MTS 225 ˙Integral Hesap Ara Sınav (2019) C¸ ¨oz¨umler
1. B : 0 ≤ y ≤ 8, √3
y ≤ x ≤ y4 (II. Tip) ve aynı zamanda B : 0 ≤ x ≤ 2, x3 ≤ y ≤ 4x (I. Tip)
Fubini nin Teoreminden, Z 8
0
Z y4
√3
y
1 1 + x4 dx
! dy =
Z
B
1
1 + x4 dA = Z 2
0
Z 4x x3
1 1 + x4 dy
dx
= Z 2
0
4x
1 + x4 − x3 1 + x4
dx = 2 Arctan(x2) −14 ln(1 + x4)
2
0 = 2 Arctan 4 − 14ln 17
2. B : 0 ≤ x ≤ 1, x3 ≤ y ≤√
x (I. Tip olarak) K¨utle=
Z
B
ρ(x, y) dA = Z
B
x dAF ubini= Z 1
0
Z
√x
x3
x dy dx = Z 1
0
x32 − x4
dx = 1 5 Z
B
yρ(x, y) dA = Z
B
yx dA F ubini= Z 1
0
Z
√x
x3
xy dy
! dx =
Z 1 0
1
2 x2− x7 dx = 5 48,
¯ y =
R
Byρ(x, y) dA R
Bρ(x, y) dA = 2548
3. B : (x2 + y2 − x)2 = x2+ y2 kardiyoidin kutupsal
koordinatlarda denklemi (r2− r cos θ)2 = r2 den r = 1 + cos θ (aslında bir de r = −1 + cos θ e˘grisi
1
bulunuyor ama ikisi aynı e˘gri!), ¸cemberin denklemi: r = 3 cos θ olur.
Bu e˘griler θ = ±π3 noktalarında kesi¸sir.
(−π3 ≤ θ ≤ π3 i¸cin 1 + cos θ ≤ 3 cos θ oldu˘gundan) B : −π3 ≤ θ ≤ π3, 1 + cos θ ≤ r ≤ 3 cos θ olur.
(di˘ger t¨um ko¸sullar da sa˘glanıyor) ˙Iki katlı integrallerde de˘gi¸sken de˘gi¸sikli˘gi form¨ul¨unden Z
B
|y| dA = Z π3
−π3
Z 3 cos θ 1+cos θ
|r sin θ| r dr
dθ =
Z π3
−π3
1
3 (3 cos θ)3− (1 + cos θ)3) | sin θ| dθ
= 2 3
Z π3
0
((3 cos θ)3− (1 + cos θ)3) sin θ dθu=cos θ= 2 3
Z 1
1 2
(27u3− (1 + u)3) du = 115 48
4. Hacim=R
B(4 − x2− y2− 0) dA B : 0 ≤ x ≤ 2, 12x − 1 ≤ y ≤ 1 − 12x
(di˘ger t¨um ko¸sullar da sa˘glanıyor) Fubini nin Teoreminden:
Z
B
(4 − x2− y2− 0) dA = Z 2
0
Z 1−12x
1 2x−1
(4 − x2 − y2) dy
! dx =
Z 2 0
4y − x2y − 13y3
1−12x
1
2x−1 dx
= Z 2
0
(2 − x)(4 − x2) −13((1 − 12x)3− (12x − 1)3) dx
u=2−x
= Z 2
0
(u2(4 − u) − 121u3) du = 193
2
