BÖLÜM 2: ÇOK SERBES

1

BÖLÜM 2: ÇOK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI

2.3 N Serbestlik Dereceli Süreksiz Bir Sistemin Kipleri

Gerçek mekaniksel bir sistemde serbestlik derecesi sayısı sonsuz değildir. Bu nedenle, aralarındaki uzaklık eşit 𝑁 tane boncuk taşıyan bir ipi ele almak daha uygundur. Bu kesimde bu sistemin kip çözümlerini bulacağız.

İki ucu bağlı boncuklu ipin enine salınımları:

Üzerinde aralarındaki uzaklık eşit 𝑁 tane boncuk taşıyan, iki ucu bağlı (tutturulmuş) ipi ele alalım.

Bu sistem, 𝑁 kütleli kütle-yay sistemi olarak düşünülebilir. Burada, yayların (iplerin) özdeş, kütlesiz ve Hooke yasasına uydukları varsayılsın. Gevşek yay yaklaşımında ipteki gerginlik uzama miktarı ile orantılıdır. Bu yaklaşıklıkta çizgisel hareket denklemleri geçerlidir.

𝑝. kütleyi referans kütle olarak seçelim. Bu kütlenin solundaki (𝑝 − 1). ve sağındaki (𝑝 + 1). kütledir. 𝑝. kütle için 𝑥 = 𝑝𝑎, (𝑝 − 1). için 𝑥 = (𝑝 − 1)𝑎 ve (𝑝 + 1). için 𝑥 = (𝑝 + 1)𝑎’dır.

Sürekli ip durumunda olduğu gibi, boncuklu ipi 𝑦 doğrultusunda yukarıya 𝑦_𝑝 = 𝜓_𝑝 çekip titreşime bırakalım. 𝑝. kütlenin enine titreşim hareketini belirlemek için ona etki eden kuvvetleri belirlemek gerekir. 𝑝. kütleye sağındaki ve solundaki ip tarafından kuvvet uygulanır. Sağındakini 𝑇⃗ ₂ ve solundakini 𝑇⃗ ₁ ile gösterelim.

2

𝐹_𝑥 = 𝑇₂cos 𝜃₂− 𝑇₁ cos 𝜃₁ = 0 𝑇₂ cos 𝜃₂ = 𝑇₁ cos 𝜃₁ = 𝑇₀ Sadece 𝑦 doğrultusunda kuvvet vardır:

𝐹_𝑦𝑝 = 𝑇₂sin 𝜃₂− 𝑇₁sin 𝜃₁ = 𝑇₀(tan 𝜃₂− tan 𝜃₁)

(𝑝 − 1). ve (𝑝 + 1). kütlelerin 𝑦 doğrultusundaki yerdeğiştirmeleri sırasıyla 𝜓_𝑝−1 ve 𝜓_𝑝+1 olsun. Böylece, p. Parçacık için hareket denklemi elde edilir: 𝐹_𝑦𝑝 =𝑇0 𝑎 (𝜓𝑝+1 + 𝜓𝑝−1) − 2𝜓𝑝 𝑑2𝜓_𝑝 𝑑𝑡2 = 𝑇₀ 𝑀 𝑎(𝜓𝑝+1 + 𝜓𝑝−1) − 2𝜓𝑝

Bu denklem serbest salınan süreksiz bir sistemin genel hareket denklemidir. Bu denklemi çözmek için sürekli durumdaki gibi sistemin kiplerin herhangi bir durumunda salındığını varsayalım. Bu durumda sistemin tüm hareketli paröaları aynı frekanslı, aynı fazlı fakat farklı genlikli hareket yaparlar:

𝜓₁(𝑡) = 𝐴1cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

. . .

𝜓_𝑝(𝑡) = 𝐴_𝑝cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

Bu çözüm denklemde yerine konulduğunda dağınım bağıntısı 𝜔2 = 𝑇0

𝑀𝑎(2 −

𝐴_𝑝+1 + 𝐴_𝑝−1 𝐴_𝑝 )

3

𝜔 = √𝑇0 𝑀𝑎sin

𝑘𝑎 2

olarak bulunur. 𝑘𝑎 ≪ 1 olduğunda sürekli durumdan kesikli duruma geçilir: 𝜔 = √𝑇0𝑎

𝑀 k.

Bu durumda 𝑝. kütle (boncuk) n. kipte 𝜔_𝑛 frekanslı titreşim hareketi yapar: 𝜓_𝑝𝑛(𝑡) = 𝐴_𝑛sin 𝑘_𝑛𝑝𝑎 cos(𝜔_𝑛𝑡 + 𝜙_𝑛)

Burada, dalga vektörü, dalga boyu 𝑘_𝑛 = 2𝜋 𝜆_𝑛, 𝜆𝑛 = 2(𝑁+1)𝑎 𝑛 ve açısal frekans 𝜔_𝑛 = 2 √𝑇0 𝑀𝑎sin 𝑛 𝜋 2 (𝑁 + 1) olarak tanımlıdır.