Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü MAT4012 Endüstriyel Matematik

Uzaktan E¼ gitim Ders-II E-posta:erhan@ktu.edu.tr

9 Nisan 2020

Özet

Bu derste bir sinyal veya matematiksel ifadesiyle bir vektörün

Ayr¬k(discrete) Fourier dönü¸ sümünü inceleyece¼ giz.

Hat¬rlatma(Bir fonksiyonun Kompleks Fourier serisi)

2π peryotlu parçal¬sürekli bir f fonksiyonunun, [ π, π ] aral¬¼ g¬gibi 2π uzunluklu aral¬k üzerinde ortogonal olan

β = f ^{e ikx} g ^∞ k = _∞ , i = p

1 (1)

kümesinin lineer kombinasyonu olarak ve fonksiyonun sürekli oldu¼ gu x noktalar¬nda

f ( x ) =

∑ ∞ k = _∞

c _k e ^ikx (2)

biçiminde ifade edilebildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

(2) ye f fonksiyonunun Fourier serisi ve c _k katsay¬lar¬na da Fourier

katsay¬lar¬ad¬verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Hat¬rlatma(Bir fonksiyonun Kompleks Fourier serisi)

2π peryotlu parçal¬sürekli bir f fonksiyonunun, [ π, π ] aral¬¼ g¬gibi 2π uzunluklu aral¬k üzerinde ortogonal olan

β = f ^{e ikx} g ^∞ k = _∞ , i = p

1 (1)

kümesinin lineer kombinasyonu olarak ve fonksiyonun sürekli oldu¼ gu x noktalar¬nda

f ( x ) =

∑ ∞ k = _∞

c _k e ^ikx (2)

biçiminde ifade edilebildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

(2) ye f fonksiyonunun Fourier serisi ve c _k katsay¬lar¬na da Fourier

katsay¬lar¬ad¬verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Hat¬rlatma(Bir fonksiyonun Kompleks Fourier serisi)

2π peryotlu parçal¬sürekli bir f fonksiyonunun, [ π, π ] aral¬¼ g¬gibi 2π uzunluklu aral¬k üzerinde ortogonal olan

β = f ^{e ikx} g ^∞ k = _∞ , i = p

1 (1)

kümesinin lineer kombinasyonu olarak ve fonksiyonun sürekli oldu¼ gu x noktalar¬nda

f ( x ) =

∑ ∞ k = _∞

c _k e ^ikx (2)

biçiminde ifade edilebildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

(2) ye f fonksiyonunun Fourier serisi ve c _k katsay¬lar¬na da Fourier

katsay¬lar¬ad¬verildi¼ gini hat¬rlayal¬m.

Hat¬rlatma(reel katsay¬l¬Fourier serisi ve katsay¬lar¬)

K¬smi Dif. uygulamalar¬m¬zda daha çok

f ( x ) = ¹ 2 a ₀ +

∑ ∞ k = 1

a _k cos ( kx ) + b _k sin ( kx ) (3) ile verilen reel katsay¬l¬versiyonunu kullan¬r¬z, burada

a _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) cos ( kx ) dx, k = 0, 1, ... ve

b _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) sin ( kx ) dx, k = 1, 2, ... olarak elde edilir.

Yukar¬da tan¬mlanan a _k , b _k katsay¬lar¬ile (2) ile verilen ifade deki c _k

katsay¬lar¬aras¬nda ili¸ski mevcuttur(Al¬¸st¬rma 1).

Hat¬rlatma(reel katsay¬l¬Fourier serisi ve katsay¬lar¬)

K¬smi Dif. uygulamalar¬m¬zda daha çok

f ( x ) = ¹ 2 a ₀ +

∑ ∞ k = 1

a _k cos ( kx ) + b _k sin ( kx ) (3) ile verilen reel katsay¬l¬versiyonunu kullan¬r¬z, burada

a _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) cos ( kx ) dx, k = 0, 1, ... ve

b _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) sin ( kx ) dx, k = 1, 2, ... olarak elde edilir.

Yukar¬da tan¬mlanan a _k , b _k katsay¬lar¬ile (2) ile verilen ifade deki c _k

katsay¬lar¬aras¬nda ili¸ski mevcuttur(Al¬¸st¬rma 1).

Hat¬rlatma(reel katsay¬l¬Fourier serisi ve katsay¬lar¬)

K¬smi Dif. uygulamalar¬m¬zda daha çok

f ( x ) = ¹ 2 a ₀ +

∑ ∞ k = 1

a _k cos ( kx ) + b _k sin ( kx ) (3) ile verilen reel katsay¬l¬versiyonunu kullan¬r¬z, burada

a _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) cos ( kx ) dx, k = 0, 1, ...

ve

b _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) sin ( kx ) dx, k = 1, 2, ... olarak elde edilir.

Yukar¬da tan¬mlanan a _k , b _k katsay¬lar¬ile (2) ile verilen ifade deki c _k

katsay¬lar¬aras¬nda ili¸ski mevcuttur(Al¬¸st¬rma 1).

Hat¬rlatma(reel katsay¬l¬Fourier serisi ve katsay¬lar¬)

K¬smi Dif. uygulamalar¬m¬zda daha çok

f ( x ) = ¹ 2 a ₀ +

∑ ∞ k = 1

a _k cos ( kx ) + b _k sin ( kx ) (3) ile verilen reel katsay¬l¬versiyonunu kullan¬r¬z, burada

a _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) cos ( kx ) dx, k = 0, 1, ...

ve

b _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) sin ( kx ) dx, k = 1, 2, ...

olarak elde edilir.

Yukar¬da tan¬mlanan a _k , b _k katsay¬lar¬ile (2) ile verilen ifade deki c _k

katsay¬lar¬aras¬nda ili¸ski mevcuttur(Al¬¸st¬rma 1).

Hat¬rlatma(reel katsay¬l¬Fourier serisi ve katsay¬lar¬)

K¬smi Dif. uygulamalar¬m¬zda daha çok

f ( x ) = ¹ 2 a ₀ +

∑ ∞ k = 1

a _k cos ( kx ) + b _k sin ( kx ) (3) ile verilen reel katsay¬l¬versiyonunu kullan¬r¬z, burada

a _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) cos ( kx ) dx, k = 0, 1, ...

ve

b _k = ¹ π

Z _π

π

f ( x ) sin ( kx ) dx, k = 1, 2, ...

olarak elde edilir.

Yukar¬da tan¬mlanan a _k , b _k katsay¬lar¬ile (2) ile verilen ifade deki c _k

katsay¬lar¬aras¬nda ili¸ski mevcuttur(Al¬¸st¬rma 1).

Taban fonksiyonlar¬ve ortogonalli¼ gi

· Iddia:

β = f ^{e ikx} g ^∞ k = _∞ , i = p 1 kümesi ortogonal bir kümedir.

k 6= l için β n¬n ilgili elemanlar¬n¬n iç çarp¬m¬

< e ^ikx , e ^ilx >=

Z _π

π

e ^ikx e ^ilx dx = ¹ i ( k l ) ^e

i ( k l ) x π π

= 0 (4) ve ayr¬ca

< e ^ikx , e ^ikx >= 2π (5)

dir.

Taban fonksiyonlar¬ve ortogonalli¼ gi

· Iddia:

β = f ^{e ikx} g ^∞ k = _∞ , i = p 1 kümesi ortogonal bir kümedir.

k 6= l için β n¬n ilgili elemanlar¬n¬n iç çarp¬m¬

< e ^ikx , e ^ilx >=

Z _π

π

e ^ikx e ^ilx dx = ¹ i ( k l ) ^e

i ( k l ) x π π

= 0 (4) ve ayr¬ca

< e ^ikx , e ^ikx >= 2π (5)

dir.

Taban fonksiyonlar¬ve ortogonalli¼ gi

· Iddia:

β = f ^{e ikx} g ^∞ k = _∞ , i = p 1 kümesi ortogonal bir kümedir.

k 6= l için β n¬n ilgili elemanlar¬n¬n iç çarp¬m¬

< e ^ikx , e ^ilx >=

Z _π

π

e ^ikx e ^ilx dx = ¹ i ( k l ) ^e

i ( k l ) x π π

= 0 (4) ve ayr¬ca

< e ^ikx , e ^ikx >= 2π (5)

dir.

Kompleks Fourier Katsay¬lar¬

(2) ifadesinin her iki yan¬n¬e ^ikx ile çarp¬p, [ π, π ] aral¬¼ g¬üzerinden integral alarak, (4) ve (5) den c k de¼ gerlerini

c _k = ¹ 2π

Z _π

π

f ( x ) e ^ikx dx, k 2 ^Z ( tamsay¬lar kümesi ) (6)

olarak elde ederiz.

Kompleks Fourier Katsay¬lar¬

(2) ifadesinin her iki yan¬n¬e ^ikx ile çarp¬p, [ π, π ] aral¬¼ g¬üzerinden integral alarak, (4) ve (5) den c k de¼ gerlerini

c _k = ¹ 2π

Z _π

π

f ( x ) e ^ikx dx, k 2 ^Z ( tamsay¬lar kümesi ) (6)

olarak elde ederiz.

f vektörünün kompleks Fourier serisi

Peryodik fonksiyonlar için geçerli olan bu aç¬l¬ma paralel olarak f fonksiyonun

∆x = 2π/N aral¬kl¬

x _k , k = 0, 1, ..., N 1

noktalar¬ndaki de¼ gerlerinden olu¸smu¸s oldu¼ gunu kabul ebilece¼ gimiz peryodik

f = [ f ₀ , f ₁ , ..., f _{N 1} ] ^T vektörü için de geçerlidir.

Bu durumda (1) de fonksiyonlardan olu¸san β taban rolünü w = e ^{2πi /N}

( 1 in N inci primitif kökü,w ^N = 1 ) olmak üzere C ^N (N bile¸senli ve

kompleks elemanl¬vektör uzay¬) nin bir ortogonal taban¬olan

f vektörünün kompleks Fourier serisi

Peryodik fonksiyonlar için geçerli olan bu aç¬l¬ma paralel olarak f fonksiyonun

∆x = 2π/N aral¬kl¬

x _k , k = 0, 1, ..., N 1

noktalar¬ndaki de¼ gerlerinden olu¸smu¸s oldu¼ gunu kabul ebilece¼ gimiz peryodik

f = [ f ₀ , f ₁ , ..., f _{N 1} ] ^T vektörü için de geçerlidir.

Bu durumda (1) de fonksiyonlardan olu¸san β taban rolünü w = e ^{2πi /N}

( 1 in N inci primitif kökü,w ^N = 1 ) olmak üzere C ^N (N bile¸senli ve

f vektörünün kompleks Fourier serisi

W _k = 2 6 6 6 6 6 4

1 w w ²

.. . w ^{N 1}

3 7 7 7 7 7 5

k

, k = 0, 1, ..., N 1 (7)

vektörler kümesi üstlenir, yani

f = 2 6 6 6 4

f ₀ f ₁ .. . f _{N 1}

3 7 7 7 5 =

N 1 k ∑ = 0

c _k W _k (8)

elde ederiz.

f vektörünün kompleks Fourier serisi

W _k = 2 6 6 6 6 6 4

1 w w ²

.. . w ^{N 1}

3 7 7 7 7 7 5

k

, k = 0, 1, ..., N 1 (7)

vektörler kümesi üstlenir, yani

f = 2 6 6 6 4

f ₀ f ₁ .. . f _{N 1}

3 7 7 7 5 =

N 1 k ∑ = 0

c _k W _k (8)

elde ederiz.

Wk lar ortogonal bir kümedir.

k 6= l olmak üzere, r = w ^k w ^l olarak tan¬mlayarak

< W _k , W _l >= [ 1 w ^k w ^2l ...w ^{( N 1 ) k} ] 2 6 6 6 4

1 w ^l

.. . w ^{l ( N 1 )}

3 7 7

7 5 (9)

= 1 + w ^k w ^l + ... + w ^{( N 1 ) k} w ^{`( N 1 )}

= 1 + r + ... + r ^{N 1} = ^{1 r}

N

1 r = 0 elde ederiz, çünkü

r ^N = ( w ^k w ^l ) ^N = w ^kN w ^lN = ( w ^N ) ^k ( w ^N ) ^l = 1

dir.

Wk lar ortogonal bir kümedir.

k 6= l olmak üzere, r = w ^k w ^l olarak tan¬mlayarak

< W _k , W _l >= [ 1 w ^k w ^2l ...w ^{( N 1 ) k} ] 2 6 6 6 4

1 w ^l

.. . w ^{l ( N 1 )}

3 7 7

7 5 (9)

= 1 + w ^k w ^l + ... + w ^{( N 1 ) k} w ^{`( N 1 )}

= 1 + r + ... + r ^{N 1} = ^{1 r}

N

1 r = 0 elde ederiz, çünkü

r ^N = ( w ^k w ^l ) ^N = w ^kN w ^lN = ( w ^N ) ^k ( w ^N ) ^l = 1

dir.

Wk lar ortogonal bir kümedir.

k 6= l olmak üzere, r = w ^k w ^l olarak tan¬mlayarak

< W _k , W _l >= [ 1 w ^k w ^2l ...w ^{( N 1 ) k} ] 2 6 6 6 4

1 w ^l

.. . w ^{l ( N 1 )}

3 7 7

7 5 (9)

= 1 + w ^k w ^l + ... + w ^{( N 1 ) k} w ^{`( N 1 )}

= 1 + r + ... + r ^{N 1} = ^{1 r}

N

1 r = 0 elde ederiz, çünkü

r ^N = ( w ^k w ^l ) ^N = w ^kN w ^lN = ( w ^N ) ^k ( w ^N ) ^l = 1

dir.

Wk lar ortogonal bir kümedir.

Öteyandan

< W _l , W _l >= 1 + w ^l w ^l + ... + w ^{( N 1 ) l} w ^{( N 1 )`} = N (10) dir, çünkü

w ^l w ^l = ( w w ) ^l = 1, ..., w ^{( N 1 ) l} w ^{( N 1 )`} = ( w w ) ^{( N 1 ) l} = 1.

f ^{W k} g ^N k = 0 ¹ kümesinin ortogonalli¼ gi ve (10) yard¬m¬yla (8) in her iki

yan¬n¬W ^T _k (W _k nin transpozu) ile çarparak

Wk lar ortogonal bir kümedir.

Öteyandan

< W _l , W _l >= 1 + w ^l w ^l + ... + w ^{( N 1 ) l} w ^{( N 1 )`} = N (10) dir, çünkü

w ^l w ^l = ( w w ) ^l = 1, ..., w ^{( N 1 ) l} w ^{( N 1 )`} = ( w w ) ^{( N 1 ) l} = 1.

f ^{W k} g ^N k = 0 ¹ kümesinin ortogonalli¼ gi ve (10) yard¬m¬yla (8) in her iki

yan¬n¬W ^T _k (W _k nin transpozu) ile çarparak

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

W ^T _k f = [ 1 w ^k w ^2k ...w ^{( N 1 ) k} ] 2 6 6 6 4

f 0

f ₁ .. . f _{N 1}

3 7 7

7 5 = Nc _k (11)

veya

c _k = ¹

N W ^T _k f = ¹ N

N 1 j ∑ = 0

f _j ( w ^k ) ^j = ¹ N

N 1 j ∑ = 0

f _j ( e ^{2πi /N} ) ^kj , (12) k = 0, 1, ..., N 1

elde ederiz.

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

c = [ c ₀ , c ₁ , , c _{N 1} ] ^T

vektörüne f nin ayr¬k Fourier dönü¸sümü ad¬verilir. Ayr¬k Fourier dönü¸sümü için genelde kullan¬lan bir özel notasyon yoktur, ancak burada biz kolayl¬k aç¬s¬ndan c = F ( f ) notasyonunu kullanaca¼ g¬z.

Matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da c yi ifade edebiliriz

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

c = [ c ₀ , c ₁ , , c _{N 1} ] ^T

vektörüne f nin ayr¬k Fourier dönü¸sümü ad¬verilir. Ayr¬k Fourier dönü¸sümü için genelde kullan¬lan bir özel notasyon yoktur, ancak burada biz kolayl¬k aç¬s¬ndan c = F ( f ) notasyonunu kullanaca¼ g¬z.

Matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da c yi ifade edebiliriz

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Bu amaçla f ^{W k} g ^N k = 0 ¹ kümesi yard¬m¬yla

B = [ W 0 W 1 W N 1 ] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w ^{N 1}

.. . .. . .. . 1 w ^{( N 1 )} w ^{( N 1 )}

3 7 7

7 5 (13)

matrisini tan¬mlayal¬m. (11) den

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

B = [ W ₀ W ₁ W _{N 1} ] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w ^{N 1}

.. . .. . .. . 1 w ^{( N 1 )} w ^{( N 1 )}

3 7 7 7 5

olmak üzere

Bf = W ₀ f ₀ + W ₁ f ₁ + + W _{N 1} f _{N 1} = Nc veya

c = F ( f ) : = ¹

N Bf

elde ederiz.

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

B = [ W ₀ W ₁ W _{N 1} ] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w ^{N 1}

.. . .. . .. .

1 w ^{( N 1 )} w ^{( N 1 )}

3 7 7 7 5

olmak üzere

Bf = W ₀ f ₀ + W ₁ f ₁ + + W _{N 1} f _{N 1} = Nc veya

c = F ( f ) : = ¹

N Bf

elde ederiz.

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Ayr¬ca B nin sütunlar¬n¬n ortogonalli¼ gi ve (10) dan BB = NI

elde ederiz, burada I ise B ile ayn¬boyutta olan birim matristir.

Dolay¬s¬yla

B ¹ = ¹ N B dir.

O halde verilen f vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümü c = ¹

N Bf = B ¹ f (14)

ve

c nin ayr¬k ters Fourier dönü¸sümü ise

f = F ¹ ( c ) : = Bc (15)

dir.

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Ayr¬ca B nin sütunlar¬n¬n ortogonalli¼ gi ve (10) dan BB = NI

elde ederiz, burada I ise B ile ayn¬boyutta olan birim matristir.

Dolay¬s¬yla

B ¹ = ¹ N B dir.

O halde verilen f vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümü c = ¹

N Bf = B ¹ f (14)

ve

c nin ayr¬k ters Fourier dönü¸sümü ise

f = F ¹ ( c ) : = Bc (15)

dir.

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Ayr¬ca B nin sütunlar¬n¬n ortogonalli¼ gi ve (10) dan BB = NI

elde ederiz, burada I ise B ile ayn¬boyutta olan birim matristir.

Dolay¬s¬yla

B ¹ = ¹ N B dir.

O halde verilen f vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümü c = ¹

N Bf = B ¹ f (14)

ve

c nin ayr¬k ters Fourier dönü¸sümü ise

f = F ¹ ( c ) : = Bc (15)

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Örnek 1

f = [ 1 1 ] ^T vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü belirleyiniz.

N = 2 olup, w = e ^{2πi /N} = e ^πi = 1 dir. O halde

B = ^{1 1}

1 w = ^{1 1}

1 1

olup,

c = ¹

N Bf = ¹ 2

1 1

1 1

1

1 = ⁰

1

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Örnek 2

f = [ 1 1 1 1 ] ^T vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü belirleyiniz.

N = 4 olup, w = e ^{2πi /N} = e ^{πi /2} = i dir. O halde

B =

2 6 6 4

1 1 1 1

1 w w ² w ³ 1 w ² w ⁴ w ⁶ 1 w ³ w ⁶ w ⁹

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i i ² i ³ 1 i ² i ⁴ i ⁶ 1 i ³ i ⁶ i ⁹

3 7 7 5

= 2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3

7 7

5

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Dolay¬s¬yla

c = F ( f ) = ¹

N Bf = ¹ 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

1 1 1 1

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1/2 ( 1/2 ) i

1/2 ( 1/2 ) i

3 7 7 5

elde ederiz.

Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Al¬¸st¬rma 1

1

c _k kompleks katsay¬lar¬ile reel a _k , b _k katsay¬lar¬aras¬ndaki ili¸ skiyi belirleyiniz.

2

f = [ 1 2 ] ^T , f = [ 1 1 1 1 ] ^T vektörlerinin ayr¬k Fourier dönü¸ sümlerini (14) ile belirleyiniz.

3

Soru 2 de elde etti¼giniz dönü¸ sümlerinin ters Fourier dönü¸ sümlerini (15) ile belirleyiniz.

4

Soru 2 ve 3 yard¬m¬yla f nin 2 normu ve c ile gösterece¼gimiz ayr¬k Fourier dönü¸ sümünün 2 normu aras¬nda nas¬l bir ili¸ ski görüyorsunuz?

5

f = [ f ₀ , f ₁ , ..., f _{N 1} ] vektörü verilsin ve c ile de f nin ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü gösterelim(c = _N ¹ Bf ) . Bu taktirde Parseval ba¼g¬nt¬s¬ad¬

verilen

jj ^f jj ² 2 = N jj ^c jj ² 2

ba¼g¬nt¬s¬n¬n geçerli oldu¼gunu gösteriniz.

Kaynaklar

Co¸skun, E., Endüstriyel ve Uygulamal¬Matemati¼ ge Giri¸s, URL:erhancoskun.com.tr

Strang, G., Introduction to Applied Mathematics, Wellesley

Cambridge Press, ABD, 1986.