1
Uyarı 1:
Sinüs ve Kosinüs süreklifonksiyonlar oldukları için, her noktada limit aranırken o nokta fonksiyonda yerine konur, çıkan değer fonksiyonun o noktadaki limitini verir.
olmak üzere,
lim lim
x asinx sina ve x acosx cosa
1. lim sin0
x x
=
2
lim sin
x
x
lim sin
x x
3 2
lim sin
x
x
0
limcos
x x
2
lim cos
x
x
limcos
x x
3 2
lim cos
x
x
3.
3
lim sin
x
x
5 4
lim sin
x
x
4.
7 6
lim cos
x
x
5 3
lim cos
x
x
Uyarı 2:
Tanjant ve Kotanjant fonksiyonları iki trigonometrik fonksiyonun oranı şeklinde yazılabildikleri için, paydalarını sıfır yapan noktalar için limit aranırken soldan ve sağdan limite bakılır. Bunun dışındaki her noktada limit aranırken tıpkı sinüs ve kosinüste olduğu gibi; o nokta fonksiyonda yerine konur, çıkan değer fonksiyonun o noktadaki limitini verir.olmak üzere,
lim
x atanx tana
5.
lim tan0
x x
= lim tan
x x
4
lim tan
x
x
2 3
lim tan
x
x
7 3
lim tan
x
x
7 4
lim tan
x
x
olmak üzere lim
x acotx cota
6.
2
lim cot
x
x
3 2
lim cot
x
x
3
lim cot
x
x
5 6
lim cot
x
x
5 12
lim cot
x
x
5 3
lim cot
x
x
2
Uyarı 3: Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının kritik noktaları paydalarını sıfır yapan
değerlerdir. Bu noktalarda limit aranırken sağdan ve soldan limitlere bakılır. Tanjant için kritik noktalar nin tam sayı katlarıdır.
Kotanjant için kritik noktalar nin tek sayı katlarıdır. Bu nedenle bu noktalarda sağdan ya da soldan limit soruluyorsa; Cevap ya ya da olur. Bu noktalarda sağdan ya da soldan limit değil, bu nokta da limit soruluyorsa
birbirine eşit çıkmayacağı için limit yoktur denir.
7.
0
lim tan
x
x
0
lim tan
x
x
lim tan0
x x
lim tan
x
x
lim tan
x
x
lim tan0
x x
8.
2
lim cot
x
x
2
lim cot
x
x
lim cotx2 x
3 2
lim cot
x
x
3 2
lim cot
x
x
3 2
lim cot
x
x
Teorem:
0
limsin 1
x
x
x İspat:
( ) ( ) ( )
Alan AOB Alan AOD Alan COD
1sin .cos 1 sin.
2 2 2 cos
x x
x x
x her tarafı 1sin
2 x e bölelim,
cos 1
sin cos x x
x x
çarpmaya göre terslerini alalım, 1 sin cos
cos
x x
x x
0
limcos 1
x x
olduğu için,
sin
1 x 1
x olur.
Buradan
0
limsin 1
x
x
x olduğu görülür.
3
Sonuçlar:
1. 0
limtan 1
x
x
x 2.
0
limsin
x
ax a bx b
3.
0
limsin sin
x
ax a bx b
4.
0
limtan
x
ax a bx b
5.
0
limtan tan
x
ax a bx b
6.
0
limtan sin
x
ax a bx b
7.
0
limsin tan
x
ax a bx b
İspatlar:
1. 0 0 0
sin
tan cos sin 1
lim lim lim . 1
cos
x x x
x
x x x
x x x x
0
lim 1 1
cos
x x
2. 0 0 0
.sin
sin sin
lim lim lim
x x x
ax ax
ax ax ax ax a
bx bx bx ax b
0
limsin 1
x
ax
ax
3. 0
0 0
0
sin sin
. lim
limsin lim .
sin sin
sin . lim
x
x x
x
ax ax
ax ax ax ax ax a
bx bx
bx bx bx b
bx bx
4. 0 0 0
sin
tan cos sin 1
lim lim lim .
cos
x x x
ax
ax ax ax a
bx bx bx ax b
0
limsin
x
ax a bx b
(sonuç2)
0
lim 1 1
cos
x ax
5. 0 0 0 0
sin
tan cos sin cos
lim lim lim .lim
tan sin sin cos
cos
x x x x
ax
ax ax ax bx a
bx bx bx ax b
bx
0
limsin ( 3)
sin
x
ax a sonuç bx b
0
cos cos 0 1
lim 1
cos cos 0 1
x
bx
ax
6. 0 0 0 0
sin
tan cos sin 1
lim lim lim .lim
sin sin sin cos
x x x x
ax
ax ax ax a
bx bx bx ax b
7. 0 0 0 0
sin sin sin
lim lim lim .lim cos
tan sin sin
cos
x x x x
ax ax ax a
bx bx
bx bx b
bx
Standart örnekler
1. sin( )
limx a
x a x a
2. 0
sin( 3 ) lim
4
x
x x
3.
2 0 2
sin 3 lim
x
x
x
4.
3
0 3
sin 4 limx
x
x
4 5.
5 0 4
limsin
x
x
x
6.
4 0 6
limsin
x
x
x
7.
3 0 4
limsin
x
x
x
8. 0
sin 9 limx tan 4 x
x
9.
0
sin 63 tan 24
limx tan 7 6
x x
x x
10. 0
sin3
tan( 9 ) 2
limx sin 2 tan 3 x x
x x
11. 0
sin 5 3 limx 6 tan 2 x x
x x
12.
0
sin 7 sin 5 limx sin 5 sin
x x
x x
13.
0
tan 21 sin 33 limx 9 tan 3
x x
x x
14.
0
lim sin sin 3
x
x
x
15.
0
tan16 limx sin 5
x
x
16. 3
2
sin( 2)
limx 8
x
x
5
17. 4
lim 3 .sin
x x
x
Çözüm:
sin4 lim 3.
1
x
x x
1
h x değişken dönüştürmesi yapalım.
1 1
iken h= olduğundan h 0 olur.
x x
sin 4
lim 3. 3.4 12
x
h
h
18. 4
lim .sin
2 3
x
x
x
19. 5 sin 3
limx 3 sin
x x
x x
20.
6 .sin4
lim 6
9 .sin
x
x x x x x
x
21.
2
2
4 .sin2
lim 3
5 .sin
x
x x x x x
x
22.
2 3
2 3
3 2 .sin5
lim 4
2 3 6 .sin
3
x
x x x
x
x x x
x
6
Sinüs içeren 0
0 belirsizlikleri için standart soruların nasıl çözüleceğini öğrendik. Şimdi kosinüs içeren 0
0 belirsizliklerinin çözüm yolunu öğreneceğiz.
17.
2
lim cos 2
x
x x
Çözüm:
x2 hdiyelim. Buradan
x2 h olur. Soru şu şekle döner.
0
cos( )
lim 2
h
h h
0
lim sinh 1
h h
18.
3
cos2
lim 3
x
x
x
Çözüm:
3
x h diyelim. Buradan x3 h ve
3 3
2 2 2 2
x h h ayrıca,
3
x iken h x 3 3 3 0 olur.
Bulduklarımızı soruda yerine koyduğumuzda soru şu şekle döner.
0
cos(3 )
2 2
limh
x h
0
sin2 1
limh 2
h
h
19. 2
cos3 lim 4
2
x
x
x
Çözüm:
2
x h diyelim. x 2 h ve
3 3 3 3
4 4 2 2 4
x h
h
ayrıca
2
x iken h x 2 22 0 olur.
Bulduklarımızı soruda yerine koyduğumuzda soru şu şekle döner.
0
3 3
cos 2 4
limh
h h
0
sin3 4 3
limh 4
h
h
20.
2
lim cos5 2
x
x x
Çözüm:
x2 h diyelim. Buradan
x 2 h ve
5 5. 5 5
2 2
x h h ayrıca,
x 2
iken 0
2 2 2
h x
olur.
Bulduklarımızı soruda yerine koyduğumuzda soru şu şekle döner.
0
cos( 5 5 ) lim 2
h
h h
0
sin 5
lim 5
h
h
h
7
Standart soruların dışında daha fazla işlemle çözülebilecek sorular için birden fazla çözüm yolu göstereceğiz. Fakat daha önce bu soruların çözümlerinde kullanacağımız trigonometrik özdeşlikler ve iki kat formüllerinden
bahsetmemiz gerekir.
Trigonometrik özdeşlikler:
2 2
sin xcos x1
2 2
2 2
sin 1 cos cos 1 sin
x x
x x
İki Kat Formülleri:
sin 2x2sin .cosx x
2 2
2
2
cos 2 cos sin cos 2 2 cos 1 cos 2 1 2sin
x x x
x x
x x
Son iki formülden çıkan sonuçlar daha çok kullanılacak
2
2
1 cos 2 2 cos 1 cos 2 2 sin
x x
x x
Ben aklımda şöyle tutuyorum. Kosinüs kendine torpil geçiyor 1 artılı formülü kendi alıyor. 1 Eksili formülü sinüse bırakıyor. Fakat tüm pratik cümlelerime rağmen ezbere söyleyemem diyenler için de oğlum Can Bartu’nun kaçamak cevabını verelim. Eşitliğin sol tarafında 1 yerine
2 2
sin xcos x, cos2x yerine decos2xsin2 x
yazılırsa yukarıdaki son iki formül elde edilir.
Yarım Açı Formülleri:
Yukarıdaki son iki formülde 2x yerine x ve eşitliğin öbür tarafındaki x yerine
2 x
yazdığımızda yarım açı formüllerini elde etmiş oluruz.
2
2
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin
2 x x
x x
Artık yukarıda bahsettiğimiz çözüm yollarına geçebiliriz. Bunu, bir soru yazıp üç farklı yolla çözerek yapacağız.
21. 2
0
1 cos limx
x
x
Çözüm:
I.yol
Pay ve paydayı 1 cos x in eşleniği olan 1 cos x ile çarpalım.
2
2 2
0 0
1 cos 1 cos 1 cos
lim . lim
1 cos .(1 cos )
x x
x x x
x x x x
2
0 2 0
sin 1 1 1
lim .lim 1.
1 cos 1 1 2
x x
x
x x
II.yol
Yukarıda gösterdiğimiz yarım açı formüllerini burada kullanalım.
2 2
2 2 2
0 0 0
2 sin 2 sin
1 cos 2 2
lim lim lim
4. 4
x x x
x x
x
x x x
2
2 0
2.lim sin 2 1.1 1
4 2 2
2
x
x
x
8
III.yol (L’ Hopital Kuralı)
Şu anda Türev almayı bilmiyorsanız bu çözümü geçebilirsiniz. Türev konusunda ispat edeceğiz
0
0belirsizliklerinin çözümü için Fransız
matematikçi L’ Hopital’in kendi adıyla anılan yöntemini kullanacağız. Yöntem şöyle; pay ve paydanın ayrı ayrı türevi alınır, daha sonra limit bulunur, tekrar 0
0 belirsizliği çıkarsa aynı işlem tekrar edilir.
0 2 0 0
1 cos
0 sin sin 1
lim lim lim
2 2 2
x x x
d x
x x
dx
d x x x
dx
Şimdi de ilerde Türev konusunda anlatacağımız, Türevin tanımında kullanılan limit kuralının Trigonometrik uygulamalarını inceleyeceğiz.
Fakat daha önce Trigonometrik açılım formüllerinden elde edilen dönüşüm
formüllerini göstereceğiz. Çünkü sadeleştirme konusunda bu formüllere ihtiyacımız olacak.
Ne yazık ki şu anda milli eğitim müfredatından çıkartılan aslında birkaç saniyede ispatı
yapılabilen çok gerekli bu formüllerin birçok yerde uygulama alanı olduğunu göreceğiz.
İlk olarak dönüşüm formüllerini yazalım aşağıda ispatlarını yapacağız.
Dönüşüm Formülleri:
cos cos 2.cos .cos
2 2
cos cos 2.sin .sin
2 2
sin sin 2.sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a b
x y
a b a b
x y
a b a b
x y
a b a b
x y
İspat:
İlk önce Kosinüs toplam ve fark formüllerini elde edelim.
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
Her iki tarafı taraf tarafa toplayalım.
Sinüslü çarpımlar birbirini götürür.
cos(a b) cos(a b )2 cos .cosa b Şimdide alt tarafı (–) ile çarpıp taraf tarafa toplayalım. Bu kez Kosinüs çarpımları birbirini götürür.
cos(a b) cos(a b ) 2 sin .sina b Benzer şekilde sinüs toplam ve fark formüllerini elde edebiliriz.
sin( ) sin .cos cos .sin
sin( ) sin .cos cos .sin
a b a b a b
a b a b a b
Her iki tarafı taraf tarafa toplayalım.
cosa.sinb çarpımları birbirini götürür.
sin(a b) sin(a b )2 sin .cosa b Şimdide alt tarafı (–) ile çarpıp taraf tarafa toplayalım. Bu kez sina.cosb çarpımları birbirini götürür.
sin(a b) sin(a b )2 cos .sina b
Şu anda dört formülü de elde ettik sayılır. Fakat küçük bir detay kaldı. Dört formülde de a+b yerine x, a-b yerine y yazarsak yukarıda yazdığımız dönüşüm formüllerini elde etmiş olacağız.
a b x
a b y
9
Önce taraf tarafa toplayıp sonra taraf tarafa çıkarırsak x ve y yi a ve b cinsinden bulmuş oluruz.
ve y=
2 2
a b a b
x
Bu değerleri elde ettiğimiz dört formülde de yerine koyarsak dönüşüm formüllerini elde etmiş oluruz.
Şöyle aklımızda tutabiliriz.
Öncelikle Kosinüs açılım formülünde cinsin değişmediğini biliyoruz. Yani ifade cos cos ve sin sin şeklinde yazılıyordu. Buradan hareketle, Kosinüs toplamları çarpıma dönüşürken Kosinüs artılı ifade de kendine torpil geçiyor. Formül iki çarpı cos cos oluyor.
Kosinüs farkları çarpıma dönüşürken Kosinüs eksili ifade yi sinüse bırakıyor. Formül eksi iki çarpı sin sin oluyor.
Sinüs açılım formülünde ise cins değiştiğini biliyoruz. Yani ifade sin cos ve cos sin şeklinde yazılıyordu. Buradan hareketle,
Sinüs toplamları çarpıma dönüşürken Sinüs artılı ifade de kendine torpil geçiyor. Formül iki çarpı sin cos oluyor.
Sinüs farkları çarpıma dönüşürken Sinüs eksili ifade de önceliği Kosinüse bırakıyor. Formül iki çarpı cos sin oluyor.
Bunların arkasında yazan açıları ayrı ayrı aklımızda tutmak için bir sebep yok çünkü hepsinde öndeki trigonometrik ifadenin arkasına
2 ab
ve arkadaki trigonometrik ifadenin arkasına
2 a b
yazmamız yeterlidir.
Artık limit örneklerine geçebiliriz.
22.
0
sin( ) sin limh
x h x
h
Çözüm:
0
( ) ( )
2.cos .sin
2 2
lim
h
x h x x h x
h
0
2 cos .sin
2 2
lim
h
h h
x
h
0 0
2.sin
lim 2 .lim cos cos
2. 2 2
h h
h
x h x
h
23.
0
cos( ) cos limh
x h x
h
Çözüm:
0
( ) ( )
2.sin .sin
2 2
lim
h
x h x x h x
h
0
2 sin .sin
2 2
limh
h h
x
h
0 0
2.sin
lim 2 .lim sin sin
2. 2 2
h h
h
x h x
h
10 24.
0
tan( ) tan lim
h
x h x
h
Çözüm:
0
sin( ) sin cos( ) cos limh
x h x
x h x
h
0
sin( ) cos cos( ).sin limh .cos( ).cos
x h x x h x
h x h x
0
lim sin
.cos( ).cos
h
x h x
h x h x
0 0
sinh 1
lim .lim
cos( ).cos
h h h x h x
2 2
2 2
1 1 cos sin
cos .cos cos cos
x x
x x x x
2 2
2
2 2
cos sin
1 tan
cos cos
x x
x x x
25.
0
cot( ) cot limh
x h x
h
Bunun çözümünü de size bırakıyorum.
26.
2 2
sin sin limx a
x a
x a
Çözüm:
lim sin sin .lim sin
sin
x a x a
x a
x a
x a
2 cos .sin
2 2
lim . sin sin
x a
x a x a
a a
x a
2 cos .sin
2 2
lim . 2 sin
2. 2
x a
x a x a
x a a
sin 2
lim cos .lim .2sin
2
2
x a x a
x a x a
x a a
2
cos .2 sin 2 sin .cos sin 2 2
a a a a a
27.
2 2
cos cos limx a
x a
x a
Bunun çözümünü de size bırakıyorum.
11 LİMİT VE SÜREKLİLİK (3-A)- SINIF ÇALIŞMASI
(TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ)
1.
0
sin 3 limx
x
x
2.
0
sin( 2 ) lim
3
x
x x
3.
4
0 4
sin 2 limx
x
x
4.
4
0 3
limsin
x
x
x
5.
3
0 5
limsin
x
x
x
6.
2 2
limsin
x a
x a a x
7.
2
limsin
x
x
x
8.
0
tan 5 limx tan( 2 )
x
x
9.
0
tan 12 limx 3
x
x
10.
0
tan 50 limx sin 2
x
x
11.
0
sin 4 limx sin 3
x
x
12.
0
12 sin 3 limx 2 tan 5
x x
x x
13.
0
sin 3 3 tan 2 limx 2 sin
x x
x x
14.
2
0
lim sin 1 cos
x
x
x
15.
0
1 cos lim
x
x
x
16.
0
1 cos limx .sin
x
x x
12 17.
21 cos limx
x
x
18. 1 cos
lim sin
x
x
x
19.
1
sin 1
limx cos( 1) x
x x
20.
2
cos 3 lim
2
x
x x
21.
2
4
sin 16
limx 4
x
x
22.
2 2
1 2
1 limx sin 1
x
x
23.
4
1 sin 2 lim cos 2
x
x
x
24.
8
0 4
1 cos limx sin
x
x
25. 2
3 2
1 cos 2 lim cos
x
x
x
26. 2
2
1 cos 3 lim sin 2
x
x
x
