1
BÖLÜM 2: ÇOK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI
2.2 Fourier Analizi
Tanım: (Fourier serisi) 2𝐿 periyotlu, periyodik, [−𝐿, 𝐿] aralığında parçalı
sürekli (integrallenebilir) 𝑓(𝑥) fonksiyonunun, bu aralıktaki Fourier serisi
sonsuz bir trigonometrik seri olarak tanımlanır:
𝑓(𝑥) = 𝑎0 2 + ∑(𝑎𝑘cos 𝑘𝜋 𝐿 𝑥 + 𝑏 sin 𝑘𝜋 𝐿 𝑥) ∞ 𝑘=1
Burada, 𝑎0, 𝑎𝑘 ve 𝑏𝑘 Fourier katsayıları (𝑘 = 1,2,3, …)
𝑎0 = 1 𝜋∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑎𝑘 = 1 𝜋∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝜋 𝐿 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 𝑏𝑘 = 1 𝜋∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝜋 𝐿 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 ile verilir.
Örnek: (Kare dalga) Aşağıdaki gibi [−𝜋, 𝜋] aralığında tanımlı, 2𝜋 periyotlu 𝑓(𝑥) fonksiyonunun Fourier seri açılımını bulunuz.
𝑓(𝑥) = {−1, −𝜋 < 𝑥 < 0
2
Fourier katsayıları aşağıdaki şekilde bulunur:
𝑎0 = 0, 𝑎𝑘 = 0, 𝑏𝑛 = {
4
𝑛𝜋, 𝑛 𝑡𝑒𝑘 𝑖𝑠𝑒
0, 𝑛 ç𝑖𝑓𝑡 𝑖𝑠𝑒
Bu katsayılar için Fourier serisi
𝑓(𝑥) = 4 𝜋{sin 𝑥 + 1 3sin 3𝑥 + 1 5sin 5𝑥 + ⋯ }
3
Problem: İki ucu tutturulmuş 𝐿 uzunluklu sürekli ip için başlangıç koşulları
𝜓(𝑥, 0) = sin3𝜋 𝐿 𝑥 ve 𝜓𝑡(𝑥, 0) = 3𝜋 𝐿 √ 𝑇0 𝜌0 sin 3𝜋 𝐿 𝑥 olarak verilmektedir.
Burada, 𝜓𝑡 = 𝜕𝜓/𝜕𝑡, 𝑇0 ipin dengedeki gerilmesi ve 𝜌0 birim uzunluğun
kütlesini göstermektedir. İpin zaman içindeki hareketi nasıl olur? (Kısaca, klasik dalga denkleminin çözümünü verilen sınır ve başlangıç koşulları için bulunuz.)
