Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümü ve Uygulamalar¬

B ¨ol ¨um 4

Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümü ve Uygulamalar¬

Bu bölümde

Sinüzoidler ve ses, Ses üzerinde i¸ slemler,

Vektör ve matrislerin Fourier ve Ters Fourier Dönü¸ sümü, H¬zl¬Fourier algoritmas¬n¬inceliyor ve

Gürültülü sesten orijinal sesin ayr¬kla¸ st¬r¬lmas¬(…ltrelenmesi) i¸ slemini interaktif olarak inceliyoruz.

4.1 Sinüzoidler ve ses

y(t) = a sin(wt + ) (4.1)

biçiminde ifade edilebilen fonksiyonlar ailesinin her bir eleman¬na reel de¼ gerli bir sinüzoid ad¬ verilir. t zaman de¼ gi¸ skeni olmak üzere, zaman ekseninde sal¬n¬m yapan her nesnenin t an¬ndaki durumu uygun bir y(t) fonksiyonu veya fonksiyonlar¬n¬n lineer kombinasyonu yard¬m¬yla incelenebilir. Söz konusu nesne bazen elle tutulabilir bir cisim(dü¸ sey sal¬n¬m yapan yay ucuna as¬l¬bir kütle) olabildi¼ gi gibi bazen de sadece i¸ sitilebilir bir ses olabilir.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(4.1) in dü¸ sey yönde bir sal¬n¬m¬temsil etmesi durumunda, a > 0 sal¬n¬m¬n y = 0 ekseninden en fazla ne kadar a¸ sa¼ g¬ya inebilece¼ gini veya yukar¬ya ç¬ka- bilece¼ gini, di¼ ger bir de¼ gimle sal¬n¬m¬genli¼ gini gösterir. w ise saniyede al¬nan mesafenin radyan cinsinden ölçüsüdür ve w ya dairesel frekans ad¬verilir ve birimi radyan/s dir. w ne kadar büyük ise sal¬n¬m o kadar h¬zl¬ gerçek- le¸ sir. ye ise faz(phase) ad¬verilir ve yay sal¬n¬m örne¼ gi için t = 0 an¬nda cismin orjine göre konumunu belirler ve birimi radyan d¬r. A¸ sa¼ g¬yön pozitif olarak kabul edilirse, negatif ; cismin ba¸ slang¬ç an¬nda y = 0 noktas¬n¬n yukar¬s¬nda(veya gerisinde) oldu¼ gunu ve henüz y = 0 a ula¸ samad¬¼ g¬n¬, yani gecikmeyi temsil eder. Pozitif ise ileride olmay¬temsil eder.

Sal¬n¬m hareketin ba¸ slad¬¼ g¬pozisyondan yine ayn¬pozisyona kadar gelme- sine kadar geçen süreye ise sal¬n¬m¬n peryodu ad¬verilir ve p ile gösterilir.

(4.1) ile verilen sal¬n¬m¬n peryodu

y(t + p) = a sin(w(t + p) + )

= a sin(wt + + wp)

= a sin(wt + + 2 )

= y(t) e¸ sitli¼ gini sa¼ glamas¬gerekti¼ ginden

p = 2 w

olarak elde edilir ve bu durumda p nin birimi saniye dir.

(4.1) in bir sesi veya daha net olarak ses dalgas¬n¬ temsil etmesi duru- munda a sesin siddetini ve w ise sinüzoidal frekans¬n¬belirler. w n¬n küçük de¼ gerleri kal¬n ses ve yüksek de¼ gerleri ise ince sesi temsil eder. Ancak ses dalgas¬yerine sesin özelliklerini incelemek istiyorsak, bu durumda

w = 2 f

ba¼ g¬nt¬s¬ile verilen ve genelde f ile gösterilen sal¬n¬m frekans¬kullan¬l¬r. f nin birimi 1=saniye = Hertz

dir ve Hz k¬saltmas¬ile gösterilir ve f , sesin saniyedeki titre¸ sim(sal¬n¬m) say¬s¬n¬verir. Saniyede 1000 kez titre¸ sim yapan ses dalgas¬ 1000Hz=1KHz(KiloHertz) frekansl¬d¬r denir. Farkl¬ radyo dal- galar¬, frekans farklar¬yla birbirinden ayr¬l¬rlar. Konu¸ sma seviyesindeki sesin 20Hz ile 20KHz aras¬nda frekans de¼ gerlerine sahip oldu¼ gu kabul edilmektedir.

1

Heinrich Rudolf Hertz(1857-1894) Alman …zikçi.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

4.2 Dijital ortamda ses ve ilgili i¸ slemler

Sesin dijitalle¸ stirilmesi (4.1) de = 0 ile

y = asin(wt) = asin(2 f t)

sinüzoidini göz önüne alal¬m ve 1 saniyelik k¬sm¬n¬elektronik ortamda kay- detmek isteyelim. Bu durumda [0; 1] zaman aral¬¼ g¬ içerisinde sonlu say¬da noktada ses de¼ gerinin(¸ siddetinin) ölçülmesi gerekir. Bu i¸ sleme örnekleme ad¬verilmektedir. Ölçüm yapaca¼ g¬m¬z anlar¬içeren vektörü T ile gösterelim.

Ölçüm anlar¬aras¬ndaki zaman fark¬n¬da dT ile gösterelim. O halde T = [0; dT; 2dT; :::; (N 1)dt = 1]

dir. Bu durumda Y = sin(2 f T ) ye birim zamanda olu¸ san örneklem uzay¬, ve T nin her bir an¬nda elde edilen kay¬t de¼ gerine ise örneklem veya örnek- lem de¼ geri ad¬verilir. F s = N de¼ gerine örneklem frekans¬(1 saniyede al¬nan örneklem say¬s¬) ve dT ye ise örneklem aral¬¼ g¬ad¬verilmektedir.

Sesin dijitalle¸ stirilmesinde temel referans Nyquist Teoremidir ve öze- tle herbir saniyede al¬nmas¬ gereken örneklem say¬s¬n¬n ses frekans¬n¬n iki kat¬ndan büyük veya e¸ sit olmas¬gerekti¼ gini ifade eder. Yani

F s >= 2f

olmal¬d¬r, aksi taktirde elde edilen örneklem orjinal sesi istenilen kalitede temsil edemez(Burada frekans için w yerine f kullan¬ld¬¼ g¬na dikkat edelim).

f nin farkl¬de¼ gerleri(f >= 20Hz) için olu¸ san sesleri inceleyen Program 4.1 a¸ sa¼ g¬da verilmektedir.

Küçük f lerin kal¬n ses ve büyüklerin ise ince sesleri üretti¼ gine dikkat edelim. Ayr¬ca a ise sesin ¸ siddetini belirlemektedir.

Example 1. Program 4.1 i çal¬¸ st¬rarak

>>sinuzoid(0.1,8000)

komutu ile üretilen sesi dinleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

--- function sinuzoid(a,Sinuzoid_frekans)

%y=a*sin(2*pi*f*t) ile ses Orneklem_frekans=40000;

Orneklem_araligi=1/Orneklem_frekans;

t=0:Orneklem_araligi:0.1;

y=a*sin(2*pi*Sinuzoid_frekans*t);

sound(y,Sinuzoid_frekans);

---

Program 4.1: Frekans ve ¸ siddetine göre ses analizi

4.2.1 Harf sesleri

Alfabemizdeki har‡erle olu¸ san sesleri yak¬ndan tan¬mak için A,B,C ve Ç har‡erine ait ses kayd¬n¬ yap¬yoruz. Bu i¸ slemi OCTAVE record fonksiyonu veya MATLAB wavrecord fonksiyonu ile gerçekle¸ stirebiliriz. Örne¼ gin

>>A=record(1)

komutu ile MATLAB/OCTAVE ortam¬nda bilgisayar mikrofonundan iletilen 1 saniyenik A har… sesi A isimli bir vektöre atanmaktad¬r. Bu durumda olu¸ san A vektörü 8000 adet bile¸ sene sahiptir. Herhangi bir noktas¬ndan 200 adet bile¸ senin gra…¼ gini görüntüleyerek vektörün elemanlar¬na yak¬ndan göz atmak istiyoruz.

Örne¼ gin A har…ne ait kay¬t için a¸ sa¼ g¬daki i¸ slemleri gerçekle¸ stiriyoruz:

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

>> A=record(1);

>> length(A) ans = 8000

>> plot(A(4000:4200),’linewidth’,2)

>> print -djpeg A

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

Bu i¸ slemi alfabemizdeki A,B,C ve Ç har‡eri için gerçekle¸ stirerek elde etti¼ gimiz sonucu gra…ksel olarak ¸ Sekil 4.1 de sunuyoruz:

Yukar¬daki ¸ sekli, Octave ortam¬nda record komutuyla ilgili harfe ait sesin kayd¬n¬yaparak, elde etti¼ gimiz kayd¬n merkezi bir k¬sm¬nda 200 birim uzun- luklu k¬sm¬n¬n plot fonksiyonu ile ga…¼ gini çizdirerek elde ediyoruz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(A) (B)

(C) (Ç)

¸

Sekil 4.1: A,B,C ve Ç har‡erinin gra…klerininden k¬sa görünüm

Yukar¬daki örnekte, 1 saniyelik A har… kayd¬ ile elemanlar¬ 1 ile 1 aras¬nda de¼ gi¸ sen ve 8000 bile¸ senli bir A vektörü olu¸ smaktad¬r. Daha sonra olu¸ san A vektöründen 200 birim uzunluklu bir k¬sm¬n gra…¼ gi çizdirilerek A:jpg isimli bir dosyaya kaydediyoruz. Audiowrite komutu ile ses vektörünü istenilen bir dosyada uygun bir ses format¬nda saklayabiliriz. Örne¼ gin A har…ne ait ses kayd¬

audiowrite(’A.wav’,A,8000);

komutu ile A.wav isimli ses dosyas¬na kaydedilmektedir.

A:wav dosyas¬na kaydedilen sesin ilgili k¬sm¬audioread komutu ile oku- narak, a¸ sa¼ g¬da görüldü¼ gü üzere Y dizisine(vektörüne) atanmaktad¬r.

[Y; F S] = audioread( 0A:wav0) burada F S ise örneklem frekans¬d¬r.

Yukar¬da oldu¼ gu üzere okuma i¸ sleminde format seçene¼ gi belirtilmedi¼ gi zaman veriler double format’ta okunur ve bu durumda Y de¼ gerleri 1 ile 1 aral¬¼ g¬nda de¼ gi¸ sir.

sound(Octave) komutu Y vektöründe sakl¬ses verisini F S frekans¬nda,

yani saniyede F S adet, i¸ sleme tabi tutmakta ve kaydedilen sesin gerçek za- manl¬olarak alg¬lanmas¬n¬(i¸ sitilmesini) sa¼ glamaktad¬r.

Al¬¸ st¬rmalar 4.1.

1. N = 5000; dt = 1=N ; t = 0 : dt : 0:5; f = 10; a = 2 de¼gerleri ile ba¸ slang¬çta y = asin(2 f t) ses sinyali olu¸ sturunuz. Olu¸ sturdu¼gunuz sinyali sound(y,N) komutu ile dinleyiniz.

2. Soru 1 de olu¸ sturdu¼gunuz sesin genli¼gini her defas¬nda iki kat¬na ç¬kararak olu¸ san yeni ses sinyalini sound komutu yard¬m¬yla dinlayiniz. Artan genlik de¼gerleri sesi nas¬l etkilemektedir?

3. Soru 1 de olu¸ sturdu¼gunuz sesin frekans¬n¬her defas¬nda iki kat¬na ç¬kararak olu¸ san yeni ses sinyalini sound komutu yard¬m¬yla dinlayiniz. Artan frekans de¼gerleri sesi nas¬l etkilemektedir?

4. >> B=record(0.5); komutuyla 0.5 saniyelik B har…ne ait kendi sesinizi MATLAB/OCTAVE ortam¬nda kaydederek,

>> plot(A(1000:1200),’linewidth’,2) komutuyla kaydetti¼giniz sesin bir k¬sm¬n¬n gra…¼gini çizdiriniz.

5. Soru 4 i küçük bir çocuk yak¬n¬n¬z¬n sesini kaydederek tekrarlay¬n¬z.

Sizin B har…ne ait sesinizle çocuk sesi aras¬nda ne fark gözlemliyor- sunuz.

Ses ile ilgili di¼ ger i¸ slemlerden önce Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümünü k¬saca özetleyelim:

4.3 Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümü

[0; 2 ] aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬parçal¬sürekli bir f fonksiyonunun Fourier aç¬l¬m¬

f (x) ' 1 2 a

+

X

a

cos(kx) + b

sin(kx) (4.2) ile verilir, burada

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

a

= 1 Z

f (x) cos(kx)dx; k = 0; 1; :::

ve

b

= 1 Z

f (x) sin(kx)dx; k = 1; 2; :::

olarak elde edilir. f nin süreki oldu¼ gu x noktalar¬nda (4.2) aç¬l¬m¬fonksiyo- nun söz konusu noktadaki de¼ gerine e¸ sittir.

Baz¬uygulamalarda [0; 2 ]aral¬¼ g¬nda ortogonal olanf1; sin(kx); cos(kxg

reel fonksiyonlar¬yerine

= fe

g

; i = p

1 (4.3)

ile tan¬mlanan ortogonal kümenin kullan¬m¬ daha fazla tercih edilir. Bu durumda f fonksiyonun sürekli oldu¼ gu x noktalar¬nda

f (x) = X

c

e

(4.4)

dir, burada c

lar kompleks say¬lard¬r. Reel ve kompleks katsay¬lar aras¬nda c

= 1

2 a

; c

= 1

2 (a

ib

); c

= 1

2 (a

+ ib

); k = 1; 2; (4.5) ba¼ g¬nt¬lar¬ geçerlidir(Al¬¸ st¬rma 1). kümesinin ortogonal oldu¼ gu kolayca görülebilir: k 6= l için n¬n ilgili elemanlar¬n¬n iç çarp¬m¬

< e

; e

>=

Z

e

e

dx = 1

i(k l) e

2

0

= 0 (4.6) ve ayr¬ca

< e

; e

>= 2 (4.7) dir.(4.4) ifadesinin her iki yan¬n¬ e

ile çarp¬p, [0; 2 ] aral¬¼ g¬ üzerinden integral alarak, (4.6) ve (4.7) den c

de¼ gerlerini

c

= 1 2

Z

f (x)e

dx; k 2 Z (tamsay¬lar kümesi) (4.8)

olarak elde ederiz.

Peryodik fonksiyonlar için geçerli olan bu aç¬l¬ma paralel olarak f fonk- siyonun x = 2 =N aral¬kl¬x

= 0 olmak üzere x

; k = 0; 1; :::; N 1 nokta- lar¬ndaki de¼ gerlerinden olu¸ stu¼ gunu kabul edebilece¼ gimiz f = [f

; f

; :::; f

]

sütun vektörü için de geçerlidir.

Bu durumda (4.3) de fonksiyonlardan olu¸ san taban¬rolünü w = e

olmak üzere w n¬n kuvvetlerinden olu¸ san

1; w; w

; ; w

(4.9)

kümesi üstlenir. Bu kümenin her bir eleman¬z

= 1 dekleminin çözümüdür.

w = e

ise primitif kök olarak adland¬r¬l¬r. (4.9) kümesi kompleks dü- zlemde birim çember üzerinde e¸ sit aral¬klarla serpi¸ stirilmi¸ s N adet noktadan olu¸ sur, w çember üzerinde saatin tersi yönünde 1 den sonraki ilk köktür ve primitif kök olarak adland¬r¬l¬r. Örne¼ gin

z

= 1 ) w = 1 ve f1; wg = f1; 1 g ;

z

= 1 ) w = i ve 1; w; w

; w

= f1; i; 1; ig

Fonksiyonlar için kulland¬¼ g¬m¬z fe

g

taban rolünü, bu taban¬n her bir k için yukar¬da belirtilen e¸ sit aral¬kl¬N - adet noktadaki de¼ gerinden olu¸ san

W

= 2 6 6 6 6 6 4

1 w w

.. . w

3 7 7 7 7 7 5

k

; k = 0; 1; :::; N 1 (4.10)

vektörler kümesi üstlenir. Bu durumda f vektörümüzü

f = 2 6 6 6 4

f

f

.. . f

3 7 7 7 5 =

N

X

c

W

(4.11)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

olarak ifade ederiz.

Iddia: · fW

g

kümesi ortogonaldir.

Ispat: · k 6= l olmak üzere, r = w

w

olarak tan¬mlayarak

< W

; W

>= [1 w

w

:::w

] 2 6 6 6 4

1 w

.. . w

3 7 7

7 5 (4.12)

= 1 + w

w

+ ::: + w

w

= 1 + r + ::: + r

= 1 r

1 r = 0 elde ederiz, çünkü

r

= (w

w

)

= w

w

= (w

)

(w

)

= 1

dir. Öteyandan

< W

; W

>= 1 + w

w

+ ::: + w

w

= N (4.13) dir, çünkü

w

w

= (ww)

= 1; :::; w

w

= (ww)

= 1:

fW

g

kümesinin ortogonalli¼ gi ve (4.13) yard¬m¬yla (4.11) ün her iki yan¬n¬W

(W

nin transpozu) ile çarparak

W

f = [1 w

w

:::w

] 2 6 6 6 4

f

f

.. . f

3 7 7

7 5 = N c

(4.14)

veya

c

= 1

N W

f = 1 N

N

X

f

(w

)

= 1 N

N

X

f

(e

)

; k = 0; 1; :::; N 1

(4.15)

elde ederiz. c = [c

; c

; ; c

]

vektörüne f nin ayr¬k Fourier dönü¸ sümü ad¬ verilir. Ayr¬k Fourier dönü¸ sümü için genelde kullan¬lan bir özel nota- syon yoktur, ancak burada biz kolayl¬k aç¬s¬ndan c = F (f ) notasyonunu kullanaca¼ g¬z.

Matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da c yi ifade edebiliriz: Bu amaçla fW

g

kümesi yard¬m¬yla

B = [W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. . 1 w

w

3 7 7

7 5 (4.16)

matrisini tan¬mlayal¬m. (4.14) dan

W

f = f

+ f

+ + f

= N c

W

f = f

+ wf

+ + w

f

= N c

.. .

W

f = f

+ w

f

+ + w

f

= N c

veya

B = [W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. . 1 w

w

3 7 7 7 5

olmak üzere

Bf = W

f

+ W

f

+ + W

f

= N c veya

c = F (f ) := 1 N Bf

elde ederiz. Ayr¬ca B nin sütunlar¬n¬n ortogonalli¼ gi ve (4.13) dan BB = N I

elde ederiz, burada I ise B ile ayn¬boyutta olan birim matristir. Dolay¬s¬yla B

= 1

N B

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

dir.

O halde verilen f vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸ sümü c = 1

N Bf = B

f (4.17)

ve c nin ayr¬k ters Fourier dönü¸ sümü ise

f = F

(c) := Bc (4.18)

dir.

ÖRNEK 4.1. f = [1 1]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü belir- leyiniz.

N = 2 olup, w = e

= e

= 1 dir. O halde

B = 1 1

1 w = 1 1

1 1

olup,

c = 1

N Bf = 1 2

1 1

1 1

1

1 = 0

1 elde ederiz.

ÖRNEK 4.2. f = [1 1 1 1]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü be- lirleyiniz.

N = 4 olup, w = e

= e

= i dir. O halde

B = 2 6 6 4

1 1 1 1

1 w w

w

1 w

w

w

1 w

w

w

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i i

i

1 i

i

i

1 i

i

i

3 7 7 5

= 2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

elde ederiz. Dolay¬s¬yla

c = F (f ) = 1

N Bf = 1 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

1 1 1 1

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1=2 ( 1=2)i

1=2 (1=2)i

3 7 7 5

olarak elde ederiz.

Ters Fourier Fourier Dönü¸ sümü ise c yard¬m¬yla orijinal f dizisini elde etme i¸ slemidir ve

f = Bc olarak verilir.

Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü (4.15) formülü ile gerçekle¸ stiren Program 4.2 a¸ sa¼ g¬da verilmektedir.

--- function c=fourier(f)

format rat;

f=f’;

N=length(f);

w=exp(2*pi*i/N); % 1 in N-inci kok W=ones(N,1);

for k=2:N

W(k)=w*W(k-1);

end

B(:,1)=ones(N,1);

B(:,2)=W;

for k=3:N

B(:,k)=W.*B(:,k-1);

end

c=conj(B)*f/N;

---

Program 4.2: Klasik(h¬zl¬olmayan) Fourier Dönü¸ sümü

ÖRNEK 4.3. >> f = [1 1] vektörünün Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü Prog- ram 4.2 yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

>> f=[1 -1];

>> fourier(f) ans =

0 + 0i 1 + 0i elde ederiz.

ÖRNEK 4.4. >>f = [1 1 1 1] sat¬r vektörünün Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü Program 4.2 yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

>> f=[1 1 1 -1];

>> fourier(f) ans =

1/2 + 0i 0 - 1/2i 1/2 + 0i 0 + 1/2i elde ederiz.

Elde edilen ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün reel ve sanal k¬s¬mlar¬ile genli¼ gi ve faz olarak bilinen argüman¬gra…ksel olarak ¸ Sekil 4.2 de sunulmaktad¬r.

Yukar¬daki gra…k a¸ sa¼ g¬daki program parças¬yard¬m¬yla elde edilmi¸ stir.

--- function dortlugraf()

f=[1 1 1 -1]’;

c=fourier(f);

k=1:length(f);

subplot(4,1,1);

stem(k,real(c));ylabel(’Re(c)’);

subplot(4,1,2);

stem(k,imag(c));ylabel(’Im(c)’);

subplot(4,1,3);

stem(k,abs(c));ylabel(’ jcj’);

subplot(4,1,4);

stem(k,angle(c));ylabel(’Faz(c)’);

---

¸

Sekil 4.2: Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün reel ve sanal k¬s¬mlar¬ile genlik ve faz gra…¼ gi

Yukar¬da ifade edilen Ayr¬k fourier dönü¸ sümü B matrisinin N N boyu- tunda bir matris olmas¬durumunda N

adet çarpma i¸ slemi yap¬lmas¬n¬gerek- tirir. Bu ise çok say¬da elemana sahip olan f dizileri veya f matrisleri için çok fazla bilgisayar sistem kayna¼ g¬kullan¬m¬n¬gerektirir. Bu durumda B ma- trisinin özelliklerinde faydalanmak suretiyle verilen dizi alt parçalara bölün- mek suretiyle ayr¬k Fourier dönü¸ sümü gerçekle¸ stirir. Bölüm 4.5 te inceleye- ce¼ gimiz söz konusu yönteme H¬zl¬ Fourier Dönü¸ sümü(Fast Fourier Trans- form) ad¬ verilir ve MATLAB/OCTAVE ortam¬nda ¤t() fonksiyonu yard¬- m¬yla gerçekle¸ stirilir.

ÖRNEK 4.5. f = [1 1 1 1]

nin Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümünü ¤t program¬

yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

>>f = [1 1 1 1]

;

>> ¤t(f ) ans = 2 + 0i 0 - 2i 2 + 0i

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

0 + 2i Uyar¬lar:

¤t ile elde etti¼ gimiz sonuçlar¬n, fourier program¬ ile elde edilenlerin 4 kat¬oldu¼ guna dikkat ediniz. Uzunlu¼ gu N olan vektör için ¤t() ile elde edilen sonuçlar, fourier() ile elde etti¼ gimiz sonuclar¬n N kat¬na e¸ sit olur. Bu sonuç uygulamalarda herhangi bir sorun olu¸ sturmaz, her iki yakla¸ s¬mda literatürde s¬kça kullan¬l¬r.

Bile¸ sen say¬s¬fazla olan uygulamalar için ¤t() kullan¬lmal¬d¬r. fourier() program¬n¬sadece yöntemin nas¬l çal¬¸ st¬¼ g¬n¬göstermek amac¬yla ince- liyoruz.

Ayr¬k Fourier dönümünün tersi de benzer biçimde hesaplanabilir. fourier() program¬nda gerekli düzenlemeler yap¬larak ifourier() ismi ile ters ayr¬k Fourier dönü¸ sümü de hesaplanabilir(Al¬¸ st¬rma 12).

Bir c vektörünün ters ayr¬k Fourier dönü¸ sümü MATLAB/OCTAVE or- tam¬nda

>>i¤t(c)

komutu ile gerçekle¸ stirilir.

ÖRNEK 4.6. c = [2 2i 2 2i] nin ters Fourier dönü¸ sümünü i¤t komutu yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

>> c = [2 2 i 2 2 i] için

>>if f t(c)

ans = 1 1 1 1 elde ederiz.

4.4 Bir matrisin Fourier ve Ters Fourier Dönü¸ sümü

Bir matrisin ayr¬k Fourier ve ters Fourier dönü¸ sümünü inceleyelim:

A = 1 2

3 4

matrisi verilsin.

A matrisinin ayr¬k Fourier dönü¸ sümü, her bir sat¬r¬n Fourier dönü¸ sümü ile elde edilen matrisin sütunlar¬n¬n Fourier dönü¸ sümüne e¸ sittir. B, önceki bölümde tan¬mlanan Fourier matrisi olmak üzere, n = 2 için

B = 1 1

1 1

dir. Bu durumda A n¬n her bir sat¬r¬n¬n Fourier dönü¸ sümü

C

= 1 2

1 1

1 1

1

2 = 3=2

1=2 ve

C

= 1 2

1 1

1 1

3

4 = 7=2

1=2 olmak üzere,

C = C

C

= 3=2 1=2 7=2 1=2 elde ederiz.

¸

Simdi de C nin herbir sütununun Fourier Dönü¸ sümünü elde edelim:

D

= 1 2

1 1

1 1

3=2

7=2 = 5=2 1 ve

D

= 1 2

1 1

1 1

1=2

1=2 = 1=2

0 yani

F

(A) = 5=2 1=2

1 0

elde ederiz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

Yukar¬daki i¸ slem k¬saca F

(A) = 1

n

BAB

= 1 4 BAB

= 1 4

1 1

1 1

1 2 3 4

1 1

1 1

=

5 2

1 2

1 0 olarak ta ifade edilebilir. Burada

1 2

1 2 3 4

1 1

1 1 = 3=2 1=2

7=2 1=2

çarp¬m¬, yukar¬da da elde edildi¼ gi üzere A matrisinin sat¬rlar¬n¬n Fourier dönü¸ sümünü verir. Gerçekten de her iki yan¬n transpozesini alarak,

1 2

1 1

1 1

1 3 2 4

= 1 2

1 1

1 1

1 2 + 1

2

1 1

1 1

3 4

= 3=2 7=2

1=2 1=2 elde ederiz.

Öte yandan

1 2

1 1

1 1

3=2 1=2 7=2 1=2

= 1 2

1 1

1 1

3=2 7=2 + 1

2

1 1

1 1

1=2 1=2

çarp¬m¬ise , elde edilen matrisin sütunlar¬n¬n Fourier dönü¸ sümüne e¸ sittir.

A matrisinin Ters Fourier Dönü¸ sümü ise

F

(A)

= BAB

biçiminde ifade edilebilir.

Örne¼ gin yukar¬da elde edilen F

(A) n¬n ters Fourier dönü¸ sümü F

(F

(A))

= BF

(A)B

= 1 1

1 1

5 2

1 2

1 0

1 1

1 1

= 1 2

3 4 olarak elde edilir.

Yukar¬daki i¸ slemleri bu kez de

A = a b c d

matrisi için tekrarlayarak A matrisinin Fourier dönü¸ sümünü hesaplayal¬m.

Öncelikle sat¬rlar¬n Fourier dönü¸ sümlerini hesaplayal¬m:

F

(a; b) = 1 2

1 1

1 1

a

b = 1 2

a + b a b ve

F

(c; d) = 1 2

1 1

1 1

c

d = 1 2

c + d c d elde ederiz. Buradan

C = 1 2

a + b a b c + d c d

elde ederiz. ¸ Simdi de C nin sütunlar¬n¬n Fourier dönü¸ sümlerini elde edelim:

F

((a + b)=2; (c + d)=2) = 1 2

1 1

1 1

(a + b)=2 (c + d)=2

= 1 4

1 1

1 1

a + b c + d

= 1 4

a + b + c + d a + b (c + d)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

ve benzer biçimde

F

((a b)=2; (c d)=2) = 1 2

1 1

1 1

(a b)=2 (c d)=2

= 1 4

1 1

1 1

a b c d

= 1 4

a + c (b + d) a + d (b + c) elde ederiz. O halde

F

(A) = 1 4

a + b + c + d a + c (b + d) a + b (c + d) a + d (b + c) elde ederiz.

¸

Simdi de yukar¬da hesaplad¬¼ g¬m¬z F

(A) n¬n ters Fourier dönü¸ sümünü hesaplayal¬m:

F

(F

(A))

= BF

(A)B

= 1 1

1 1

1 4

a + b + c + d a + c (b + d) a + b (c + d) a + d (b + c)

1 1

1 1

= 1 4

1 1

1 1

2a + 2c 2b + 2d 2a 2c 2b 2d

= a b

c d elde ederiz.

Matris Fourier dönü¸ sümü, MATLAB/OCTAVE ortam¬nda ¤t2 fonksi- yonu yard¬m¬yla ve H¬zl¬ Fourier Algoritmas¬yla gerçekle¸ stirilir. Örne¼ gin yukar¬da verilen A matrisi için

>> ¤t2(A) ans = 10 -2 -4 0

elde ederiz. Bu sonuç yukar¬da elde etti¼ gimiz F

(A) n¬n 4 kat¬d¬r. A

matrisi için

F

(A) = 1

n

f f t2(A)

d¬r, fakat uygulamalarda bu farkl¬l¬k herhangi bir sorun te¸ skil etmez.

Ters Fourier dönü¸ sümü ise i¤t2 fonksiyonu ile gerçekle¸ stirilir.

Genelle¸ stirmek istersek, B : Bölüm 4.2 de (4.16) ile tan¬mlanan Fourier matrisi olmak üzere A

matrisinin Fourier dönü¸ sümü

F

(A) = 1

n

BAB (4.19)

ve ters Fourier dönü¸ sümü ise

F

(A)

= BAB (4.20)

olarak ifade edilir. Bu kurallar¬f vektörü için c =

Bf Fourier dönü¸ sümü ve f = Bc ters Fourier dönü¸ sümü ile kar¸ s¬la¸ st¬r¬n¬z).

Al¬¸ st¬rmalar 4.2.

1. f = [1 2]

; f = [1 1 1 1]

vektörlerinin ayr¬k Fourier dönü¸ sümlerini (4.17) ile belirleyiniz.

2. Soru 1 de elde etti¼giniz dönü¸ sümlerinin ters Fourier dönü¸ sümlerini (4.18) belirleyiniz.

3. Soru 1 ve 2 yard¬m¬yla f nin 2 normu ve c ile gösterece¼gimiz ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün 2 normu aras¬nda nas¬l bir ili¸ ski görüyorsunuz?

4. f = [f

; f

; :::; f

] vektörü verilsin ve c ile de f nin ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü gösterelim(c =

Bf ). Bu taktirde Parseval ba¼g¬nt¬s¬ ad¬

verilen

jjfjj

= N jjcjj

ba¼g¬nt¬s¬n¬n geçerli oldu¼gunu gösteriniz.

5. 2 peryotlu bir f fonksiyonunun 2 normu ile Fourier serisinin c = fc

g

katsay¬lar vektörünün 2 normu aras¬nda soru 4 teki gibi Parseval ba¼g¬nt¬s¬mevcuttur,

jjfjj

= 2 jjcjj

Yukar¬daki ba¼g¬nt¬n¬n da do¼gru oldu¼gunu ispat ediniz.

6. A¸ sa¼g¬da verilen birim vektörlerin ayr¬k Fourier dönü¸ sümlerini belir- leyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(a) e

= [1 0 0 0]

(b) e

= [0 1 0 0]

(c) e

= [0 0 1 0]

(d) e

= [0 0 0 1]

7. Yukar¬da verilen Program 4.2 yard¬m¬yla a¸ sa¼g¬daki vektörlerin ayr¬k Fourier dönü¸ sümlerini hesaplay¬n¬z.

(a) f = [1]

(b) g = [1 2 3 4]

(c) h = [2 4 6 8]

8. Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün lineer bir dönü¸ süm oldu¼gunu gösteriniz:

f; g 2 C

ve ; key… iki skaler olmak üzere F ( f + g) = F (f ) + F (g) oldu¼gunu gösteriniz.

9. Soru 8 deki lineerlik özelli¼gi ve soru 6 da elde etti¼giniz sonuçlar yard¬- m¬yla soru 7-b, 7-c deki Fourier dönü¸ sümlerini hesaplay¬n¬z.

10. Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün bire-bir dönü¸ süm oldu¼gunu gösteriniz, yani f; g 2 C

ve f 6= g ise F (f) 6= F (g) oldu¼gunu gösteriniz.

11. Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün çekirde¼gi nedir?

(Not: çek(F ) = f 2 C

jF (f) = 0 2 C

)

12. Ters Fourier dönü¸ sümünü f= ifourier(c) komutu ile hesaplayan program a¸ sa¼g¬da verilmektedir.

--- function f=ifourier(c)

format rat;

N=length(c);

w=exp(2*pi*i/N); % 1 in N-inci kok W=ones(N,1);

for k=2:N

W(k)=w*W(k-1);

end

B(:,1)=ones(N,1);

B(:,2)=W;

for k=3:N

B(:,k)=W.*B(:,k-1);

end f=B*c;

---

Bu program yad¬m¬yla soru 7 de elde etti¼giniz dönü¸ sümlerin ters Fourier dönü¸ sümlerini hesaplayarak, verilen dizileri elde etti¼ginizi gözlemleyiniz.

13. A¸ sa¼g¬da verilen matrislerin Fourier Dönü¸ sümlerini (4.19) ba¼g¬nt¬s¬ ile hesaplay¬n¬z.

(a)

A = 2 1 1 2 (b)

A = 2 6 6 4

2 1 1 0

1 1 3 1

1 3 3 1

0 1 1 4

3 7 7 5

14 Soru 13 de elde etti¼giniz Fourier dönü¸ sümlerinin ters Fourier dönü¸ süm- lerini (4.20) hesaplayarak, ba¸ slang¬çtaki A matrislerini elde etti¼ginizi gözlemleyiniz.

14. Verile bir matrisin Fourier dönü¸ sümünü (4.19) ba¼g¬nt¬s¬ile hesaplayan fouriermat isimli bir program ve Ters fourier dönü¸ sümünü ise (4.20) ba¼g¬nt¬s¬ile hesaplayan ifouriermat isimli birere program haz¬rlayarak, Soru 13 ve 14 te elde etti¼giniz sonuçlar¬kontrol ediniz.

4.5 H¬zl¬Fourier Dönü¸ sümü

N bile¸ senli f vektörü için c = F (f ) =

Bf Fourier dönü¸ sümü, N

adet çarpma i¸ slemi gerektirir. Pratik i¸ slemlerde çok say¬da bile¸ sene sahip f vek-

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

törü ile birden fazla defa tekrarlanmas¬gereken bu i¸ slem a¸ s¬r¬bilgisayar za- man¬ gerektirir ve ilgili i¸ slemlerin etkinli¼ gini azalt¬r. 1967 y¬l¬nda J. Coo- ley ve J. Tukey, B matrisinin özelliklerini inceleyerek söz konusu çarpma i¸ sleminin N = 2

için N

adet çarpma i¸ slemi yerine çok daha küçük olan

1

2

N l =

N log

(N ) adet çarpma i¸ slemi ile h¬zl¬ biçimde gerçekle¸ stirilebile- ce¼ gini göstermi¸ slerdir. B Fourier matrisi ile h¬zl¬ çarpma i¸ slemini gerçek- le¸ stiren bu algoritma H¬zl¬Fourier Algoritmas¬olarak adland¬r¬lm¬¸ st¬r. Bölüm 2 de inceledi¼ gimiz Simpleks algoritmas¬gibi bu algoritma da 20: yüzy¬l bil- imine en fazla katk¬ sa¼ glayan ilk on matematiksel algoritma aras¬nda yer almaktad¬r[1].

Bu bölümde h¬zl¬ Fourier dönü¸ sümünü ana hatlar¬yla ve k¬saca özetliy- oruz, konuyla ilgilili detayl¬bilgiler için [2] nolu referans¬önermekteyiz.

H¬zl¬Fourier algoritmas¬, B

matrisi ile B

matrisinin elemanlar¬

aras¬ndaki a¸ sa¼ g¬daki gözlemi esas al¬r:

n = 2m için w

= w

; w

= e

dir. Gerçekten de

w

= (e

)

= e

= e

= e

= w

dir.

N = 4 için algoritmay¬inceleyelim:

w

= e

= i;

B

= 2 6 6 4

1 1 1 1

1 w w

w

1 w

w

w

1 w

w

w

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

için

c = F (f )

= 1 4 B

f

= 1 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

f

f

f

f

3 7 7 5

= 1 4

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3 7 7 5

elde ederiz.

N = 2 için w

= e

= 1;

B

= 1 1

1 w = 1 1

1 1

dir. f

= [f

; f

]; f

= [f

; f

] olmak üzere f nin tek ve çift indisli terimleri ile iki alt dizi olu¸ stural¬m:

y

= B

f

= 1 1

1 1

f

f

= f

+ f

f

f

= y

y

ve

y

= B

f

= 1 1

1 1

f

f

= f

+ f

f

f

= y

y

olmak üzere

y

= y

+ (w

)

y

= f

+ f

+ f

+ f

; y

= y

+ (w

)

y

= f

f

i(f

f

) ve

y

= y

(w

)

y

= f

+ f

(f

+ f

);

y

= y

(w

)

y

= f

f

+ i(f

f

)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda

y = 2 6 6 4

y

y

y

y

3 7 7 5 =

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3 7 7

5 = B

f

olup,

c = F (f ) = 1

4 B

f = 1 4 y elde ederiz.

Yukar¬da özetlenen i¸ slemler H¬zl¬Fourier yöntemininin bir ad¬m¬n¬olu¸ s- turmaktad¬r.

Öteyandan

B

f

= 1 1

1 1

f

f

= f

+ f

f

f

i¸ sleminin çarpma i¸ slemi yapmaks¬z¬n gerçekle¸ stirilebilece¼ gine dikkat edelim:

Birinci sat¬r f

nün bile¸ senler toplam¬, ikinci sat¬r ise bile¸ senler fark¬d¬r. Ben- zer sonuç B

f

için de geçerlidir.

16 adet çarpma i¸ slemi ile gerçekle¸ stirilebilen B

f çarp¬m¬, çarpma i¸ slemi gerektirmeyen

B

f

= f

+ f

f

f

B

f

= f

+ f

f

f

ile, sadece y

ve y

den y nin elde edilmesi için gerekli 4 adet çarpma i¸ slemi olmak üzere toplam 4 adet çarpma i¸ slemi ile gerçekle¸ stirilmi¸ stir. Yani N

= 16 i¸ slem ; 2

= N = 4 için l = 2 = log

(N ) ile

N l =

N log

(N ) = 4 adet çarpma i¸ slemi ile gerçekle¸ stirilmi¸ stir.

Kelebek diagram¬ad¬verilen diagramla, yukar¬daki i¸ slemler a¸ sa¼ g¬daki gibi

¸ sematik olarak gösterilebilir:

f

! y

:= f

+ f

! y

:= y

+ w

y

% %

f

& y

:= f

f

! y

:= y

+ w

y

%

f

y

:= f

+ f

& y

:= y

w

y

%

f

& y

:= f

f

& y

:= y

w

y

Yukar¬da f nin çift ve tek indisli bile¸ senlere ayr¬ld¬¼ g¬na dikkat edelim.

Daha aç¬kça son sütundan w

= i için,

y

:= y

+ y

= f

+ f

+ f

+ f

= f

+ f

+ f

+ f

y

:= y

+ wy

= f

f

i(f

f

) = f

if

f

+ if

y

:= y

y

= f

+ f

(f

+ f

) = f

f

+ f

f

y

:= y

wy

= f

f

( i)(f

f

) = f

+ if

f

if

elde ederiz. Buradan

y = B

f ve

c = F (f ) = 1

4 B

f = 1 4 y

oldu¼ gu kolayca görülür. Di¼ ger bir de¼ gimle diyagram¬n son sütunun 4 e bölümü ilk sütunda yer alan vektörün h¬zl¬Fourier dönü¸ sümüdür.

Yukar¬daki i¸ slem a¸ sa¼ g¬daki gibi genelle¸ stirilebilir:

Çift bir n = 2m için, B

f in ilk m ve son m bile¸ seni y

= y

+ w

y

; j = 0; 1; :::; m 1 y

= y

w

y

; j = 0; 1; :::; m 1 ve

c = F (f ) = 1 n y dir, burada

y

= B

f

; y

= B

f

ve

f

= (f

; f

; :::; f

);

f

= (f

; f

; :::; f

) dir.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

ÖRNEK 4.7. Kelebek diyagram¬ve klasik yöntem ile f = [1; 2; 3; 4] dizisinin H¬zl¬Fourier dönü¸ sümünü hesaplay¬n¬z.

Kelebek diyagram¬ile

1 ! y

:= 1 + 3 = 4 ! y

:= y

+ w

y

= 10

% %

3 & y

:= 2 ! y

:= y

+ w

y

= 2 + 2i

%

2 y

:= 6 & y

:= y

w

y

= 2

%

4 & y

:= 2 4 = 2 & y

:= y

w

y

= 2 2i için

c = F (f ) = 1 4 y = 1

4 (10; 2 + 2i; 2; 2 2i) elde ederiz.

Klasik yöntemle de

c = 1 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

1 2 3 4

3 7 7 5 =

1 4

2 6 6 4

10 2 + 2i

2 2 2i

3 7 7 5

elde ederiz.

Al¬¸ st¬rmalar 4.3.

1. f = [1; 0; 2; 1] dizisi verilsin. f nin Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü klasik yöntem ve

kelebek diyagram¬(h¬zl¬Fourier algoritmas¬) yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

2. f = [1; 1; 0; 1] dizisi verilsin. f nin Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü klasik yöntem ve

kelebek diyagram¬ile hesaplay¬n¬z.

3. f = [1; 0; 2; 1; 1; 2; 3; 4] dizisi verilsin. f nin Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü klasik yöntem ve

kelebek diyagram¬ yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z, bu durumda kelebek

diyagram¬üç a¸ samal¬(sütunlu) olmal¬d¬r.

¸

Sekil 4.3: S¬ras¬yla f; g ve h sinyallerinin gra…ksel gösterimi.

4.6 Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümü Uygulamalar¬

Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümü genellikle zamanla üretilen sonlu elemanl¬bir dizinin elemanlar¬ üzerinde frekans analizi yapmak amac¬yla gerçekle¸ stirilir. Veri içerisinde herhangi bir frekanstaki harmoni¼ gin gücü ve faz¬n¬n belirlenmesi oldukça önemlidir.

ÖRNEK 4.8. f

= 10Hz; f

= 40Hz frekenslar¬ile tan¬mlanan sinizoidal f (t) = sin(2 f

t);

g(t) = sin(2 f

t); 0 t 1 sinyalleri ve bu iki sinyalin süperpozisyonu ile olu¸ sturulan

h(t) = f (t) + g(t)

sinyalini gözönüne alal¬m. Ayr¬k Fourier ve ters Fourier dönü¸ sümü yard¬- m¬yla h(t) içerisinden f (t) ve g(t) bile¸ senlerini yakla¸ s¬k olarak ayr¬¸ st¬r¬n¬z.

¸

Sekil 4.3 (a),(b) ve (c) de s¬ras¬yla f,g ve h fonksiyonlar¬gra…ksel olarak sunulmaktad¬r.

Amac¬m¬z farkl¬frekanslara sahip ¸ Sekil 4.3 (a) ve (b) sinyallerinin toplam¬

ile olu¸ sturulan ve ¸ Sekil 4.3(c) de sunulan sinyal içerisinden (a) ve (b) sinyal- lerini tekrar elde etmektir. (c) ile gösterilen sinyalin ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün mutlak de¼ geri ¸ Sekil 4.4 (a) da sunulmaktad¬r.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

¸

Sekil 4.4: Filtreleme

¸

Sekil 4.3(a) da öncelikle 10Hz ve 40Hz frekansl¬ iki sinyal görülmekte- dir. Örneklem uzunlu¼ gu 250 olan sinyalin yar¬s¬ olan 250=2 = 125Hz den büyük olan sinyallerin Ayr¬k Fourier analizi için anlam ifade etmedi¼ gi bilin- mektedir. O halde 10Hz ve 40Hz merkezli sinyallere odaklanarak sinyalin Fourier dönü¸ sümünün mutlak de¼ gerce büyük de¼ gerler ald¬¼ g¬ ve bant aral¬¼ g¬

olarak bilinen aral¬klar¬ belirlemeliyiz. 10Hz merkezli sinyal için [0; 20] ve 40Hz merkezli sinyal için ise [21; 60] Hz aral¬¼ g¬n¬yakla¸ s¬k olarak seçebiliriz.

Bu durumda hs ile h n¬n Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü gösterelim ve frekans bölgesinde

h1s = hs s 20 0 s > 20 ve

h2s = hs 21 s 60

0 s < 21 ve s > 60

…ltrelenmi¸ s sinyallerini tan¬mlayal¬m. h1s nin ters Fourier dönü¸ sümü ¸ Sekil 4.4(b) den görülece¼ gi üzere f sinüzoidini temsil etmekte ve ¸ Sekil 4.4(c) den görülece¼ gi üzere h2s nin ters Fourier dönü¸ sümü g sinüzoidini temsil etmek- tedir. Böylece h(t) içerisinde yer alan orjinal sinyaller iyi bir yakla¸ s¬mla elde etmi¸ s olduk.

Farkl¬frekanslara sahip sinyalleri Ayr¬k Fourier ve Ters Fourier yöntemiyle

ayr¬kla¸ st¬rd¬¼ g¬m¬z Octave program¬a¸ sa¼ g¬da verilmektedir.

--- function filtre1()

%Basit bir filtreleme, ec, Mart 2015 clf;

fs1=10;fs2=40;N=250;

Nv=0:N;

Tv=(0:N)/N;

f=sin(2*pi*fs1*Tv);

g=sin(2*pi*fs2*Tv);

h=f+g;

figure(1);

subplot(3,1,1);

plot(Tv,f);title(’(a)’);

subplot(3,1,2);

plot(Tv,g);title(’(b)’);

subplot(3,1,3);

plot(Tv,h);title(’(c)’);

hs=fft(h);

figure(2);

subplot(3,1,1);

hsmutlak=abs(hs);

plot(hsmutlak);title(’(a)’);

f1=hs.*(Nv<=20);

f2=hs.*(Nv>20 &Nv<=60);

f1ters=real(ifft(f1));

f2ters=real(ifft(f2));

subplot(3,1,2);

plot(Tv,f1ters);title(’(b)’);

subplot(3,1,3);

plot(Tv,f2ters);title(’(c)’);

--- Program 4.3: Örnek 4.8 e ait Filtreleme örne¼ gi-I

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

ÖRNEK 4.9. A¸ sa¼g¬daki s¬ralanan ad¬mlar ile basit bir gürültü ay¬klama uygulamas¬n¬n nas¬l gerçekle¸ stirildi¼gini gözlemleyiniz.

Gürültü ay¬klama yöntemimiz k¬saca a¸ sa¼ g¬daki ad¬mlardan olu¸ smaktad¬r:

1. record komutu ile 1 saniyelik bir ses, örne¼ gin A harf sesi, F s = 8000 örneklem frekans¬ile kaydedilerek, Y vektörüne atanmaktad¬r.

2. sound komutu ile ses kaydedilmi¸ s oldu¼ gu Fs frekans¬nda dinletilmek- tedir.

3. n, Y nin uzunlu¼ gu olmak üzere gurultu = 0:2 rand(n; 1) atamas¬ile rasgele bir gürültü olu¸ sturulmaktad¬r.

4. yg = y + gurultu atamas¬yla gürültülü ses olu¸ sturuyoruz.

5. Gurultulu ses sound komutuyla dinletilmektedir.

6. Gurultulu sesin ayr¬k Fourier dönü¸ sümü hesaplanarak f yg de¼ gi¸ skenine atanmaktad¬r.

7. Gürültülü sesin ayr¬k Fourier dönü¸ sümüne …ltre uygulanmaktad¬r: kabaca, ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün mutlak de¼ geri 12 de¼ gerine e¸ sit veya daha küçük olan indisler belirlenerek ii de¼ gi¸ skenine atanmaktad¬r.

8. f yg(ii) de¼ gerleri s¬f¬rlanmaktad¬r.

9. Filtrelenmi¸ s f yg de¼ gerlerinin ters fourier dönü¸ sümünün reel k¬sm¬f gs de¼ gi¸ skenine atanmaktad¬r.

10. f gs …ltrelenmi¸ s sesi sound komutuyla dinletilmektedir.

Uygulama:

>> …ltre2()

Enter tusuna basarak bir saniyelik ses kaydedin Enter tusuna basarak sesinizi dinleyin

Enter tusuna basarak gurultulu sesinizi dinleyin

Enter tusuna basarak …ltrelenmis sesinizi dinleyin

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

--- function filtre2()

% Basit bir filtreleme, ec, Nisan, 2018 Fs=8000;

a=input(’Enter tusuna basarak bir saniyelik ses kaydedin’);

y=record(1,Fs);N=length(y);M=round(N/4);Mv=1:M;

a=input(’Enter tusuna basarak sesinizi dinleyin’);

sound(y,Fs);

n=length(y);

gurultu=0.2*rand(n,1);

yg=y+gurultu;

a=input(’Enter tusuna basarak gurultulu sesinizi dinleyin’);

sound(yg, Fs);

fyg=fft(yg);

ii=find(abs(fyg)<=12);

fyg(ii)=0;

fgs=real(ifft(fyg));

a=input(’Enter tusuna basarak filtrelenmis sesinizi dinleyin’);

sound(fgs,Fs);

figure(1)

subplot(2,1,1);

plot(y(Mv));axis([ 1 M -0.5 0.5]);

xlabel(’ses ’);set(gca,’XTickLabel’,’’); hold on;

subplot(2,1,2);

plot(abs(fft(y(Mv))));

xlabel(’sesin fft sinin mutlak degeri’);

set(gca,’XTickLabel’,’’);set(gca,’XTickLabel’,’’);hold on;

figure(2);

subplot(2,1,1);plot(gurultu(Mv));hold on;

xlabel(’gurultu’);set(gca,’XTickLabel’,’’);

subplot(2,1,2);plot(abs(fft(gurultu)));

xlabel(’gurultunun fft sinin mutlak degeri’);

hold on;set(gca,’XTickLabel’,’’);

figure(3);

subplot(2,1,1);plot(yg(Mv));xlabel(’gurultulu ses’); hold on;

set(gca,’XTickLabel’,’’);

subplot(2,1,2);plot(fgs(Mv));axis([ 1 M -0.5 0.5]);

xlabel(’filtrelenmis ses’); hold on;set(gca,’XTickLabel’,’’);

---

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

Al¬¸ st¬rmalar 4.4.

1. Örnek 4.8 için verilen program¬ veya biraz daha de¼gi¸ sik olarak a¸ sa¼g¬da verilen program¬ referans alarak, seçece¼giniz frekanslardaki iki sinyalin toplam¬olarak ifade edilen sinyalden, ilgili bile¸ senleri Ayr¬k Fourier ve Ters Fourier dönü¸ sümü yard¬m¬yla elde ediniz.

2. Örnek 4.9 için verilen program¬kaydedece¼giniz birer saniyelik sesler ile test ediniz.

3. Yukar¬da verilen fourier program¬ve MATLAB/OCTAVE ¤t program¬n¬n h¬z¬n¬artan uzunluklara sahip rand komutuyla olu¸ sturulan f dizileri ile test yap¬n¬z. Küçük boyutlu ve büyük boyutlu dizilerde her iki program¬n sonuçlar¬n¬elde ederken harcad¬klar¬zaman¬kar¸ s¬la¸ st¬r¬n¬z. Ne gözlem- liyorsunuz?

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

[1] Cipra, Bary A., The best of the 20th Century(XX. Yüzy¬l¬n en iyileri(en iyi matematiksel yöntemleri)),

URL:https://archive.siam.org/pdf/news/637.pdf

[2] Brigham, E. Oran, The Fast Fourier Transform and its Applications, Prentice Hall, 1988.

[3] Co¸ skun, E. MATLAB/Octave ile Say¬sal Hesaplama ve Kodlama, URL:aves.ktu.edu.tr/erhan(veya erhancoskun.com.tr).

[4] Strang, G., Introduction to Applied Mathematics, Wellesley Cambridge

Press, ABD, 1986.