olup bu tahmin edici,

Hareketli ortalama serilerinde parametre tahmini, AR serilerine göre daha karmaşıktır. AR modelleri regresyon modeline benzediği için tahmin yapmak kısmen kolaydır. X_t    e_t e_t¹,t1, 2,3,...,n _şeklinde verilen MA(1) zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonu,

2

1 , 0

( ) /(1 ) , 1

0 , . .

h

h h

d d

  

 

   



şeklindedir. Otokorelasyonların nasıl tahmin edileceği bir önceki kısımda incelendi. Oradan elde edilen tahmin değerleri fonksiyonda yerine konularak, β nın tahmin değeri bulunabilir. Ancak, bu fonksiyonun bir otokorelasyon fonksiyonu olabilmesi için |β|<0.5 olması gerekir. O zaman bulunan tahmin değerleri için bu koşul dikkate alınmalıdır.

Otokorelasyon fonksiyonunun tahmin edicisi,

1 2

1

1 1

ˆ (1) ( ) ( ) ( )

n n

n t n t n t n

t t

X X X X X X







 

      

   

   

olup bu tahmin edici,

1

2 1

1 1

ˆ (1) ⁿ ( _{t n}) ⁿ ( _{t n})( _{t n}) (1) _P 1

t t

X X X X X X O

  n



  

     

         

 

   

şeklinde yazılabilir. (1)/(1²) _eşitliği, (1) 2 (1) 0

      şeklinde ikinci dereceden denklemin

çözümünden β _{nın tahmin edicisi,}

^β_1,2=

[

]

[

√

]

koşulu dikkate alındığında tahmin edici (Fuller, 1996, s.422),

  ^{1 2}

1,2

ˆ ˆ ˆ

2 (1) 1 1 4 (1) , 0 | (1) | 0.5

ˆ 1 , ˆ(1) 0.5

1 , ˆ(1) 0.5

0 , d d. .

  

 



       

  

   

  

 şeklinde olur.

Örnek 3.5.1 e_t~ WN (0 , σ²) olmak üzere, MA(2) zaman serisi modeli X_t    e_t ¹e_t¹²e_t²,t1, 2,3,...,n şeklinde verilsin.

μ parametresinin tahmini için örneklem ortalaması kullanılabilir.

Durağan zaman serilerinde örneklem ortalamasının kitle ortalaması için tutarlı olduğu gösterilmişti. Basit aritmetik işlemlerden sonra örneklem ortalaması,

1 1 2 2

1 1

0 1 0 1

1 2 1 2

1

1 2 1 2

1

1 1

( )

1 (1 )

1 (1 ) (1 )

n n

n t t t t

t t

n n n n

t t

n

t n n n

t

X X e e e

n n

e e e e e e

n e n n

e R e R

n

  

    

     

 

 

 





    

   

     

         

 





şeklinde yazılabilir. Burada, R_n=β₁e₀−e_n

n +β₂e₋₁+e₀−e_n−1−e_n

n _ve ¯e_n=1

n

∑

t=1 n

e_t

dir. E R( ) 0_n  ve sabit bir ^c sayısı için

( )_n / 2

Var R c n dir.

Buradan, R_n O_P(1/ )n elde edilir. e_t ~WN(0 ,²) olduğundan (1/ )

n P

e O n olup n   için

1 2

(1 ) ^P 0

n n n

X      e R 

olasılıkta yakınsama elde edilir. Yani, n  _iken X¯_n⃗^P μ _olup,

örneklem ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar. Ayrıca,

√ⁿ (^X¯n−μ)^{=(1+ β}1+β₂) √n ¯e_n+√^{n R}n

yazılabilir. Buradan,

√^{n R}n=O_P(1/√ⁿ⁾ _ve n→∞ iken

√n ¯e_n ⃗DN (0 , σ²)

olduğundan Slutsky teoremine göre ^n→∞ iken,

√ⁿ (^X¯n−μ)^⃗DN(^{0 , (1+ β}1+β₂)²σ² )

dağılımda yakınsama elde edilir. Bu asimptotik özelliğin geçerli olabilmesi için β₁+β₂≠−1 _olmalıdır ⊗

Örnekteki sonuç yüksek dereceden MA modelleri için de geçerlidir.

MA(q) zaman serisi modeli e_t~ WN (0 , σ²) _ve β_q≠0 olmak üzere,

1 1 2 2 ...

t t t t q t q

X    e  e_  e_   e_

şeklinde ise, ^n→∞ iken X¯_n⃗^P μ _dir.

β₁+β₂+. ..+β_q≠−1 _{için n→∞ iken,}

√ⁿ (^X¯n−μ)^⃗DN(^{0 , (1+ β}1+β₂+. ..+ β_q)²σ²)

dağılımda yakınsama yazılabilir. e_t~ WN (0,σ²) _ve β_q≠0 _olmak

üzere MA(q) zaman serisi modeli,

1 1 2 2 ...

t t t t q t q

X    e  e_  e_   e_

şeklinde verilmiş olsun. Bu modele karşılık gelen karekteristik denklem

m^q+

∑

i=1 q

β_im^q−i=0

olup, modelin tersinir (denklemin bütün kökleri mutlak değerce 1 den küçük) olduğunu kabul edelim. Bu durumda model,

X_t=−

∑

i=1

∞

c_i X_t−i+e_t

şeklinde yazılabilir. Buradaki katsayılar, c₁=−β₁ , c₂=−β₂−β₁c₁

ve diğerleri ,

3 3 1 2 2 2

1 1 2 2 1 1

1

. .

... ,

, 1, 2,...

q q q q q

q

i m i m

m

c c c

c c c c

c c i q q

  

   



  





   

     

    

şeklindedir. Bunlardan belirli sayıdaki (ilk k tanesi) kullanılarak seri için

X_t≃−

∑

i=1 k

c_i X_t−i+e_t

yaklaşımı ele alınabilir. Bu yaklaşıma göre MA(q) ile modellenmiş X_t

serisi AR(k) gibi düşünerek, c_i, i=1,2, ...,k katsayılarının tahmin

değerleri hesaplanır. Elde edilen c^_{i ler} c^_i=−

∑

s=1 q

c^_i−sβ_s

eşitliklerinden ^β_s tahminleri bulunur. Bu denklem sisteminin çözümü pratik değildir. Bu katsayılar için −^c_{i lerin} c^_i−1, ^c_i−2,..., ^c_i−q, i=1,2,...,q üzerine regresyonu kullanılarak tahmin değerleri hesaplanır. Burada,

−^c_i=β₁^c_i−1+β₂c^_i−2+. ..+β_qc^_i−q+ζ_i , i=1,2, .. . , q

regresyon denklemi yardımı ile ^β_s tahmin değerleri hesaplanır.

Görüldüğü gibi, MA serilerinde tahmin edicilerin elde edilmesi karmaşıktır. Tahmin edicilerin bulunma yöntemleri ve asimptotik özellikleri (Fuller, 1996, s.421-442) de incelenmiştir. İstatistik paket programlar (SAS

gibi) kullanılarak bu tahmin değerleri doğrudan hesaplanır. Örneğin, SAS da ARMA(2,3) modelinin parametreleri,

data a; input x; cards;

. veriler .





;

proc arima; i var=x; e p=2 q=3; run;

programı çalıştırılarak hesaplanabilir. Programda yer alan komutları ayrı ayrı açıklayalım. SAS da bir programı çalıştırmak için önce analizlerin yapılacağı verilere bir isim verilir. Programdaki, ”data a” komutu ile kullanacağımız veriler “a” olarak adlandırılmıştır. Daha sonra değişken ismi girilir. Burada

“input x” komutu ile değişken ismi “x” olarak seçilmiştir. Sonra “cards”

yazılarak programda verildiği gibi veriler girilir. Veriler girildikten sonra analiz kısmına geçilir, “proc arima” komutu zaman serilerinde standart analizlerin yapılabilmesi için kullanılan komuttur. “i var = x” komutunda analizlerin yapılacağı değişken belirlenir. Buradaki “i“ komutu “identify”

anlamındadır. Bu komutun yazılması ile, SAS’da otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının değerleri hesaplanarak grafikleri çizilir. Bu grafiklere bakarak sezgisel olarak modelin AR, MA veya ARMA türlerinden biri olacağına ve model derecelerinin neler olabileceğine karar verilir. Daha sonra “e p=2 q=3” komutu yazılarak verilerin ARMA(2,3) olarak modellenecegi belirtilir. Buradaki “e” komutu “estimate” anlamındadır ve çıktı olarak parametrelerin tahmin değerleri hesaplanır. Bu komut ile, bir sonraki bölümde göreceğimiz model belirleme kriterlerinden AIC ve SBC istatistiklerinin değerleri de hesaplanır.

Örnek 3.5.2 Rasgele üretilen 50 veri satırlar halinde aşağıdadır. Bu verilerin SAS da analizlerini yapıp çıktılarını inceleyelim.

17.4 16.3 15.0 13.8 13.5 14.4 14.4 13.7 11.6 10.6 11.8 12.7 11.9 10.8 11.4 13.6 18.1 20.7 22.4 25.1

27.7 29.5 30.0 27.9 26.7 23.8 21.0 18.8 18.7 17.2

14.9 13.1 11.7 10.1 9.9 9.9 9.0 9.1 8.3 7.3

5.9 5.6 7.6 8.7 11.1 10.9 11.5 12.5 13.5 15.3

Bu veriler için aşağıdaki programı çalıştıralım. Program çalıştırılırken, açıklama yapılmak isteniyorsa bu açıklamalar /*…*/; komutları arasına yazılır. Bu açıklamalar komut olarak dikkate alınmaz. Ayrıca, “input x @@”

komutunda kullanılan “@@” ile veriler satır halinde girilebilir.

data ornek; /* veriler ornek olarak tanımlandı*/;

input x@@; cards; /* cards komutu kullanıldıktan sonra veriler girilmelidir. Değişkenler üzerinde dönüşüm yapılmak isteniyorsa, “cards”

komutu kullanılmadan önce yapılmalıdır. */;

17.4 16.3 15.0 13.8 13.5 14.4 14.4 13.7 11.6 10.6 11.8 12.7 11.9 10.8 11.4 13.6 18.1 20.7 22.4 25.1 27.7 29.5 30.0 27.9 26.7 23.8 21.0 18.8 18.7 17.2 14.9 13.1 11.7 10.1 9.9 9.9 9.0 9.1 8.3 7.3 5.9 5.6 7.6 8.7 11.1 10.9 11.5 12.5 13.5 15.3

;

proc arima; i var=x;

e p=2 q=1; /* verilerin ARMA(2,1) olarak modellenmesi istenmektedir */; run;

Bu program çalıştırıldığında çıktılar aşağıdaki gibi olacaktır.

Tablo A) Verilerin aritmetik ortalaması ve örneklem varyansı bu tabloda verilmiştir. Buradaki örneklem ortalaması ile (14.928) Tablo (I) de verilen

“Estimated Mean” karıştırılmamalıdır.

Tablo B, C ve D sırası ile otokorelasyon, ters (inverse) otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının tahmin değerleri ile bunların grafiklerini içermektedir. Bu grafiklere bakılarak model türü ve dereceleri hakkında bir fikir sahibi olunur. Bu grafiklerde, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar için %95 lik güven bantları da verilmektedir.

Modelde hata terimlerinin beyaz gürültü serisine uygun olup olmadığını sınamak için önerilen ki-kare test istatistiklerinin değerleri Tablo E de verilmiştir.

Tablo F de koşullu en küçük kareler yöntemi ile elde edilen tahminler, bunların standart hataları ve t− istatistiklerinin değerleri ile model seçim kriterlerinden AIC ve SBC istatistiklerinin değerleri bulunmaktadır.

Tablo G ve H sırası ile tahmin edilen parametrelere ilişkin korelasyon matrisi ile modelden elde edilen artıklar serisinin beyaz gürültü serisi olup olmadığını sınamak için ki-kare istatistiğinin değerlerini içermektedir.

Veriler ARMA(2,1) olarak modellendiğinde, parametre tahminleri Tablo (I) da verilmiştir.

A) Name of variable = X.

Mean of working series = 14.928 Standard deviation = 6.214565 Number of observations = 50 B) Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std 0 38.620816 1.00000 | |********************| 0 1 37.245424 0.96439 | . |******************* | 0.141421 2 34.091409 0.88272 | . |****************** | 0.239169 3 29.854105 0.77301 | . |*************** | 0.297270 4 25.009569 0.64757 | . |************* | 0.335069 5 19.582930 0.50706 | . |********** . | 0.359228 6 13.490306 0.34930 | . |******* . | 0.373268 7 7.216938 0.18687 | . |**** . | 0.379749 __________________________________________________________________________________

C) Inverse Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.60986 | ************| . | 2 0.04692 | . |* . | 3 0.07352 | . |* . | 4 0.07227 | . |* . | 5 -0.17106 | . ***| . | 6 0.13725 | . |*** . | 7 -0.12713 | . ***| . | D) Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.96439 | . |******************* | 2 -0.67644 | **************| . | 3 -0.04671 | . *| . | 4 -0.05975 | . *| . | 5 -0.26772 | .*****| . | 6 -0.26247 | .*****| . | 7 0.13015 | . |*** . |

_________________________________________________________________________________

E) Autocorrelation Check for White Noise

To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob

6 170.38 6 0.000 0.964 0.883 0.773 0.648 0.507 0.349 12 191.84 12 0.000 0.187 0.033 -0.098 -0.208 -0.302 -0.378

F) Conditional Least Squares Estimation

Approx.

Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag MU 17.75313 0.88326 20.10 0 MA1,1 -0.04565 0.19878 -0.23 1 AR1,1 1.68099 0.13853 12.13 1 AR1,2 -0.73220 0.13729 -5.33 2 Constant Estimate = 0.90908173

Variance Estimate = 1.27057785 Std Error Estimate = 1.12719912 AIC = 157.698363*

SBC = 165.346455*

G) Correlations of the Estimates

Parameter MU MA1,1 AR1,1 AR1,2

MU 1.000 -0.004 0.004 0.015 MA1,1 -0.004 1.000 0.666 -0.655 AR1,1 0.004 0.666 1.000 -0.984 AR1,2 0.015 -0.655 -0.984 1.000 H) Autocorrelation Check of Residuals

To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob

6 6.24 3 0.101 -0.002 -0.045 -0.169 0.016 0.256 0.113 12 8.55 9 0.480 -0.032 -0.171 -0.028 0.050 -0.056 -0.018 18 10.20 15 0.807 -0.074 -0.028 -0.014 -0.034 -0.087 0.080 24 14.85 21 0.830 -0.162 -0.091 -0.060 0.074 0.063 -0.071 I) Model for variable X

Estimated Mean = 17.7531315 Autoregressive Factors

Factor 1: 1 - 1.681 B**(1) + 0.7322 B**(2) Moving Average Factors

Factor 1: 1 + 0.045647 B**(1)

Burada model,

(X_t−μ )=α₁(X_t−1−μ )+α₂(X_t−2−μ )+e_t+β e_t−1

olarak ele alındığından, parametre tahmin değerleri

μ=17.753^ _, ^{α^}1=1. 681 _, α^₂=−0 .7322 _ve ^β=0.0456

olarak hesaplanmıştır ⊗

3.6. Mevsimsel Zaman Serilerinde Tahmin

Ekonomik bir çok zaman serisi mevsimsellik özelliği gösterir. Örneğin, yaz aylarında dondurma tüketiminin diğer mevsimlere göre fazla olacağını düşünmek doğaldır. Veriler bazen üçer aylık periyodlar halinde toplanır.

Örneğin, bir ülkedeki elektrik tüketimi verileri aylık veya mevsimsel olarak toplanabilir. Bazen de, mevsimsel olarak toplanmasa da gizli bir periyodiklik gözlenebilir. İktisadi olarak bu periyodikliğin belirlenmesi önemlidir.

İkinci bölümde, otoregresif mevsimsel zaman serilerine değinilmiş, mevsimsel serilerin genel özellikleri incelenmişti. e_t ~WN(0,²) _olmak üzere, aylık (periyodu 12 olan) bir zaman serisi,

(1−B)(1−B¹²)X_t=(1−θ B)(1−ΘB¹²)e_t

olarak verilmiş olsun. W_t=(1−B)(1−B¹²)X_{t denirse,} W_t serisi için otokovaryanslar,

γ (0)=(1+θ²)(1+Θ²)σ² _, γ (1)=−θ (1+Θ²)σ² _, γ (11)=θ Θσ²

γ (12)=−Θ(1+θ²)σ² _, γ (13)=θ Θσ²

ve diğer durumlarda ( ) 0j  dır (Wei, 2006 s. 168). Otokorelasyonlar ise,

ρ(1)= −θ

(1+θ²) _, ρ(11)= −θ Θ

(1+θ²)(1+Θ²)=ρ(13)

,

ρ(13)= −Θ (1+Θ²)

şeklindedir. Diğer otokorelasyonlar sıfırdır. Mevsimsel zaman serilerinde en önemli problemlerden biri uygun fark derecesinin belirlenmesidir. Fark derecelerinin belirlenmesi ise serinin içerdiği birim kök sayısı ile ilgilidir (beşinci bölümde incelenecektir). Bu kısımda verilen durağan mevsimsel bir zaman serisinin model parametrelerinin tahmini üzerinde durulacaktır.

e_t~ WN (0,σ²) olmak üzere SAR₄(1) _modeli, (X_t−μ )=α ( X_t−4−μ )+e_t , t=1,2,3,. .. , n

şeklinde verilmiş olsun. Bu model, α₀=μ (1−α ) _ve α₄=α _olmak

üzere

X_t=α₀+α₄X_t−4+e_t

şeklinde yazılabilir. Yani, söz konusu mevsimsel zaman serisi modeli de regresyon modeline benzer. Parametre tahminleri, AR serilerinde olduğu gibi yapılır.

Örnek 3.6.1 Aşağıda 60 gözlemden oluşan bir zaman serisi satırlar halinde verilmiştir. Bu zaman serisine ait grafikler de aşağıdadır. Grafikler incelendiğinde, kısmi otokorelasyonlar dördüncü gecikmeden sonra sıfıra yakın değerler almaktadır. Otokorelasyonlar ise, her dört gecikmeden sonra üstel olarak azalmaktadır.

Zaman Serisi ACF PACF

0 10 20 30 40 50 60

789101112

Lag

ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : y

Lag

Partial ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.6

Series : y

8.9 9.6 9.1 9.3 9.2 8.6 8.0 8.9 7.9 9.9

7.8 9.7 8.3 9.9 8.8 12.2 8.9 9.2 10.7 11.4

10.3 9.6 9.1 10.6 10.5 10.4 9.7 10.1 10.8 10.1

9.9 10.5 12.6 10.2 8.4 10.8 12.5 9.9 9.0 10.4

11.7 8.0 8.9 11.5 11.5 9.1 6.9 10.3 10.6 10.0

7.2 10.0 10.3 9.6 8.0 10.9 10.1 8.5 8.8 9.7

Buna göre serinin

(X_t−μ)=α ( X_t−4−μ)+e_t , t=1,2,3,. .. , 60

olarak modellenmesi uygun görünmektedir. Zaman serilerinde durağanlık testleri henüz incelenmediği için, şimdilik serinin durağan olduğunu kabul edelim.

Otokorelasyonlarındaki hızlı azalma, sezgisel de olsa serinin durağanlığına işaret etmektedir. Model α₀=μ (1−α ) _ve α₄=α olmak üzere,

X_t=α₀+α₄X_t−4+e_t, t=1,2,3,. .. , 60

şeklinde yazıldığında parametre tahminleri için modeli,

5 1

6 2

56 60

1 1

. .

. ,

. .

.

1

X X

X X

X X

   

   

   

   

 

   

   

   

 

Y X

,

0

4





 

 

  

 

 



ve

5 6

60

. . e e

e

 

 

 

 

 

 

 

 

e

olmak üzere, Y  Xe şeklinde yazalım. Buna göre, β _{nın en}

küçük kareler tahmin edicisi, ^β_n= (X X )^1X Y dir. Verilerden,

56

1

56 56

2

1 1

56 56 546.2

546.2 5413.94

t t

t t

t t

x

x x



 

 

   

 

     

 

 



 

X X

,

X Y ^{60 60} 4  

5 1

, 546.4,5390.89

t t t

t t

X X X _

 

  

   

  

X Y

vektör ve matrisleri hesaplanmıştır. Buna göre EKK tahminleri de, ˆ_n (X X) 1X Y (2.82,0.71)

   ^    olarak bulunmuştur. Yani, kestirim denklemi, ^X_t=2 .82+0.71 X_t−4 şeklindedir. SAS PROC ARIMA ile hesaplanan tahminler (proc arima; i var=x; e p=(4);) EKK tahminlerine çok yakındır ( α^₀=2.63 _ve α^₁=0.72 olarak hesaplanmıştır). Verilere,

0 1 1 2 2 3 3 4 4 , 1, 2,3,..., 60

t t t t t t

X   X _  X _  X _  X _ e t

şeklinde bir modelin uygun olduğunu düşünelim. H₀:α₁=α₂=α₃=0

hipotezini bunlardan en az biri sıfırdan farklıdır alternatif hipotezine karşı test etmek isteyelim. Seri durağan olduğundan bu hipotezin testi için F _test istatistiğinin değeri kullanılabilir. Bu model için SAS çıktıları aşağıda

verilmiştir. Tablodan da görüldüğü gibi α₁, α_{2 ve} α₃ parametrelerine karşılık gelen p− değerleri oldukça yüksektir. Yani, parametrelerin ayrı ayrı sıfır olduğu yokluk hipotezleri red edilemez. Bilinen parametre tahminlerine ilişkin test istatistiklerinin değerlerine bakarak verilerin

0 4 4 , 1, 2,3,..., 60

t t t

X   X _ e t 

şeklinde bir modele uygun olduğu söylenebilir. Seri durağan ise, regresyon ile elde edilen tahmin değerleri ile PROC ARIMA da elde edilen tahmin değerleri birbirlerine yakındır. F− istatistiğinin değeri de

0.256 0.84764

[ ( ) ( ) ] 43.99672 43.22942

2 3 0.30

( ) 0.84764

hesap

SSE red SSE full p

MSE full F

 

 

  

olarak hesaplanmıştır.

Model:

0 1 1 2 2 3 3 4 4 , 1, 2, 3,..., 60

t t t t t t

X   X _  X_  X _  X_ e t

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Prob>F

Model 4 44.52773 11.13193 13.133 0.0001 Error 51 43.22942 0.84764

C Total 55 87.75714

**********************************************************************************

Parameter Standard T for H0:

UVariable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T U|

INTERCEP 1 3.140709 1.99901309 1.571 0.1223 X1 1 0.055543 0.10235326 0.543 0.5897 X2 1 -0.086977 0.10249045 -0.849 0.4001 X3 1 0.024026 0.10364239 0.232 0.8176 X4 1 0.685752 0.10286527 6.667 0.0001

Model: X_t ⁰⁴X_t⁴e t_t, 1, 2,3,..., 60 Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 43.76042 43.76042 53.710 0.0001 Error 54 43.99672 0.81475

C Total 55 87.75714

Parameter Standard T for H0:

UVariable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T ^U| INTERCEP 1 2.821324 0.95404601 2.957 0.0046 X4 1 0.711106 0.09703013 7.329 0.0001

 0.05 anlam düzeyinde

0.95(3,51)

hesap

F F

olduğundan

H₀ yokluk hipotezi red edilemez. Yani, bu verilerin

X_t=α₀+α₄X_t−4+e_t, t=1,2,3,. .. , 60

şeklinde modellenmesi uygundur. Regresyon denklemi göz önüne alındığında parametre tahmin değerleri α^₀=2.82 _ve α^₁=0.71 _olup

kestirim denklemi, Xˆ_t 2.82 0.71 X_t⁴ _dir ⊗

3.7. Problemler

3.7.1 (X Y_i, ) ,_i  i 1, 2,3,...beklenen değer vektörü  ( _x, _y) ve varyans kovaryans matrisi

xx xy

yx yy

 

 

 

   

 

 

olan bağımsız rasgele değişkenlerin dizisi olsun. W_n  X_n/Y_n istatistiğinin asimptotik dağılımını bulunuz.

3.7.2

~ (0, 2)

et WN  _ve | | 1  olmak üzere X^t    e^t e^t_¹ şeklinde verilen MA(1) zaman serisi modelini göz önüne alalım. Aşağıda verilen reel sayı dizilerinin yakınsama hızlarını elde ediniz.

a) Var X( _n) _b) Var e( )_{n c)} ^Var





3.7.3 e_t ~WN(0,²) _{ve | | 1}  olmak üzere X^t    e^t e^t_¹ şeklinde verilen MA(1) zaman serisi modelini göz önüne alalım. Aşağıdaki rasgele değişken dizilerinin yakınsama hızlarını bulunuz.

a) X e^{n n} _b)(X_n) |e_n|

c) Xⁿ² _d)  ²

1 n

i n

i

X X



 

e)Xⁿ² 3.7.4 AR(2) modeli X_t 30 0.3 X_t¹0.4X e _t şeklinde verilmiş olsun. Aşağıdaki ifadelerin yakınsama hızlarını elde ediniz.

a) Var X( _n) _b) X_{n c)}  ²

1 n

i n

i

X X



 

d)

2 1 n

i i

e



e)

 ²

1 n

i n

i

e e



 

f) ^{1 1}

n i i i

e e_



g) ( )e_n ^1 _h) (X_n)^1 3.7.5 e_t ~WN(0,²) _ve X₀ 0 olmak üzere, AR(1) zaman serisi modeli X_t   X_t¹e t_t, 1, 2,3,...,n şeklinde verilsin.  0 _ve

 0 durumları için aşağıdaki rasgele değişken dizilerinin yakınsama hızlarını bulunuz.

i) Xⁿ _ii)

2 1 n

i i

X



iii) ^{1 1}

n

i i

i

e X _



iv)  ²

1 n

i n

i

X X



 

3.7.6 Teorem (3.2.2) de ispatı yapılmayan (b), (c) ve (e) ifadelerini ispat ediniz.

3.7.7 X_t  e_t e_t¹,t1, 2,3,...,n şeklinde verilen MA(1) modeli için ˆ (1)_n tahmin edicisinin asimptotik dağılımını elde ediniz.

3.7.8 a b,   olmak üzere X_t  a bt t, 1, 2,3,...,n olarak verilen Xt zaman serisinin örneklem otokorelasyonları ˆ ( )_n h olsun. Sabit her h için n  _iken ˆ ( )_n h 1 olduğunu gösteriniz (Brockwell ve Davis, 1987).

3.7.9 AR(1) zaman serisi (X_t )(X_t¹)e t_t, 1, 2,3,...,n şeklinde verilsin.  nun EKK tahmin edicisini yazınız. Bu tahmin edici ˆ_n olsun. 1 _için n  _iken  ˆ_n ^P 1 olduğunu gösteriniz.

3.7.10 Durağan AR(1) zaman serisi modeli, (X_t )(X_t1)e t_t, 1, 2,3,...,n

şeklinde verilsin. w_k 2k n/ olmak üzere Fourier katsayıları