Trigonometrik Fonksiyonlarda Limit

(1)

1

Uyarı 1:

Sinüs ve Kosinüs sürekli fonksiyonlar oldukları için, her noktada limit aranırken o nokta fonksiyonda yerine konur, çıkan değer fonksiyonun o noktadaki limitini verir.

olmak üzere,

lim lim

   

x asinx sina ve x acosx cosa

1.

lim sin

0

x

 =

2

lim sin

x



x



lim sin

x





3 2

lim sin

x



x



2.

limcos

0

x



2

lim cos

x



x



limcos

x



3 2

lim cos

x



x



3.

3

lim sin

x



x



5 4

lim sin

x



x



4.

7 6

lim cos

x



x



5 3

lim cos

x



x



Uyarı 2:

Tanjant ve Kotanjant fonksiyonları iki trigonometrik fonksiyonun oranı şeklinde

yazılabildikleri için, paydalarını sıfır yapan noktalar için limit aranırken soldan ve sağdan limite bakılır.

Bunun dışındaki her noktada limit aranırken tıpkı sinüs ve kosinüste olduğu gibi; o nokta fonksiyonda yerine konur, çıkan değer fonksiyonun o noktadaki limitini verir.

olmak üzere,

lim 

x atanx tana

5.

lim tan

0

x

 =

lim tan

x





4

lim tan

x



x



2 3

lim tan

x



x



7 3

lim tan

x



x



7 4

lim tan

x



x



olmak üzere

lim

 

x acotx cota

6.

2

lim cot

x



x



3 2

lim cot

x



x



3

lim cot

x



x



5 6

lim cot

x



x



5 12

lim cot

x



x



5 3

lim cot

x



x



(2)

2

Uyarı 3:

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının kritik noktaları paydalarını sıfır yapan değerlerdir. Bu noktalarda limit aranırken sağdan ve soldan limitlere bakılır.

Tanjant için kritik noktalar nin tam sayı katlarıdır.

Kotanjant için kritik noktalar nin tek sayı katlarıdır. Bu nedenle bu noktalarda sağdan ya da soldan limit soruluyorsa; Cevap ya ya da olur. Bu noktalarda sağdan ya da soldan limit değil, bu nokta da limit soruluyorsa birbirine eşit çıkmayacağı için limit yoktur denir.

7.

0

lim tan

x



x



0

lim tan

x



x



lim tan

0

x



lim tan

x

^

x



lim tan

x

^

x



lim tan

0

x



8.

2

lim cot

x

^

x



2

lim cot

x

^

x



2

lim cot

x



x



3 2

lim cot

x

^

x



3 2

lim cot

x

^

x



3 2

lim cot

x



x



Teorem:

0

lim sin 1

x



x  İspat:

( ) ( ) ( )

Alan AOB  Alan AOD  Alan COD

1 1 sin

sin .cos .

2 2 2 cos

x x

  x

her tarafı

1 2 sin x

e bölelim,

1 cos sin cos

x x

 

çarpmaya göre terslerini alalım,

1 sin cos cos

x x

x  x 

0

lim cos 1

x





olduğu için,

sin

1 x 1

 x 

olur.

Buradan

0

lim sin 1

x



x 

olduğu görülür.

(3)

3

Sonuçlar:

1. 0

lim tan 1

x



x 

2.

0

lim sin

x

ax a

bx b





3.

0

lim sin sin

x

ax a bx b





4.

0

lim tan

x

ax a

bx b





5.

0

lim tan tan

x

ax a bx b





6.

0

lim tan sin

x

ax a bx b





7.

0

lim sin tan

x

ax a bx b





İspatlar:

1. 0 0 0

sin

tan cos sin 1

lim lim lim . 1

cos

x x x

x

x x x

x x x x













0

lim 1 1

cos

x^

x 

2.

0 0 0

. sin

sin sin

lim lim lim

x x x

ax ax

ax ax ax ax a

bx bx bx ax b













0

lim sin 1

x

ax



ax 

3. ⁰

0 0

0

sin sin

. lim

lim sin lim .

sin sin

sin . lim

x

x x

x

ax ax

ax ax ax ax ax a

bx bx

bx bx bx b

bx bx



 



  

4.

0 0 0

sin

tan cos sin 1

lim lim lim .

cos

x x x

ax

ax ax ax a

bx bx bx ax b













0

lim sin

x

ax a

bx b



 (sonuç2)

0

lim 1 1

cos

x^

ax 

5.

0 0 0 0

sin

tan cos sin cos

lim lim lim .lim

tan sin sin cos

cos

x x x x

ax

ax ax ax bx a

bx bx bx ax b

bx









 



0

lim sin ( 3)

sin

x

ax a sonuç bx b





0

cos cos 0 1

lim 1

cos cos 0 1

x

bx



ax   

6.

0 0 0 0

sin

tan cos sin 1

lim lim lim .lim

sin sin sin cos

x x x x

ax

ax ax ax a

bx bx bx ax b









 



7.

0 0 0 0

sin sin sin

lim lim lim .lim cos

tan sin sin

cos

x x x x

ax ax ax a

bx bx

bx bx b

bx









 



Standart örnekler

1.

sin( )

lim

x a

x a x a



 



2. 0

sin( 3 ) lim

4

x

x x



 

3.

2 0 2

sin 3 lim

x



x 

4.

3

0 3

sin 4 lim

x



x 

(4)

4 5.

5 0 4

lim sin

x



x 

6.

4 0 6

lim sin

x



x 

7.

3 0 4

lim sin

x



x





8. 0

sin 9 lim

^x

tan 4 x



x 

9.

0

sin 63 tan 24

lim

^x

tan 7 6

x x



 

 

 

 

10. 0

sin 3

tan( 9 ) 2

lim

^x

sin 2 tan 3 x x

x x



 

  

 

 

 

11. 0

sin 5 3 lim

^x

6 tan 2 x x

x x



 



12.

0

sin 7 sin 5 lim

^x

sin 5 sin

x x



 



13.

0

tan 21 sin 33 lim

^x

9 tan 3

x x



 



14.

0

lim sin sin 3

x



x 

15.

0

tan16 lim

^x

sin 5

x



x 

16. ₃

2

sin( 2)

lim

^x

8 x



x

 



(5)

5 Sinüs içeren

0

belirsizlikleri için standart soruların nasıl çözüleceğini öğrendik. Şimdi kosinüs içeren

0

belirsizliklerinin çözüm yolunu öğreneceğiz.

17.

2

lim cos 2

x



x 





Çözüm:

x   2  h diyelim. Buradan

x   2  h olur. Soru şu şekle döner.

0

cos( )

lim 2

h

h h







0

lim sinh 1

h^

h 

18.

3

cos 2

lim 3

x



x 





Çözüm:

3 x    h diyelim. Buradan x  3   h ve

3 3

2 2 2 2

x    h    h

ayrıca

,

3 x   iken h   x 3   3   3   0 olur.

Bulduklarımızı soruda yerine koyduğumuzda soru şu şekle döner

.

0

cos( 3 )

2 2

lim

h

x

h







0

sin 2 1

lim

^h

2 h



h

  

19. 2

cos 3 lim 4

2

x



x 







Çözüm:

2 x    h

diyelim.

x   2   h

ve

 

3 3 3 3

4 4 2 2 4

x h

h 



     

ayrıca

2 x    iken h   x 2    2   2   0 olur.

Bulduklarımızı soruda yerine koyduğumuzda soru şu şekle döner.

0

3 3

cos 2 4

lim

h





   

 

 

0

sin 3 4 3

lim

^h

4 h



h

  

20.

2

lim cos5 2

x



x 







Çözüm:

x   2  h diyelim. Buradan

x     2 h ve

5 5. 5 5

2 2

x        h        h

ayrıca

,

x _{ }  2

iken 0

2 2 2

h _{ } x  _{  }   _

olur.

Bulduklarımızı soruda yerine koyduğumuzda soru şu şekle döner

.

0

cos( 5 5 ) lim 2

h

h h





 

0

sin 5

lim 5

h



h 

(6)

6 Standart soruların dışında daha fazla işlemle

çözülebilecek sorular için birden fazla çözüm yolu göstereceğiz. Fakat daha önce bu soruların çözümlerinde kullanacağımız trigonometrik özdeşlikler ve iki kat formüllerinden bahsetmemiz gerekir.

Trigonometrik özdeşlikler:

2 2

sin x  cos x  1

^

2 2

sin 1 cos

cos 1 sin

x x

 

  İki Kat Formülleri:

sin 2 x  2sin .cos x x

2 2

2

cos 2 cos sin

cos 2 2cos 1

cos 2 1 2sin

x x x

x x

 

Son iki formülden çıkan sonuçlar daha çok kullanılacak

2

1 cos 2 2cos 1 cos 2 2sin

x x

 

 

Ben aklımda şöyle tutuyorum. Kosinüs kendine torpil geçiyor 1 artılı formülü kendi alıyor. 1 Eksili formülü sinüse bırakıyor. Fakat tüm pratik cümlelerime rağmen ezbere söyleyemem diyenler için de oğlum Can Bartu’nun kaçamak cevabını verelim. Eşitliğin sol tarafında 1 yerine

sin

²

x  cos

²

x

,

cos2x yerine de

cos

²

x  sin

²

x

yazılırsa yukarıdaki son iki formül elde edilir.

Yarım Açı Formülleri:

Yukarıdaki son iki formülde 2x yerine x ve eşitliğin öbür tarafındaki x yerine

2 x yazdığımızda yarım açı formüllerini elde etmiş oluruz.

2

1 cos 2 cos 2

1 cos 2sin

2 x x

x x

 

 

Artık yukarıda bahsettiğimiz çözüm yollarına geçebiliriz.

Bunu, bir soru yazıp üç farklı yolla çözerek yapacağız.

21. ₂

0

1 cos lim

x



x

 

Çözüm:

I.yol

Pay ve paydayı

1 cos x  in eşleniği olan 1 cos x  ile çarpalım.

0 2

1 cos 1 cos

lim .

1 cos

x

x x



  



 

2

0 2

1 cos 1

lim .

1 cos

x

x x



 



2

0 2 0

sin 1 1 1

lim lim 1.

1 cos 1 1 2

x x

x

x x

 

 

 

II.yol

Yukarıda gösterdiğimiz yarım açı formüllerini burada kullanalım.

2 2

2 2 2

0 0 0

2sin 2sin

1 cos 2 2

lim lim lim

4. 4

x x x

x x

x

x x

  

   

2

2 0

2 lim sin 2 1 .1 1

4 2 2

2

x



x

 

   

 

III.yol (L’ Hospital Kuralı)

Şu anda Türev almayı bilmiyorsanız bu çözümü geçebilirsiniz. Türev konusunda ispat edeceğiz

0

belirsizliklerini

n

çözümü için Fransız matematikçi L’ Hospital’in kendi adıyla anılan yöntemini kullanacağız.

Yöntem şöyle; pay ve paydanın ayrı ayrı türevi alınır, daha sonra limit bulunur, tekrar