ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇEŞİTLİ OPERATÖRLERİN BAZI KORUMA ÖZELLİKLERİ. Melek KART MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇEŞİTLİ OPERATÖRLERİN BAZI KORUMA ÖZELLİKLERİ

Melek KART

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2008

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

ÇEŞİTLİ OPERATÖRLERİN BAZI KORUMA ÖZELLİKLERİ Melek TOPALOĞLU

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Doç.Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA

Bu çalışmada çeşitli lineer pozitif operatörlerin bazı koruma özellikleri ve operatör dizilerinin konveks fonksiyon altında monoton yakınsaklığı incelenmiştir.

Tez, beş bölümden oluşmaktadır.

İlk bölüm giriş için ayrılmıştır.

İkinci bölümde, konu ile ilgili gerekli tanımlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde, tek değişkenli Bernstein Polinomlarının, f nin sağladığı Lipschitz koşulu, alttoplamsallık, monotonluk gibi özellikleri koruduğu gösterilmiştir.

Dördüncü bölümde, Meyer-König ve Zeller operatörünün, f nin sağladığı Lipschitz koşulunu koruduğu ve operatör dizisinin f konveks iken n ye göre monotonluğu incelenmiştir.

Son bölümde, tensör çarpım olmayan çok değişkenli Baskakov operatörünün f nin sağladığı Lipschitz koşulu, alttoplamsallık, monotonluk gibi özellikleri koruduğu gösterilmiştir, ayrıca operatör dizisinin f konveks iken n ye göre monotonluğu incelenmiştir.

Ağustos, 2008, 38 sayfa

Anahtar Kelimeler : Lipschitz koşulu, süreklilik modülü fonksiyonu, alttoplamsallık, konveks, monotonluk, operatör

ABSTRACT

Master Thesis

SOME RETAINING PROPERTIES OF SEVERAL OPERATORS

Melek TOPALOĞLU

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA Ankara University

Graduate School of Hatural and Applied Sciences Department of Mathematical

In this work some retaining properties of several linear positive operators and the monotonic convergence of the sequences of operators under the convex function are investigated.

The thesis consists of five chapters.

The first chapter is devoted to introduction.

In the second chapter some necessary definitions are given.

In the third chapter, it is shown that univariate Bernstein Polynomials can retain some properties of f , such as Lipschitz condition, semi-additivity and monotony.

In the fourth chapter , it is shown that univariate Meyer-König and Zeller operator can retain the Lipschitz condition of f and the monotony of the sequence of operators for

n under convexity are given.

In the last chapter, multivariate Baskakov operator which is not a tensor product costruction is considered. It is shown that the operator can retain some properties of the function f , such as Lipschitz condition, semi-additivity and monotony, moreover the monotony of the sequence of operators for n under convexity are investigated.

August, 2008, 38 pages

Key Words: Lipschitz condition, function of modulus of continuity,semi- additivity,convex,monotony, operator

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımı yönlendiren çalışmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin fikirleriyle yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam sayın Doç. Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA’ya, çalışmalarım süresince maddi manevi desteklerini esirgemeyen aileme ve özellikle beni her zaman destekleyen anneme, çalışmalarım sırasında maddi manevi önemli katkılarda bulunan eşim Yasin KART’a en derin duygularımla teşekkür ederim.

Melek KART

Ağustos, Ankara 2008

İÇİNDEKİLER

ÖZET...i

ABSTRACT...ii

TEŞEKKÜR………...………...iii

SİMGELER DİZİNİ...v

1. GİRİŞ...………...………...1

2. TANIMLAR………...…………...…….………...2

3. BERNSTEIN POLİNOMU...4

4.MEYER-KÖNIG ve ZELLER OPERATÖRÜ...12

5.ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ……...19

KAYNAKLAR...37

ÖZGEÇMİŞ……… 38

SİMGELER DİZİNİ

` Doğal sayılar kümesi

\ Reel sayılar kümesi

[ ]

^,

C a b

[ ]

^{a b,} aralığındaki sürekli fonksiyonlar kümesi L Lineer pozitif operatör n

LipAμ Lipschitz sürekli fonksiyonlar kümesi ω( )u Süreklilik modülü fonksiyonu

( , )

Bn f x Bernstein polinomu ( ; )f

ω δ f fonksiyonunun süreklilik modülü ( ; )

Mn f x Meyer-König ve Zeller operatörü

( )

, , x

Bn d f Çok değişkenli Baskakov operatörü

T = Td

{

x=( , ,..., )x x1 2 x_d ∈\^d : 0≤ < ∞ ≤ ≤x_i ,1 i d

}

1.GİRİŞ

[ ]

^,

{

^{: : ,}

[ ]

^,

}

C a b = f f a b → sürekli ve

[ ]

^,

{ [ ]

^{, :}

( ) ( ) }

C a b^∼ = f ∈C a b f a = f b (^{C a b C∼}

[ ]

^{, ,}

( )

deki periyodik fonksiyonlarının [a,b] aralığına kısıtlanması olarak alınabilir) olmak üzere cebirsel polinomların ^{C a b}

[ ]

^,

de, trigonometrik polinomların ^C∼

[

^{0, 2π}

]

de yoğun olduğu 1885’de Weierstrass tarafından kanıtlanmıştır. Weierstrass teoreminin çeşitli ispatlarının içinde en basit ve şık olanı, Bernstein tarafından verilenidir. Bernstein’in olasılık açıdan verdiği ispat,

[ ]

^,

f ∈C a b fonksiyonuna karşılık gelen ve [0,1] aralığında f ye düzgün yakınsak olacak şekilde

{

B fn

}

n_∈ polinomlar dizisini içermektedir, buradaki

0

( ; ) (1 )

n

k n k

n

k

n k

B f x f x x

k n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

dir. Yoğunluğu ispatlamak için diğer bir yöntem Korovkin teoremine dayanmaktadır.

Lineer pozitif operatörlerin genel dizileri ile yaklaşımının temeli Bohman (1952) tarafından inşa edilmiştir. Bu alandaki en önemli inceleme konularından birisi de bu operatörlerin, yaklaşılan fonksiyonun monotonluk, konvekslik, şekil koruma gibi özelliklerini koruyabilme kapasiteleridir. Bu durumda, L Lineer pozitif operatörleri _n için

L f

_{n ,}

f

’nin sağladığı bazı özellikleri sağlarsa L operatörlerine konservatif _n operatörler denir.

Bu çalışmada, tek değişkenli Bernstein, Meyer-König ve Zeller ve çok değişkenli Baskakov operatörlerinin konservatifliği incelenmiştir. Ayrıca konveks fonksiyon altında operatör dizisininn ye göre monotonluğu çalışılmıştır.

2. TANIMLAR

Tanım 2.1. V lineer bir fonksiyon uzayı ve L , V de tanımlı bir operatör olsun. Her ,

f g∈V ve her ,α β∈ için

( ) ( ) ( )

L αf +βg =αL f +βL g

ise L ye lineer operatör ve her f V∈ , ^{f ≥0 için L f}

( )

^≥0 ise L ye pozitif operatör denir (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım 2.2. f , T =T_d =

{

x=( , ,..., )x x1 2 x_d ∈ ^d : 0≤ < ∞ ≤ ≤x_i ,1 i d

}

de sürekli, reel değerli bir fonksiyon olmak üzere, herhangix x₁, ,...,₂ x_m∈T elemanları ve

1 2 ... _m 1

α α+ + +α = olacak şekildeki herhangiα α₁, ₂,...,α_m negatif olmayan sayıları için

1 1

( )

m m

i i i i

i i

f α α f

= =

⎛ ⎞ ≥

⎜ ⎟

⎝

∑

^x ⎠

∑

^x

ise f ye T de konvekstir denir (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım 2.3. ,f T ⊆ ^d de tanımlı, reel değerli, sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer (0,1]

μ∈ olmak üzere, her x=( ,..., ),x₁ x_d y=( ,...,y₁ y_d)∈T için

1

( )x ( )y ^d x_i y_i

i

f f A ^μ

=

− ≤

∑

−

sağlanacak şekilde bir A>0 sayısı varsa f ye μ ncü basamaktan Lipschitz sürekli fonksiyon denir. Buradaki A ya Lipschitz sabiti denir ayrıcaA ve μ, x ve y den bağımsızdır.

Yukarıda tanımlanan Lipschitz sürekli fonksiyonların kümesi Lip_A^μ ile gösterilir (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım 2.4. ω , T de tanımlı, sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun. Eğer

( )

1) ( ) 0,ω 0 = 0= 0,0,...,0 ;

2) ( )ω u ,u ya göre azalmayan bir fonksiyon, yani ;u v≥ ise ^ω

( )

^{u ≥ω}

( )

^{v ;}

3) ω alt toplamsal, yani; ^ω

(

^{u v+}

)

^≤ω

( )

^{u +ω}

( )

^{v ,}

koşulları gerçeklenirse ω , süreklilik modülü fonksiyonu olarak adlandırılır (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım2.5. ω , [0,1] üzerinde tanımlı, sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun.

Eğer

1) lim ( )0 (0) 0,

t ₊ω t ω

→ = =

2) ( )ω t azalmayan bir fonksiyon,

3) ω alt toplamsal, yani; ^ω

(

^t+u

)

^≤ω

( )

^{t +ω}

( )

^{u ,}

koşullarını sağlarsa ω süreklilik modülü fonksiyonu olarak adlandırılır (Li 2000).

Uyarı.2.6. ^{f ∈C}

[ ]

^0,1 fonksiyonunun ω( ; )f δ ile gösterilen süreklilik modülü,

{ [ ] }

( ; )f sup f x( ) f y( ) : x y , x y, 0,1

ω δ = − − ≤δ ∈

veLip_A^μ ile gösterilen Lipschitz sürekli fonksiyonlar sınıfı

{ [ ]

^{0,1 : ( ; ) , 0 1}

^}

LipA^μ= f ∈C ω f t ≤At^μ < ≤ t olarak tanımlanmaktadır (Cao, Ding ve Xu 2005)

Uyarı.2.7. f ,

[

^0,∞

)

da tanımlı konkav bir fonksiyon ise

0 0

i i i ( )i

i i

f ^∞ α x ^∞ α f x

= =

⎛ ⎞ ≤

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑

dir, buradaki

[ )

0

0, 1 0,

i i i

i

α ^∞ α ve x

=

≥

∑

= ∈ ∞ ^dir

(Cao, Ding ve Xu 2005)

Uyarı.2.8. Lineer pozitif bir operatör monoton artandır (Cao, Ding ve Xu 2005)

3. BERNSTEIN POLİNOMU

[ ]

^0,1

f ∈C olmak üzere, Bernstein polinomları

0

( ; ) ^{n k}(1 )^{n k}

n

k

n k

B f x f x x

k n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − ^,n ≥ (3.1) ¹

şeklinde tanımlanır. f fonksiyonunun sağladığı bazı özellikler, B_n( )f polinomları tarafından korunur .Örneğin;

f konkav ise n≥1 için B_n( )f de konkavdır ve ( ; ) ( ), [0,1]

Bn f x ≥ f x x∈

eşitsizliği sağlanır. Gerçekten

( )

¹

( )

( ; ) (0)(1 ) 1 1 ... 1

1

n n n

n

n n

B f x f x f x x f x

n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

operatöründe negatif olmayan α α₀, ,...,₁ α_n sayıları,

( )

¹

0 (1 ) , 1 1 , ... ,

1

n n n

n

n n

x x x x

α = − α =^{⎛ ⎞}⎜ ⎟ − ⁻ α =^{⎛ ⎞}⎜ ⎟n

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olarak ve x x₀, ,...,₁ x ler de _n

0 1

0, 1, ... , _n n 1

x x x

n n

= = = =

olarak alınırsa, Tanım 2.2 den

( )

¹

( )

( ; ) (0)(1 ) 1 1 ... 1

1

n n n

n

n n

B f x f x f x x f x

n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

0 ¹ (1 ) ¹ 1

n n

n n

f x x x

n n

⎛ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎞

≥ ⎜ + ⎜ ⎟ − + +⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ … ⎠

0

(1 )

n

k n k

k

n k

f x x

k n

−

=

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎝

∑

⎠

sağlanır.Burada

0

(1 ) ( ; )

n

k n k

n k

n k

x x B t x x

k n

−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ − = =

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠ olduğundan

( ; ) ( )

Bn f x ≥ f x eşitsizliği elde edilir.

Bir fonksiyon uzayının bir f elemanına Ln

( )

f yaklaşım operatörleri ile yaklaşırken f nin hangi özelliklerinin L ler tarafından korunduğunun bilinmesi önemlidir. (Bu _n konuda detaylı bilgi için Anastassio ve Gall ‘ın kitabına bakılabilir.) Bu doğrultuda, önce Bernstein polinomları için, Brown, Elliot ve Paget (1987) de elde edilen temel ispatı vereceğiz (Bu çalışma, aynı sonucun doğrultusundayapılan çalışmalar üzerine kısa bir bilgi de vermektedir).

Aşağıdaki teorem, Bernstein Polinomlarının Lipschitz sabitini koruduğunu göstermektedir.

Teorem 3.1. ( ; )B_n f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu olmak üzere f ∈Lip_A^μ ise her n≥ için, ( )1 B_n f ∈Lip_A^μ dir (Brown, Elliott ve Paget 1987).

İspat. x x₁, ₂∈[0,1] olmak üzere x₁≤ ve 0x₂ < ≤ olsun. μ 1

( )

2 1 2 1

( ) ( )

f x − f x ≤A x −x ^μ eşitsizliği sağlandığında

2 1 2 1

( ; ) ( ; ) ( )

n n

B f x −B f x ≤ A x −x ^μ eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz.

( )

2 2 2

0

( ; ) 1

n n j

j n

j

n j

B f x x f x

j n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ polinomunda

2^j ( 1 ( 2 1))^j x = x + x −x düzenlemesi yapılır ve

( )

0

n n k n k

k

x y n x y

k

−

=

+ = ⎛ ⎞⎜ ⎟

∑

⎝ ⎠

binom açılımı kullanılırsa

( )

2 2 1 2 1

0 0

( ; ) 1 ( )

n j j

n

k j k

n

j k

n j j

B f x x f x x x

j n k

−

−

= =

⎧ ⎫

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨⎩

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎬⎭

( ) ( )

^{2 1 2 1}

0 0

! (1 ) ( )

! ! !

n j

n j k j k

j k

n j

x x x x f

n j j k k n

− −

= =

=

∑∑

− − − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

bulunur. Yukarıdaki toplamların sırası değiştirilirse

( )

2 2 1 2 1

0

( ; ) ! (1 ) ( )

!( )! !

n n

n j k j k

n

k j k

n j

B f x x x x x f

n j j k k n

− −

= =

=

∑∑

− − − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

elde edilir, burada k l+ = alınarak j B_n( : )f x ₂

( )

2 2 1 2 1

0 0

( ; ) ! (1 ) ( )

! ! !

n n k

n k l k l

n

k l

n k l

B f x x x x x f

n k l l k n

− − −

= =

⎛ + ⎞

=

∑∑

− − − − ⎜⎝ ⎟⎠ (3.2)

olarak yazılabilir. Diğer taraftan

( )

1 1 1

0

( ; ) ^{n k} 1 ^{n k}

n

k

n k

B f x f x x

k n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

polinomunda

(

1−x1

)

^{n k−} =

(

(x2−x1) (1+ −x2)

)

^{n k−}

alınırsa

( )

1 1 2 1 2

0

( ; ) ( ) (1 )

n k n k

n

k

n k

B f x x f x x x

k n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

bulunur. Binom açılımından, yukarıdaki ifade

1 1 2 1 2

0 0

( ; ) ^{n k n k} ( ) (1^l )^{n k l}

n

k l

n k n k

B f x x f x x x

k n l

− − −

= =

⎧ − ⎫

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨⎩

∑

⎜⎝ ⎟⎠ − − ⎬⎭ olarak elde edilir. Son ifadede gerekli düzenlemeler yapılarak

( )

1 1 2 1 2

0 0

( ; ) ! ( ) (1 )

! ! !

n n k

k l n k l

n

k l

n k

B f x x x x x f

k l n k l n

− − −

= =

=

∑ ∑

− − − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ (3.3)

bulunur. (3.2) ve (3.3) eşitlikleri kullanılarak ,

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B f x −B f x

( )

^{1 2 1 2}

0 0

! ( ) (1 )

! ! !

n n k

k l n k l

k l

n k l k

x x x x f f

k l n k l n n

− − −

= =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞

≤

∑ ∑

− − − − ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠

farkı oluşturulur, burada f ∈Lip_A^μoluşu dikkate alınarak (Tanım (2.3) de d=1 durumu)

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B f x −B f x

( )

^{1 2 1 2}

0 0

! ( ) (1 )

! ! !

n n k

k l n k l

k l

n l

A x x x x

k l n k l n

− μ

− −

= =

≤

∑ ∑

− − − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

elde edilir. Son eşitsizlikte k→l ve l→ alınarak , k

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B f x −B f x _{2 1 1 2}

0 0

( ) (1 )

n n l

l k n l k

l k

n l n l

A x x x x

l n k

μ −

− −

= =

⎧ − ⎫

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎨⎩

∑

⎜⎝ ⎟⎠ − ⎬⎭

bulunur.

(

1 2

)

1 2

0

1 ^{n l n l k}(1 )^{n k l}

k

x x n l x x

k

− − − −

=

⎛ − ⎞

+ − = ⎜ ⎟ −

⎝ ⎠

∑

(3.4) eşitliği dikkate alınarak son eşitsizlik

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B f x −B f x 2 1

(

1 2

)

0

( ) 1

n l n l

l

n l

A x x x x

l n

μ −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ + −

şekline indirgenir. (3.1) deki Bernstein Polinomlarının tanımından, yukarıdaki son eşitsizlik,

( )

2 1 2 1

( ; ) ( ; ) ;

n n n

B f x −B f x ≤ AB t^μ x −x

olarak yazılabilir. ^{f : 0,1}

[ ]

^{→ ( )f x =xμ} konveks olduğundan ve^Bn

(

^xμ;h

)

^≤hμ

eşitsizliğinden dolayı son eşitsizlik

( )

2 1 2 1

( ; ) ( ; )

n n

B f x −B f x ≤ A x −x ^μ

elde edilir, buradan B_n( )f ∈Lip_A^μ olduğu elde edilir.

[ ]

^0,1 üzerinde tanımlı ^ω

( )

^t süreklilik modülü fonksiyonu ile ^ω

( )

^{f t;} f nin süreklilik modülü, ^ω

( )

^{f t; ≤ω}

( )

^t eşitsizliğini sağlamaktadır.

Şimdi Li (2000) tarafından ispatlanmış olan, B_n( , )f x Bernstein Polinomlarının süreklilik modülü fonksiyonu ile ilgili koruma özelliğini inceleyelim. Bu durumda tek değişkenli operatörler için Tanım 2.4. aşağıdaki şekilde kullanılacaktır.

Teorem 3.3. ( ; )B_n f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu olmak üzere, ω

süreklilik modülü fonksiyonu ise her n≥1 için ( )B_n ω da süreklilik modülü fonksiyonudur (Li 2000).

İspat. Sürekli ve negatif olmayan ω süreklilik modülü fonksiyonu ^ω

( )

^{0 =0,}

azalmayan ve alt toplamsal özelliklerini sağlarken, sürekli ve negatif olmayan B_n( )ω polinomunun

lim0 _n( ; ) 0

x B ω x

→ = , azalmayan ve alt toplamsallık özelliklerini sağladığını göstereceğiz. İlk olarak

0 0 0

lim ( ; ) lim (1 ) 0

n

i n j

x n x

j

j n

B x x x

j

ω ω n ⁻

→ → =

⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟ − =

⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

olduğu açıktır. 0≤ <x1 x2 ≤1 ve x1+ ∈x2

[ ]

0,1 olmak üzere, (3.2) ve (3.3)

kullanılarak

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B ω x −B ω x

( )

^{1 2 1 2}

0 0

! ( ) (1 )

! ! !

n n k

k l n k l

k l

n k l k

x x x x

k l n k l ω n ω n

− − −

= =

⎧ ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞⎫

=

∑ ∑

− − − − ⎨⎩ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎬⎭ (3.5)

bulunur. ω süreklilik modülü fonksiyonu olduğundan Tanım2.5. deki 3.

koşul dikkate alınarak (3.5) den

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B ω x −B ω x

( )

^{1 2 1 2}

0 0

! ( ) (1 ) .

! ! !

n n k

k l n k l

k l

n l

x x x x

k l n k l ω n

− − −

= =

≤

∑ ∑

− − − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Burada k →l ve l→ alınarak ve (3.4) eşitliği kullanılarak k

2 1

( ; ) ( ; )

n n

B ω x −B ω x ≤B_n( ;ω x₂−x₁) elde edilir. Bu durumda

2 2 1 1 2 1 1

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

n n n n

B ω x =B ω x − +x x ≤B ω x −x +B ω x

olduğundan ( )B_n ω alt toplamsallık koşulunu gerçekler. (3.5) eşitliğinden x₁ ≤ için x₂

2 1

( : ) ( : ) 0

n n

B ω x −B ω x ≥ bulunur ki bu da ( )B_n ω operatörünün azalmayan olduğunu gösterir.

Aşağıdaki teorem Bernstein Polinomlarının bir çeşit monotonluğu koruduğunu göstermektedir.

Teorem 3.4. ( : )B_n f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu ve f negatif olmayan bir fonksiyon olmak üzere, ^{x f x−1 ( ), 0,1}

( ]

üzerinde artmayan ise x B⁻¹ _n( ; )f x de artmayandır (Li 2000).

İspat. Bu ispatta ^d

{

^{x f x1}

( ) }

⁰

dx

− ≤ eşitsizliği sağlanırken ^d

{

^{x B1 n( ; )f x}

}

⁰

dx

− ≤

eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz.

{

¹

}

¹

0

( ; ) (1 )

n

k n k

n

k

d d n k

x B f x x f x x

k

dx dx n

− − −

=

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣

∑

⎦

^,

( )

1

( ) (1 )

0

n n

n k k

P x

k d d x

f f

n dx x dx x

=

⎧ ⎫

⎧ ⎫ −

=

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎨⎩ ⎬⎭+ ⎨⎩ ⎬⎭^, burada _{n k,} ( ) n ^k(1 )^{n k}

P x x x

k

⎛ ⎞ −

=⎜ ⎟ −

⎝ ⎠ dır. Yukarıdaki eşitlik düzenlenerek

{

¹

}

¹

^{( )}

1

(1 )

( ; ) (1 ) 0

n n

k n k

n

k

d k d n d x

x B f x f x x f

k

dx n dx dx x

− − −

=

⎧⎛ ⎞ ⎫ ⎧ − ⎫

=

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎨⎩⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎬⎭+ ⎨⎩ ⎬⎭

bulunur, son ifadede türev alınarak,

{

¹

} _{( ) (} ⁾

²

1

( ; ) ! 1 (1 )

! !

n

k n k

n

k

d k n

x B f x f k x x

dx n k n k

− − −

=

=

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − − −

( )

¹

( )

¹

1

! (1 )

! !

n

k n k

k

k n

f x n k x

n k n k

− − −

=

−

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − − −

( )

2¹

(1 ) (1 ) 0

n n

n x x x

f x

⎧− − − − ⎫

+ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

( ) ( )

1 2

2

! (1 )

! 2 !

n

k n k

k

k n

f x x

n k n k k

− − −

=

=

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − − −

( )

1

1 1

1

! (1 )

! 1 !

n

k n k

k

k n

f x x

n k n k

− − − −

=

−

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − − −

( )

2¹

(1 ) (1 ) 0

n n

n x x x

f x

⎧− − − − ⎫

+ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

elde edilir. Burada eşitliğin birinci kısmında k→ +k 1 alınıp, birinci ve ikinci kısım k ile çarpılıp bölünerek,

{

¹

}

¹

_{( )(} ^{( )} ₎

^{1 1}

1

1 1 !

( ; ) (1 )

1 1 !

n

k n k

n

k

n n k

d k

x B f x f x x

dx n k n k k

− − − − −

=

+ −

⎛ ⎞

=

∑

⎜⎝ ⎟⎠ + − − −

( )

( ) ( )

1 1 1

1

1 ! (1 )

1 ! 1 !

n

k n k

k

n n k

f k x x

n n k k k k

− − − −

=

⎛ ⎞ −

−

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − − − − ^f

^{( )}

^{0 1}_x²₍₁

⁽

ⁿ _x¹₎

⁾

¹−^xn

+ −

⎡ ⎤

⎣ ⎦

− −

1 1

1 1 1

1

1 1 1

(1 )

n

k n k

k

k k k k n

f f kx x x

k

n n n n

− −

− − − −

=

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞⎤ ⎛ − ⎞

= −

∑

⎢⎢⎣⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝− ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎥⎦ ⎜⎝ ⎟⎠ −

( ) ( )

2 1

1 1

0 (1 ) ⁿ

n x

f x x ⁻

+ −

⎡ ⎤

⎣ ⎦

− −

elde edilir. ^{x f x−1 ( ), 0,1}

[ ]

üzerinde artmayan olduğundan, son eşitlikten

{

^{1 n( ; )}

}

⁰

d x B f x dx

− ≤

bulunur, buradan, x B⁻¹ _n( ; )f x nin artmayan olduğu elde edilir.

Şimdi, Lipschitz sabitinin Meyer-König ve Zeller operatörü tarafından korunmasını inceleyelim.

4. MEYER-KÖNIG ve ZELLER OPERATÖRÜ

[ ]

: 0,1

f → sürekli bir fonksiyon ve n≥ bir doğal sayı olmak üzere,Meyer-König 1 ve Zeller operatörü,

[ [ ( )

1 0

( ; ) (1 ) , 0,1

( ;1) 1

k n

n

k

n

n k

M f x f k x x x

k n k

M f f

∞ +

=

⎛ + ⎞

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠⎝⎜ ⎟⎠ − ∈

=

∑

(4.1)

şeklinde tanımlanır.

Şimdi, MKZ operatörü için ,

(1; ) 1 ( ; )

n n

M f x = ve M f t x = x

olduğu dikkate alınarak, konkav f ∈C[0,1] için

1 0

( ) ^k(1 )ⁿ

k

n k k

f x f x x

k n k

∞ +

=

⎛ ⎛ + ⎞ ⎞

= ⎜⎝

∑

⎜⎝ ⎟⎠ − + ⎟⎠

1 0

(1 ) ( ; )

k n

n k

n k k

x x M f x

k n k

∞ +

=

⎛ + ⎞

≤

∑

⎜⎝ ⎟⎠ − + =

eşitsizliği kolayca elde edilir. Aşağıdaki teorem Meyer-König ve Zeller operatörünün Lipschitz sabitini koruduğunu göstermektedir.

Teorem 4.1. ( ; )M_n f x , (4.1) ile verilen Meyer-König ve Zeller operatörü olmak üzere,

f ∈LipA^μ ise her n≥ için, 1 Mn

( )

f ∈LipA^μ dir (Trif 2003).

İspat. x x₁, ₂∈[0,1] olmak üzere x₁≤ ve 0x₂ < ≤ olsun. μ 1 f ∈Lip_A^μ olduğundan

( )

2 1 2 1

( ) ( )

f x − f x ≤A x −x ^μ eşitsizliği sağlandığında

2 1 2 1

( ; ) ( ; )

n n

M f x −M f x ≤ A x −x ^μ

eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz. (4.1) den

1

2 2 2

0

( ; ) ^j(1 )ⁿ

n

j

n j

M f x f j x x

j n j

∞ +

=

⎛ ⎞⎛ + ⎞

=

∑

⎜⎝ + ⎟⎜⎠⎝ ⎟⎠ −

dir, burada ₂ ^{2 1 1 1 2} 1 1

j

j x x x x x

x x

⎛ − + − ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠ alınarak M_n( ; )f x aşağıdaki şekilde ₂

yazılabilir:

_{2 2} ^{1 2 1 1 1 2}

0 1

( ; ) (1 )

1

j n

n

j

n j x x x x x

M f x f j x

n j j x

∞ +

=

+ ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎛ ⎞ − + −

=

∑

⎜⎝ + ⎟⎜⎠⎝ ⎟⎠ − ⎜⎝ − ⎟⎠ ^.

Son formülde

( )

1 2

2 1 2 2 1

0 1

(1 )

( ; ) (1 ) ( )

(1 )

n j

n j

j

n j x

M f x f j x x x x

j

n j x

∞ +

=

⎛ ⎞⎛ + ⎞ −

=

∑

⎜⎝ + ⎟⎜⎠⎝ ⎟⎠ − − + −

şeklinde düzenleme yapılıp en sondaki parantezde binom açılımı kullanılırsa

1 2

2 1 2 2 1

0 1 0

(1 )

( ; ) (1 ) ( )

(1 )

n j

k k j k

n j

j k

n j x j

M f x f j x x x x

j k

n j x

∞ +

−

= =

⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ − ⎛ ⎞

=

∑

⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝ ⎟⎠ −

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ − − bulunur. Toplamların sırası değiştirilerek

( )

1

1 2 1 2

2

0 1

( ) (1 )

( )!

( ; )

! ! ! (1 )

k j k k n

n j

k j k

x x x x

j n j

M f x f

n j n k j k x

− + +

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ + − −

=

∑∑

⎜⎝ + ⎟⎠ − −

bulunur, burada j k l= + alınarak

1 2 1 2

2

0 0 1

( ) (1 )

( )!

( : )

! ! ! (1 )

k l n k l

n k l

k l

x x x x

k l n k l

M f x f

n k l n k l x

∞ ∞ + +

= = +

− −

+ + +

⎛ ⎞

=

∑∑

⎜⎝ + + ⎟⎠ − (4.2)

sonucuna ulaşılır. Diğer taraftan, M_n( ; )f x dikkate alınırsa, (4.1) den ₁

1

1 1 1

0

( ; ) ^k(1 )ⁿ

n

k

n k

M f x f k x x

k n k

∞ +

=

⎛ + ⎞

⎛ ⎞

=

∑

⎜⎝ + ⎟⎠⎝⎜ ⎟⎠ −

elde edilir. M_n( ; )f x de gerekli düzenlemeler yapılarak ₁

1 2

1 1 1

0 1 2 1

1

(1 ) 1

( ; )

(1 )

1 1

n k k

n k n k

k

n k x

M f x f k x

k

n k x x x

x

∞ + +

= + +

⎛ + ⎞ −

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠ − ⎛⎜⎝ − −− ⎞⎟⎠

∑

bulunur, burada

1 0

( ) (1 ) ^{n k l}

l

n k l

f x x x

l

− − − ∞

=

⎛ + + ⎞

= − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

olduğunu gösterelim.

( ) (1 ) ^{n k} 1

f x = −x ^{− − −}

' 2 '

( ) ( 1)(1 ) ^{n k} (0) ( 1)

f x = n+ +k −x ^{− − −} ⇒ f = n+ + k

''( ) ( 1) ( 2)(1 ) ^{n k} 3 ''(0) ( 1) ( 2)

f x = n+ +k n+ +k −x ^{− − −} ⇒ f = n+ +k n+ + k

...

( )^l ( ) ( 1)( 2)...( )(1 )^{n k l}1 ( )^l(0) ( 1)( 2)...( ) f x = + +n k n k+ + n k l+ + −x^{− − − −} ⇒f = + +n k n k+ + n k l+ +

( )

^{1 ( )}

( )

0 0

( ) 1 0

!

l

n k l l

l l

n k l

f x x f x x

l l

∞ ∞

− − −

= =

⎛ + + ⎞

= − = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

elde edilir. Bu eşitlikte, ^{2 1} 1 1

x x

x x

→ −

− alınırsa

1

2 1 2 1

1 0 1

1 1 1

n k l

l

n k l

x x x x

l

x x

− − − ∞

=

⎛ − ⎞ ⎛ + + ⎞⎛ − ⎞

− =

⎜ − ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠

elde edilir. Buna göre bu eşitliği M_n( ; )f x de dikkate alırsak, ₁

( )

( )

1

1 2 2 1

1

0 1 0 1

( ; ) 1

1 1

l k n k

n k

k l

n k x x n k l x x

M f x f k

k l

n k x x

∞ + + ∞

= =

+ − + + ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

⎛ ⎞

=

∑

⎜⎝ + ⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠ −

∑

⎜⎝ ⎟⎠⎝⎜ − ⎟⎠

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

0 0 1

! 1

! ! ! 1

n k l

k

k l

k l

n k l x x x x

f k

n k n k l x

∞ ∞ + +

= = +

+ + − −

⎛ ⎞

=

∑∑

⎜⎝ + ⎟⎠ − (4.3)

elde edilir. Bu durumda aşağıdaki sonuçlara ulaşılır.

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

, 0 1

! 1

! ! ! 1 1

n k l

k

k l k l

n k l x x x x

n k l x

∞ + +

= +

+ + − −

− =

∑

, (4.4)

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

2

, 0 1

! 1

! ! ! 1

n k l

k

k l k l

n k l x x x x

k l

n k l n k l x x

∞ + +

= +

+ + − −

+ =

+ + −

∑

, (4.5)

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

1

, 0 1

! 1

! ! ! 1

n k l

k

k l k l

n k l x x x x

k x

n k n k l x

∞ + +

= +

+ + − −

+ − =

∑

. (4.6)

(4.2) ve (4.3) den

2 1

( ; ) ( ; )

n n

M f x −M f x

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

, 0 1

! 1

! ! ! 1

n k l

k

k l k l

n k l x x x x k l k

f f

n k l x n k l n k

∞ + +

= +

+ + − − ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞

≤

∑

− ⎜⎝ + + ⎟⎠− ⎜⎝ + ⎟⎠ (4.7)

elde edilir. f ∈Lip_Aμ olduğundan

k l k k l k

f f A

n k l n k n k l n k

+ + μ

⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ≤ ⎛ − ⎞

⎜ + + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + + + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

eşitsizliği (4.7) de dikkate alınarak,

2 1

( ; ) ( ; )

n n

M f x −M f x

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

, 0 1

! 1

! ! ! 1

n k l

k

k l k l

n k l x x x x k l k

A n k l x n k l n k

+ + μ

∞

= +

+ + − − ⎛ + ⎞

≤

∑

− ⎜⎝ + + − + ⎟⎠

bulunur. (4.4) ve ^t∈

[ [

^{0,∞ → ∈tμ}

[ [

^0,∞ fonksiyonunun konveks olduğu dikkate alınarak yukarıdaki eşitsizlikten

2 1

( ; ) ( ; )

n n

M f x −M f x

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2 1

, 0 1

! 1

! ! ! 1

n k l

k

k l k l

n k l x x x x k l k

A n k l x n k l n k

+ + μ

∞

= +

⎡ + + − − ⎛ + ⎞⎤

≤ ⎢⎢⎣

∑

− ⎜⎝ + + − + ⎟⎠⎥⎥⎦

sonucuna varılır. Burada (4.5) ve (4.6) eşitlikleri kullanılarak ,

( )

2 1 2 1

( ; ) ( ; )

n n

M f x −M f x ≤A x −x ^μ

elde edilir. O halde M f_n ∈Lip_Aμ dır.

Şimdi, ( )M_n f operatörünün n ye göre monotonluğunun Cheney ve Sharma tarafından verilen ispatını inceleyelim.

Teorem 4.2. ( ; )M_n f x , (4.1) ile verilen Meyer-König ve Zeller operatörü ve , [0,1]f aralığında tanımlı konveks bir fonksiyon olsun.Bu durumda

(

M fn

)

azalmayandır (Cheney ve Sharma 1964).

İspat. f fonksiyonu konveks olduğundan α₁ >0, α₂ >0ve α α₁+ ₂ = olmak üzere 1

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( )

f α x +α x ≥α f x +α f x eşitsizliğini kullanarak M_n( ; )f x ≤M_n+1( ; )f x eşitsizliğini elde edeceğiz.

( )

¹

0

( ; ) 1 ⁿ

n

v

v n

M f x x f x

n v ν ν

ν

+ ∞

=

⎛ + ⎞

⎛ ⎞

= −

∑

⎜⎝ + ⎟⎠⎝⎜ ⎟⎠

ve

( )

²

1

0

( ; ) 1 1

1

n n

v

v n

M f x x f x

n v ν ν

ν

+ ∞ +

=

⎛ + + ⎞

⎛ ⎞

= −

∑

⎜⎝ + + ⎟⎠⎝⎜ ⎟⎠

olmak üzere

( ; ) 1( ; )

n n

M f x −M ₊ f x

( )

¹

( )

²

0 0

1 1 1

1

n v n n v n

x f x x f x

v v

n n

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

∞ ∞

+ +

= =

+ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −

∑

⎜⎝ + ⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠ − −

∑

⎜⎝ + + ⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠

olarak bulunur, burada

(

^1−x

)

ⁿ⁺¹ parantezine alırsak, ( ; ) 1( ; )

n n

M f x −M ₊ f x