Elimizdeki çemberleri flekildeki gibi ke- narlara te¤et olacak biçimde 3-4-5 üçgenine istifledik. Her üç durum için ayr› ayr› çem- berlerin olmas› gereken yar›çaplar›n› hesap- layabilir misiniz?

(1)

M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹

E n g i n T o k t a fl m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m

‹kiz Çemberler

Elimizdeki çemberleri flekildeki gibi ke- narlara te¤et olacak biçimde 3-4-5 üçgenine istifledik. Her üç durum için ayr› ayr› çem- berlerin olmas› gereken yar›çaplar›n› hesap- layabilir misiniz?

Sevgililer Günü Haz›rl›¤›

Malum, 14 fiubat Sevgililer Günü... Soru- daki kahraman›m›z aflk adam› Berkay, k›z ar- kadafl›na ald›¤› hediyeleri yerlefltirmek için küp fleklinde kutular siparifl eder. Ancak her kutunun özel olmas›n› istemektedir ve bu se- beple küpleri boyamaya karar verir. Kalan paras› ise k›rm›z› ve mavi olmak üzere ancak iki farkl› renk boya almaya yetmektedir.

Küplerin her bir yüzeyinde sadece tek bir renk kullanmak kayd›yla birbirinden farkl›

en fazla kaç adet hediye kutusu oluflturulabi- lece¤ini Berkay için hesaplayabilir misiniz?

(Çözüm için kutunun kapa¤›n›n bulundu¤u yüzeyin ay›rt edilemedi¤ini varsayal›m.)

Üç Eflit Parça

fiekildeki ABCD karesi, birbirine paralel olan AE ve CF do¤rultular›ndan kesilerek alan bak›m›ndan üç eflit parçaya ayr›l›yor.

Ortadaki parçan›n geniflli¤i 10 birim oldu¤u- na göre acaba karenin tüm alan› ne kadar- d›r?

Anadolu’dan Görünüm

Anadolu’nun ücra bir köflesinde yer alan Tamkare köyünün nüfusu gerçekten bir tam kare say›d›r (x ² ). Bu köyde nüfusun 100 art- mas› durumunda yeni nüfus, bir tam kare sa- y›n›n 1 fazlas› olacakt›r. Nüfusun tekrar 100 artmas› durumunda ise en son nüfus yine bir tam kare say› olacakt›r. Köyün flu andaki nü- fusunu bulabilir misiniz?

Strobogramatik Say›lar

Geçen ay “Friedman Say›lar›” ile baflla- yan sihirli say› setlerindeki yolculu¤umuza bu ay “Strobogramatik Say›lar” ile devam ediyoruz. ‹smi biraz garip olsa da emin olun kurallar› son derece anlafl›l›r ve yal›n.

Ters çevrildiklerinde herhangi bir de¤er de¤iflikli¤ine neden olmayan say›lara Stro- bogramatik (SG) say›lar denir. Örne¤in 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, ... say›lar› birer SG sa- y›lard›r. Yaz›m›zda, SG say›lar yerine biraz daha ilginç olan SG eflitliklerden bahsede- ce¤iz. E¤er bir eflitlik SG özelli¤ini sa¤l›- yorsa, eflitli¤in ifllem taraf› ters çevrildi¤in- de eflitlik yine ayn› sonucu verecektir. Me- sela (68 + 68 + 61) = 197’dir. fiimdi eflitli-

¤in sol taraf›n› tamamen (180 derece) ters çevirelim: (19 + 89 + 89). Yeni toplam› yap- t›¤›n›zda yine 197 de¤erini elde etti¤inizi göreceksiniz. ‹flte size bir SG eflitli¤i!

Say›y› ters çevirme iflleminin anlaml›

olabilmesi için SG eflitliklerinde sadece 0, 1, 6, 8 ve 9 rakamlar› kullan›l›r. Bunun ya- n›nda yaln›z dört ifllem, parantez içine al- ma ve üstel biçimde yazma, SG eflitli¤i ya- rat›rken kullan›lmas›na izin verilen ifllem- lerdir. Üstel ifade yard›m›yla bir SG eflitli-

¤ini nas›l yaratabilece¤imizi gelin bir ör- nekle görelim. Orijinal ifademiz 9 ^(9-6) ol- sun, yani 9 ^(9-6) = 729. fiimdi ifademizi ters çevirelim ve yeni ifadeyi yazal›m: (9-6) ⁶ . Yapt›¤›m›z ters çevirme ifllemi ile dikkat ederseniz üs ve taban da yer de¤ifltirdi. Ye- ni durumda sonucumuz (9-6) ⁶ = 729 oldu ve yine ayn› sonucu elde ettik. ‹flte size bir SG eflitli¤i daha!

SG eflitliklerinin örneklerini ço¤altma- m›z mümkün: (91 – 16 + 8) = (8 + 91 – 16), (98 + 1 ⁸ + 1 ⁹ ) = (6 ¹ + 8 ¹ + 86) ... Siz de bu tip simetrik olan ya da olmayan SG eflitliklerini bulabilir ve bizimle paylaflmak için e-posta adresimize gönderebilirsiniz.

Mesajlar›n›z› bekliyoruz.

Geçen Ay›n Çözümleri

Mutlu Y›llar

Küçük Fermat Teoremi do¤rultusunda 2007 ⁶ = 1 (Mod 7) yaz›labilir. O halde 2007 say›s›n›n 6 ya da 6’n›n kat› olan üs- leri mod 7’de 1 kalan›n› verir. fiimdi soru- daki üstel ifadeyi flu flekilde düzenleyelim:

2007 ^2007x2007 = (2007 ⁶ ) ⁶⁷¹³⁴¹ x 2007 ³ = x (Mod 7). Bu durumda 2007 ³ = x (Mod 7) denklemini çözmemiz yeterli. Birkaç çar- p›m ifllemi sonunda x = 6 de¤eri kolayl›k- la bulunacakt›r.

Yuvarlanan Paralar

Bir para çevresi kadar yol ald›¤›nda bir tam dönüflünü tamamlam›fl olur.

ABCD dikdörtgeninin çevresi, paran›n çevresinin 12 kat›d›r. Köflelerde fazladan bir çeyrek dönüfl daha yapan d›fltaki para toplam 13 tur dönerek ayn› noktaya gelir.

‹çerideki para ise köflelerdeki dönüflte 2r (r=yar›çap) kadar eksik yol yapar. O halde toplam ald›¤› yol miktar› 12c – 8r’dir (c=paran›n çevresi). r = c/2π oldu¤una göre içerideki paran›n toplam dönüfl say›- s› 12 - 4/π ≈ 10.7 olur.

Keno

Tam olarak üç say›y› tutturmak için, seçti¤iniz üç say› Keno’da ç›kan 28 tane say› grubunun içinde, seçti¤iniz di¤er 25 say› ise Keno torbas› içinde kalan 52 say›

grubunun içinde olmal›. Bu durumun ola- s›l›¤›n› hesaplamam›z için kombinasyon formülünü kullanmam›z gerekiyor:

C(28;3)xC(52;25) / C(80;28). Ayn› flekilde 4 ve 5 say› tutturma olas›l›¤›n› hesaplay›p toplad›¤›m›zda kazanma flans›m›z›n %1,54 oldu¤unu görürüz. Demek ki hiçbir ödül kazanamama olas›l›¤›m›z %98,46’d›r.

Yans›ma

Gelen ›fl›k miktar›n› 1 bi- rim olarak al›r- sak ve kararl›

durumdaki toplam yans›malar› flekildeki gi- bi harflerle temsil edersek flu eflitlikleri ya- zabiliriz. x = 0.7 + 0.2y, y = 0.7w + 0.2x, z

= 0.7x + 0.2w, w = 0.2z ve t = 0.7z. Soruda istenen de¤er t oldu¤una göre yukar›daki eflitliklerden t de¤erini çözeriz ve t = 343/902 sonucunu elde ederiz. Bu da

›fl›¤›n yaklafl›k %38’inin üç camdan da ge- çerek öteki tarafa ulaflabildi¤ini gösterir.

Elimizdeki çemberleri flekildeki gibi ke- narlara te¤et olacak biçimde 3-4-5 üçgenine istifledik. Her üç durum için ayr› ayr› çem- berlerin olmas› gereken yar›çaplar›n› hesap- layabilir misiniz?

M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹

E n g i n T o k t a fl m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m

‹kiz Çemberler

Elimizdeki çemberleri flekildeki gibi ke- narlara te¤et olacak biçimde 3-4-5 üçgenine istifledik. Her üç durum için ayr› ayr› çem- berlerin olmas› gereken yar›çaplar›n› hesap- layabilir misiniz?

Sevgililer Günü Haz›rl›¤›

Küplerin her bir yüzeyinde sadece tek bir renk kullanmak kayd›yla birbirinden farkl›

en fazla kaç adet hediye kutusu oluflturulabi- lece¤ini Berkay için hesaplayabilir misiniz?

(Çözüm için kutunun kapa¤›n›n bulundu¤u yüzeyin ay›rt edilemedi¤ini varsayal›m.)

Üç Eflit Parça

fiekildeki ABCD karesi, birbirine paralel olan AE ve CF do¤rultular›ndan kesilerek alan bak›m›ndan üç eflit parçaya ayr›l›yor.

Ortadaki parçan›n geniflli¤i 10 birim oldu¤u- na göre acaba karenin tüm alan› ne kadar- d›r?

Anadolu’dan Görünüm

Strobogramatik Say›lar

Geçen ay “Friedman Say›lar›” ile baflla- yan sihirli say› setlerindeki yolculu¤umuza bu ay “Strobogramatik Say›lar” ile devam ediyoruz. ‹smi biraz garip olsa da emin olun kurallar› son derece anlafl›l›r ve yal›n.

¤in sol taraf›n› tamamen (180 derece) ters çevirelim: (19 + 89 + 89). Yeni toplam› yap- t›¤›n›zda yine 197 de¤erini elde etti¤inizi göreceksiniz. ‹flte size bir SG eflitli¤i!

Say›y› ters çevirme iflleminin anlaml›

olabilmesi için SG eflitliklerinde sadece 0, 1, 6, 8 ve 9 rakamlar› kullan›l›r. Bunun ya- n›nda yaln›z dört ifllem, parantez içine al- ma ve üstel biçimde yazma, SG eflitli¤i ya- rat›rken kullan›lmas›na izin verilen ifllem- lerdir. Üstel ifade yard›m›yla bir SG eflitli-

SG eflitliklerinin örneklerini ço¤altma- m›z mümkün: (91 – 16 + 8) = (8 + 91 – 16), (98 + 1 8 + 1 9 ) = (6 1 + 8 1 + 86) ... Siz de bu tip simetrik olan ya da olmayan SG eflitliklerini bulabilir ve bizimle paylaflmak için e-posta adresimize gönderebilirsiniz.

Mesajlar›n›z› bekliyoruz.

Geçen Ay›n Çözümleri

Mutlu Y›llar

Küçük Fermat Teoremi do¤rultusunda 2007 6 = 1 (Mod 7) yaz›labilir. O halde 2007 say›s›n›n 6 ya da 6’n›n kat› olan üs- leri mod 7’de 1 kalan›n› verir. fiimdi soru- daki üstel ifadeyi flu flekilde düzenleyelim:

2007 2007x2007 = (2007 6 ) 671341 x 2007 3 = x (Mod 7). Bu durumda 2007 3 = x (Mod 7) denklemini çözmemiz yeterli. Birkaç çar- p›m ifllemi sonunda x = 6 de¤eri kolayl›k- la bulunacakt›r.

Yuvarlanan Paralar

Bir para çevresi kadar yol ald›¤›nda bir tam dönüflünü tamamlam›fl olur.

ABCD dikdörtgeninin çevresi, paran›n çevresinin 12 kat›d›r. Köflelerde fazladan bir çeyrek dönüfl daha yapan d›fltaki para toplam 13 tur dönerek ayn› noktaya gelir.

‹çerideki para ise köflelerdeki dönüflte 2r (r=yar›çap) kadar eksik yol yapar. O halde toplam ald›¤› yol miktar› 12c – 8r’dir (c=paran›n çevresi). r = c/2π oldu¤una göre içerideki paran›n toplam dönüfl say›- s› 12 - 4/π ≈ 10.7 olur.

Keno

Tam olarak üç say›y› tutturmak için, seçti¤iniz üç say› Keno’da ç›kan 28 tane say› grubunun içinde, seçti¤iniz di¤er 25 say› ise Keno torbas› içinde kalan 52 say›

grubunun içinde olmal›. Bu durumun ola- s›l›¤›n› hesaplamam›z için kombinasyon formülünü kullanmam›z gerekiyor:

C(28;3)xC(52;25) / C(80;28). Ayn› flekilde 4 ve 5 say› tutturma olas›l›¤›n› hesaplay›p toplad›¤›m›zda kazanma flans›m›z›n %1,54 oldu¤unu görürüz. Demek ki hiçbir ödül kazanamama olas›l›¤›m›z %98,46’d›r.

Yans›ma

Gelen ›fl›k miktar›n› 1 bi- rim olarak al›r- sak ve kararl›

durumdaki toplam yans›malar› flekildeki gi- bi harflerle temsil edersek flu eflitlikleri ya- zabiliriz. x = 0.7 + 0.2y, y = 0.7w + 0.2x, z

= 0.7x + 0.2w, w = 0.2z ve t = 0.7z. Soruda istenen de¤er t oldu¤una göre yukar›daki eflitliklerden t de¤erini çözeriz ve t = 343/902 sonucunu elde ederiz. Bu da

›fl›¤›n yaklafl›k %38’inin üç camdan da ge- çerek öteki tarafa ulaflabildi¤ini gösterir.

Matemati¤in fiafl›rtan Yüzü

fiubat 2007 99 B‹L‹M

TEKN‹K

MatKule 2/1/6 16:52 Page 11

SG eflitliklerinin örneklerini ço¤altma- m›z mümkün: (91 – 16 + 8) = (8 + 91 – 16), (98 + 1 ⁸ + 1 ⁹ ) = (6 ¹ + 8 ¹ + 86) ... Siz de bu tip simetrik olan ya da olmayan SG eflitliklerini bulabilir ve bizimle paylaflmak için e-posta adresimize gönderebilirsiniz.

Küçük Fermat Teoremi do¤rultusunda 2007 ⁶ = 1 (Mod 7) yaz›labilir. O halde 2007 say›s›n›n 6 ya da 6’n›n kat› olan üs- leri mod 7’de 1 kalan›n› verir. fiimdi soru- daki üstel ifadeyi flu flekilde düzenleyelim:

2007 ^2007x2007 = (2007 ⁶ ) ⁶⁷¹³⁴¹ x 2007 ³ = x (Mod 7). Bu durumda 2007 ³ = x (Mod 7) denklemini çözmemiz yeterli. Birkaç çar- p›m ifllemi sonunda x = 6 de¤eri kolayl›k- la bulunacakt›r.