MT 131 ARA SINAVI (2007) C¸ ¨OZ ¨UMLER 1. (a) Rf = {y ∈ R : y = 1
x2+ 2x + 3 o.¸s. bir x ∈ Df var} = {y ∈ R : y(x2 + 2x + 3) =
1 o.¸s. bir x ∈ Df var} = {y ∈ R : yx2+2yx+3y−1 = 0 denkleminin bir ger¸cel x ¸c¨oz¨um¨u var}
y = 0 i¸cin ¸c¨oz¨um yok. y 6= 0 i¸cin ikinci derece bir denklem oldu˘gundan, ancak ve yalnız ∆ = 4y2−4y(3y−1) ≥ 0 ise ¸c¨oz¨um var. Rf = {y ∈ R : y 6= 0 ve y − 2y2 ≥ 0} = (0,12] (Veya x2+2x+3 = (x+1)2+2 oldu˘gundan fonksiyonun paydası [2, +∞) aralı˘gındaki her de˘geri alır, ba¸ska bir de˘ger alamaz. Dolayısıyla fonksiyon da (0,12] aralı˘gındaki her de˘geri alır ba¸ska de˘ger alamaz.)
(b) x1, x2 ∈ I, x1 < x2 olsun. f, I aralı˘gında artan oldu˘gundan f (x1) ≤ f (x2) olur.
f (x1) < f (x2) ise f (x1), f (x2) ∈ J, f (x1) < f (x2) ve g, J aralı˘gında azalan oldu˘gundan g(f (x1)) ≥ g(f (x2)) olur. f (x1) = f (x2) ise g(f (x1)) = g(f (x2)) olaca˘gından her iki durumda da (g◦f )(x1) ≥ (g◦f )(x2) do˘grudur. Bu da g◦f nin I aralı˘gında azalan olması demektir.
2. (a) He x ∈ R i¸cin x−1 < bxc ≤ x ve x < −12 i¸cin 2|x|−1 = −2x−1 > 0 olur ve dolayısıyla (x < −21 i¸cin) −2x−1x−1 < 2|x|−1bxc ≤ −2x−1x olur. limx→−∞ −2x−1x = limx→−∞ −2−1 1
x = −12 ve limx→−∞ −2x−1x−1 = limx→−∞ −2−1−1x1
x
= −12 oldu˘gundan Sıkı¸stırma (Sandvi¸c) Teorem- inden limx→−∞ 2|x|−1bxc = −12 olur.
(b)
√2x − 1 − 3 x2− 6x + 5 = (√
2x − 1 − 3)(√
2x − 1 + 3) (x2− 6x + 5)(√
2x − 1 + 3) = 2x − 1 − 9 (x − 5)(x − 1)(√
2x − 1 + 3)
= 2(x − 5)
(x − 5)(x − 1)(√
2x − 1 + 3) = 2
(x − 1)(√
2x − 1 + 3)) (x 6= 5 i¸cin) oldu˘gundan limx→5
√2x − 1 − 3
x2− 6x + 5 = lim
x→5
2 (x − 1)(√
2x − 1 + 3) = 1 12 olur.
3. (a) (−∞, 1) aralı˘gında x−11 s¨urekli ve tamsayılar dı¸sında b c s¨urekli ve x ≥ 1 i¸cin bxc 6= 0 oldu˘gundan f (x) bu aralıkta 1 ve 2 dı¸sında s¨ureklidir. limx→1−f (x) = limx→1− x−11 = 10 oldu˘gundan sonsuz olabilir. limx→1−(x − 1) = 0 ve x < 1 i¸cin x−11 < 0 oldu˘gundan limx→1− x−11 = −∞ olur. f , 1 de sonsuz tipi s¨ureksizli˘ge sahiptir. (x ∈ (2, 3) i¸cin bxc = 2 oldu˘gundan) limx→2+f (x) = limx→2+ sin x2 = 12sin 2 ve (x ∈ (1, 2) i¸cin bxc = 1 oldu˘gundan) limx→2−f (x) = limx→2−sin x = sin 2 olur. Bu nedenle limx→2+f (x) ve limx→2−f (x) var ama (0 < 2 < π olması nedeniyle sin 2 6= 0 olu¸sundan) farklı olur. f , 2 de sı¸crama tipi s¨ureksizli˘ge sahiptir.
(b) ε > 0 verilsin.
|x − 0| < δ ve x ∈ Df = [0, +∞) iken |√4
x − 0| < ε o.¸s. bir δ > 0 bulmalıyız.
(|x − 0| < δ ve x ∈ Df = [0, +∞) i¸cin) |√4
x − 0| = p4
|x| <√4
δ olur. √4
δ = ε olacak
¸sekilde bir δ > 0 se¸cmemiz yeterlidir. δ = ε4 alınırsa, δ > 0 oldu˘gu ve istenen ko¸sulu sa˘gladı˘gı yukarıdaki e¸sitlik ve e¸sitsizliklerden g¨or¨ulmektedir.
4. (a) f (x) = cot2x − x, λ = 0 olsun. f, (0, π) aralı˘gında s¨ureklidir. f (π6) = 3 − π6 > λ ve f (π2) = −π2 < λ olur. ([π6,π2] ⊂ (0, π) oldu˘gundan) f, [π6,π2] aralı˘gında da s¨ureklidir Ara De˘ger Teoreminden (π6,π2) aralı˘gında bir c i¸cin f (c) = λ = 0 olur. Yani cot2c = c olur.
1
(b) T¨urev alma kuralları denen teoremler kullanılarak
f0(x) = 1 3
µ
sin x x2+ 1
¶−2
3
· cos x
x2+ 1 · 1 · (x2+ 1) − x · (2x) (x2+ 1)2
5. (a) 57◦, 57π180 = 19π60 radyandır. f (x) = cos x, b = 19π60, a = π3 olsun. Diferansiyel yardımı ile yakla¸sık hesap form¨ul¨unde (f (b) ≈ f (a) + f0(a)(b − a)) yerine konursa
cos 57◦ = cos19π60 ≈ 12 + (−√23) · (−60π) = 12 +√1203π bulunur.
(b) Kapalı t¨urev alma y¨ontemi ile:
cos(xy) · (y + xy0) + 1 · (x + y2) − x · (1 + 2yy0)
(x + 2y)2 = 0
Bu e¸sitlikten y0 ¸c¨oz¨ul¨urse,
y0 = −y cos(xy) − (x+yy22)2
x cos(xy) − (x+y2xy2)2
= y2 + y(x + y2)2cos(xy) 2xy − x(x + y2)2cos(xy) elde edilir.
2
