BERNSTEIN POLİNOMU

[ ]

^0,1

f ∈C olmak üzere, Bernstein polinomları

şeklinde tanımlanır. f fonksiyonunun sağladığı bazı özellikler, B_n( )f polinomları tarafından korunur .Örneğin;

f konkav ise n≥1 için B_n( )f de konkavdır ve ( ; ) ( ), [0,1]

Bn f x ≥ f x x∈

eşitsizliği sağlanır. Gerçekten

( )

olarak alınırsa, Tanım 2.2 den

( )

sağlanır.Burada eşitsizliği elde edilir.

Bir fonksiyon uzayının bir f elemanına Ln

( )

f yaklaşım operatörleri ile yaklaşırken f nin hangi özelliklerinin L ler tarafından korunduğunun bilinmesi önemlidir. (Bu _n konuda detaylı bilgi için Anastassio ve Gall ‘ın kitabına bakılabilir.) Bu doğrultuda, önce Bernstein polinomları için, Brown, Elliot ve Paget (1987) de elde edilen temel ispatı vereceğiz (Bu çalışma, aynı sonucun doğrultusundayapılan çalışmalar üzerine kısa bir bilgi de vermektedir).

Aşağıdaki teorem, Bernstein Polinomlarının Lipschitz sabitini koruduğunu göstermektedir. eşitsizliği sağlandığında

2 1 2 1

( ; ) ( ; ) ( )

n n

B f x −B f x ≤ A x −x ^μ eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz.

( )

2^j ( 1 ( 2 1))^j x = x + x −x düzenlemesi yapılır ve

( )

binom açılımı kullanılırsa

( )

bulunur. Yukarıdaki toplamların sırası değiştirilirse

( )

olarak yazılabilir. Diğer taraftan

( )

bulunur. Binom açılımından, yukarıdaki ifade

1 1 2 1 2 olarak elde edilir. Son ifadede gerekli düzenlemeler yapılarak

( )

bulunur. (3.2) ve (3.3) eşitlikleri kullanılarak ,

2 1 eşitliği dikkate alınarak son eşitsizlik

2 1

şekline indirgenir. (3.1) deki Bernstein Polinomlarının tanımından, yukarıdaki son

eşitsizliğinden dolayı son eşitsizlik

( )

Şimdi Li (2000) tarafından ispatlanmış olan, B_n( , )f x Bernstein Polinomlarının süreklilik modülü fonksiyonu ile ilgili koruma özelliğini inceleyelim. Bu durumda tek değişkenli operatörler için Tanım 2.4. aşağıdaki şekilde kullanılacaktır.

Teorem 3.3. ( ; )B_n f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu olmak üzere, ω

süreklilik modülü fonksiyonu ise her n≥1 için ( )B_n ω da süreklilik modülü fonksiyonudur (Li 2000).

İspat. Sürekli ve negatif olmayan ω süreklilik modülü fonksiyonu ^ω

( )

⁰ ⁼⁰^,

azalmayan ve alt toplamsal özelliklerini sağlarken, sürekli ve negatif olmayan B_n( )ω polinomunun

lim0 _n( ; ) 0

x B ω x

→ = , azalmayan ve alt toplamsallık özelliklerini sağladığını göstereceğiz. İlk olarak

0 0 0

kullanılarak

bulunur. ω süreklilik modülü fonksiyonu olduğundan Tanım2.5. deki 3.

koşul dikkate alınarak (3.5) den

2 1 elde edilir. Bu durumda

2 2 1 1 2 1 1

Aşağıdaki teorem Bernstein Polinomlarının bir çeşit monotonluğu koruduğunu göstermektedir.

Teorem 3.4. ( : )B_n f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu ve f negatif olmayan bir fonksiyon olmak üzere, ^{x f x}⁻¹ ^{( ), 0,1}

( ]

üzerinde artmayan ise x B⁻¹ _n( ; )f x de artmayandır (Li 2000).

İspat. Bu ispatta ^d

{

^{x f x}¹

( ) }

⁰

− ≤ eşitsizliği sağlanırken ^d

{

^{x B}¹ ⁿ^{( ; )}^{f x}

}

⁰

− ≤

eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz.

{

}

⎝ ⎠ dır. Yukarıdaki eşitlik düzenlenerek

{

}

^{( )}

bulunur, son ifadede türev alınarak,

{

} ₍ _{) (} ⁾

² ile çarpılıp bölünerek,

{

}

₍ ₎₍ ⁽ ⁾ ₎

¹ ¹

Şimdi, Lipschitz sabitinin Meyer-König ve Zeller operatörü tarafından korunmasını inceleyelim.

4. MEYER-KÖNIG ve ZELLER OPERATÖRÜ

[ ]

: 0,1

f → sürekli bir fonksiyon ve n≥ bir doğal sayı olmak üzere,Meyer-König 1 ve Zeller operatörü,

[ [

eşitsizliği kolayca elde edilir. Aşağıdaki teorem Meyer-König ve Zeller operatörünün Lipschitz sabitini koruduğunu göstermektedir.

Teorem 4.1. ( ; )M_n f x , (4.1) ile verilen Meyer-König ve Zeller operatörü olmak üzere, eşitsizliği sağlandığında

2 1 2 1

( ; ) ( ; )

n n

M f x −M f x ≤ A x −x ^μ

eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz. (4.1) den

şeklinde düzenleme yapılıp en sondaki parantezde binom açılımı kullanılırsa

1 bulunur. Toplamların sırası değiştirilerek

( )

elde edilir. Bu durumda aşağıdaki sonuçlara ulaşılır.

( ) ( ) ( )

eşitsizliği (4.7) de dikkate alınarak,

2 1 alınarak yukarıdaki eşitsizlikten

2 1

sonucuna varılır. Burada (4.5) ve (4.6) eşitlikleri kullanılarak , tarafından verilen ispatını inceleyelim.

Teorem 4.2. ( ; )M_n f x , (4.1) ile verilen Meyer-König ve Zeller operatörü ve , [0,1]f aralığında tanımlı konveks bir fonksiyon olsun.Bu durumda

(

M fn

)

azalmayandır (Cheney ve Sharma 1964).

İspat. f fonksiyonu konveks olduğundan α₁ >0, α₂ >0ve α α₁+ ₂ = olmak üzere 1

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( )

f α x +α x ≥α f x +α f x eşitsizliğini kullanarak M_n( ; )f x ≤M_n₊₁( ; )f x eşitsizliğini elde edeceğiz.

( )

bulunur. Bu durumda f nin konveksliğinden

( ; ) 1( ; )

1 eşitliği sağlanır, ayrıca

1 1 2 2

olarak bulunur. Böylece f nin konveksliğinden

( ) ( )

elde edilir. Böylece ( ; ) 1( ; ) 0

n n

M f x −M ₊ f x ≤ bulunur.

5. ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ

Bu bölümde, tensör çarpım olmayan, Bn d,

( )

f ile gösterilen çok değişkenli Baskakov operatörünün, f fonksiyonunun Lipschitz koşulu, alt toplamsallık ve monotonluk gibi bazı özelliklerini koruduğunu göstereceğiz. Ayrıca f konveks olduğunda çok değişkenli Bn d,

( )

f Baskakov operatör dizisinin n ye göre monotonluğunu inceleyeceğiz.

[ )

, 0,

f ∞ aralığında tanımlı, reel değerli bir fonksiyon ve

( ) ( )

n∈ x∈ ∞ olmak üzere, tek değişkenli Baskakov operatörü, V.A.Baskakov tarafından

şeklinde tanımlanmıştır. (Cao, Ding ve Xu 2005)

Şimdi, bu çalışmada kullanılacak olan standart gösterimleri verelim.

( )

aşağıdaki gösterimler kullanılacaktır.

1 2 0

(

)

^, ⁰ ¹ ⁰ ² ⁰^... ⁰ ^.

T de tanımlı, reel değerli f fonksiyonu için çok değişkenli Baskakov Operatörü,

şeklinde tanımlanır.

∑

olduğu kolayca aşağıdaki şekilde elde edilir.

( ) ( ) ⁿ

olduğu açıktır. Buradan, tek değişkenli Baskakov operatörü (5.2) dikkate alınarak

( ) ( ) ( )

şeklinde elde edilir. Çok değişkenli Baskakov operatörü için, tek değişkenlide olduğu gibiB_{n d},

( )

1;x =1 dir. Gerçekten, basitlik için d=2 durumunu dikkate alalım. Daha yüksek boyutlarda işlemler benzerdir.

( )

bulunur. O halde

olarak yazılabilir. Bu durumda çok değişkenli Baskakov operatörü

( )

; , 1,...,

n d i i

B t x =x i= d x∈T

eşitliklerini gerçekler. Yine, basitlik için d=2 durumunu dikkate alalım:

( )

eşitsizliği elde edilir, buradaki P_{n k}_, ( )x , (5.1) de tanımlanan fonksiyondur.

Aşağıdaki teoremde, (5.3) ile tanımlanan Bn d,

( )

f çok değişkenli Baskakov operatörünün süreklilik modülü fonksiyonunu koruduğu gösterilmektedir.

Teorem 5.2. B_{n d},

(

f x,

)

, (5.3) ile tanımlı çok değişkenli Baskakov operatörü olmak üzere , ω süreklilik modülü fonksiyonu ise Bn d,

( )

ω da süreklilik modülü fonksiyonudur (Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. x y≤

(

x1≤ y x1, 2 ≤y2

)

olsun. (5.3)den

olarak yazılabilir, sağ tarafta

( ( ) ) ⁽ ⁾

⁻

olarak bulunur, yukarıdaki toplamların sırası değiştirilip,

1 1 1, 2 2 2,...,_d _d _d

bulunur. (5.9) eşitliğinde f yerine,ω süreklilik modülü fonksiyonu alınırsa ≥y x için

( ) ( )

, ; , ; 0

n d n d

B ω y −B ω x ≥

elde edilir, ayrıca Tanım 2.4 ün (3) koşulundan ve

( )

bulunur, (5.6) dikkate alınırsa, bu eşitsizlik

( ) ( )

, ; , ;

n d n d

B ω y −B ω x ≤ B_{n d},

(

ω;y x−

)

(5.10) olarak yazılabilir. O halde (5.10) eşitsizliği Bn d,

( )

ω nın alt toplamsal olduğunu göstermektedir. Ayrıca B_{n d},

(

ω,0

)

=ω

( )

0 =0 olacağı açıktır. Böylece Bn d,

( )

ω bir süreklilik modülü fonksiyonudur.

Şimdi Bn d,

( )

f çok değişkenli Baskakov Operatörünün Lipschitz sabitini koruduğunu gösterelim.

Teorem 5.3. B_{n d},

(

f, x

)

, ( 5.3) ile tanımlanan çok değişkenli Baskakov Operatörü olmak üzere f ∈Lip_A^μ ise B_{n d}_, f ∈Lip_A^μ dir (Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. ( 5.7) ve ( 5.8) den

bulunur. Basitlik için, d =2 alarak ispata devam edilecektir. d>2 için ispat tamamen benzerdir. f ∈Lip_A^μ olduğundan, (5.11) eşitsizliğinde Tanım (2.3) dikkate alınarak aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ⁽ ⁾ )

için artmayandır (Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. n≥1 olmak üzere ( )

x sağlandığı gösterilecektir.

( )

Burada türev alınırsa,

1 1

bulunur.Eşitliğin sağ tarafında 1k_i → + alınıp, birinci ve ikinci toplamların sağ k_i kısımları n ve k ile çarpılıp bölünürse, _i

1 1 1

Burada eşitliğin sağ tarafındaki ilk terimde ( )

x nin artmayan olduğu sonucuna

varılır.

Aşağıdaki teorem, çok değişkenli Baskakov operatörünün konveks fonksiyon altında n ye göre monotonluğunu göstermektedir.

Teorem 5.5. Eğer ,f T de tanımlı konveks bir fonksiyon ise,

(

Bn d, f

)

azalmayandır (Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. Burada ağır ve karmaşık notasyonlardan kaçınmak için, ispatı, d=2 durumunda inceleyeceğiz. Daha yüksek boyutlar için ispat benzerdir. (5.3) den

( )

1 2

1 1

elde edilir, son ifadede

( ) ( ) ( )

olduğu dikkate alınarak

( )

elde edilir. Yukarıdaki ifadede

1 1

Böylece Tanım 2.2 de verilen konveks fonksiyon tanımındanI₁≤ olduğu sonucuna 0 varılır.

olarak alınırsa α₁ ve α₂ negatif olmayan sayılardır ve α α₁+ ₂ = dir. Ayrıca 1

1 1

1 2

, 1

k k

y y

n n

= = −

+ olmak üzere _{1 1} _{2 2} ¹ 1 y y k

α +α = n

+ elde edilir. Konveks fonksiyon tanımından I₂ ≤ bulunur.Benzer olarak 0 I₃ ≤ olduğu elde edilir. Böylece her 0

n∈ için B_{n d}, ( ; )f x ≤B_n₊1,_d

(

f;x

)

olduğu gösterilmiştir.

KAYNAKLAR

Adell, J.A., Badia, F.G. and Cal, J.D., 1997. J, Approx. Theory 84, 61-73.

Anastassiou, G.A. and Gall, S.G., 2000. Approx. theory,Moduli of continuity and global smoothness preservation, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA.

Bernstein 1987. S.N. Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur le calculdes probabilites, Commun Soc. Math. Kharkow(2), 13(1912), 1-2.

Bohman H. 1952.On approximation of continuous and of analytic functions, Ark. Mat., 2(1952- 54), 43-56.

Brown, B.M., Elliot, D. and Paget, D.F., 1987. Lipschitz constants for the Bernstein polynomials of a Lipschitz constants function., J. Approx. Theory, 49, 196- 199.

Cao, F., Ding, C., Xu, Z., 2005. On multivariate Baskakov operator, J. Math. Anal.

Appl. 307, no. 1, 274-291.

Cheney, E.W. and Sharma, A., 1964. Bernstein power series, Can. J. Math. 16, 241-252.

Khan, M.K., 1991. Approximation properties of beta operators, Progress in approximation theory, pp. 483-495, Academic Press, Boston, MA.

Khan, M.K., and Peters, M.A.,1989. Lipschitz constants for some approximation operators of a Lipschitz continuous function, J. Approx.

Li, Z., 2000. Bernstein polynomials and modulus of continuity, J. Approx.Theory 102, no. 1,171-174.

Trif, T., 2003. An elementary proof of the preservation of Lipschitz constants by the Meyer- König and Zeller operators. JIPAM. J. Inequal.Pure Appl. Math. 4, no. 5, Article 90.

Weierstrass, K.1885. Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen, Sitzungsber. Akad. Berlin, pp. 633–

639, 789–805.

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı :Melek KART Doğum Yeri :Bayburt Doğum Tarihi :05.01.1983 Medeni Hali :Evli Yabancı Dili :İngilizce

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)

Lise :Dr. Şerafettin Tombuloğlu (Yabancı Dil Ağırlıklı) Lisesi (2001)

Lisans :Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2005)

Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik AnaBilim Dalı

(Eylül 2005- Ağustos 2008)

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇEŞİTLİ OPERATÖRLERİN BAZI KORUMA ÖZELLİKLERİ. Melek KART MATEMATİK ANABİLİM DALI (sayfa 10-44)

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ]

{

( ) }

{

}

{

}

{

}

( )

{

} ( ) ( )

{

}

( )( ( ) )

[ ]

[ [

( )

( ) ( ) ( )

(

)

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

[ )

( ) ( )

(

)

∑

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( ( ) ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( )

(

)

( )

( ) ( ) ( )

^{( )}

} ₍ _{) (} ⁾

₍ ₎₍ ⁽ ⁾ ₎

( ( ) ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ( ( ) ) ( ⁽ ⁾ )