ÖZEL EGE LİSESİ
BENZER PİRAMİTLERİN HACİMLERİNİ BELİRLEYEN TOPLAM FORMÜLLERİ
HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Ada KARADOĞAN Ege Onat ÖZSÜER
DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ
İZMİR 2014
2
İÇİNDEKİLER
1. PROJENİN AMACI………..
3
33………...….….….….……….
.………
3 2. GİRİŞ……….………... 3 3. ÖN BİLGİLER………..……….... 4 4.BENZER ÜÇGENLERİN ALANLARINDAN BENZER ÜÇGEN PİRAMİTLERİN
HACİmLERİE HACMİNE GEÇİŞ……….
………...………...
HACİMLERİNE GEÇİŞ……….……… 8 SONUÇLAR VE TARTIŞMA………….…... 21 TEŞEKKÜR………...
13
21
KAYNAKLAR……….………. 3
13
21 0
3
1. PROJENİN AMACI
Bu projenin amacı, hacmi V olan bir üçgen piramidin herhangi bir ayrıtının üzerinde, herhangi bir yüzeyinde, piramidin iç bölgesinde veya dış bölgesinde alınan bir P noktasını içeren ve piramidin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesildiğinde oluşan benzer üçgen piramitlerin hacimleri ile büyük piramidin hacmi arasındaki bağıntıları belirlemektir.
2. GİRİŞ
1996 yılında İsveç Matematik Olimpiyatları’nda yer alan aşağıdaki problemden yola çıkılarak bu çalışma oluşturulmuştur:
“Alanı S olan bir ABC üçgeninin içerisinde alınan bir P noktasından, üçgenin tüm kenarlarına paraleller çizilerek 6 bölge oluşturuluyor. Oluşan üçgensel bölgelerin alanları
ise
olduğunu ispatlayınız.”
Projede, düzlem üzerinde yer alan bir üçgen için sağlanan bu özellik, P noktasının üçgenin bir kenarının üzerinde veya üçgenin dış bölgesinde olması durumları göz önüne alınarak incelenmiştir. Daha sonra, bu ilginç özellik üçüncü boyuta taşınmıştır. Bunun için, bir üçgen piramit alınıp piramit ile aynı uzayda olan herhangi bir nokta seçilmiştir. Bu noktadan geçen ve piramidin tüm yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler ile piramit kesildiğinde oluşan küçük üçgen piramitlerin hacimleri arasındaki bağıntının oluşturulması hedeflenmiştir.
Seçilen noktanın piramidin
herhangi bir ayrıtının üzerinde, herhangi bir yüzeyinde, iç bölgesinde,
dış bölgesinde
olması durumları tek tek incelenip paralel düzlemler önce el ile çizilmiş, oluşan küçük piramitler belirlenmiştir. Daha sonra, yapılan bu çizimler bilgisayar aracılığı ile çizdirilerek netleşmeleri sağlanmıştır. Benzerlik kurallarından yararlanarak en genel durumda, hacmi olan bir üçgen piramit yukarıdaki koşullara göre kesildiğinde;
piramidin içinde oluşan benzer piramitlerin hacmi,
piramidin dışında Uyarı 4.4 de belirtilecek olan ek düzlem koşulu ile oluşturulan benzer piramidin hacmi,
piramidin dışında oluşan benzer piramidin hacmi olmak üzere,
olduğu ispatlanmıştır. Seçilen noktanın bulunduğu konuma göre en çok dört tane benzer piramit oluşmaktadır. Bu nedenle, formüldeki ’lerden en az iki tanesi sıfıra eşittir.
4
3. ÖN BİLGİLER
Bu bölümde, bu çalışma boyunca kullanılacak olan teorem ve önermeler yer almaktadır.
TEOREM 3.1
a) ABC ve DEF benzer iki üçgen olsun. Bu üçgenlerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. ([1])
b) ABCD ve KLMN benzer iki üçgen piramit olsun. Bu durumda hacimlerinin oranı, benzerlik oranının kübüne eşittir.
İSPAT
a) ve olsun. , ve DE kenarına ait
yükseklik , AB kenarına ait yükseklik h olmak üzere
olsun.
elde edilir. O halde,
dir.
b) ve olsun. KLMN piramidinin taban alanı
ve yüksekliği sırasıyla ve , ABCD piramidinin taban alanı ve yüksekliği sırasıyla ve olsun. Bu durumda,
olmak üzere
elde edilir. O halde,
dür.
5 Öncelikle projemize ilham kaynağı olan olimpiyat probleminin çözümünü yapalım:
ÖNERME 3.2 (1996 İSVEÇ MATEMATİK OLİMPİYATLARI) [1] :
Alanı S olan bir ABC üçgeninin içerisinde alınan bir P noktasından, üçgenin tüm kenarlarına paraleller çizilerek 6 bölge oluşturuluyor. Oluşan üçgensel bölgelerin alanları
ise
dir.
İSPAT:
dir. Gerekli düzenlemeler yapılarak
olduğu bulunur.
P noktasından geçen ve
1) [AB] kenarına paralel olan doğru, [BC] ve [AC]
kenarlarını sırasıyla M ve R noktalarında,
2) [AC] kenarına paralel olan doğru, [AB] ve [BC]
kenarlarını sırasıyla S ve N noktalarında,
3) [BC] kenarına paralel olan doğru, [AB] ve [AC]
kenarlarını sırasıyla K ve L noktalarında kessin. Yandaki şekilde verilenlere göre,
d1 // [BC], d2 // [AB] ve d3 // [AC] olduğundan SKP üçgeni ile ABC üçgeni, RPL üçgeni ile ABC üçgeni ve PMN üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. O halde,
, , ve olmak üzere
A
B C
K L
M N
P S1 S2
S3
a1 a3 a2
a2
a1
a R S
d1
d2
d3
ise
olur. Teorem 3.1 a) dan
olduğu kolayca bulunur.
6 ÖNERME 3.3
Alanı S olan bir ABC üçgeninin [AC] kenarı üzerinde bir P noktası alınsın. P noktasından [AB] ve [BC] kenarlarına paralel doğrular çizilerek oluşturulan üçgensel bölgelerin alanı ise
dir.
İSPAT:
elde edilir.
ÖNERME 3.4:
Alanı S olan bir ABC üçgeninin dış bölgesinde alınan bir P noktasından, üçgenin tüm kenarlarına paralel doğrular çizilsin. Buna göre,
I. DURUM
P noktasından geçen ve [AB] kenarına paralel olan doğru, [BC] kenarını L noktasında; [BC] kenarına paralel olan doğru ise [AB] kenarını K noktasında kessin. Yandaki şekle göre,
d1 // [BC] ve d2 // [AB] olduğundan AKP üçgeni ile ABC üçgeni ve PLC üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. O
halde, ve ve olmak üzere
ise
Diğer taraftan Teorem 3.1 a) dan,
dir. Gerekli düzenlemeler yapılarak
olduğu bulunur.
P noktası, A köşesinden geçen ve BC kenarına paralel doğrunun üzerinde olsun. P noktasından geçen ve AB kenarına paralel olan doğru üçgenin AC ve BC kenarlarını sırasıyla D ve E noktalarında kessin. Bu durumda, oluşan ADP ve DEC üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla S1 ve S2 ise
dir.
A
E S2
S1
D P
C B
a A
B C
S1
S2
d1
d2
a1
a1 a2
K
L
P
7 II. DURUM
III. DURUM
IV. DURUM
İSPAT:
Önerme 3.2 ve 3.3’de yer alan benzer yöntemle ispat kolayca yapılabilir.
P noktası, A köşesinden geçen ve BC kenarına paralel doğrunun üzerinde olsun. P noktasından geçen ve AB kenarına paralel olan doğru üçgenin AC ve BC kenarlarını C noktasında kessin. Bu durumda, oluşan ACP üçgensel bölgesinin alanı S1 ise
dir.
P noktasından geçen ve BC kenarına paralel olan doğru AB ve AC kenarlarını sırasıyla D ve E noktalarında kessin. P noktasından geçen ve AB kenarına paralel olan doğru ise üçgenin AC ve BC kenarlarını sırasıyla F ve G noktalarında kessin. Bu durumda, oluşan ADE, EFP ve FGC üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla ise
dir.
P noktasından geçen ve BC kenarına paralel olan doğru AB ve AC kenarlarını sırasıyla D ve E noktalarında kessin. P noktasından geçen ve AB kenarına paralel olan doğru ise üçgenin AC ve BC kenarlarını C noktasında kessin. Bu durumda, oluşan ADE, ECP üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla ise
dir.
A E P D
B C
S1 P
C B
A
S2
S1
S3
S2
S1 P
G F D E
B
S1
A
C
8
4. BENZER ÜÇGENLERİN ALANLARINDAN BENZER ÜÇGEN PİRAMİTLERİN HACİMLERİNE GEÇİŞ
Bu bölümde, 3. bölümde yer alan ve düzlemde bir ABC üçgeni için sağlanan özellikler üç boyutlu uzayda üçgen piramitler üzerine taşınmıştır.
AKSİYOM 4.1
Paralel iki düzlem başka bir düzlem ile kesildiğinde oluşan arakesit doğruları birbirine paralel olur.
ÖNERME 4.2:
Hacmi olan bir üçgen piramidin herhangi bir ayrıtının üzerinde alınan bir P noktasını içeren ve piramidin yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler çizildiğinde oluşan üçgen piramitlerin hacimleri ve olsun. Bu durumda,
dir.
İSPAT:
ŞEKİL 1
Şekil 1’de verilenlere göre, P noktasını içeren ve ABCK piramidinin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesilsin. Oluşan üçgen piramitleri AEPF ve PDCL ile isimlendirelim. ABCK, AEPF ve PDCL üçgen piramitlerinin hacimleri sırasıyla ve olsun.
P A
B D C
E F
K
L
9
Aksiyom 4.1’den , , , ve
olur. O halde, ABCK ile AEPF ve ABCK ile PDCL piramitleri benzerdir. Benzerlik
oranları sırasıyla olsun. olmak üzere,
ve dolayısıyla elde edilir.
olduğundan
dir. Teorem 3.1 b) den,
olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak
elde edilir.
ÖNERME 4.2:
Hacmi olan bir üçgen piramidin herhangi bir yüzeyinin üzerinde alınan bir P noktasını içeren ve piramidin yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler çizildiğinde oluşan üçgen piramitlerden ortak köşeleri P noktası olanların hacimleri , ve olsun. Bu durumda,
dir.
İSPAT:
ŞEKİL 2
P A
B
C K D
E F G
H I
L
M
N
10 Şekil 2’de verilenlere göre, P noktasını içeren ve ABCK piramidinin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesilsin. Oluşan ve ortak köşeleri P noktası olan üçgen piramitler DEPF, GPHI, PLMN ile adlandırılsın. Bu piramitlerin hacimleri sırasıyla , ve olsun. Aksiyom 4.1’den DEPF, GPHI, PLMN piramitlerinin üçü de ABCK piramidine benzerdir. Benzerlik oranları sırasıyla olsun.
Şimdi, üçgen piramidin ABC yüzeyine odaklanalım:
olmak üzere,
, , olduğundan
ve dolayısıyla elde edilir. Diğer taraftan,
olduğundan
dir. Teorem 3.1 b) den
olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak
elde edilir.
ÖNERME 4.3 (EN GENEL DURUM)
Hacmi olan bir üçgen piramidin iç bölgesinde alınan bir P noktasını içeren ve piramidin yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler çizildiğinde oluşan üçgen piramitlerden ortak köşeleri P noktası olanların hacimleri , , ve olsun. Bu durumda,
dir.
İSPAT:
Şekil 3 ve Şekil 4’de verilenlere göre, P noktasını içeren ve ABCD piramidinin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesilsin. Oluşan üçgen piramitlerden ortak köşeleri P noktası olanlar EFPG, HIJP, KPLM ve PNOR ile adlandırılsın. Bu piramitlerin hacimleri sırasıyla , , ve olsun. Aksiyom 4.1’ den EFPG, HIJP, KPLM ve PNOR piramitlerinin üçü de ABCD piramidine benzerdir. Benzerlik oranları sırasıyla
olsun.
A
B C
E H
L M
P
a1 a3 a2
a2
a1
a G D
11
C B
D E
F G
P H
K
L M
N
O
R A
I J
A
B
C
D E
N
O
R Y
P
F H G
I J
K
L X M
Z
ŞEKİL 4 ŞEKİL 3
12 ,
, ,
,
olsun.
P noktasını içeren ve piramidin tabanına paralel olan XYZ düzlemi üzerine odaklanılırsa Şekil 5 deki görüntü oluşur. Burada , dır.
ŞEKİL 5
olsun. O halde, dır. Diğer taraftan, piramidin ABC yüzüne odaklanılırsa Şekil 6 daki görüntü oluşur. Burada , dır.
ŞEKİL 6 H I J
B
A
C d
d4
d2
a2
a
G
M
J L I
F
P a1
a3
a1
a3
b3
c3
c1
b1
a1
c2
b2
a2
X
X
Y
Z
13 Buradan,
elde edilir.
UYARI 4.4 (EK DÜZLEM KOŞULU)
Şimdi, P noktası bir ABCD piramidinin dış bölgesinde alınsın. P noktasını içeren ve piramidinin yüzeylerine paralel olacak şekilde çizilen düzlemlere ek olarak bir düzlem daha çizilmesi gerekmektedir. Bu düzlem, ABCD piramidinin dış bölgesinde de benzer bir piramidin oluşması için kullanılacaktır. Bu ek düzlem, P noktasını içeren ve ABCD piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemlerin piramidi kestikleri noktadan piramidin dış bölgesine doğru tabana paralel olacak şekilde çizilir.
ÖNERME 4.5:
Hacmi olan bir ABCD üçgen piramidi verilsin. Piramidin ABD yüzü ile aynı düzlemde, A noktası ile aynı hizada olan ve ABCD piramidinin dışında bir P noktası alınsın.
P noktasını içeren ve ABCD piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemler çizildiğinde;
düzlemler ABCD piramidini
a) Şekil 7 deki gibi kessin. Kesim noktasından Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. Bu durumda, dir.
b) Şekil 8 deki gibi kessin. Ortaya çıkan benzer piramidin hacmi ve kesim noktasından Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun.
Bu durumda,
dir.
İSPAT:
a) Şekil 7 de görüldüğü gibi oluşan piramit ABCD piramidine özdeştir.
Dolayısıyla, olduğu açıktır.
14 ŞEKİL 7
b)
ŞEKİL 8
ŞEKİL 9
A
B C
D
P
E F
P
V 1
V 2
A
B
C D
K R
S
G
H M
N
A P
B
C
D
K R
S
G
H M
N
L
15 Şekil 8 ve Şekil 9 da gösterildiği gibi KGHD ve PKRS üçgen piramitleri oluşur.
Aksiyom 4.1 den bu üçgen piramitlerin ABCD üçgen piramidine benzer olduğu açıktır.
Benzerlik oranları sırasıyla ve hacimleri sırasıyla ve olsun. Şekil 9 daki gibi
olacak şekilde KALP piramidini oluşturalım.
olduğundan PKRS ve KALP piramitleri özdeştir. O halde, KALP piramidinin hacmi de olur.
1, 2 ve
KD a PS AK a AD a olsun. KD PS a1 a2 a AD dir.
Buradan,
dir. Teorem 3.1 b) den
olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak
elde edilir.
ÖNERME 4.5:
Hacmi olan bir ABCD üçgen piramidi verilsin. Piramidin ABD yüzü ile aynı düzlemde, A noktasının altında ve ABCD piramidinin dışında bir P noktası alınsın. P noktasını içeren ve ABCD piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemler çizildiğinde üç durum söz konusudur:
I. Durum:
Oluşan benzer piramitlerin hacimleri ile ve Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. Bu durumda,
dir.
II. Durum
Oluşan benzer piramidin hacmi ve Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. Bu durumda,
dir.
16 III. Durum:
ABCD piramidine benzer tek bir üçgen piramit oluşur.
İSPAT:
I. Durum:
ŞEKİL 10
ŞEKİL 11
S A
B
C
D P E F
G
R
O N
K
A
B C
D
P
K L
M N
R O
E F
G H
S
17 Oluşan benzer piramitler Şekil 10 da görülmektedir. Piramitleri AEFG, RKSD ve PRON ile adlandıralım. Aksiyom 4.1 den bu piramitlerin ABCD piramidine benzer olduğu açıktır. Benzerlik oranları sırasıyla, , hacimleri de sırasıyla olsun.
olacak şekilde Şekil 11 deki gibi RGHP piramidini oluşturalım.
olduğundan PRON piramidi ile RGHP piramitleri özdeştir. O halde, RGHP piramidinin hacmi de olur.
1, 2, = ve 3
AG a GR PN a RD a AD a olsun. AG PN RD a1 a2 a3 a AD dir. Buradan,
dir. Teorem 3.1 b) den
olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak
olduğu bulunur.
II. Durum
ŞEKİL 12
A
C
P
B
D E
F G
K
L
18 ŞEKİL 13
Oluşan benzer piramitler Şekil 12 de görülmektedir. Piramitleri AEFG, ve PDKL ile adlandıralım. Aksiyom 4.1 den bu piramitlerin ABCD piramidine benzer olduğu açıktır.
Benzerlik oranları sırasıyla, , hacimleri de sırasıyla olsun.
olacak şekilde Şekil 13 deki gibi DGHP piramidini oluşturalım.
olduğundan PDKL piramidi ile DGHP piramitleri özdeştir. O halde, DGHP piramidinin hacmi de olur.
1, 2 ve
AG a GD PL a AD a olsun. AG GD a1 a2 a AD dir. Buradan,
dir. Teorem 3.1 b) den
olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak
C B
A
D E
F G
H
P
K
L
19 olduğu bulunur.
III. Durum
Tek bir üçgen piramit oluşacağından bir toplam formülü elde etmek söz konusu değildir.
ÖNERME 4.6:
Hacmi olan bir ABCD üçgen piramidi verilsin. ABCD piramidinin dış bölgesinde ve havada (P noktası, piramidin yüzeylerini içeren düzlemlerin hiç birinin elemanı değildir) bir P noktası alınsın. P noktasını içeren ve ABCD piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemler çizildiğinde; ABCD piramidinin iç bölgesinde oluşan benzer piramitlerin hacimleri , , ve ABCD piramidinin dış bölgesinde oluşan piramidin hacmi olsun. Bu durumda,
dir.
İSPAT
ŞEKİL 14
A
B
C
D P
E
F G
H K
L M N
R
S
T
U
20 Oluşan benzer piramitler Şekil 14 de görülmektedir. Piramitleri HEFG, PMGR, KLMN, RSTU ile adlandıralım. Aksiyom 4.1 den bu piramitlerin ABCD piramidine benzer olduğu açıktır. Benzerlik oranları sırasıyla, ve hacimleri de sırasıyla ve olsun.
ABCD piramidinin ACD yüzüne odaklanırsa Şekil 15 deki görüntü oluşur. Burada
ve dır.
ŞEKİL 15
, olmak üzere
elde edilir. Diğer taraftan,
olduğundan
dir. Teorem 3.1 b) den
olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak
elde edilir.
C D
A
U G
H K
T
R
F M N
a1
a2
a3
a1+ a2 a4 a2+ a3
a
21 SONUÇLAR VE TARTIŞMA
Uzayda herhangi bir P noktası verilsin. Bir üçgen piramidin tüm yüzeylerine paralel olan ve P noktasını içeren düzlemler ile üçgen piramit kesildiğinde oluşan benzer üçgen piramitlerin hacimlerini ilişkilendiren toplam formülleri elde edilmiştir. Benzerlik kurallarından yararlanarak en genel durumda, hacmi olan bir üçgen piramit yukarıdaki koşullara göre kesildiğinde;
piramidin içinde oluşan benzer piramitlerin hacmi,
piramidin dışında Uyarı 4.4 de belirtilen ek düzlem koşulu ile oluşturulan benzer piramidin hacmi,
piramidin dışında oluşan benzer piramidin hacmi olmak üzere,
olduğu ispatlanmıştır. Seçilen noktanın bulunduğu konuma göre en çok dört tane benzer piramit oluşmaktadır. Bu nedenle, formüldeki ’lerden en az iki tanesi sıfıra eşittir.
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın oluşması sırasında üç boyutlu çizimleri bilgisayarda solidworks programı ile çizen Makine Yüksek Mühendisi Erhan GÜNEL’e, bizleri teşvik eden okul yönetimiz ve danışman öğretmenimiz Bilim Kurulu Eş Başkanı Dr. Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ’e ve bizlerden hiç bir zaman desteklerini esirgemeyen ailelerimize teşekkür ederiz.
KAYNAKLAR
[1] Serkan Küpeli, 2010, 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın Nokta Yayınevi, İzmir.
