EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERİN ÇÖZÜM
YÖNTEMLERİ
• Eşanlı denklemli modelin her hangi bir denklemi Basit EKKY ile çözüldüğünde sapmalı, tutarsız tahminler elde edilir.
• Geri Dönüşlü Modellerde ise Basit EKKY uygulanabilmektedir.
• Bu nedenle eşanlı denklemli modellerin çözümü için farklı yöntemler geliştirilmiştir:
1. Dolaylı EKKY
2. 2 Aşamalı EKKY
3. 3 Aşamalı EKKY gibi…
M denklemli M içsel değişkenli yapısal model :
Y1=a12Y2+a13Y3+…a1MYM+b11X1+b12X2+…+b1kXk+u1 Y2=a21Y1+a23Y3+…a2MYM+b21X1+b22X2+…+b2kXk+u2 Y3=a31Y1+a32Y2+…a3MYM+b31X1+b32X2+…+b3kXk+u3
YM=aM1Y1+aM2Y2+…aMMYM-1+bM1X1+bM2X2+…+bMkXk+uM
Denklemlerini tahmin edebilmek için iki yaklaşımdan biri kabul edilir:
•Sınırlı bilgi yöntemleri
•Tam bilgi yöntemleri
•Sınırlı bilgi yöntemleri(=Tek denklem yöntemleri)
Eşanlı denklem sistemlerinin her denklemi, diğer denklemlerden bağımsız şekilde, ferdi olarak tahmin edilir.
• Tam bilgi yöntemleri(=sistem yöntemleri)
Yapısal denklemlerin tamamı aynı anda
çözülür.
Sınırlı bilgi yöntemleri
• Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi (=DEKKY)
• İki Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi (=2AEKKY)
• Sınırlı Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi (=SBEÇBY)
Tam bilgi yöntemleri
• Üç Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi (3AEKKY)
• Tam Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi
(=TBEÇBY)
Tam bilgi yöntemlerinin dezavantajları:
• Hesaplamalar fazla ve karmaşıktır
• Parametrelere göre doğrusal olmayan çözümler vermektedir
• Spesifikasyon hatası
• sınırlı bilgiye dayalı yöntemler daha
kullanışlıdır
Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi (=DEKKY)
• Eşanlı modelin yapısal denklemlerini tek tek çözmeye imkan sağlayan tek denklem yöntemidir.
• Tam belirlenmiş yapısal denklemlerin tahmininde kullanılır.
• Daraltılmış biçim katsayılarının EKK
tahminlerinden yapısal model
katsayılarının tahminini elde etmeye
dayanır.
Dolaylı EKKY’nin varsayımları
• Yapısal denklem tam belirlenmelidir.
• Daraltılmış denklem hata terimi (v) için;
1. Stokastiktir 2. E(v
i)=0
3. Varyansı eşittir
4. Otokorelasyonsuzdur 5. Normal dağılır
6. E(v
iX
j)=0
• Dışsal değişkenler arasında çoklu doğrusal
bağlantı olmamalıdır
Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi
• Adım 1: Daraltılmış biçim denklemleri elde edilir.
Daraltılmış katsayılarla () yapısal katsayılar (a,b,c…) arasındaki bağlantılar elde edilir.
• Adım 2: Daraltılmış biçim denklemleri ayrı ayrı Basit EKKY ile tahmin edilir.
• Adım 3: Daraltılmış katsayılar ile yapısal
katsayılar arasındaki bağlantılardan yapısal
katsayılar hesaplanır.
Uygulama 1:
Gelir Belirleyici Keynezyen Model
Yıl C
tY
t=C
t+I
tI
t1987 9 10 1
1988 10 12 2
1989 12 16 4
1990 14 17 3
1991 15 20 5
0 1 1
Tüketimfonksiyonu: (0 1)
Gelir eşitliği:
t t t
t t t
C b b Y u b
Y C I
• Tüketim fonksiyonu tam belirlendiğine göre Dolaylı EKKY ile tahmin ediniz.
1. Daraltılmış biçim denklemlerinin elde edilişi:
Gelir Belirleyici Keynezyen Model
1 2
3 4
0 1
1 2
1 1 1
0
3 4 2
1 1 1
( ) 1
1 1 1
1 1
( ) 1 1 1
t t t t t t t
t t t t t t
b b
C f I I v C I u
b b b
Y f I I v Y b I u
b b b
2. Daraltılmış biçim denklemlerinin Basit EKKY ile tahmini
2
1 2
3
1 2
2
4 2 3 4
4 2
( )
(
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
) ˆ
t t
t t
t
t t t t t
t t t t
t
t t
t t
t t
t
t t
t t
c ı C I
ı
c C C ı I I
y ı Y I
ı
C f I I v
Y f
Y
I I
y Y
v
Yıl C
tY
t=C
t+I
tI
tc
ty
tı
tc
tı
tı
2y
tı
t1987 9 10 1 -3 -5 -2 6 4 10
1988 10 12 2 -2 -3 -1 2 1 3
1989 12 16 4 0 1 1 0 1 1
1990 14 17 3 2 2 0 0 0 0
1991 15 20 5 3 5 2 6 4 10
60 75 15 0 0 0 14 10 24
2 1
4 3
ˆ 14 1.4 ; ˆ 12 (1.4)(3) 7.8 10
ˆ 24 2.4 ; ˆ 15 (2.4)(3) 7.8 10
3. Yapısal Model katsayılarının elde edilmesi:
0
1 3 2 1 1 4
1 1
1 2
2
0 1
4
0 1
4
1
ˆ ˆ 1 ˆ
ˆ ˆ 7.8 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ
ˆ 1.4
ˆ 1.4
ˆ 2.4
1 1 ˆ
ˆ 2.4 1 ˆ 1 0.583 7.8
ˆ 0.5833
ˆ 3.25 3
b
b b
b b
b b
b b
b b
Yapısal Modelin Tahmini (DEKKYModeli)
3.25 0.5833
t t
t t t
C Y
Y C I
Marjinal Tüketim Eğilimi
7.8 1.4 7.8 2.4
t t
t t
C I
Y I
Tüketim Modeli Daraltılmış BiçimTahmini
Kısa Dönem Yatırım Çarpanları
Uygulama 2:
Bir Malın Arz-Talep Fonksiyonu
0 1 2 1
0 1 2 2
(Talep fonk.) (Arz fonk.) Q a a P a I u
Q b b P b T u
Q=Denge arz ve talep miktarı (içsel değişken) P=Malın fiyatı (içsel değişken)
I=Tüketicilerin geliri (dışsal değişken) T=Teknoloji seviyesi (dışsal değişken) a1<0 a2>0 b1>0
Her iki denklemde tam belirlenmiştir.
Talep ve arz denklemlerini Dolaylı EKKY ile tahminleyiniz.
1.Daraltılmış biçim denklemlerinin elde edilişi:
P=
1+
2I+
3T+v
1Q=
4+
5I+
6T+v
21 1
1 2
1 1
2 1
1 2 1
1
0 0
b a
u T u
b a
I b b a
a b
a
a P b
1 1
1 1 2
1 1
1
2 1 1
1
1 2 1
1
1 0 0
1
b a
u b u
T a b a
b I a
b a
b a b
a
b a b
Q a
2. Daraltılmış biçim denklemlerinin Basit EKKY ile tahmini:
1 2 3
2
2 3
2
2 3
2 3 1
2
5 6
2
5 6
5 6 4
4 5 6
ˆ ˆ , ,
ˆ ˆ ,
ˆ 0.14 ˆ 0.28 ˆ 19.6
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 1.87 ˆ 1.71 ˆ 21
19.6 0.14
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
0.28 215 1
5
.8
P I T
Q
P I T
pı ı ıt p P P ı I I
pt ıt t t T T
qı ı ıt
Q
q Q Q
qt ıt t
I T
7I 1.71T Daraltılmış BiçimTahmini
3. Daraltılmış biçim katsayılarından yapısal katsayıların tahmini:
2 5
5 1 2 1
1 1 2
6 2
6 1 1 3
1 1 3
2 3
2 2 2
2
1
1
2
2
1 1
0 0
( ) 1.87
( ) 0.14
( ) 1.71
0.28
0.28 0.28( 19.47)
6.11 13.36 0
13.36 6.11
5.
.14 6.11 13.
45 36 19.47 2.
19.6 6.11 1
7
3
3
a b b
a b
a b a
a
b a
b
a b
b
a a a
a b b a
0
0 0
0
.36 6.11 13.36 215 6.11 13.36
95 477
b a b
a
3.Daraltılmış biçim katsayılarından yapısal katsayıların tahmini :
Talep Denklemi ˆ 95 6.11 2.73 Arz Denklemi Q=477+13.36P-5.45Tˆ
Q P I
Dolaylı EKK tahminleri:
Talep Denklemi ˆ 57 0.86 1.03 Arz Denklemi Q=167+3.95P-1.42Tˆ
Q P I
Basit EKK tahminleri:
Dolaylı EKKY Tahmincilerinin Özellikleri
• Tutarlı ve asimtotik etkindirler, fakat küçük örneklerde sapmalıdırlar.
0 1 2 1
0 1 2
(Talep fonk.) (Arz fonk.)
Q a a P a I u Q b b P u
Yapısal Model
Daraltılmış Denklemler
P=
1+
2I+v
1Q=
3+
4I+v
24 2 2 2
1
2 1 1
4 2
4
2 1
2
ˆ ˆ
ˆ (1)
Daraltılmış Kalıp Denklemlerini Ortalamadan Farklara göre yazarsak;
p= ( ) (2)
q= ( )
ˆ ˆ
ˆ
qı pı
ı ve ı
b qı
pı
ı v v
ı v v
b
2
2
4 2 2
1 2
2 1 1
(3) Böylece p ve q yerine (1) nolu formülde yerine konulduğunda ve ifade
( )
ˆ
( )
ı yebölündüğünde
ı v v ı
b ı v v ı
(4)2
4 2 2
1 2
2 1 1
lim lim ( ) /
lim( )ˆ (5)
lim lim ( ) /
p p v v ı ı
p b
p p v v ı ı
(5) nolu ifade de örnek büyüklüğü sonsuza giderken ihtimal limit alınmıştır.
lim( ) lim lim lim lim
lim
p A B p A p B
A p A
p B p B
4 1
2
lim( )ˆ
p b
Örnek büyüklüğü sonsuza giderken (5)’in pay ve paydasının (+) dan sonraki ikinci terimleri sıfıra yaklaşır. Bu da
sonucunu verir. Burada sapmalı in gerçek değeri in tutarlı tahmincisi olduğu sonucu ortaya çıkar. 1
b
ˆ
b1AŞIRI BELİRLENMİŞ BİR DENKLEMİN TAHMİNİ:
•İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER
YÖNTEMİ (=2 AEKKY)
1. Tahmin edilecek yapısal denklemin sağında yer alan içsel değişkeni bağımlı değişken olarak alan daraltılmış denklem Basit EKKY ile tahminlenir ve bağımlı değişkenin tahmin değerleri hesaplanır.
2. Tahmin edilecek yapısal denklemin sağında yer alan içsel değişken Y
iyerine, değişkeni ikame edilerek elde edilen dönüştürülmüş yapısal denkleme Basit EKKY uygulanır.
Y ˆ
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
(=2AEKKY
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
• Varsayımları:
1. Tahmin edilecek yapısal denklemin hata terimi u’nun bilinen varsayımları sağlaması gerekir.
2. Daraltılmış biçim hata terimi v bilinen varsayımları sağlamalıdır.
3. Dışsal değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olmamalıdır.
4. Dışsal değişkenler bakımından model doğru kurulmuş varsayılmaktadır.
5. Örnek büyüklüğünün yapısal modeldeki dışsal
değişken sayısından büyük olması gerekir.
Adım 1: Yapısal denklemin sağındaki içsel değişken(ler) ile tüm dışsal değişkenler
arasındaki daraltılmış regresyon
denklem(ler)i Basit EKKY ile tahmin edilir.
Y
i: İçsel Değişken
X: Dışsal Değişken olmak üzere
Y
i=a
i1Y
1+a
i2Y
2+…+a
iMY
M+b
İ1X
1+…+b
iKX
K+u
i=Genel i.yapısal denklem (tahmin edilecek orijinal yapısal denklem)
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
ˆ ˆ ... ˆ ˆ
ˆ ˆ ... ˆ ˆ
ˆ ˆ ... ˆ ˆ
K K K K
M M M MK K M
Y X X X v
Y X X X v
Y X X X v
Daraltılmış denklemleri Basit EKKY ile ayrı ayrı tahminlenir ve Yi nin tahmin değerleri hesaplanır:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ... ˆ
ˆ ˆ ˆ ... ˆ
ˆ ˆ ˆ ... ˆ
K K
K K
M M M MK K
Y X X X
Y X X X
Y X X X
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
1 1 1
2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
M M M
Y Y v
Y Y v
Y Y v
Stokastik olmayan sabit X’lerin doğrusal bileşeni
Stokastik kısım
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
Adım 2: İlk adımda hesaplanan değişkenleri
yapısal denklemdeki orijinal Y değişkenleri yerine ALET değişken olarak ikame edilir.
Y ˆ
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ... ( )
...
ˆ ˆ ... ˆ
ˆ ˆ ˆ
... ( ... )
i i i iM M M
i i iK K i
i i i iM M i i
iK K i i i iM M
Y a Y v a Y v a Y v
b X b X b X u
Y a Y a Y a Y b X b X
b X u a v a v a v
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
*
1 1
ˆ
2ˆ
2... ˆ
1 1...
Dönüşümlü yapısal denklem
i i i iM M i iK K i
Y a Y a Y a Y b X b X u
Y ˆ
Bu dönüşümlü yapısal denkleme Basit EKKY uygulanarak yapısal parametreler a, b’lerin 2 AEKK tahminleri hesaplanmış olur.
ve u* asimtotik olarak ilişkisizdir. Oysa orijinal yapısal denklemde Y’lerle ui’ler ilişkilidir.
İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
Uygulama 1:
Gelir Belirleyici Keynezyen Model
Yıl C
tY
t=C
t+I
tI
t1987 9 10 1
1988 10 12 2
1989 12 16 4
1990 14 17 3
1991 15 20 5
0 1 1
Tüketimfonksiyonu: (0 1)
Gelir eşitliği:
t t t
t t t
C b b Y u b
Y C I
ADIM 1: Tahmin edilecek orijinal yapısal denklem: C=b
0+b
1Y+u
Denklemin sağında sadece bir tane Y içsel değişkeni vardır, Bu nedenle Basit EKKY ile tahmin edilecek olan daraltılmış denklem şöyledir:
1 2 1
ˆ ˆ
t t
Y I v
1 2
1987
1988
1989
1990
1991
ˆ ˆ ˆ 7.8 2.4
ˆ 7.8 2.4(1) 10.2 ˆ 7.8 2.4(2) 102.6
ˆ 7.8 2.4(4) 17.4 ˆ 7.8 2.4(3) 15.0
ˆ 7.8 2
ˆ (alet) değişken
.4(5) 19.8
i değerleri
Y I I
Y Y
Y Y Y
Y
ADIM 2 : İlk aşamada oluşturulan değişkeni
orjinal yapısal denklemdeki Y yerine alet değişken olarak alınır.
*
0 1
1 2
0 1
ˆ Dönüşümlü yapısal denklem ˆ 33.6
ˆ ˆ ˆ ˆ
b 0.5833 ; ,
ˆ 57.6
ˆ b ˆ ˆ 12 (0.58 3.25 0.5833
2 AEKK TAHMİNİ MOD
33)(15) 3.2
E İ
5
L
t t
t t t
C Y
C b b Y u
cy c C C y Y Y
Y
y b
C
C Y
I
Y ˆ
İki Aşamalı EKKY Tahminlerinin Özellikleri
• 2 AEKKY büyük örnekler için daha uygundur, küçük örneklerde sapmalı tahminler verir.
• 2 AEKKY tahminleri tutarlıdır.
• 2 AEKKY tahminleri asimtotik etkindirler.
• Tam belirlenmiş denklemlerde DEKK ile aynı sonuçları verir.
• Aşırı belirlenmiş denklemler için idealdir.
• Hesaplanması kolay ve iyi sonuçlar verir.
• Dışsal değişkenin çok olduğu durumlarda örnek hacminin fazla olması gereklidir.
• Spesifikasyon hatalarına karşı hassastır.
• Daraltılmış kalıp denklemlerinin belirlikik katsayıları
yüksekse Basit EKK ve 2AEKK tahminleri birbirine yakın çıkmaktadır.
Eşanlılık Testi
Eşanlılık testi, bir açıklayıcı değişkenin (içsel) hata terimi ile ilişkili olup olamadığının testidir.
İlişkili ise eşanlılık sorunu vardır.
Hausman Model Kurma Testi
Talep Fonk. :Qt=a0+a1Pt+a2It+a3Rt+u1t (1) Arz Fonk. :Qt=b0+b1Pt+u2t (2)
I:Gelir R:Servet
Eğer eşanlılık sorunu yoksa (Yani P ile Q karşılıklı
bağımsızsa), Pt ile u2t ilişkisiz olur. Eğer eşanlılık varsa Pt ile u2t ilişkilidir.
Daraltılmış biçim denklemleri:
Pt=π0+π1It+π2Rt+v1 (3)
Qt=π3+π4It+π5Rt+v2 (4)
t 2 t
1 0
t
ˆ ˆ I ˆ R
P ˆ
1.Adım: Pt nin Rt ile It ye göre regresyonu hesaplanıp ler bulunur.
t t
t
P ˆ vˆ P
EKKY tahmini
(5)
Eşanlılık Testi
v ˆ
Talep Fonk. :Qt=a0+a1Pt+a2It+a3Rt+u1t (1) Arz Fonk. :Qt=b0+b1Pt+u2t (2)
0 1 t 1 t 2
t t
Q P
v
u
Eşanlılık Sınaması
2.Adım: Qt nin Pt ile ne göre regresyonu hesaplanır:
[(5), (2) de yerine konulur]
3.Adım: v-tah’nin katsayısına t testi uygulanır. Sonuç anlamlı çıkarsa eşanlılık olmadığı hipotezi reddedilir.
Ho:Eşanlılık yoktur.
H1:Eşanlılık vardır.
v ˆ
H0:Eşanlılık yok H1:Eşanlılık var
Örnek :Kamu Harcamaları Modeli
1 2 3 4
1 2 3
i i
EXP AID INC POP u
AID EXP PS v
EXP : Merkezi ve yerel yönetimlerin kamu harcaması AID : Federal yardım düzeyi
INC : Eyalet geliri POP : Eyalet nüfusu
PS : İlk ve ortaöğretimdeki çocuk sayısı INC , POP , PS : Dışsal değişkenlerdir.
!
EXP ve AID arasında eşanlılık çıkma olasılığı vardır…1. AID’nin INC , POP , PS’ye göre daraltılmış kalıp regresyonu hesaplanır.
AID=f(INC,POP,PS)
2. Daraltılmış biçim regresyonundan hata terimlerinin tahminleri hesaplanır.
3. EXP’nin AID , INC , POP’ye göre regresyonu hesaplanır:
4. %5 anlamlılık düzeyinde katsayısı istatistiksel bakımdan anlamlı değildir, dolayısıyla bu düzeyde, eşanlılık sorunu yoktur.
ˆ
iw
2
ˆ
89, 41 4,50 0,000131 0,518 1,39
( 1,04) (5,89) (3,06) ( 4,63) ( 1,73) 0,99
EXP AID INC POP wi
t R
ˆ
iw
1 2 3 4
1 2 3
i i
EXP AID INC POP u
AID EXP PS v
Dışsallık Testi
Y1,Y2,Y3 gibi üç değişkenli, üç denklemli bir model ve X1, X2, X3 gibi dışsal değişkenler bulunsun.
Y1i=b0+b2Y2i+b3Y3i+a1X1i+u1i
1.Adım: Y2 ve Y3 için daraltılmış kalıp denklemlerinden Y2i-tah ve Y3i -tah elde edilir.
2. Adım: Aşağıdaki denklem tahmin edilir.
3.Adım: l2=l3=0 hipotezi test edilir. Eğer bu hipotez reddedilirse Y2 ve Y3 içsel sayılır.
u Y ˆ
Y ˆ X
a Y
b Y
b b
Y
1
0
2 2
3 3
1 1 l
2 2 l
3 3
1H0: l2=l3=0 değişkenler dışsaldır H1: Katsayılardan en az bir tanesi
sıfırdan farklıdır. Değişkenler içseldir.
Birden fazla katsayının testini Wald F testiyle, tek bir katsayının t testi ile araştırılması
gerekmektedir.