c keyfi bir sabit olmak ¨uzere, y = 1 + ce2x 1 − ce2x fonksiyonu dy dx = y2− 1 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur

˙Istanbul Ticaret ¨Universitesi ENG227-M¨uhendislik Matemati˘gi II

2019 ˙Ilkbahar Alı¸stırma Soruları 1

Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler:

Temel tanım ve kavramlar, ayrılabilir ve homojen denklemler, do˘grusal denklemler ve integral ¸carpanı, tam denklemler ve integral ¸carpanı, Bernoulli denklemleri, ¸c¨oz¨um¨un varlık ve tekli˘gi

1. A¸sa˘gıda verilen diferansiyel denklemler i¸cin mertebeyi, dereceyi, bilinmeyen fonksiyonu ve ba˘gımsız de˘gi¸skeni ifade ediniz. Ayrıca denklemlerin lineer olup olmadıklarını belirleyiniz.

(a) xy⁰⁰⁰+ 2 (y⁰)⁴+ y = 0 (b) dx dy =

rx

y (c) d²r

dy²

² +d²r

dy²+dr dy = r (d) d²z

dt² − 2tdz

dt + 2z = t³ (e) d³b dp³

^3/2

+ b = p (f) t²s + t ˙s = 1 − cos t¨

2. Verilen her bir ba˘gıntının diferansiyel denklemin a¸cık veya kapalı ¸c¨oz¨um¨u olup olmadı˘gını kontrol ediniz.

(a) d²y

dx² + y = x²+ 2, y (x) = sin x + x² (b) dy

dx− y

x = 1, y (x) = x ln x, x > 0 (c) dy

dx = 2xy

y − 1, y − ln y = x²+ 1 3. c keyfi bir sabit olmak ¨uzere, y = 1 + ce^2x

1 − ce^2x fonksiyonu dy

dx = y²− 1

denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. G¨osteriniz. Ayrıca y = 1 ve y = −1 sabit fonksiyonları da denklemin birer ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. Bu ¸c¨oz¨umler genel ¸c¨oz¨umden elde edilebilir mi?

4. y⁰⁰+ 4y = 0 diferansiyel denklemi verilsin.

(a) y (x) = c1sin 2x + c2cos 2x fonksiyonu verilen denklemin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. G¨osteriniz.

(b) y (x) = c₁sin 2x + c₂cos 2x ¸c¨oz¨um¨unde y (0) = 0 ve y⁰(0) = 1 ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan c₁ ve c₂sabitlerini belirleyiniz.

5. Verilen denklemin tipini belirledikten sonra denklemin veya ba¸slangı¸c de˘ger probleminin ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.

(a) (x − 2) y³dx + x⁴(y − 3) dy = 0 (b) − 3x²+ x²y²
dx + y²+ 1
dy = 0 (c) (x + 1) dy − ydx = 0; y (0) = 1 (d) y⁰= x²+ y²

2xy

(e) xy⁰= x + y; y (1) = 3 (f) te^t2dt + x⁵− 1
dx = 0; x (0) = 0 (g) cos x + y

x



xdx + ydx = xdy (h) xy⁰− y −p

x²+ y²= 0; y √ 3
= 1

(i) y⁰+ y = sin x (j) dQ

dt + 2

10 + 2tQ = 4; Q (2) = 100

(k) xz⁰− z = x³e^x2 (l) y⁰ = 1

x + y (m) y⁰+2

xy = −x⁹y⁵; y (−1) = 2 (n) x⁰+ tx = t√ x (o) (x + y) dx + (x − y) dy = 0 (p)



cos x cos y + 1 cos²x



dx − sin x sin ydy = 0

(r) y²dx + (3xy − 1) dy = 0 (s) dy dx − 1

3xy = −2x⁴y⁴ (t) 6xy + 2y²− 5
+ 3x²+ 4xy − 6
dy

dx = 0 (u) ye^x+ 2e^x+ y²
dx+(e^x+ 2xy) dy = 0; y (0) = 6

1

6. Verilen denklemin tam olup olmadı˘gına karar veriniz. Tam ise denklemi ¸c¨oz¨un¨uz. Tam de˘gil ise denklem i¸cin uygun bir integral ¸carpanı bulunuz ve denklemi ¸c¨oz¨un¨uz.

(a) x²+ y²
dx + 2xydy = 0 (b) 3xy + y²
+ x²+ xy
y⁰ = 0 (c) y²dx + xydy = 0 (d) y⁰= 2xy − x

7. y (1 + x) dx + x (1 − y) dy = 0 diferansiyel denkleminin x^myⁿ formunda bir integral ¸carpanını bulup denklemi ¸c¨oz¨un¨uz.

8. x²+ y²− x
dx − ydy = 0 diferansiyel denkleminin I (x, y) = I x²+ y²

formunda bir integral

¸

carpanını bulup denklemi ¸c¨oz¨un¨uz.

9. y sin x + f (x) y⁰= 0 diferansiyel denkleminin tam olması i¸cin gerekli olan f (x) fonksiyonunu belirleyip denklemi ¸c¨oz¨un¨uz.

10.

dy

dx = 2y⁴+ x⁴

xy³ (1)

diferansiyel denklemi verilsin.

(a) (1) denkleminin tipini belirleyiniz.

(b) y = xv d¨on¨u¸s¨um¨u yardımı ile (1) denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde ediniz.

(c) y (1) = 2 ba¸slangı¸c ko¸sulu altında (1) denkleminin ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.

11.

3y + 4xy²
dx + 2x + 3x²y
dy = 0 (2)

diferansiyel denklemi verilsin.

(a) (2) denklemi tam mıdır? G¨osteriniz.

(b) x²y fonksiyonu (2) denklemi i¸cin bir integral ¸carpanı olur mu? G¨osteriniz.

(c) (2) denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.

12.

(x + 2) sin y + (x cos y) y⁰ = 0 (3)

diferansiyel denklemi verilsin.

(a) (3) denklemi tam mıdır? G¨osteriniz.

(b) xe^xfonksiyonu (3) denklemi i¸cin bir integral ¸carpanı olur mu? G¨osteriniz.

(c) (3) denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.

13. dy

dx+ 2y = xy⁻² (4)

diferansiyel denklemi verilsin.

(a) (4) denkleminin tipini belirleyiniz.

(b) z = y³de˘gi¸sken de˘gi¸simi yaparak (4) denkleminin dz

dx + 6z = 3x formuna d¨on¨u¸st¨u˘g¨un¨u g¨osteriniz.

(c) (4) denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde ediniz.

14. Verilen ba¸slangı¸c de˘ger probleminin ¸c¨oz¨um¨un¨un varlı˘gı ve tekli˘gi hakkında ne s¨oyleyebilirsiniz?

(a) ydy

dx− 4x = 0; y (2) = −π (b) dy

dx =x

y; y (1) = 0 (c) dy

dx = (y − 2)^1/2

x ; y (1) = 1 (d) dy

dx = 3y^2/3; y (0) = 0 (e) (ln t) x⁰+ x = cos t; x (2) = 3

2

15. 



 dy

dx = x²+ 2 y , y (0) = 1 ba¸slangı¸c de˘ger problemini ele alınız.

(a) C¸ ¨oz¨um¨un¨un varlı˘gı ve tekli˘gi hakkında ne s¨oyleyebilirsiniz?

(b) C¸ ¨oz¨um varsa bulunuz.

16.





 dy

dx = y − 2 x

^1/2 , y (1) = 1

ba¸slangı¸c de˘ger problemini ele alınız.

(a) C¸ ¨oz¨um¨un¨un varlı˘gı ve tekli˘gi hakkında ne s¨oyleyebilirsiniz?

(b) C¸ ¨oz¨um varsa bulunuz.

3