1
BÖLÜM 2: ÇOK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI
Birinci bölümde bir ve iki serbestlik dereceli sistemler ele alındı. Bu bölümde ise çok serbestlik dereceli sistemler ele alınacak. Eğer serbestlik derecsi sayısı sonsuza yakın ise sistem kesikli değil süreklidir. Sürekli bir sistemin titreşimine örnek olarak gitar teli verilebilir. Sürekli bir ortamın titreşiminin incelenmesi sadece müzik değil elektromanyetik teori, kuantum mekaniği ve diğer pek çok fizik alanı için önemlidir.
Çok serbestlik dereceli sistemleri sürekli bir yapı olarak ele almak mikroskopik boyutta iyi bir yaklaşıklık olmaz. Bu nedenle bu bölümde çok serbestlikdereceli sistemler hem sürekli hem de kesikli yapı olarak ele alınacak.
𝑠 serbestlik dereceli bir sistemin, 𝑠 tane kipi vardır. Her bir kipe karşı gelen bir frekans ve biçim vardır. 𝑠 → ∞ olduğunda sistem sürekli bir hal alır. Kesikli durumdan sürekli duruma geçerken yerdeğiştirme fonksiyonu değişir:
𝜓𝑎(𝑡), 𝜓𝑏(𝑡), … → 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
Artık yerdeğiştirme sadece zamana değil (𝑥, 𝑦, 𝑧) koordiantlarına da bağlıdır.
2.1 Sürekli Sistemlerin Serbest Salınımları
2
𝑇⃗ 1 ve 𝑇⃗ 2 gerilme kuvvetleri, 𝜃1, 𝑇⃗ 1 gerilme kuvvetinin ve 𝜃2, 𝑇⃗ 2 gerilme kuvvetinin 𝑥 doğrultusu ile yaptığı açılar olmak üzere;
𝑇⃗ 1 = −𝑇1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 𝚤̂ − 𝑇1 𝑠𝑖𝑛𝜃1 𝑗̂ 𝑇⃗ 2 = 𝑇2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝚤̂ + 𝑇2 𝑠𝑖𝑛𝜃2 𝑗̂ şeklindedir. 𝑇0 ipin denge konumundaki gerilmesidir. Denge konumunda 𝑥 doğrultusunda bileşke kuvvet sıfırdır:
𝑇1𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 𝑇2𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 𝑇0 𝑦 doğrultusunda bileşke kuvvet ise
𝐹𝑦(𝑡) = 𝑇2 𝑠𝑖𝑛𝜃2− 𝑇1 𝑠𝑖𝑛𝜃1 = 𝑇0 (𝑡𝑎𝑛𝜃2− 𝑡𝑎𝑛𝜃1) şeklindedir. Burada, 𝑡𝑎𝑛𝜃1 = (𝜕𝜓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 )1, 𝑡𝑎𝑛𝜃2 = ( 𝜕𝜓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 )2 ipin sırasıyla 𝑥 ve 𝑥 + Δ𝑥 konumundaki eğimleridir. 𝜕𝜓(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥 ≔ 𝑓(𝑥) olarak
tanımlansın. Böylece, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) olarak yazılır ve Δ𝑥 küçük olduğunda Taylor serisine açılabilir:
3 𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡2 = 𝑇0 𝜌0 𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2
klasik dalga denklemi elde edilir. Burada, 𝜌0 = Δ𝑚/Δ𝑥 birim uzunluğun kütlesi, 𝑇0 ise dengede ipteki gerilmedir. İp için 𝑇0/𝜌0 sabiti varken diğer sistemlerde bu sabit farklıdır.
İp için elde edilen klasik dalga denkleminin çözümleri (𝜓(𝑥, 𝑡)’ler) sürekli sistemin kip çözümlerini (normal kipleri) verir. Sürekli sistemin kip çözümleri duran dalga olarak da adladırılır.
Normal kipler, ipin aynı kipte yani tüm parçalarının aynı frekas ve fazda salınım yaptığı varsayılarak bulunabildiği gibi, Klasik dalga denklemi değişkenlerine ayrılarak ta bulunabilir.
İki ucu tutturulmuş ip için klasik dalga denkleminin çözümü:
𝜓(𝑥, 𝑡) = (𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥)(𝐶 sin 𝜔𝑡 + 𝐵 cos 𝜔𝑡) 𝜓(𝑥, 𝑡) = (𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡 + 𝜙) şeklindedir. Burada,
𝜔 = 2𝜋
𝑇 Açısal frekans
𝑘 = 2𝜋
𝜆 Dalga vektörü (Açısal dalga sayısı)
𝑇 = 1 𝑓 Periyot 𝜆 = 𝑇√𝑇0 𝜌0 = 1 𝑓√ 𝑇0 𝜌0 Dalga boyu 𝜔 = 𝑘√𝜌𝑇0 0 Dağınım bağıntısı olarak tanımlıdır. √𝑇0
4
𝜆𝑓 = √𝑇0 𝜌0 = 𝑣0 hız boyutundadır.
𝜓(𝑥, 𝑡) = (𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥)(𝐶 sin 𝜔𝑡 + 𝐵 cos 𝜔𝑡)
Çözümündeki 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 sabitleri başlangıç ve sınır koşullarına bağlıdırlar. 𝐴 ve 𝐵 sınır koşulları yardımıyla, 𝐶 ve 𝐷 ise başlangıç koşulları ile belirlenir.
İki ucu bağlı (tutturulmuş) 𝐿 uzunluklu ip için sınır koşulları aşagıdaki gibidir: 𝜓(0, 𝑡) = 𝜓(𝐿, 𝑡) = 0
Başlangıç koşulları ise
𝜓(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑔(𝑥) olarak verilsin. Sınır koşulları kullanılarak, 𝐵 = 0 ve
𝑘𝑛 =𝑛𝜋
𝐿 , 𝑛 = 1,2, …
olarak bulunur. Böylece kip çözümleri (duran dalgaların bir serisi) 𝜓𝑛(𝑥, 𝑡) = sin 𝑘𝑛𝑥 (𝑎𝑛sin 𝜔𝑛𝑡 + 𝑏𝑛cos 𝜔𝑛𝑡) ya da
𝜓𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛sin 𝑘𝑛𝑥 cos( 𝜔𝑛𝑡 + 𝜙𝑛)
şeklinde elde edilir. Bu durumda, dalga boyu ve kip frekansı aşağıdaki gibidir: 𝜆𝑛 = 2𝜋 𝑘𝑛 = 2𝐿 𝑛, 𝑓𝑛 = 1 𝜆𝑛√ 𝑇0 𝜌0, 𝑛 = 1,2, …
𝑓𝑛 kip frekansları, temel 𝑓1 frekansının harmonikleri olarak adlandırılır. Kütle yoğunluğu düzgün olmadığında kip frekansları bu şekilde temel frekansın tam katları olmaz.
5 𝜓(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝜓𝑛(𝑥, 𝑡) ∞ 𝑛=1 = ∑ 𝐴𝑛sin 𝑘𝑛𝑥 cos( 𝜔𝑛𝑡 + 𝜙𝑛) ∞ 𝑛=1 ya da
𝜓(𝑥, 𝑡) = ∑ sin 𝑘𝑛𝑥 (𝑎𝑛sin 𝜔𝑛𝑡 + 𝑏𝑛cos 𝜔𝑛𝑡)
∞
𝑛=1
Başlangıç koşulları,
𝜓(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑔(𝑥)
yardımıyla, 𝑎𝑛 ve 𝑏𝑛 (𝐴𝑛 ve 𝜙𝑛) katsayıları bulunur. Ancak bu katsayıları bulabilmek için Fourier analizi kullanılır. Bir sonraki kesimde Fourier analizi kısaca gözden geçirildikten sonra bu katsayılar verilen başlangıç koşulları için belirlenecektir.
