ve ݐ ]DPDQÕQD ED÷OÕRODQELU࣠(ݍ, ݌, ݐ) fonksiyonun zamana göre türevinin,

ௗ࣠

ௗ௧ =

¦

i

ቀ_డ௤^డ࣠

೔ݍሶ_௜ +_డ௣^డ࣠

೔݌ሶ_௜ቁ +^డ࣠_డ௧ (2.7)

eúLWOL÷L ÕúÕ÷ÕQGD KHVDSODQDELOHFH÷L ELOLQPHNWHGLU %X HúLWOLNWHNL ݍሶ_௜ ve ݌ሶ_௜ ifadeleri için +DPLOWRQGHQNOHPOHULNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDHúLWOLN¶\L

ௗ࣠

ௗ௧ =

¦

i

ቀ_డ௤^డ࣠

೔ డ࣢

డ௣_೔െ_డ௣^డ࣠

೔ డ࣢

డ௤_೔ቁ +^డ࣠_డ௧ (2.8)

úHNOLQGH\HQLGHQ\D]PDNPPNQROXU%XHúLWOLNWHNLWRSODPLIDGHVL

ௗ࣠

ௗ௧

¦

i

ቀ_డ௤^డ࣠

೔ డ࣢

డ௣_೔െ_డ௣^డ࣠

೔ డ࣢

డ௤_೔ቁ ؠ {F, ࣢} (2.9)

(17)

8

eúLWOL÷LLOHWDQÕPODnan ve ilk GHID3RLVVRQWDUDIÕQGDQNXOODQÕODQ ELUNÕVDOWPDROGX÷X LoLQ de Poisson parantezi olarak bilinen bir ifadedir.

%XUD\DNDGDUJ|]|QQHDOÕQDQELOJLOHUÕúÕ÷ÕQGDDoÕVDOIUHNDQVÕ߱ = 1 olan birim kütleli bir harmonikVDOÕQÕFÕVLVWHPLLoLQ1HZWRQGHQNOHPini, Poisson parantezlerini kullanarak,

ݍሷ = ൛࣢, {࣢, ݍ}ൟ = െݍ (2.10)

HúLWOL÷L LOH LIDGHHWPHN PPNQGU1HZWRQGHQNOHPLQLQ3RLVVRQSDUDQWH]OHUL LOH LIDGH

edilmesi,

[ܣ, ܤ] = ݅ƫ{ܣ, ܤ} (2.11)

HúLWOL÷Lçerçevesinde sistemin kuantizasyon LúOHPLQLJHUoHNOHúWLUPH\LPPNQNÕODU [12].

(úLWOLNÕúÕ÷ÕQGDƫ = 1 için,

{࣢, ݍ} = െ݅[ܪ, ܳ] (2.12)

൛࣢, {࣢, ݍ}ൟ = െൣܪ, [ܪ, ܳ]൧ (2.13)

eúLWOLNOHUL \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ HúLWOLN ¶GD 3RLVVRQ parantezleri ile ifade edilen harmonikVDOÕQÕFÕVLVWHPLLoLQ1HZWRQGHQNOHPLQLQNXDQWL]DV\RQLúOHPL

ൣܪ, [ܪ, ܳ]൧ = ܳ (2.14)

úHNOLQGH JHUoHNOHúLU YH HúLWOLNOHULQGHNLܪ, ܳ gösWHULPOHUL VÕUDVÕ\OD

Hamiltonyen YH NRQXP LúOHPFLOHULQL WHPVLO HWPHN LoLQ NXOODQÕOPÕúWÕU ܲ momentum LúOHPFLVLQLQ

ܲ ؠ ݅[ܪ, ܳ] (2.15)

(18)

HúLWOL÷LLOHWDQÕPODQPDVÕGXUXPXQGDHúLWOLN¶

[ܪ, ܲ] = ݅ܳ (2.16)

úeklinde yeniden yazmak mümkündür [10].

݂, ݃, ݄ ile gösterilen üç fonksiyonun Poisson parantezi için,

൛݂, {݃, ݄}ൟ + ൛݃, {݄, ݂}ൟ + ൛݄, {݂, ݃}ൟ = 0 (2.17)

HúLWOL÷LLOHLIDGHHGLOHQELU|]GHúOL÷LQVD÷ODQGÕ÷ÕELOLQPHNWHGLU [1]. %X|]GHúOLN࣢, ݍ ve ݌ klasik nicelikleriLoLQJ|]|QQHDOÕQGÕ÷ÕQGDEXNODVLNQLFHOLNOHUHNDUúÕJHOHQLúOHPFLOHULQ

-DFREL|]GHúOL÷L>] olarak bilinen,

ൣܪ, [ܳ, ܲ]൧ + ൣܳ, [ܲ, ܪ]൧ + ൣܲ, [ܪ, ܳ]൧ = 0 (2.18)

HúLWOL÷LQLVD÷OD\DFD÷ÕQÕV|\OHPHNPPNQROXU(úLWOLNÕúÕ÷ÕQGD

ൣܳ, [ܲ, ܪ]൧ = 0 (2.19)

eúLWOL÷LQL J|UPHNKLoGH]RUGH÷LOGLUÖte yandan WDQÕPÕÕúÕ÷ÕQGD

ൣܲ, [ܪ, ܳ]൧ = 0 (2.20)

oODFD÷ÕQGDQHúLWOL÷L LOH LIDGHHGLOHQ-DFREL|]GHúOL÷LQGe toplanan her bir terimin D\UÕ D\UÕ VÕIÕUDHúLWRODFD÷ÕQÕV|\OHPHNPPNQGU<DQL

ൣܪ, [ܳ, ܲ]൧ = 0 (2.21)

(19)

10

eúLWOL÷L VD÷ODQÕU ܪ ve [ܳ, ܲ] DUDVÕQGDNL VÕUD GH÷LúWLUPH ED÷ÕQWÕVÕQÕQ HúLWOLN ¶L

VD÷ODPDVÕ; ܳ ile ܲ DUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕVÕQÕQ

[ܳ, ܲ] = ݂݅(ܪ) (2.22)

úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOPHVLQLQPPNQROGX÷XVRQXFXQXGR÷XUXU>].

Daha öncede EHOLUWWL÷LPL]JLELNXDQWXPKDUPRQLN VDOÕQÕFÕSUREOHPLQLQo|]PVLVWHPLQ

HaPLOWRQ\HQL PHUGLYHQ RSHUDW|UOHUL RODUDN LVLPOHQGLULOHQ RSHUDW|UOHU \DUGÕPÕ LOH

oDUSDQODUDD\UÕODUDNda bulunabilir. ߱ = 1 , ƫ = 1 ELULPVLVWHPLQGHoDOÕúÕODn birim kütleli bir harmonikVDOÕQÕFÕVLVWHPLLoLQV|]NRQXVXPHUGLYHQLúOHPFLOHULQLQ

ܣ =_ξଶ^ଵ (ܳ + ݅ܲ) (2.23)

ܣ^ା = ^ଵ

ξଶ(ܳ െ ݅ܲ) (2.24)

HúLWOLNOHUL LOH iIDGH HGLOHFH÷L ELOLQPHNWHGLU >]. BX HúLWOLNOHU LOH LIDGH HGLOHQ merdiven LúOHPFLOHULDUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕVÕHúLWOLN¶\LNXOODQDUDN

[ܣ, ܣ^ା] =݂(ܪ) (2.25)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU

Öte yandan ܪ ile ܣ^ାܣ DUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕVÕQDEDNÕODFDNROXUVD

[ܪ, ܣ^ାܣ] = [ܪ, ܳ^ଶ] + [ܪ, ܲ^ଶ] +݅ൣܪ, [ܳ, ܲ]൧ (2.26)

eúLWOL÷LHOGHHGLOHELOLU%XLIDGHQLQVD÷ \DQÕQGDNLVRQWHULPLQVÕIÕUDHúLWROGX÷X GHQNOHP

¶GHLIDGHHGLOPLúWLBu durumda (2.26) ifadesi,

(20)

[ܪ, ܣ^ାܣ] = [ܪ, ܳ^ଶ] + [ܪ, ܲ^ଶ] (2.27)

úHNOLQGH\HQLGHQ\D]ÕODELOLUܪ ile ܳ^ଶ LúOHPFLOHULDUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕVÕ

[ܪ, ܳ^ଶ] =ܳ[ܪ, ܳ] + [ܪ, ܳ]ܳ (2.28)

denklem (2.15)’i kullanarak,

[ܪ, ܳ^ଶ] =െ݅ܳܲ െ ݅ܲܳ (2.29)

úeklinde \D]ÕODELOLUNHQ; ܪ ile ܲ^ଶ LúOHPFLOHULDUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕVÕ

[ܪ, ܲ^ଶ] =ܲ[ܪ, ܲ] + [ܪ, ܲ]ܲ (2.30)

dHQNOHP¶\ÕNXOODQDUDN

[ܪ, ܲ^ଶ] =݅ܲܳ + ݅ܳܲ (2.31)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XGXUXPGD

[ܪ, ܳ^ଶ] + [ܪ, ܲ^ଶ] = 0 (2.32)

ifadeVLQLQ VD÷ODQGÕ÷ÕQÕ V|\OHPHN KLo GH ]RU ROPD\DFDNWÕU %|\OHce ܪ LúOHPFLVLQLQܣ^ାܣ LúOHPFLVLLOHVÕUDGH÷LúWLUPH|]HOOL÷LQHVDKLSROGX÷XVRQXFXQDGDXODúÕODELOLU<DQL

ܣ^ାܣ = ݃(ܪ) (2.33)

HúLWOL÷LQL\D]PDNPPNQGU (÷HUEX݃(ܪ) fonksiyonu analitik ise,

(21)

12

ܣܣ^ାܣ = ܣ݃(ܪ) = ݃(ܪ + 1)ܣ (2.34)

HúLWOL÷L\D]ÕODELOHFH÷LQGHQHúLWOLNYHÕúÕ÷ÕQGD,

݂(ܪ) = ݃(ܪ + 1) െ ݃(ܪ) (2.35)

fark denklemi elde edilir [8,14].

(2.25) denkleminin ݂(ܪ) = 1 için standart kuantum harmonik VDOÕQÕFÕ FHELULQL YHUGL÷LQL

DNÕOGDWXWDUDN

ܪള0› = ݄଴ള0› (2.36)

ള0› = 0 (2.37)

HúLWOLNOHULQLVD÷OD\DQELUWDEDQGXUXPXQun YDUOÕ÷ÕQÕQ

ܰ = ܪ െ ݄଴૤ (2.38)

úeklinde ELU VD\Õ LúOHPFLVLQL WDQÕPODPD\Õ PPNQ NÕOGÕ÷ÕQÕ GD \LQH VWDQGDUW NXDQWXP

harmonikVDOÕQÕFÕLOHLOJLOL\DSÕODQoDOÕúPDODUoHUoHYHVLQGHIDUNHWPHNKLoGH]RUGH÷LOGLU

[10].%XGXUXPGDHúLWOL÷LQGHV|]NRQXVXHGLOHQIRQNVL\RQODUH yerine N cinsinden,

݂(ܰ + ݄_଴) =݃(ܰ + ݄_଴+ 1)െ ݃(ܰ + ݄_଴) (2.39)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XLIDGH\LGDKDVDGHELUúHNLOGH

݂^ƍ(ܰ) = ݃^ƍ(ܰ + 1) െ ݃^ƍ(ܰ) (2.40)

úHklinde de yazmak mümkündür [10].

(22)

%LU ER\XWOX VLVWHPOHU J|] |QQH DOÕQGÕ÷ÕQGD HúLWOL÷L VLVWHPOHULn birbirlerinden D\UÕOPDVÕQD \DUD\DFDN QLWHOLNWH ELU VÕQÕIODQGÕUPD\Õ PPNQ NÕOPDPDNWDGÕU dQN J|]

|QQH DOÕQDQ ELUoRN VLVWHP V|] NRQXVX IDUN GHQNOHPLQL VD÷ODPDNWDGÕU >8,10]. Ancak 1HZWRQ GHQNOHPLQLQ VDKLS ROGX÷X ELULPVHO VLPHWUL\H VDKLS oRN ER\XWOX VLVWHPler göz

|QQH DOÕQGÕ÷ÕQGD EX IDUN GHQNOHPL LVWHQLOHQ WDU]GD ELU VÕQÕIODQGÕUPD\Õ \DSDELOPH\L

PPNQ NÕOPDNWDGÕU <DQL VÕQÕIODQGÕUPD\Õ VRQODQGÕUPDN LoLQ IDUN GHQNOHPL \HWHUOL

ROPDPÕúVLVWHPLQVDKLSRODFD÷ÕVLPHWUL GHEXNRQXGD|QHPOLELUHWNHQROPXúWXU

BuoHUoHYHGHJHUoHNOHúWLULOHQoDOÕúPDODUÕúÕ÷ÕQGDHOGHHGLOHQ [14,15] ve

ܽ_௜ܽ_௝^ାെ ݍܽ_௝^ାܽ_௜ = ݍ^ேߜ_௜௝ ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.41)

ܽ_௜ܽ_௝െ ܽ_௝ܽ_௜ = 0 ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.42)

ܽ_௜ܰ = (ܰ + 1)ܽ_௜ ݅ = 1,2, … … … , ݀ (2.43)

eúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHQ FHELUVHO \DSÕݍ-deforme BosoQLN 1HZWRQ VDOÕQÕFÕVÕ RODUDN

LVLPOHQGLULOPLúWLU %X FHELUVHO \DSÕ\Õ ܪ +HUPLWVHO ELU LúOHPFL YH ݍ pozitif reel bir parametre olmak üzere,

ܽ_௜ܽ_௝^ାെ ݍܽ_௝^ାܽ_௜ = ܪߜ_௜௝ ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.44)

ܽ௜ܽ௝െ ܽ௝ܽ௜ = 0 ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.45)

ܽ௜ܪ = ݍܪܽ௜ ݅ = 1,2, … … … , ݀ (2.46)

úeklinde de yazmak mümkündür. Burada ߜ_௜௝ Kronecker delta sembolüdür. ݅ = 1 için söz NRQXVXFHELUVHO\DSÕ

ܽܽ^ାെ ݍܽ^ାܽ = ܪ (2.47)

ܽܪ = ݍܪܽ (2.48)

(23)

14

úeklinde yenideQ\D]ÕODELOLU'HIRUPDV\RQparametresi ݍ¶QXQELUHHúLWROPDVÕGXUXPXQGD

Hermitsel H LúOHPFLVLQLQ GH1 ROPDVÕ LOH J|] |QQH DOÕQDQ FHELUVHO \DSÕQÕQ VWDQGDUW

kuantum harmonikVDOÕQÕFÕ FHELULQLYHUHFH÷LQLJ|UPHNPPNQGU

YH HúLWOLNOHUL \DUGÕPÕ LOH LIDGH HGLOHQ GHIRUPH bozon cebirinin fermiyonik NDUúÕOÕ÷Õ; ܿ_௜ ve ܿ_௜^ା VÕUDVÕ\OD IHUPL\RQLN \RN HWPH YH \DUDWPD LúOHPFLOHULQL

temsil etmek üzere,

ܿ_௜ܿ_௝^ା+ݍܿ_௝^ାܿ_௜ = ݍ^ேߜ_௜௝ ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.49)

ܿ௜ܿ௝+ܿ௝ܿ௜ = 0 ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.50)

ܿ_௜ܰ = (ܰ + 1)ܿ_௜ ݅ = 1,2, … … … , ݀ (2.51)

HúLWOLNOHUL LOH LIDGH edilebilir. Bu sistem literatürde ݀ -boyutlu fermiyonik Newton VDOÕQÕFÕVÕ Rlarak isimlendirilmektedir [10,14,16]. LOH HúLWOLNOHULQGH ROGX÷X

JLEL\XNDUÕGDNLIHUPL\RQLNVLVWHPGHX\JXQELU|OoHNOHQGLUPHLOH

ܿ_௜ܿ_௝^ା+ݍ^ଶܿ_௝^ାܿ_௜ = ܪߜ_௜௝ ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.52)

ܿ_௜ܿ_௝+ܿ_௝ܿ_௜ = 0 ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (2.53)

ܿ_௜ܪ = ݍ^ଶܪܿ_௜ ݅ = 1,2, … … . … , ݀ (2.54)

úHNOLQGH\HQLGHQ\D]ÕODELOLUg\OHNLEXHúLWOLNOHUOHWDQÕPODQDQ݀-boyutlu sistemin, ݀ = 2 için matris temsili,

c_ଵ =൮

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 q

0 0 0 0

൲

(2.55)

(24)

ܿ_ଶ =൮

0 0 1 0

0 0 0 െݍ

0 0 0 0

൲ (2.56)

ܪ = ൮

1 0 0 0

0 ݍ^ଶ 0 0

0 0 ݍ^ଶ 0

0 0 0 ݍ^ସ

൲

(2.57)

ifade edilir.

(25)

BÖLÜM 3. **6ø0(75ø9(.8$17800$75ø6*583/$5,**

Simetri JHUHNJQONKD\DWÕPÕ]GDJHUHNVHkimya, biyoloji, fizyoloji ve astronomi olmak üzere bilimlerin WPQGHVÕNOÕNODNDUúÕPÕ]DoÕNDQELUNDYUDPGÕU

)L]LN ELOLPL DoÕVÕQGDQ VLPHWUL NDYUDPÕ J|] |QQH DOÕQDQ ELU GH÷LúLNOLN ÕúÕ÷ÕQGD ELU

VLVWHPLQ EX GH÷LúLNOLNOHUGHQ HWNLOHQPHGHQ önceki durumunda NDOPDVÕ RODUDN LIDGH

edilebilir. Sistemde yapÕODQ EXGH÷LúLNOL÷HVLPHWULLúOHPL\DGDVLPHWULtransformasyonu da denir. Buna göre simetri içinELUQHVQH\DGDVLVWHPLQELUWUDQVIRUPDV\RQNDUúÕVÕQGDNL

GH÷LúPH]OL÷LGLU de denilebilir. 'H÷LúPH]OLN sLVWHPLQ ELoLPLQGH J|UQúQGH

ELOHúLPLQGH, G]HQOHQPHVLQGH \D GD GL÷HU EDúND |]HOOLNOHULQGH D\QÕOÕN \a da sabitliktir [17].

<LUPLQFL \]\ÕOGDQ |QFH IL]LNoLOHU VLmetriyi daha çok, özel bir fizik probleminin o|]PQ NROD\ODúWÕUDQ YH NHQGLVLQL VLPHWULN ELU G]HQOHQLú RODUDN RUWD\D NR\DQ

bugünkü öneminden uzak bir olay olarak görmekteydiler. Ancak ilerleyen \ÕOODUGD

VLPHWUL NDYUDPÕQÕQ ROGXNoD |QHPOL NDYUDPODUOD LOLúNLOHUL RUWD\D NRQPXúWXU 7HPHO

NXYYHWOHULQ ELUOHúWLULOPHVL D\DU VLPHWULVL GHQLOHQ ELU NDYUDP \DUGÕPÕ LOH DoÕNODQPÕúWÕU.

g]HOOLNOH 1RHWKHU RUWD\D NR\GX÷X WHRUL oHUoHYHVLQGH VLPHWUL LOH NRUXQXP \DVDVÕ

NDYUDPODUÕQÕ ELUOHúWLUHUHN VLPHWUL YH IL]LN DUDVÕQGDNL LOLúNL\L PDWHPDWLNVHO ELU GLO LOH

RUWD\DNR\PXúWXU 7HRUHPIL]L÷LQNDUPDúÕNGLQDPLNOHUL\OHVLPHWUL\LELUOHúWLUHUHNIL]LNYH

PDWHPDWLNDUDVÕQD ELUN|SULQúD HWPLúWLU8]D\ÕQ VUHNOL ELU|WHOHPHVLmetrisine sahip ROPDVÕIL]LN\DVDODUÕQÕQX]D\ÕQKHUQRNWDVÕQGDD\QÕROGX÷XJHUoH÷LQLWHNUDUODPDNWDGÕUNL

buna da NRUXQXPGHQLOPHNWHGLU'R÷DGDKHUELUVLPHWULELUNRUXQXPOXQLFHOL÷LYHULUNHQ

her korunum yaVDVÕ da bir simetriyi belirtmektedir [17].

)L]LN \DVDODUÕQÕQ X]D\VDO |WHOHPHOHU NDUúÕVÕQGD GH÷LúPH] ROGX÷X NDEXO HGLOHQ ELU

JHUoHNWLU%XGH÷LúPH]OLNFLVPLQ|WHOHPHKDUHNHWLQHNDUúÕJ|VWHUGL÷LVLPHWULGLUHerhangi ELU FLVPL X]D\GD |WHOHGL÷LPL]GH RQX PH\GDQD JHWLUHQ PDGGH DWRPODUÕ YH DWRPODUÕQ

(26)

molekOHU RODUDN G]HQOHQLúL KLoELU GH÷LúLNOLN J|VWHUPH] &LVPLQ UHQJL X]XQOX÷X YH

NWOHVL GH GH÷LúPH] 8]D\ÕQ |WHOHPH VLPHWULVL GH OLQHHU PRPHQWXPXQ NRUXQGX÷XQX

göstermektedir. $\QÕ]DPDQGD]DPDQÕQ|WHOHQPHVLPHWULVL enerjinin korunumunu, dönme simetrisi iseDoÕVDOPRPHQWXPXQkorunumunu gündeme getirir [17].

8]D\ GD WÕSNÕ o ER\XWOX NXsXUVX] ELU NUHQLQ VDKLS ROGX÷X JLEL WDP ELU G|QGUOPH

simetrisine sahiptir. Bir küre, merkezinden geçen herhangi bir HNVHQ HWUDIÕQGD

döndürülebilir. Döndürmeden sonra kürenin J|UQWVQGHGH÷LúLNOLNROPD].UHLoLQEX

G|QGUPH LúOHPL VRQVX] VD\ÕGD RODELOLU %X QHGHQOH NUHQLQ VDKLS ROGX÷X VLPHWri süreklidir. %XQXQDNVLQHVÕQÕUOÕG|QPHDoÕODUÕLOHVLPHWULN\DSÕODUÕQÕkoruyan sistemlere de süreksiz sistemler denilmektedir [17]. Burada söz konusu edilen simetriler, matrisler NXOODQÕODUDN GD LIDGH HGLOHELOLU $QFDN VLPHWULQLQ PDWULVOHU NXOODQÕODUDN QDVÕO LIDGH

HGLOGL÷LQHELU|UQHNYHUPHGHQ|QFHJUXSNDYUDPÕQGDQNÕVDFDEDKVHWPHNX\JXQRODFDNWÕU

Grup teorisi, simetrinin matematikseO ELU GLO LOH LIDGH HGLOPHVLQH \DUGÕPFÕ ROPDVÕ

DoÕVÕQGDQ IL]LNWH ROGXNoD |QHPOL ELU \HUH VDKLSWLU *|] |QQH DOÕQDQ ELU NPHQLQ

HOHPDQODUÕQÕQWDQÕPOÕELULúOHPDOWÕQGDJUXSROXúWXUGX÷XQXV|\OH\HELOPHNLoLQV|]NRQXVX

HOHPDQODUÕQJ|]|QQHDOÕQDQLúOHPÕúÕ÷ÕQGDNDSDOÕOÕNYHELUOHúPH|]HOOL÷LQHVDKLSROPDVÕ

gerekir. %XNPHQLQHOHPDQODUÕQGDQELUWDQHVLQLQELULPHOHPDQROPDVÕYHEXNPHGHNL

KHU HOHPDQÕQ WHUVLQLQ YDUOÕ÷Õ GD V|] NRQXVX NPH\H WDQÕPOÕ LúOHP ÕúÕ÷ÕQGD JUXS

diyebilmek için bir zorunluluktur [18,19].

ܽ, ܾ, ܿ, ݀ א ܴ olmak üzere 2ݔ2’lik bir kare matrisin,

ܣ = ቀܽ ܾܿ ݀ቁ (3.1)

eúLWOL÷LLOHLIDGHHGLOHELOHFH÷LELOLQPHNWHGLU%XPDWULVLQWHUVLQLQYDUROPDVÕGXUXPXQGD

yani,

detܣ ് 0 (3.2)

(27)

18

oOPDVÕKDOLQGHHOHPDQODUÕ $PDWULVLLOHLIDGHHGLOHQELUNPHQLQPDWULVoDUSÕPÕDOWÕQGD

ELU JUXS ROXúWXUDFD÷Õ V|\OHQHELOLU Bu grup literatürde Genel Lineer Grup olarak isimlendirilir ve matrislerin 2ݔ2¶OLNNDUHPDWULVOHUROPDVÕVHEHEL\OHGHܩܮ(2) NÕVDOWPDVÕ

ile gösterilir.

+HUKDQJL ELU YHNW|U ELU QRNWDQÕQ NRRUGLQDWODUÕ YDVÕWDVÕ\OD WHPVLO HGLOLU 1RNWDODUÕQ

\HUOHULQLWDQÕPODPDGDNXOODQÕODQNRRUGLQDWoHUoHYHVLise tamamen keyfidir. Ancak vektör ELOHúHQOHULQLQELUoHUoHYHGHQGL÷HULQHG|QúWUOPHVLmümkündür. ݅^ᇱ,݆^ᇱ sistemiDúD÷ÕGDNL

úHNLOGHNL JLEL ݅, ݆ sistemine göre saat yönünün tersi yönde ߮ DoÕVÕ NDGDU G|QGUOPú

olsun.

ùHNLO 3.1. Bir ݎԦ YHNW|UQQELOHúHQOHULQLQ[\YHݔ^ᇱݕ^ᇱkoordinat sisteminde gösterilmesi

ݎሬሬറ vektörünün i,j sistemindeki yani, ݔݕ-NRRUGLQDW VLVWHPLQGHNL ELOHúHQOHUL (ݔ, ݕ); ݅^ᇱ,݆^ᇱ sistemindeki yaniݔ^ᇱݕ^ᇱ-NRRUGLQDW VLVWHPLQGHNL ELOHúHQOHUL (ݔ^ᇱ,ݕ^ᇱ) ROXUVD EX ELOHúHQOHU

DUDVÕQGDNLLOLúNL

ݔ^ᇱ = cosɔ x + sin ɔ y (3.3) ݕ^ᇱ = െsin ɔ x + cos ɔ y (3.4)

HúLWOLNOHULLOHLIDGHHGLOHFH÷LJLEL

(28)

ܯ = ൬ cosɔ sinɔ

െsin ɔ cos ɔ൰ (3.5)

d|QúPPDWULVL\DUGÕPÕLOH

൬ݔݕ^ᇱ^ᇱ൰ = ܯ ቀݔ

ݕቁ (3.6)

eúLWOL÷LLOHGHLIDGHHGLOHELOLU6|]NRQXVXG|QúPYHNW|UQELOHúHQOHULQLGH÷LúWLULUNHQ

YHNW|UQER\XQXGH÷LúPH]EÕUDNPDNWDGÕUHúLWOL÷LQGHNLܯ matrisi,

ܯܯ^் =ܯ^்ܯ = ૤ (3.7)

eúLWOL÷LQL VD÷ODGÕ÷ÕQGDQ YH EX PDWULVLQ GHWHUPLQDQWÕ ELUH HúLW ROGX÷XQGDQ g]HO 'LN

'|QúPPDWULVLRODUDNLVLPOHQGLULOLUYH EXPDWULVLQDLWROGX÷XJUXS ܱܵ(2) ile gösterilir.

%XJUXSWDNLPDWULVOHULQHOHPDQODUÕ0 െ 2ߨ DUDVÕQGDGH÷LúHQVUHNOLELU߶ parametresine ED÷OÕGÕUYHEX߶ parametresine göre türev almak mümkündür. Sahip olunan bu özellikleri vurgulamak için; bu tip gruplar,/LHJUXSODUÕRODUDNGDLVLPOHQGLULOLU [19].

ùLPGL\H NDGDU V|] konusu edilen matris grupODUÕQGDNL PDWULVOHULQ HOHPDQODUÕ VÕUD

GH÷LúWLUPH |]HOOL÷LQH VDKLSWL $QFDN VÕUD GH÷LúWLUPH |]HOOL÷LQH VDKLS ROPD\DQ

HOHPDQODUGDQROXúDQPDWULVJUXSODUÕQGDQGDEDKVHWPHNPPNQGU%XPDWULVJUXSODUÕ

VDKLS ROGXNODUÕ EX |]HOOLN oHUoHYHVLQGH NXDQWXP PDWULV JUubu olarak isimlendirilirler.

0HVHODHúLWOL÷LQGHNLܣ PDWULVLQLQHOHPDQODUÕQÕQ

ܾܽ = ݍܾܽ (3.8)

ܽܿ = ݍܿܽ (3.9)

ܾܿ = ܾܿ (3.10)

ܾ݀ = ݍܾ݀ (3.11)

ܿ݀ = ݍ݀ܿ (3.12)

ܽ݀ െ ݀ܽ = (ݍ െ ݍ^ିଵ)ܾܿ (3.13)

(29)

20

HúLWOLNOHUL LOH LIDGHHGLOHQ|]HO ELUFHELUVHO \DSÕ\ÕVD÷ODPDVÕ LOHܩܮ௤(2) kuantum matris grubu elde edilir [20,21,22]. (úLWOLN \HQLGHQ G]HQOHQerek, ܣ matrisinin ݍ- GHWHUPLQDQWÕ

݀݁ݐ_௤ܣ = ܽ݀ െ ݍܾܿ = ݀ܽ െ ݍ^ିଵܾܿ (3.14)

úHNOLQGHHOGHHGLOHELOLU'LNNDWHGLOLUVHݍ = 1 LoLQEWQHúLWOLNOHUܩܮ(2) matris grubunun HOHPDQODUÕ LoLQ JHoHUOL RODQ ED÷ÕQWÕODUÕ YHULU %XUDGD GLNNDW HGLOPHVL JHUHNHQ ELU GL÷HU

önemli nokta ܣ PDWULVLQLQ HOHPDQODUÕQÕQ VD÷ODGÕ÷Õ FHELUVHO \DSÕQÕQ GH÷LúPHOL ROPD\DQ

Hopf cHELUL \DSÕVÕQGD ROPDVÕGÕU [23]. (3.8) – HúLWOLNOHUL ile ifade edilen cebirsel

\DSÕQÕQbicebir \DSÕVÕQDVDKLSROGX÷X)DGGHYYH7DNKWDMDQ¶ÕQ oDOÕúPDODUÕQGD[24,25] göz

|QQHDOGÕNODUÕ

ο(ܽ) = ۪ܽܽ + ܾ۪ܿ (3.15)

ο(ܾ) = ۪ܾܽ + ܾ۪݀ (3.16)

ο(ܿ) = ۪ܿܽ + ۪݀ܿ (3.17)

ο(݀) = ۪ܾܿ + ۪݀݀ (3.18)

ο(૤) = ૤۪૤ ^(3.19)

ko-oDUSÕPODUÕYH

א (ܽ) =א (݀) =א (1) = 1 (3.20) א (ܾ) =א (ܿ) = 0 (3.21)

ko-ELULPOHULoHUoHYHVLQGHJ|UOHELOLUg\OHNLEXWDQÕPODUÕúÕ÷ÕQGD

(ο۪݅݀)ο = (۪݅݀ο)ο (3.22)

(۪݅݀ א)۪ο = (א ۪݅݀)۪ο= ݅݀ (3.23)

eúLWOLNOHULVD÷ODQÕUSöz konusu ko-oDUSÕPYHNR-birimler ܣ PDWULVLJ|]|QQHDOÕQGÕ÷ÕQGD

ο(ܣ) = ܣ۪ሶܣ (3.24)

א (ܣ) = ૤ (3.25)

(30)

HúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHELOLU HúLWOL÷LQGHNL ۪ሶ QRWDV\RQX PDWULV WHQV|U oDUSÕPÕQÕ

göstermektedir. ܣ PDWULVLQLQHOHPDQODUÕDUDVÕQGDNLFHELUVHOLúOHPOHU

ܣଵ = ܣ۪૤ (3.26) ܣ_ଶ =૤۪ܣ (3.27)

olmak üzere,

ܴܣ_ଵܣ_ଶ =ܣ_ଶܣ_ଵܴ (3.28)

HúLWOL÷LQLVD÷OD\DQ,

ܴ = ൮ ݍ 0 0 0

0 1 ݍ െ ݍ^ିଵ

0

0 0 1 0

0 0 0ݍ

൲ (3.29)

matrisi ile de ifade edilebilir [22,26]. Burada (3.8) – HúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHQ

FHELUVHO\DSÕ

݉(۪݅݀ܵ)ο = ݉(۪ܵ݅݀)ο (3.30)

HúLWOL÷LQLVD÷OD\DFDNúHNLOGHWDQÕPODQDQYH

ܵ(ܣ) = ܣ^ିଵ (3.31)

eúLWOL÷LLOHLIDGHHGLOHQDQWLSRG¶XQYDUOÕ÷ÕLOH+RSI FHELUL\DSÕVÕQGDGÕU

(31)

BÖLÜM 4. ÇOK BOYUTLU Q- '()250()(50ø<21ø.1(:721

6$/,1,&,6,ødø1ø1+202-(1.8$1780'(öøù0(=/ø.GRUBU

Bu bölümde,

ࣷ_௜ࣷ_௝^ା+ݍ^ଶࣷ_௝^ାࣷ_௜ =࣢ߜ_௜௝ ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (4.1)

ࣷ௜ࣷ௝+ࣷ௝ࣷ௜ = 0 ݅, ݆ = 1,2, … … … , ݀ (4.2)

ࣷ_௜࣢ = ݍ^ଶ࣢ࣷ_௜ ݅ = 1,2, … … … , ݀ (4.3)

HúLWOLNOHUL LOH LNLQFL E|OPGH LIDGH HGLOPLú RODQ G-boyutlu deforme fermiyonik Newton cebirininin inKRPRMHQNXDQWXPGH÷LúPH]OLNJUXEXQXQYDUOÕ÷ÕQÕQQDVÕODUDúWÕUÕOGÕ÷ÕGHWD\OÕ

ELUúHNLOGHRUWD\DNRQPXúWXU6|]NRQXVXd-ER\XWOXVLVWHPLoLQ\DSÕODFDNKHVDSODPDODUGD

NDUúÕODúÕODELOHFHN RODVÕ ELU NDUPDúDGDQ NDoÕQPDN LoLQ |QFHOLkle iki boyutlu sistem oDOÕúÕOPÕú GDKD VRQUD EX LNL ER\XWOX VLVWHP LoLQ HOGH HGLOHQ VRQXoODU d-boyutlu sisteme JHQHOOHúWLULOPLúWLU

LúOHPLQL,

ܿ^כ= ܿ^ା (4.4)

úHNOLQGHWDQÕPOD\DUDN݀ = 2 için. (4.1) - HúLWOLNOHULLOHLIDGHHGLOHQFHELUVHO\DSÕ\Õ

ࣷ_ଵࣷ_ଵ^כ+ݍ^ଶࣷ_ଵ^כࣷ_ଵ =࣢ (4.5)

ࣷ_ଶࣷ_ଶ^כ+ݍ^ଶࣷ_ଶ^כࣷ_ଶ = ࣢ (4.6)

ࣷଵࣷ_ଶ^כ+ݍ^ଶࣷ_ଶ^כࣷଵ = 0 (4.7)

ࣷ_ଵ^ଶ = 0 (4.8)

(32)

ࣷ_ଶ^ଶ = 0 (4.9)

ࣷ_ଵࣷ_ଶ+ࣷ_ଶࣷ_ଵ = 0 (4.10)

ࣷ_ଵ࣢ = ݍ^ଶ࣢ࣷ_ଵ (4.11)

ࣷଶ࣢ = ݍ^ଶ࣢ࣷଶ (4.12)

úHNOLQGH \HQLGHQ \D]PDN PPNQGU %X FHELUVHO \DSÕQÕQ VLPHWULVLQGHQ EDKVHGHELOPHN

LoLQLúOHPFLOHULQ

ܿ_ଵ^ᇱ =ߙଵଵ۪ࣷଵ+ߙଵଶ۪ࣷଶ+ߚଵଵ۪ܿ_ଵ^כ+ߚଵଶ۪ܿ_ଶ^כ+Ș_ଵ۪࣢ + ߛଵ۪૤ (4.13)

ܿ_ଶ^ᇱ =ߙ_ଶଵ۪ࣷ_ଵ+ߙ_ଶଶ۪ࣷ_ଶ+ߚ_ଶଵ۪ܿ_ଵ^כ+ߚ_ଶଶ۪ܿ_ଶ^כ+Ș_ଶ۪࣢ + ߛ_ଶ۪૤ (4.14)

ܿ_ଵ^כ^ᇲ = ߚ_ଵଵ^כ ۪ࣷ_ଵ+ߚ_ଵଶ^כ ۪ࣷ_ଶ+ߙ_ଵଵ^כ ۪ܿ_ଵ^כ+ߙ_ଵଶ^כ ۪ܿ_ଶ^כ+Ș_ଵ^כ۪࣢ + ߛ_ଵ^כ۪૤ (4.15)

ܿ_ଶ^כ^ᇲ = ߚ_ଶଵ^כ ۪ࣷ_ଵ+ߚ_ଶଶ^כ ۪ࣷ_ଶ+ߙ_ଶଵ^כ ۪ܿ_ଵ^כ+ߙ_ଶଶ^כ ۪ܿ_ଶ^כ+Ș_ଶ^כ۪࣢ + ߛ_ଶ^כ۪૤ (4.16)

࣢^ᇱ =߯ଷ۪࣢ + ߯ସ۪૤ (4.17)

eúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHQ ELU G|QúP DOWÕQGD FHELUVHO \DSÕ\Õ GH÷LúPH] EÕUDNWÕNODUÕQÕ

ortaya koymak gerekir. (4.13) – (4.17) HúLWOLNOHUL\DUGÕPÕLOHRUWD\DNRQXODQG|QúPOHUL

ۉ ۈۈ ۇ

ܿ_ଵ^ᇱ

ܿ_ଶ^ᇱ

ܿ_ଵ^כᇱ

ܿ_ଶ^כᇱ

࣢^ᇱ

૤^ᇱ ی ۋۋ ۊ

= ۉ ۈۈ ۇ

ߙ_ଵଵ ߙ_ଶଵ ߚ_ଵଵ^כ ߚ_ଶଵ^כ 0 0

ߙ_ଵଶ ߙ_ଶଶ ߚ_ଵଶ^כ ߚ_ଶଶ^כ 0 0

ߚଵଵ

ߚଶଵ

ߙ_ଵଵ^כ ߙ_ଶଵ^כ 0 0

ߚଵଶ

ߚଶଶ

ߙ_ଵଶ^כ ߙ_ଶଶ^כ 0 0

Ș_ଵ Ș_ଶ Ș_ଵ^כ Ș_ଶ^כ

߯ଷ

0 ߛ_ଵ ߛ_ଶ ߛ_ଵ^כ ߛ_ଶ^כ

߯_ସ 1ی

ۋۋ ۊ۪ሶ

ۉ ۈۈ ۇ

ࣷ_ଵ

ࣷ_ଶ

ܿ_ଵ^כ

ܿ_ଶ^כ

࣢૤ ی ۋۋ

ۊ (4.18)

úHNOLQGH ELU PDWULV WHQV|U oDUSÕPÕ \DUGÕPÕ\OD GDKD NÕVD ELU úHNLOGH LIDGH HWPHN

mümkündür. Bu HúLWOL÷LQVD÷WDUDIÕndaki 6x6¶OÕNilk PDWULVG|QúPQ QDVÕOJHUoHNOHúWL÷L

KDNNÕQGDELOJL\LLoHUPHVLVHEHEL\OHGHG|QúPPDWULVLRODUDNGDLVLPOHQGLULOPHNWHGLU%X

PDWULVoDOÕúPDQÕQLOHUOH\HQE|OPOHULQGHM harfi ile temsil edilecektir.

(33)

24

(4.13) – (4.1 HúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHQ LúOHPFLOHULQ – HúLWOLNOHUL LOH LIDGH

HGLOHQ VLVWHP LOH D\QÕ FHELUVHO \DSÕ\D VDKLS ROPD\D ]RUODQPDVÕ G|QúP PDWULVLQLQ

HOHPDQODUÕ DUDVÕQGD ED]Õ |]HO HúLWOLNOHULQ YDUOÕ÷ÕQÕ GD ]RUXQOX NÕOPDNWDGÕU *HUHNOL

hesapODPDODU\DSÕOGÕ÷ÕQGDEXHúLWOLNOHULQ݅, ݆, ݇, ݈ = 1,2 için,

ߙ_௜௞ߙ_௝௟െ ߙ_௝௟ߙ_௜௞ = 0 (4.19)

ߙ_௜௞ߚ_௝௟ െ ݍ^ିଶߚ_௝௟ߙ_௜௞ = 0 (4.20)

ߙ_௜௞Ș_௝ + ݍ^ିଶȘ_௝ߙ_௜௞ = 0 (4.21)

ߙ௜௞ߛ௝+ߛ௝ߙ௜௞ = 0 (4.22)

ߚ_௜௞ߚ_௝௟ െ ߚ_௝௟ߚ_௜௞ = 0 (4.23)

ߚ௜௞Ș_௝ +ݍ^ଶȘ_௝ߚ௜௞ = 0 (4.24)

ߚ_௜௞ߛ_௝+ߛ_௝ߚ_௜௞ = 0 (4.25)

Ș_௜Ș_௝ +Ș_௝Ș_௜ = 0 (4.26)

Ș_௜^ଶ = 0 (4.27)

Ș_௜ߛ௝+ߛ௝Ș_௜ =െ_ଶ^ଵ(ߙ௝௞ߚ௜௞+ߙ௜௞ߚ௝௞) (4.28)

ߛ_௜ߛ_௝ +ߛ_௝ߛ_௜ = 0 (4.29)

ߛ_௜^ଶ = 0 (4.30)

ߙ_௜௞߯_ଷ െ ߯_ଷߙ_௜௞ = 0 (4.31)

ߙ_௜௞߯_ସ െ ݍ^ଶ߯_ସߙ_௜௞ = 0 (4.32)

ߚ_௜௞߯_ଷ െ ݍ^ସ߯_ଷߚ_௜௞ = 0 (4.33)

ߚ_௜௞߯_ସ െ ݍ^ଶ߯_ସߚ_௜௞ = 0 (4.34)

Ș_௜߯_ଷ െ ݍ^ଶ߯_ଷȘ_௜ = 0 (4.35)

Ș_௜߯_ସ െ ݍ^ଶ߯_ସȘ_௜ = 0 (4.36)

ߛ௜߯ଷെ ݍ^ଶ߯ଷߛ௜ = 0 (4.37)

ߛ_௜߯_ସെ ݍ^ଶ߯_ସߛ_௜ = 0 (4.38)

ߙ௜௞ߚ_௝௟^כ െ ݍ^ଶߚ_௝௟^כߙ௜௞ = 0 (4.39)

ߙ_௜௞ߙ_௝௟^כ െ ߙ_௝௟^כߙ_௜௞ = 0 (4.40)

ߙ_௜௞Ș_௝^כ+Ș_௝^כߙ_௜௞ = 0 (4.41)

ߙ௜௞ߛ_௝^כ+ݍ^ଶߛ_௝^כߙ௜௞ = 0 (4.42)

ߚ௜௞ߚ_௝௟^כ െ ݍ^ସߚ_௝௟^כߚ௜௞ = 0 (4.43)

(34)

ߚ_௜௞Ș_௝^כ+ݍ^ସȘ_௝^כߚ_௜௞ = 0 (4.44)

ߚ௜௞ߛ_௝^כ+ݍ^ଶߛ_௝^כߚ௜௞ = 0 (4.45)

Ș_௜Ș_௝^כ+ݍ^ଶȘ_௝^כȘ_௜ = 0 (4.46)

Ș_௜ߛ_௝^כ+ݍ^ଶߛ_௝^כȘ_௜ =^ଵ

ଶ(߯_ଷߜ_௜௝െ ݍ^ଶߚ_௝௞^כ ߚ_௜௞െ ߙ_௜௞ߙ_௝௞^כ ) (4.47)

ߛ_௜ߛ_௝^כ+ݍ^ଶߛ_௝^כߛ_௜ =߯_ସߜ_௜௝ (4.48)

úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOHFH÷LQLJ|UPHNPPNQGU%XUDGDGLNNDWHGLOPHVLJHUHNHQQRNWD

ܯ =

ۉ ۈۈ ۇ

ߙ_ଵଶ ߙ_ଶଶ ߚ_ଵଶ^כ

ߚ_ଶଶ^כ 0 0

ߚଵଵ

ߚଶଵ

ߚଵଶ

ߚଶଶ

߯ଷ

0 ߛ_ଵ ߛ_ଶ ߛ_ଵ^כ ߛ_ଶ^כ

߯_ସ 1ی

ۋۋ ۊ

(଺୶଺)

(4.49)

HúLWOL÷L LOH LIDGH HGLOHQ G|QúP PDWULVLQLQ HOHPDQODUÕQÕQ IDUNOÕ VÕUD GH÷LúWLUPH

|]HOOLNOHULQH VDKLS LúOHPFLOHUGHQ ROXúPDVÕGÕU %X GXUXP G|QúP PDWULVLQLQ \DSÕVÕQÕQ

NODVLNELUPDWULVLOHDoÕNODQDPD\DFD÷ÕVRQXFXQXGDEHUDEHULQGHJHWLUPHNWHGLU6|]NRQXVX M PDWULVLQLQ ELU NXDQWXP JUXEXQXQ HOHPDQÕ ROGX÷XQX V|\OH\HELOPHN LVH M matrisini HOHPDQODUÕQÕQ VD÷ODPÕúROGX÷X FHELUVHO \DSÕQÕQ ELU+RSI FHELULROGX÷XQXV|\OH\HELOPH\L

gerektirir. (4.19) – HúLWOLNOHULile LIDGHHGLOHQFHELUVHO\DSÕQÕQ+RSI cebiri ROGX÷XQX

V|\OH\HELOPHN LoLQ V|] NRQXVX HúLWOLNOHUGHNL LúOHPFLOHU LoLQ +RSI FHELUL DNVL\RPODUÕQÕ

VD÷OD\DFDN úHNLOGH NR-oDUSÕP NR-ELULP YH DQWLSRGXQ WDQÕPODQDELOGL÷LQLQ J|VWHULOPHVL

JHUHNLU 6|] NRQXVX LúOHPFLOHULQ D\QÕ ]DPDQGD M ile gösterilen matrisin elHPDQODUÕQÕ

ROXúWXUPDVÕ ko-oDUSÕPNR-birim ve antipod LoLQEXWDQÕPODUÕQVÕUDVÕ\OD

ο(ܯ) = ܯ۪ሶܯ (4.50)

א (ܯ) = ૤ (4.51)

ܵ(ܯ) = ܯ^ିଵ (4.52)

HúLWOLNOHULÕúÕ÷ÕQGDJHUoHNOHúWLULOHELOPHVLQLPPNQNÕODU<DQLFHELUGHNL LúOHPFLOHULQNR- oDUSÕPODUÕ݅, ݇ = 1,2

(35)

26

¦

' ²

1 2 *

1

) (

m

mk im m

mk im

ik D D E E

D (4.53)

¦

' ²

1

* 2

1

) (

m

mk im m

mk im

ik D E E D

E (4.54)

3 2

1 2 *

1

)

(K D K E K K F

'

¦ ¦

ⁱ

m

m im m

m im

i (4.55)

1 )

( ₄

2 1

* 2

1

'

¦ ¦

ⁱ ⁱ

m

m im m

m im

i D J E J K F J

J (4.56)

3 3 3)

(F F F

' (4.57)

1 )

( ₄ ₃ ₄ ₄

' F F F F (4.58)

eúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHELOLU Ancak söz konusu cebir için Hopf FHELUL \DSÕVÕQGDQ

bahsedebilmek için, bu ko-oDUSÕPLIDGHOHULQLQGH– HúLWOLNOHULLOHLIDGHHGLOHQ

FHELUVHO \DSÕ LOH WXWDUOÕOÕN J|VWHUPHVL JHUHNWL÷L XQXWXOPDPDOÕGÕU %X ELOJLOHU ÕúÕ÷ÕQGD

\DSÕODQKHVDSODPDODUGD– HúLWOLNOHULLOHLfade edilen ko-oDUSÕPODUÕQGD–

HúLWOLNOHUL LOH LIDGH HGLOHQ FHELUVHO \DSÕ\Õ VD÷ODGÕ÷Õ J|UOPú YH EX hesaplamalar HVQDVÕQGD

3 4 4

3F F F

F (4.59)

HúLWOL÷LQLQ GHVD÷ODQPDVÕJHUHNWL÷L VRQXFX HOGHHGLOPLúWLU'(F₃)ve'(F₄)DUDVÕQGDNL VÕUD

GH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕVÕNRQWUROHGLOGL÷LQGHGHHúLWOL÷LLOHX\XPOXRODFDNúHNLOGH

) ( ) ( ) ( )

(F₃ ' F₄ ' F₄ ' F₃

' (4.60)

HúLWOL÷LQLQVD÷ODQGÕ÷ÕJ|UOPúWU'ROD\ÕVÕ\OD– (4.48) ve HúLWOLNOHULLOHLIDGH

HGLOHQ \DSÕQÕQ ELU +RSI FHELUL ROGX÷XQX J|VWHUPHN YH HúLWOL÷L LOH WDQÕPODQDQ

DQWLSRGXQ YDUOÕ÷ÕQGDQ EDKVHGHELOPHN LoLQ G|QúP PDWULVL M¶QLQ WHUVLQLQ YDUOÕ÷ÕQÕ

DUDúWÕUPDN JHUHNLU $QFDN M PDWULVLQLQ ELUELUOHUL LOH VÕUD GH÷LúWLUPH\HQ HOHPDQODUGDQ

ROXúPDVÕ EX PDWULVLQ WHUVLQL EXOPD\Õ ROGXNoD JoOHúWLUPHNWHGLU 6|] NRQXVX JoO÷

DúDELOPHN YH PDWULVLQ WHUVLQLQ YDUOÕ÷ÕQÕ GDKD NROD\ ELU úHNLOGH J|VWHUHELOPHN LoLQ bu matrisi,

(36)

ܯ =

ۉ ۈۈ ۇ

ߙ_ଵଶ ߙ_ଶଶ ߚ_ଵଶ^כ ߚ_ଶଶ^כ 0 0

ߚ_ଵଵ ߚଶଵ

ߚ_ଵଶ ߚଶଶ

߯ଷ

0 ߛ_ଵ ߛଶ

ߛ_ଵ^כ ߛ_ଶ^כ

߯_ସ 1ی

ۋۋ ۊ

=ቀܣ Ȟ0 ܤቁ (4.61)

úHNOLQGH \D]PDN X\JXQ RODFDNWÕU 'LNNDW HGLOLUVH M PDWULVL EX úHNLOGH \D]ÕOGÕ÷ÕQGD EX

matrisin tersi,

ܯ^ିଵ= ܯ^ିଵܯ = ૤ (4.62)

HúLWOL÷LÕúÕ÷ÕQGD

ܯ^ିଵ= ቀܣ^ିଵ ܤȞܤ^ିଵ

0 ܤ^ିଵ ቁ (4.63)

úHNOLQGH \D]ÕODELOLU 0DWULV B, birbirOHUL LOH VÕUD GH÷LúWLUHQ ߯_ଷ ve ߯_ସ HOHPDQODUÕQGDQ

ROXúWX÷XQGDQ EX PDWULVLQ WHUVLQL \D]PDN NROD\GÕU %X GXUXPGD M matrisinin tersinin YDUOÕ÷ÕQGDQ EDKVHGHELOPHN LoLQ A PDWULVLQLQ WHUVLQLQ YDU ROGX÷XQX J|VWHUPHN \HWHUOL

RODFDNWÕU A matrisinin tersi, Schirrmacher’in GL(n) grubunun çok parametreli deformasyonu [27@ LOH LOJLOL \DSPÕú ROGX÷X oDOÕúPD oHUoHYHVLQGH LQFHOHQHELOLU

Schirrmacher¶LQV|]NRQXVXoDOÕúPDVÕQGD

ܣ = ۉ ۈۇܣ_ଵ^ଵ

ܣ_ଵ^ଶ ܣ_ଵ^ଷ ܣ_ଵ^ସ

ܣ^ଵ_ଶ ܣ^ଶ_ଶ ܣ^ଷ_ଶ ܣ^ସ_ଶ

ܣ^ଵ_ଷ ܣ_ଷ^ଶ ܣ_ଷ^ଷ ܣ_ଷ^ସ

ܣ^ଵ_ସ ܣ^ଶ_ସ ܣ^ଷ_ସ ܣ^ସ_ସی

ۋۊ

(ସ௫ସ)

(4.64)

úeklinde ifade edilen çok parametreli deforme GL(4) NXDQWXPPDWULVJUXEXQXQHOHPDQODUÕ

DUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕODUÕa<b ve i<j için,

ܣ௜௔ܣ_௕^௜ =ܲ௔௕ܣ^௜_௕ܣ௔௜

(37)

28

ܣ௜௔ܣ_௔^௝ = ݍ௜௝ܣ_௔^௝ܣ௜௔

ܣ^௜_௕ܣ_௔^௝ = ݍ_௜௝

݌_௔௕ܣ_௔^௝ܣ^௜_௕ ܣ^௜_௔ܣ_௕^௝ =^௉^ೌ್

௉_೔ೕ ܣ_௕^௝ܣ^௜_௔+ (ܲ_௔௕െ_௤^ଵ

ೌ್)ܣ_௕^௜ܣ_௔^௝

HúLWOLNOHULLOHLIDGHHGLOPLúWLUHúLWOL÷LQGHNLA PDWULVLLOHHúLWOL÷LQGHWDQÕPODQDQ

ve

ܣ = ൮ ߙ_ଵଵ

ߙ_ଶଵ ߚ_ଵଵ^כ ߚ_ଶଵ^כ

ߙ_ଵଶ ߙଶଶ

ߚ_ଵଶ^כ ߚ_ଶଶ^כ

ߚ_ଵଵ ߚ_ଶଵ ߙ_ଵଵ^כ ߙ_ଶଵ^כ

ߚ_ଵଶ ߚ_ଶଶ ߙ_ଵଶ^כ ߙ_ଶଶ^כ

൲

(ସ௫ସ)

(4.69)

úHNOLQGH LIDGH HGLOHQ A PDWULVL YH VÕUD

GH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕODUÕoHUoHYHVLQGHHúOHúWLULOGL÷LQGHV|]NRQXVXHúOHúWLUPHQLQDQFDN

P_ଵଶ = P_ଷସ =ݍଵଶ =ݍଷସ = 1 (4.70)

ܲଵଷ = ܲଵସ = ܲଶଷ =ܲଶସ =ݍ^ିଶ (4.71) ݍ_ଵଷ =ݍ_ଵସ =ݍ_ଶଷ =ݍ_ଶସ =ݍ^ଶ (4.72)

eúLWOLNOHULQLQVD÷ODQPDVÕGXUXPXQGDJHUoHNOHúWL÷LJ|UOHELOLU%|\OHFHHúLWOL÷LQGHNL

A matrisinin, çok parametreli deforme GL(4) kuantum matris grubunun (4.70) - (4.72) HúLWOLNOHULQLVD÷OD\DQELUSDUDPHWUHOL|]HOELUKDOLROGX÷X V|\OHQHELOHFH÷LJLELA matrisinin WHUVLQLQYDUOÕ÷ÕQGDQGDEDKVHWPHQLQPPNQROGX÷XRUWD\DNRQPXúROXU

'|QúPPDWULVLM¶QLQHOHPDQODUÕDUDVÕQGDNLVÕUDGH÷LúWLUPHED÷ÕQWÕODUÕQÕ

ܯ_ଵ = ܯ۪૤ (4.73)

ܯଶ =૤۪ܯ (4.74)

olmak üzere,

ܴܯଵܯଶ = ܯଶܯଵܴ (4.75)

(38)

eúLWOL÷LQLVD÷OD\DQELU5PDWULVL\DUGÕPÕLOHGHLIDGHHWPHNPPNQGU$QFDNV|]NRQXVX

RPDWULVLQLHúLWOL÷LÕúÕ÷ÕQGDHOGHHWPHN\HULQH

ܴܥ_ଵܥ_ଶ = ܥ_ଶܥ_ଵ (4.76)

eúLWOL÷L ÕúÕ÷ÕQGD GD HOGH HWPek mümkündür [28@ %X HúLWOLNWHNL ܥ_ଵܥ_ଶ ve ܥ_ଶܥ_ଵ ifadeleri VÕUDVÕ\OD

(39)

30

ܥ_ଵܥ_ଶ =

ۉ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۈ ۈۇ

ܿ_ଵ^ଶ

ܿଵܿଶ

ܿ_ଵܿ_ଵ^כ

ܿ_ଵܿ_ଶ^כ

ܿଵ࣢

ܿ_ଵ

ܿ_ଶܿ_ଵ

ܿ_ଶ^ଶ

ܿଶܿ_ଵ^כ

ܿ_ଶܿ_ଶ^כ

ܿ_ଶ࣢

ܿ_ଶ

ܿ_ଵ^כܿ_ଵ

ܿ_ଵ^כܿ_ଶ

ܿ_ଵ^כଶ

ܿ_ଵ^כܿ_ଶ^כ

ܿ_ଵ^כ࣢

ܿ_ଵ^כ

ܿ_ଶ^כܿଵ

ܿ_ଶ^כܿ_ଶ

ܿ_ଶ^כܿ_ଵ^כ

ܿ_ଶ^כଶ

ܿ_ଶ^כ࣢

ܿ_ଶ^כ

࣢ܿଵ

࣢ܿ_ଶ

࣢ܿ_ଵ^כ

࣢ܿ_ଶ^כ

࣢^ଶ

࣢ܿଵ

ܿ_ଶ

ܿ_ଵ^כ

ܿ_ଶ^כ

࣢ 1 ی

ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۋ ۋۊ

(4.77)