Çok değişkenli Baskakov operatörü

T.C.

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ

SEDA ARPAGUŞ

KASIM 2015

Matematik Anabilim Dalı Seda ARPAGUŞ tarafından hazırlanan ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylıyorum.

Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklikleri yerine getirdiğini onaylıyorum.

Doç. Dr. Ali OLGUN Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan (Danışman) :Doç. Dr. Ali OLGUN ______________

Üye :Doç. Dr. Rabia AKTAŞ ______________

Üye :Yrd. Doç. Dr. Başar YILMAZ ______________

..../…./….

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamıştır.

Prof. Dr. Mustafa YİĞİTOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

i ÖZET

ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ

ARPAGUŞ, Seda Kırıkkake Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Doç. Dr. Ali OLGUN

Kasım 2015,111 sayfa

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır.

İkinci bölümde konuyla ilgili bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir.

Baskakov operatörüne giriş yapılmıştır. Çok boyutlu Baskakov operatörünün yakınsaklığı Korovkin teoremi yardımıyla gösterilmiştir ve yakınsama hızları hesaplanmıştır. Üçüncü bölümde ise çok değişkenli Baskakov operatörü çalışılmıştır. İlk olarak operatörünün bazı özelliklerine yer verilmiştir. İkinci olarak operatör dizisi için monotonluğu incelenmiştir. Son olarak da K- fonksiyoneli ve düzgünlük modülü kullanılarak inceleme yapılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Çok değişkenli Baskakov operatörü, Yakınsaklık, Korovkin teoremi, Monotonluk, K-fonksiyoneli, Düzgünlük modülü

ii ABSTRACT

ON MULTİVARİATE BASKAKOV OPERATOR

ARPAGUS, Seda Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ali OLGUN November 2015, 111 pages

This thesis consists of three chapters. The first chapter is reserved for introduction. In the second chapter, some fundamental definitions and theorems are given on the subject and entry is made to Baskakov operator.

Continuity of multivariate Baskakov operator is showed by Korovkin theorem and their speed of convergence are calculated. In the third chapter, multivariate Baskakov operator is worked. Firstly some properties of the operator is implied. Secondly the monotony of the operator’s sequence is examined. Lastly an examination is conducted utilizing the K-functional and modulus of smoothness.

Key Words: Multivariate Baskakov operator, Convergenty, Korovkin theorem, Monotony, K-functional, Modulus of smoothness

iii TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca tecrübeleriyle, bilgisiyle yüksek lisans öğrenimimde ve tezimin hazırlaması esnasında hiçbir desteğini ve ilgisini esirgemeyen değerli danışman hocam, Sayın Doç. Dr. Ali OLGUN’a, emeği geçen Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümünün değerli hocalarına ve eğitim hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ederim.

iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ...i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ... iv

SİMGELER DİZİNİ...v

1. GİRİŞ ...1

1.1. Kaynak Özetleri ...2

2. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER...3

2.1. Yakınsaklık Teoremleri ...4

2.2.

L

₁ Uzayında Olan Fonksiyonların Süreklilik Modülü ve Özellikleri ....21

2.3. Sonlu Aralıkta Sürekli Fonksiyonlar Uzayı ...26

2.4. Lineer Pozitif Operatörler...29

2.5. Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin Yakınsaklık Koşulları ...35

2.6. K-Fonksiyoneli ...41

2.7. Baskakov Operatörü ...49

3. ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ...68

3.1. Çok Değişkenli Baskakov Operatörü İçin Bazı Özellikler...69

3.2. Çok Değişkenli Baskakov Operatörünün Dizisi İçin Monotonluk...83

3.3. K-Fonksiyoneli ve Düzgünlük Modülü...94

4. TARTIŞMA VE SONUÇ...108

KAYNAKLAR ...109

v

SİMGELER DİZİNİ

 

^,

C a b

 

^{a b,} aralığında sürekli fonksiyonlar uzayı



^,



B f xn Baskakov operatörü



^{X d,}



^{Metrik uzay}

 

k

f xj

 İleri fark operatörü

Lp Üzerinde tanımlı ölçüye göre mutlak değerlerinin pyinci kuvveti integrallenebilen ve sonlu değer alan fonksiyonlar uzayı

r

Wp Sobolev uzayı

 

LipM

 

yıncı basamaktan Lipschitz sınıfı



^f;



 

Sürelilik modülü

 

2 f t;



 İkinci dereceden Ditzian-Totik

süreklilik modülü

L1



L₁ süreklilik modülü



^,



L f xn Lineer pozitif operatörler

 

^{f t;}

 

süreklilik modülünün konkav

majorantı

f p L_p uzayı üzerinde tanımlı norm

 

L Tp T üzerinde Lebesque fonksiyonlar

uzayı

 

^;

K f t K fonksiyoneli

 

^;

r r

K_ f t Petree-K fonksiyoneli

1 1. GİRİŞ

Yaklaşımlar teorisi Matematik Analizin önemli çalışma alanlarından birisidir.

Bu alanda şimdiye kadar birçok çalışma yapılmıştır. Halen de çalışmalar yoğun olarak devam etmektedir. Bu çalışmaların çoğu lineer pozitif operatör dizileri için Korovkin tipi teoremlere dayanmaktadır. P.P. Korovkin 1953 yılında ^C

 

^{0,1 uzayında}

 

0,1 aralığı üzerinde bütün sürekli fonksiyonların

1 , x

ve

x

² ile aynı özelliklere sahip olduğunu görmüştür. Daha sonra bu durum geliştirilerek yaklaşımlar teorisinin temelini oluşturmuştur.

Bu teori reel analiz, fonksiyonel analiz, harmonik analiz, ölçü teorisi, istatistik teorisi, toplanabilme ve uygulamalı matematik ile doğrudan bağlantılıdır.

Daha sonra Korovkin teoremi çok boyutlu uzaylara genişletilmiştir [2].

Yaklaşımlar teorisinde temel operatör olarak

   

0

; 1

n k n k

n

k

k n

B f x f x x

n k





   

    

  



Bernstein operatörü baz alınmıştır. Daha sonra bu operatör kullanılarak birçok operatör tanımlanmıştır. Bu operatörlerden biriside Baskakov operatörüdür. V.A. Baskakov 1957 yılında

     

0

; 1

^k

1

^{n k}

: 0,

n

k

n k k

B f x x x f x n N

k n

 



     

             

Baskakov operatörünü tanımlamıştır ve bu operatörün yakınsaklık özelliklerini incelemiştir [2]. Daha sonra bu operatörün çeşitli özellikleri incelenmiştir.

2

Baskakov operatörü baz alınarak Baskakov-Kantorovich operatörü, Baskakov-Durrmeyer operatörleri tanımlanmış ve bu operatörlerin çeşitli özellikleri incelenmiş ve halen incelemeler devam etmektedir.

Yaklaşım teorisinde operatörün yakınsaması kadar bu yakınsamanın hızı da önemlidir. Üstelik bu hız ne kadar hızlı olursa yakınsama o kadar iyi olmaktadır. Yakınsak hızı içinde V.Totik tarafından tanımlanan süreklilik modülü ve K fonksiyoneli kullanılmaktadır. Süreklilik modülü ve

K fonksiyoneli birbiri ile bağlantılıdır [12].

Bu tezde çok değişkenli Baskakov operatörünün temel özellikleri incelenecektir. Daha sonra operatörün yakınsaklık hızı K fonksiyoneli yardımı ile verilecektir. K fonksiyonelinin temel özellikleri yardımı ile operatörün yakınsama özellikleri incelenecektir. Bunlar yapılırken işlemlerin kolay anlaşılması için çoğunlukla iki değişkenli operatör baz alınacaktır. Elde edilen sonuçların çok değişkenli operatörler içinde geçerli olduğu, operatörün lineer olmasından dolayı kolayca söylenebilir.

1.1. Kaynak Özetleri

Bu tezde Feilong Cao, Chunmei Ding ve Zongben Xu tarafından 2009 yılında yapılan bir çalışma temel alınacaktır. Bu çalışmada çok değişkenli Baskakov operatörünün yakınsaklık özellikleri incelenmiştir. Bu özellikler incelenirken çoğunlukla süreklilik modülü ve K fonksiyoneli kullanılmış, ayrıca operatörün monotonluk özelliği incelenmiştir.

Bu incelemeler sırasında yaklaşımlar teorisinde Baskakov ve diğer operatörler için verilmiş süreklilik modülü özellikleri, K fonksiyoneli özellikleri ve yardımcı çeşitli çalışmalardan faydalanılmıştır. Bu çalışmalar tezin kaynaklar kısmında mevcuttur [12, 23]. Ancak tezdeki işlemlerin anlaşılabilir olması bakımından incelemeler bazen iki boyutlu operatör için yapılacaktır.

3

2. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER

Bu kısımda tezde kullanılacak bazı tanım, teorem ve eşitsizlikler verilecektir.

Tanım 2.1. (Normlu Uzay):

X reel veya karmaşık bir doğrusal uzay olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan

 

. : ,

p  X  R p x  x

fonksiyonuna X üzerinde bir norm denir. ,x yX ve



R veya(



C) için

(N 1)

x  0

(N 2)

x    0 x 0

(N 3)

 x   x

(N 4)

x y   x  y

Eğer . , X kümesi üzerinde bir norm ise



^{X, .}



ikilisine bir normlu uzay denir.

Not 2.1.

Yukarıdaki tanımda (N 2) koşulu yerine x 0 x 0 koşulu alınırsa, . ye yarı norm ve



^{X, .}



ikilisine de yarı normlu uzay denir.

4 Tanım 2.2. (Tam Uzay):



^{X d,}



bir metrik uzay ve

 

xn bu uzayda bir dizi olsun.  



0 için m n n,  ₀ olduğunda ^{d x x}



_m^, _n



^

^

olacak şekilde

n

₀ sayısı varsa

 

^x_n ^dizisine

Cauchy dizisi denir. X teki her bir Cauchy dizisi yine X teki bir noktaya yakınsıyor ise yani x_n  x X ise X uzayına tam uzay denir.

Tanım 2.3. (Banach Uzayı):



^{X, .}



bir normlu uzay olsun. Eğer X norm metriğine göre tam ise X e bir Banach uzayı denir.

Tanım 2.4. (İleri Fark Operatörü):

     

^{j j 1 j}

f x f x _ f x

   olmak üzere k1 için

 

¹

 

^{1 1}

 

k k k

j j j

f x

^

f x

_ ^

f x

    

şeklinde tanımlanan operatöre ileri fark operatörü denir.

2.1. Yakınsaklık Teoremleri

Teorem 2.1.

 

, ,

f a b

aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere derecesi

n

den büyük olmayan öyle bir P xn

 

polinomlar dizisi vardır,

5 öyleki bu aralığın her noktasında

       

lim

_n

lim max

_n

0

n

P x f x

n a x b

P x f x



 

  

 

oluyorsa P xn

 

,

^{f x}  

e düzgün yakınsaktır.

Teorem 2.2. (Lusin Teoremi):

 

^{, , 1}

f L a bp p için

  ^{a b ,}

aralığında öyle bir sürekli



fonksiyonu bulabiliriz ki



yeterince küçük bir sayı olmak üzere

f  

p

 

dır.

Lusin teoreminden denilebilir ki L_p de olan bir fonksiyon L_p normunda bir P_n polinomunun limiti şeklinde gösterilebilir. Yani fL_p için Lusin teoremi gereğince sürekli bir



fonksiyonu bulunabilir, öyleki f 



_p 



dır.

Yine



^,

  ^{a b ,}

aralığında sürekli olduğunda bir P xn

 

polinomlar dizisi vardır, öyleki

  ^{a b ,}

aralığında

^   ^x

e düzgün yakınsar. Yani

   

lim max

_n

0

n a x b

P x  x

  

 

dır. Şimdi P xn

 

polinomlarının L_p normunda

f

ye yakınsadığını gösterelim.

Yukarıdaki iki teorem birleştirilirse;

 

n

 

p

     

n

 

p

f x  P x  f x   x   x  P x

   

p

 

n

 

p

f x  x  x P x

   

6

   

b 1p

p n a

x P x dx

 ^  ^

    

  

     

¹

max

_n ^p

a x b

x P x b a

 

 

 

 





olur ki bu da P xn

 

polinomlarının

^{f x}  

^e Lp normunda yakınsadığını gösterir.

Tanım 2.5. (Minkowsky Eşitsizliği):

, _P

f g L için

p p p

f  g  f  g

eşitsizliği sağlanır.

Tanım 2.6. (Genelleştirilmiş Minkowsky Eşitsizliği):

D

1 ve

D

₂ölçülebilir uzaylar

f D D :

₁



₂

 R

ölçülebilir fonksiyon olmak üzere

       

1 2 2 1

1 1

, ,

p p p

p

D D D D

f y K x y dy dx f y K x y dx dy

   

      

   

     

   

2 1

1

,

p p

D D

f y  K x y dx  dy

        

eşitsizliğine genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliği denir.

7 Tanım 2.7. (Hölder Eşitsizliği):

1 1

1 , 1 , _P , _q

p f L g L

p q

     ^için

       

1 1

p q

p q

D D D

f x g x dx  f x dx   g x dx 

    

   

  

p q

f g



dir.

Tanım 2.8. (Sobolev Uzayı):

1  p , k N 0 olmak üzere

  ^:  ^:

¹

  ^,

k loc

W

p

  f   R f  L     k

için

D f

w^

 L

p

   

ile tanımlanan küme Lp

 

 uzayının alt uzayıdır. Bu uzaya Wp^k

 

 Sobolev uzayı denir.

Bu uzayda

p  1

için 1

 

L

loc



lokal integrallenebilir fonksiyonlar sınıfını gösterir.

Tanım 2.9. (Lipschitz Sınıfından Fonksiyonlar Uzayı):

 

f x bir I aralığında tanımlanmış fonksiyon olsun. 0 



1 olmak üzere her x x₁, ₂I için

 

1

 

2 1 2

f x  f x  M x  x

^

8

olacak şekilde bir M 0 varsa

f

ye

 

yıncı basamaktan Lipschitz sınıfındandır denir ve f LipM

  

ile gösterilir.

Bir I aralığında

1) f LipM

  

ise

f

fonksiyonu bu aralıkta süreklidir.

2)



1 için f LipM

  

ise

f

sabit fonksiyondur.

Tanım 2.10. (Konveks ve Konkav Fonksiyon):

 

0, ,1 2,..., _n , x x x x a b

  ve



_nR için

0 1 2

...

_n

1

        

olmak üzere

 

0 0

n n

r r r r

r r

f  x  f x

 

  

 

   

eşitsizliği sağlanıyorsa

f

fonksiyonuna konveks fonksiyon denir.

Eğer

 

0 0

n n

r r r r

r r

f  x  f x

 

  

 

   

eşitsizliği sağlanıyorsa

f

fonksiyonuna konkav fonksiyon denir.

9 Tanım 2.11. (Süreklilik Modülü):

 

, ,

x y a b olmak üzere x y 



şartını sağlayan



0 için ^{f x}

 

^{ f y}

 

nin en küçük üst sınırına ^{f x}

 

in süreklilik modülü denir.

 ^:  ^sup    

x y

f f x f y

 



 

 

veya

 ^:  ^sup    

h

f f x h f x

 





  

sembolleri ile gösterilir.

Tanım 2.12. (Jensen Eşitsizliği):

f

fonksiyonu konkav olsun ve

P

_i

 0 ; ( i  1, 2,  , ) n

sayıları

1 2 _n

1

P P   P 

eşitliğini sağlasın. Bu durumda konkavlık aralığından alınmış

x x

₁

,

₂

,  , x

_n^{ler için}



1 1 2 2 n n



1

 

1 2

 

2 n

 

n

f Px  P x  P x  P f x  P f x  P f x

eşitsizliği sağlanır.

Not 2.2.

Bu eşitsizlik

 1

ile çarpıldığında tersine döneceğinden konveks fonksiyonlar için bu eşitsizlik tersine döner.

10 Not 2.3.

Negatif olmayan

P

_i ler için

P P

₁



₂

 P

_n

 1

koşulu verilmeden yukarıdaki eşitsizlik

     

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

n n

n n

n n

P f x P f x P f x

Px P x P x

f P P P P P P

 

    

     

 

şeklinde yazılabilir. Burada

1 2

1 2 1 2 1 2

n

1

n n n

P P P

P P P  P P P  P P P 

     

dir.

Tanım 2.13.

İkinci dereceden Ditzian-Totik süreklilik modülü

           

2

0

, sup 2 2

h t

f t f x h x f x h x f x



 _

 

  

    

olarak tanımlanır. Burada

^  

^{x  x}



^1x



^dir.

 

T  R dd N olsun. Buradaki T

 



¹

^,

²

^,...,

^d

^{: 0 ,1} 

d d i

T T   x  x x x  R      x i d

şeklindedir.

11

T

üzerinde sürekli fonksiyonlar için ^{f C T}

 

süreklilik modülü

 ^{f u ,}  ^sup  ^{f x}   ^{f y}   ^{: x}

ⁱ

^y

ⁱ

u x y T u T

ⁱ

^{, , ,}

^d



      

şeklinde tanımlanır.

Eğer

^  

^{t ,}



^0,ba



aralığında sürekli ve azalmayan bir fonksiyon ve

 

^{0 0}



 olan bir fonksiyon ise, o taktirde

   

*

0

inf

x t

t t x

x

 



 

olarak tanımlanan fonksiyon bir süreklilik modülüdür ve süreklilik modülünün sağladığı özellikleri sağlar.

 

* t t



artmayan bir fonksiyon olduğundan

^

^*

 

^t azalmayan bir fonksiyondur.

Eğer

^  

^{t ,}



^0,ba



aralığında azalmayan sürekli ise o taktirde

^  

^{0 0 ve}

 

^t

t



artmayandır. Bu ifade de bir süreklilik modülüdür. ^* fonksiyonu alt

toplamsaldır. Yani

             

* 1 2 1 2 1 2 * *

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

t t t t t t

t t t t t t t t

t t t t t t

   

   ^  ^      

 

eşitliği sağlanır.

12 Ayrıca



k

 

t fonksiyonu için

 

2

 

1

2

1



2 1



k

t

k

t k k t t

     

eşitsizliği sağlanır.

Eğer t₁t₂ ve

   

1 2

0inf 0inf

x t x t

x x

x x

 

     eşitsizliği sağlanıyorsa

   

1 1 2

0inf inf

x t t x t

x x

x x

 

     eşitsizliği de sağlanır.

Böylece

         

1 1 2

* 2 *

1 1 1 2

0

inf inf

x t t x t

x t

t t t x t

x x

    

   

   

yazılabilir.Buna göre

eğer

^  

^t bir süreklilik modülü ise, o taktirde

 

^*

   

1

2  t   t   t

eşitsizliği sağlanır.

 

^t



ve

^

^*

 

^t süreklilik modülü t0 için aynı dereceden yakınsaktır.

Benzer eşitsizlik f x

 

Lp için de vardır. Yani



²

 

¹

    

^* 2 1 2

2 1

; ;

2 ,

f t f t

t t t

t t

    

 

^*

   

1 ; ;

2  f t

^Lp

  t

^Lp

  f t

^Lp eşitsizliği sağlanır.

13

 

^{a b,} aralığında sınırlı herhangi bir fonksiyon için

 

^{x f x}

 

^{f b}

 

^{f a}

     

^{x a f a}



  b a^  



eşitsizliğini sağlayan bir

^  

^x fonksiyonu vardır. Eğer

 

1 ,

a x  2 a b x h a  ve x h b  ise

 ^{x h}  ²   ^x  ^{x h}   ^{x h}  ²   ^{x 2}  ^{2 a h x} 

               

 ^{x h}  ²  ^{a h}   ^{2 a h x} 

  

      

   

2 2

2

a h a h a

  ^{ } 

        

  ²  ² 

2

x a h a h x

  ^{ } 

         

 

5  

2

; h



eşitsizliği de sağlanır.

Tanım 2.14.

f I :  R

sınırlı ve reel değerli bir fonksiyon ve

  0

için



argümanlı

f

nin süreklilik modülü

       

, ,

, : sup sup

_h

x y I x y I

x y x y

f f x f y f x

 

 

 

   

   

şeklinde tanımlanır. Bu şekilde tanımlanan süreklilik modülüne

f

nin süreklilik modülü adı verilir.

14

Genellikle eğer f I:  sınırlı reel değerli bir fonksiyon ve R



 ve 0 k olmak üzere N

       

0 ,

, : sup 1

k m k

k

k h

h m

x x kh I

f f x k f x mh

m



 

^

 

 

        

  

f

nin k yıncı süreklilik modülü olarak tanımlanır.

Lemma 2.1.

I

reel bir aralık ^{f C I}

 

olsun. O taktirde her bir k için aşağıdaki N ifadeler doğrudur.

1) Eğer 0 

 

1 2 



_k



f,



1







_k



f,



2



dir.

2)

 

0

lim _k f, 0

 _ 

  her ^{f C I}

 

için sağlanır.

3) Her bir



0 için



_k1



f,

 

2



_k



f,

 

dir.

4) Eğer

f

türevlenebilen bir fonksiyon ve ^{fC I}

 

ise, o taktirde

   

1

, ,

k

f

k

f



_

    

her



0 için sağlanır.

5) Her bir 0



 ve n N için



k



f n^,

 

n^k



k



f^,

 

dir.

6) Her bir 0



 ve



 için 0

^

^k



^f,

^ 

   



^{1  }

^ 

^k

^

^k

^

^f,

^{ }

sağlanır.

Burada   



^,



nın tam kısmını göstermektedir.

15 İspat 2.1.

1). ve 2). tanım gereğince kolayca görülebilir. 3). özellik doğrudan

     

k 1 k k

h^

f x

h

f x h

h

f x

     

ve

     

,

, : sup

x y I x y

f f x f y



 

 

 

bir sonucudur.

4) ü gösterelim. Her bir h R h , 



ve x I , öyleki x kh I  olduğunda,

     

k 1 k k

h^

f x

h

f x h

h

f x

     

       

0

1 1

k m k

m

k f x m h f x mh

m





   

            

 

^{ 1}

 

0

1

m h

k m k

m mh

k f x t dt m

 



  

        

   

0 0

1

k k

m k m

k f x mh t dt m





  

     

   

   

0 0

1

h h m k

m

k f x mh t dt m





  

     

  



   

0 0

h h

k k

h

f x t dt 

h

f x t dt 

       

   

0

, ,

h

k

f dt

k

f

     

  

olur. Görülmektedir ki

   

1

, ,

k

f

k

f



_

    

olur.

16

Eğer k  ya da 0 k  alınırsa 5). özellik doğrudan sağlanır. 1

Şimdi kabul edelim ki k  olsun. Verilen 2



 için 0

   

,

, : sup

^k

k h

h x x kh I

f f x



 

 

 

sağlanacak şekilde h R ve h 



vardır, öyleki x I ve ^{x n k}



^{ 1}



^I

için



k



f n^,

 

 ^knhf x

 





olur. ^k_h^{1f x}

 

^{ k}_h^{f x h}



^



^{ k}_h^{f x}

 

^ifadesi

gereğince

 

¹

 

¹

 

k k k

nh

f x

nh^

f x nh

nh^

f x

     

 

1 2 1

1 2 1 1

1

1 2

0 0 0 0

... ...

k k

n n n n

k

h h k

i i i i

f x i h i h i h



   



   

 

        

 

  

 

1 2

1 1 1

1 2

0 0 0

... ...

k

n n n

k

h k

i i i

f x i h i h i h

  

  

       

yazılabilir. Böylece

     

1 2

1 1 1

1

0 0 0

, ... ...

k

n n n

k k

k nh h k

i i i

f n f x f x i h i h

  

^{  }



  

          

 ^, 

k

n 

k

f  

 

olarak elde edilir. 6). özellik ise 1). ve 5). özelliğin bir sonucudur.

Bir

A

metrik uzayında verilen

f

fonksiyonunun

^  

^{f t, :}

^  

^t süreklilik modülü fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

17 Burada ^{A R R} ^, ^,

 

^{a b,} olabilir.

       

,

, sup , 0

x y t x y A

t f t f x f y t

 

 

   

açık olarak

^  

^t bir sabittir. Eğer

A

sınırlı ve t diamA ise; eğer

f A ,

üzerinde düzgün sürekli ise



fonksiyonu süreklidir.



^t0



Kabul edelim ki ^{f  C A}

 

^,

^A

üzerinde düzgün sürekli fonksiyonlar uzayı olsun. Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.

1)

^  

^{t }

^  

^{0 0 dir. (t0 için)}

2)

^  

^{t , R}üzerinde pozitif ve azalmayandır.

3)

 

t1t2





  

t1 

  

t2 dir.

4)



, R_da süreklidir.

1) ve 2) açıktır. 3) için eğer x y  t₁ t₂ ise

A

da bir

z

noktası vardır, öyleki zA için x z t₁ , y z t₂ dir. Buna göre

           

f x  f y  f x  f z  f z  f y

       

f x f z f z f y

   

supremumu alınırsa

 t

1

t

2

   t

1

  t

2

     

olur.

18

Ayrıca

   t

1

 t

2

     t

1

     t

2 yazılabilir. Yine

 t

1

t

2

... t

_n

   t

1

  t

2

...   t

_n

          

yazılabilir.

Eğer t t   ₁ t₂ ... t_n alınırsa

  ^{nt n t}  

  

yazılabilir. Benzer eşitsizlik tam olmayan bir



çarpanı için

   ^{t 1}    ^{t ; 0}

       

olur. Üstelik bir

n

tamsayısı alınırsa

  ^t   ^{n 1}  ^t  ^{ n 1     t 1    t ,}

            n     n 1

olarak yazılabilir.

Eğer

 

^;

0 , 0

t f t

t



  için ^{f x}

 

^{0 ve}

^f

sabittir.

Bu ifedeler göz önüne alındığında ^{f ,}

 

^{a b,} üzerinde konkav bir fonksiyon ise

      ^{; ,}   ^{, , , 0 , 1}

f x f y f x y x y a b

              

dir.

19

 

^0,1 üzerinde bir konkav fonksiyon ^f

 

^{0 0} özelliğini sağlıyorsa ^{f x}

 

x azalır. Eğer x y ise

    ⁰    

x y x x

f y f f y f x

y y y

   

olur.

Örnek 2.1.



, R_ üzerinde artan bir fonksiyon ve

^  

^{0 0} olsun. Bu durumda



bir süreklilik modülü fonksiyonudur. Eğer

f

konkav ise ( ya da genel olarak

 

^t

t



azalan ise ) bu durumda



1 2

  

1

1 2 1

t t t

t t t

  

 

^ve



1 2

  

2

1 2 2

t t t

t t t

  

 

sağlanır. Ayrıca

     

0

; : sup

^r

.;. , 0

r p h t h p rh

f t f t

 

 

  

fonksiyonu göz önüne alınırsa

  ^{; 2}

^{r k}

  ^{; :1 , 1}

r

f t

p k

f t

p

k r p

 

^

     

elemanter L_p normu için ;

20

eğer o  p ve

^

^min

 

^{p, 2} olmak üzere ,a b R ve ^{M M p}

 

^yeteri

kadar büyük sayıları için

 

2 : 0

p p p

a b    a b  a

^

 M b

^{ }

   p (2.1)

eşitsizliğinin sağlandığı bilinmektedir. a1 ve b  alınırsa x 0

  ^{: 1}

^p

¹

^p

^{2 1}  

^p

^{:  }

f x   x   x   Mx

^{ }

 g x

olur.

Lemma 2.2.

1 p  ve

^

^min

 

^{p, 2 olsun. M:M p}

 

sabiti için f g L,  _p olmak üzere

 

¹

p p

2

p p

f  g  f  g  f

^

 M g

^{ }

olur.

İspat 2.2.

2.1’de ^{a: f x}

 

^{, :b g x}

 

alınırsa ve integrali alınırsa

 

2

p p p

p p

A

f  g  f  g   f

^

 M g

^{ }

dx

olur.

21

2.2. L₁ Uzayında Olan Fonksiyonların Süreklilik Modülü ve Özellikleri

Tanım 2.15.

f L1 olmak üzere



ile gösterilen

     

1

; sup

L t R

f f x t f x dx









   

integraline

f

nin L₁-süreklilik modülü denir.

Ayrıca







₁ olduğunda

   

1

;

1

;

1

L

f

L

f

    

dır. L₁ süreklilik modülü negatif olmayan ve monoton artan bir fonksiyondur.

Şimdi süreklilik modülünün bazı özelliklerini inceleyelim.

Lemma 2.3.

m

bir doğal sayı olmak üzere

   

1

;

1

;

L

f m m

L

f

    

dir.

İspat 2.3.

     

1

; sup

L t m

f m f x t f x dx

 

 ^

 

   

ifadesinde

t my 

alınıp aşağıdaki işlemler yapılırsa,

22

     

1

; sup

L y

f m f x my f x dx

 

 ^



 

  

             

sup 1 1 2

y

f x my f x m y f x m y f x m y





 

           

 

 ²  ^...      

f x m y f x y f x y f x dx

        

     

1

sup 1

m

y k

f x ky f x k y dx





  

      

     

1

sup 1

m

y k

f x ky f x k y dx





  

      

yazılabilir.

Burada ^x



^k1



^{y z} denilirse ve sonra yeniden

z x ,

^ile

y t ,

^ile değiştirilirse,

   

1

sup

m

z k

f z y f z dz





  

    

   

sup

z

m f z y f z dz





 

   

 

1

;

m 

L

f 



elde edilir ki bu da istenendir.

Sonuç 2.1.

0  bir reel sayı olmak üzere,



1

     

1

; 1

1

;

L

f

L

f

      

dir.

23 İspat 2.1.



   ^ile



sayısının tam kısmı gösterilsin. Bu durumda



  



1 ^{dir ve}

 

1 ;

L f

 

fonksiyonu monoton artan olduğundan,

     

1

;

1

; 1

L

f

L

f

          

dir.    



1 bir tamsayı olduğundan Lemma 2.3 de son olarak    

 

olduğu kullanılırsa

     

1

;

1

; 1

L

f

L

f

          

  1  

_L1

^ f ;  ^

     

  ¹   

L₁

f ^;  

 

elde edilir ve böylece ispat tamamlanmış olur.

Lemma 2.4.

f L1 olmak üzere ₁

 

0

lim _L f; 0



 

  dır.

İspat 2.4.

f L1 olduğundan her



 sayısına karşılık a R0   reel sayısı bulunabilir, öyleki

  ^,  

4 4

a

a

f x dx  f x dx 

 



 

 

sağlanır.

24 Ayrıca her pozitif



sayısı için

  ^,  

4 4

a

a

f x dx f x dx





 

  

 

 

 

^(2.2)

yazılabilir. Dolayısıyla t 



yani    için,  t 

     

a a t a

4

f x t dx f x dx f x dx

 

  



  

   

  

^(2.3)

dir. Çünkü



  ve t 0     dır. t a a

Benzer şekilde t 



0 ve a     olduğundan  t a

     

4

a a t a

f x t dx f x dx f x dx

 



     

  

   

  

^(2.4)

olduğu görülür. 2.2, 2.3 ve 2.4 formüllerinden

       

sup 4 4 4 4

a

t a

f x t f x dx f x t f x dx



 

    

  

  

 

         

 

   

olur. Dolayısıyla

       

sup sup

a

t t a

f x t f x dx f x t f x dx



  

 



    

     

 

eşitsizliği yazılabilir.