ÜN‹TE II
1. GEOMETR‹K YERLER
2. GEOMETR‹K YER TEOREMLER‹
3. GEOMETR‹N‹N TEMEL Ç‹Z‹MLER‹
4. ÜÇGEN Ç‹Z‹MLER‹
GEOMETR‹K YERLER
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞ ☞
NASIL ÇALIfiMALIYIZ ?
De¤erli ö¤renciler,
Bu bölümü çal›flmadan önce Geometri kitab›n›zdan;
* Üçgende aç› ve kenar iliflkileri
* Üçgenin di¤er özelliklerini tekrarlay›n›z.
* Verilen tan›mlar› iyi anlay›n›z.
* Verilen teoremleri ö¤rendikten sonra kendinize göre bir ispat yolu bulmaya çal›fl›n›z.
* Verilen teoremlerin güncel hayattaki uygulamalar›n› bulmaya çal›fl›n›z.
✍ ✍
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;
* Geometrik yerin ne oldu¤unu kavrayacak,
* Geometrinin temel çizimlerini yapabilecek,
* Üçgen çizimlerin nas›l yap›laca¤›n› ö¤reneceksiniz.
❂
1. GEOMETR‹KYERLER Yandaki flekil bir yoldaki trafik
iflaretlerini göstermektedir. Kesikli çizgilerin ortak yan›, yolun iki kenar›na da eflit uzakl›kta olmas›d›r.
Her gün bindi¤imiz, belki fazla dikkat etmedi¤imiz bir otomobil tekerle¤ini düflünelim. Tekerle¤in çevresi, merkezinden eflit uzakl›ktad›r.
Çevremizdeki eflyaya, flekillere dikkatle bakacak olursak, flekillere ait bir ortak yan bulabiliriz. Bu ortak yana geometrik yer diyoruz. Geometrikyer günlük hayatta uygulamas› en fazla olan konulardan biridir. fiimdi geometrikyeri tan›mlayal›m.
Verilen bir koflulu sa¤layan bütün noktalar›n kümesine bu noktalar›n geometrik yeri denir.
a) Bir koflulu sa¤layan bütün noktalar geometrikyere aittir.
b) Geometrikyere ait olan bütün noktalar verilen koflulu sa¤lar.
Örnek : Bir yol boyunca hareket eden bir tekerle¤in merkezinin geometrik yeri nedir?
Çözüm : fiekilde oldu¤u gibi birkaç çember çizip merkezlerini bir do¤ru ile birlefltirelim. Dikkat ederseniz, çizdi¤imiz do¤ru yere paralel bir do¤rudur.
2. GEOMETR‹K YER TEOREMLER‹
Teorem : Düzlemde sabit bir M noktas›ndan r birim uzakl›kta bulunan bütün noktalar›n geometrikyeri M merkezli r yar›çapl› çemberdir.
Çemberin üzerindeki A, B, E noktalar›
geometrik yere aittir. C ve D noktalar›
geometrik yere ait de¤ildir.
Teorem : Düzlemde verilen bir do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri, bu do¤runun farkl› taraf›nda bulunan birbirine paralel olan iki do¤rudur.
A ve N noktalar› istenen koflulu sa¤layan noktalard›r. |AH| = |MN| d›r.
Oysa B ve C noktalar› istenen koflulu sa¤lamaz.
Teorem : Verilen iki paralel do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri, do¤rular›n aras›nda ve do¤rulara paralel olan bir do¤rudur.
Teorem : Bir aç›n›n kollar›na eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrikyeri bu aç›n›n aç›ortay›d›r.
C noktas› A ve B noktalar›ndan eflit uzakl›ktad›r. OC do¤rusu üzerinde alaca¤›m›z her nokta, AOB aç›s›n›n kollar›na eflit uzakl›kta olacakt›r.
Yandaki flekli inceleyiniz.
Teorem : Hipotenüs uzunlu¤u sabit olan bir dik üçgenin, dik aç›s›na ait köflelerinin geometrikyeri, bu dik üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden bir çemberdir.
fiekli inceleyiniz.
ACB ve aç›lar›n›n çap› gören çevre aç›lar oldu¤unu görünüz.
Teorem : Düzlemde bir do¤ru parças›n›n uç noktalar›ndan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrikyeri bu do¤ru parças›n›n orta dikmesidir.
C, D ve E noktalar› A ve B noktalar›ndan eflit uzakl›ktad›r.
(ikizkenar üçgende tabana ait yükseklik hem kenarortay, hem de aç›ortayd›r.) F noktas› verilen koflulu sa¤lamaz.
AC'B
Sonuçlar
1. Düzlemde kesiflen iki do¤ruya, eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrikyeri bu iki do¤runun oluflturdu¤u aç›lar›n aç›ortaylar›d›r.
2. Düzlemde kesiflen iki do¤ruya te¤et olan çemberlerin merkezlerinin geometrikyeri bu do¤rular›n
oluflturdu¤u aç›lar›n aç›ortaylar›d›r.
3. Düzlemde verilen bir do¤ruya te¤et, yar›çaplar› eflit çemberlerin merkezlerinin geometrikyeri, verilen do¤ruya yar›çap kadar uzakl›kta çizilen bir çift do¤rudur.
4. Düzlemde paralel iki do¤ruya te¤et olan çemberlerin merkezlerinin geometrikyeri, bu do¤rulara eflit uzakl›kta bulunan bir paralel do¤rudur.
5. Düzlemde bir do¤ruya üzerindeki bir noktada te¤et olan çemberlerin merkezlerinin geometrikyeri, bu noktadan do¤ruya çizilen bir dik do¤rudur.
Örnek : Uzunlu¤u 6 cm olan AB do¤ru parças›n› 50° alt›nda gören noktalar›n geometrik yerini bulunuz.
Çözüm : [AB] do¤ru parças› ile 50° aç› yapan [AT ›fl›n›n› çizelim.
AB do¤ru parças›n›n orta dikmesi [AT ›fl›n›na A noktas›nda dik olan do¤runun kesiflti¤i M noktas›
merkez olmak üzere |MA| yar›çapl›
bir çember çizelim. Çemberin ANB yay› üzerindeki her nokta A ve B ile birlefltirilirse oluflan çember aç›lar›n ölçüleri eflit ve 50° dir. (Çünkü bu aç›lar›n hepsi ADB yay›n› görür. Bu yay›n
ölçüsü 2.50 = 100 dür.)
M noktas›n›n [AB] do¤ru parças›na göre simetri noktas› ikinci geometrikyere ait yay›n merkezidir. Geometrikyere A ve B noktalar› dahil de¤ildir.
Örnek : Bir düzlemde kesiflen d ve m do¤rular› ile d ve m do¤rular›na ait olmayan bir P noktas› verilsin. P noktas›na r birim uzakta, d ve m do¤rular›na eflit uzakl›kta bulunan kaç nokta vard›r?
Çözüm : d ve m do¤rular›na eflit uzakl›kta olan noktalar›n geometrikyeri, bu do¤rular›n oluflturdu¤u aç›lar›n, aç›ortaylar› olan birbirine dik k ve t do¤rular›d›r.
m(ACB) = m(BAT) = 1/2 m(ADB) = 50°
M'
P noktas›na r birim uzakl›ktaki
noktalar›n geometrik yeri, P merkezli r yar›çapl› çemberdir.Çemberle bir do¤runun en fazla iki kesim
noktas› olaca¤›ndan P merkezli r yar›çapl› çemberi, k ve t do¤rular› en fazla dört noktada keser. Öyleyse verilen özellikleri sa¤layan dört nokta vard›r. A,B,C ve D noktalar›, istenen noktalard›r.
ÜÇGEN Ç‹Z‹MLER‹
3. GEOMETR‹N‹N TEMEL Ç‹Z‹MLER
Bir do¤ru çizmek için cetvel kullan›r›z. Yar›çap› bilinen bir çemberi çizmek için de bir pergele ihtiyaç duyar›z. Gerçekten cetvel iki noktas› belli olan do¤ruyu çizmeye yarar. Yine belli bir merkezden yar›çap kadar uzakl›kta bulunan çemberi çizmek için pergel kullan›r›z. Bir do¤ru parças›na efl bir do¤ru parças› çizmek istiyorsak yine pergelden faydalan›r›z.
Bir flekli çizmek demek, flekle ait birkaç elemanlar›n›n yard›m› ile o flekli k⤛t üzerine kondurmak demektir. fiimdi geometrinin baz› temel çizimlerini inceleyelim.
1. Bir AB do¤ru parças›n›n orta noktas›n› bulma
verilen
çizim
Pergel AB do¤ru parças›n›n yar› uzunlu¤undan fazla aç›l›r. A ve B merkezli yay çizilir. Bu yaylar birbirlerini M ve N noktalar›nda kesmifl olsunlar. M ve N
2. Bir d do¤rusuna üzerindeki bir noktadan dikme çizme
verilen çizim
O noktas›n›n her iki taraf›nda |OB| = |OC| olacak flekilde B ve C noktalar›
iflaretlenir.
B ve C merkezli ayn› yar›çapl› iki yay çizilir. Bu yaylar A noktas›nda kesiflmifl olsunlar. A ile O noktas›n› bir do¤ru ile birlefltirelim. Çizdi¤imiz bu do¤ru d do¤rusuna diktir.
3. Bir d do¤rusuna, d›fl›ndaki bir noktadan dikme çizme
verilen çizim
d do¤rusunu A merkezli bir yay ile B ve D noktalar›nda keselim. B ve D merkezli ve ayn› yar›çapl› iki yay çizelim. Bu yaylar C noktas›nda kesiflmifl olsun- lar. A ile C noktas›n› birlefltirelim. AC do¤rusu d do¤rusuna dik olur.
4. Verilen bir KOL aç›s›n›n aç›ortay›n› çizme
verilen çizim
Pergelimizi O noktas›na koyup, AB yay›n› çizelim. A ve B merkezli, ayn›
yar›çapl› yaylar M noktas›nda birbirini kesmifl olsunlar. O ile M noktas›n› bir do¤ru ile birlefltirirsek, bu do¤ru, KOL aç›s›n›n aç›ortay do¤rusu olur.
5. Verilen bir d do¤rusuna, d›fl›ndaki bir noktadan paralel çizme
verilen çizim
A merkezli yay ile d do¤rusunu B ve C noktalar›nda keselim. ABC ikizkenar üçgeni meydana gelir. A aç›s›n›n d›fl aç›ortay› d do¤rusuna paralel olur.
4. ÜÇGEN Ç‹Z‹MLER‹
TEMEL ELEMANLARI VER‹LEN ÜÇGEN‹N Ç‹Z‹M‹
1. ‹ki kenar›n›n uzunluklar› ve bu iki kenar›n belirtti¤i aç›n›n ölçüsü verilen üçgenin çizimi (K.A.K çizimi)
Örnek
a = 5 cm, c = 3 cm ve m(B) = 60°
olan ABC üçgenini çizelim :
Çizim
Önce bir taslak çizelim. Taslak üçgene bakarak;
2. Bir kenar›n›n uzunlu¤u ve köfleleri, bu kenar›n uç noktalar› olan iki aç›s›n›n ölçüleri verilen üçgenin çizimi (A.K.A. Çizimi)
Örnek
verilenler Çizim
1. a = 5 cm olacak biçimde [BC] kenar› çizilir.
2. Bir kenar› [BC] olacak flekilde m(B) = 60° olacak [BA çizilir.
3. c = 3 cm olacak flekilde [BA] çizilir.
4. A ile C birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
a = 5 cm, m(B) = 60° ve m(C) = 40°
olan ABC üçgenini çizelim:
3. Üç kenar›n›n uzunlu¤u verilen üçgenin çizimi (K.K.K. çizimi) Örnek
a = 5 cm, b = 3 cm ve
c = 4 cm olan ABC üçgenini çizelim :
verilenler Çizim
1. a = 5 cm olacak flekilde [BC] çizilir.
2. A noktas›, B noktas›ndan c = 4 cm, C noktas›ndan b = 3 cm uzakl›kta oldu¤undan (B,4) çember yay› ve (C,3) çember yaylar› çizilir. Bu iki yay A noktas›nda kesiflir;
3. A noktas› ile B ve C noktalar› birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
Bir üçgende iki kenar›n uzunluklar› toplam› üçüncü kenar uzunlu¤undan büyük, fark›, üçüncü kenar uzunlu¤undan daima küçüktür. Verilen de¤erler bu koflulu sa¤lamal›d›r. Aksi hâlde üçgen çizilmez.
YARDIMCI ELEMANLARI VER‹LEN ÜÇGEN‹N Ç‹Z‹M‹
Üçgenin kenarortay, aç›ortay ve yükseklik gibi yard›mc› elemanlar› vard›r.
fiimdi bu yard›mc› elemanlar›n baz›lar› ile bir üçgenin nas›l çizildi¤ini görelim.
➠
1. a = 5 cm olacak flekilde [BC] çizilir.
2. m (B) = 60° olacak flekilde B aç›s› ve m(C) = 40° olacak flekilde C aç›s› çizilir.
3. Çizdi¤imiz aç›lar›n kollar› A noktas›nda kesiflmifl olsunlar. A ile B ve C noktalar› birlefltirilerek ABC üçgeni tamamlan›r.
Örnek
verilenler Çizim
Örnek
a = 5 cm, ha= 2 cm ve Va= 3 cm olan ABC üçgenini çizelim : Çizim
Taslak üçgeni dikkatle inceleyelim.
A köflesinin [BC] kenar›na uzakl›¤›
2 cm, [BC] kenar›n›n D orta noktas›na uzakl›¤› 3 cm dir. Bu nedenle A köflesi
BC do¤rusuna uzakl›¤› 2 cm olan noktalar›n geometrik yeri ile [BC] nin orta noktas›na 3 cm uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yerinin kesim noktas› olarak bulunur.
a = 5 cm, ha = 4 cm ve m(B) = 60°
olan ABC üçgenini çizelim :
a = 5 cm olacak flekilde [BC] çizilir. m(B) = 60° lik aç› çizilir. A noktas› BC do¤rusuna ha = 4 cm uzakl›kta KL do¤rusu üzerindedir. (KL//BC) A noktas› ile C noktas› birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
1. a = 5 cm olmak üzere [BC] çizilir.
[BC] nin orta noktas› D bulunur.
2. BC do¤rusuna 2 cm uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrikyeri olan do¤rulardan biri olan d do¤rusu çizilir.
3. Merkezi D, yar›çap› Va= 3 cm olan çember yay› çizilir. Bu çember yay› ile d do¤rusunun kesim noktalar› A1ve A2 noktalar›d›r. A1ve A2noktalar› B ve C noktalar› ile birlefltirilerek istenen A1BC ve A2 BC üçgenleri çizilmifl olur.
Örnek :
Çizim
Taslak üçgeni dikkatle inceleyelim :
m(A)= 70°, m(C) = 30° ve b-c = 2 cm olan ABC üçgenini çizelim.
|AK| = c ise |KC| = b - c = 2 cm olur.
ABK ikizkenar üçgeninde m(A) = 70o oldu¤undan m(K1) = 55o olur.
Buna göre m(K2) = 125o tir.
BKC üçgeni A.K.A çizimine göre çizilir.
[BK] n›n orta dikmesinin CK do¤rusu ile
1. Verilen bir koflulu sa¤layan bütün noktalar›n kümesine bu noktalar›n geometrik yeri denir.
2. Düzlemde sabit bir M noktas›ndan r birim uzakl›kta bulunan bütün noktalar›n geometrik yeri M merkezli r yar›çapl› çemberdir.
3. Düzlemde verilen bir do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri, bu do¤runun farkl› taraf›nda bulunan, birbirine paralel olan iki do¤rudur.
4. Verilen iki paralel do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri, do¤rular›n aras›nda ve do¤rulara paralel olan bir do¤rudur.
5. Bir aç›n›n kollar›na eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri bu aç›n›n aç›ortay›d›r.
6. Hipotenüs uzunlu¤u sabit olan bir dik üçgenin, dik aç›s›na ait köflelerinin geometrik yeri, bu dik üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden bir çemberdir.
7. Düzlemde bir do¤ru parças›n›n uç noktalar›ndan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri bu do¤ru parças›n›n orta dikmesidir.
8. Bir üçgende iki kenar›n uzunluklar› toplam› üçüncü kenar uzunlu¤undan büyük, fark›, üçüncü kenar uzunlu¤undan daima küçüktür.
✎
TEST II1. Kesiflen m ve n do¤rular›n›n belirtti¤i düzlemde, m’ den 1 cm, n’den 2 cm uzakta en çok kaç nokta vard›r?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
2. (O,r) çemberine göre ayn› kuvvette bulunan noktalar›n geometrik yeri nedir?
A) Çemberin çap›d›r B) O dan geçen bir do¤rudur
C) O merkezli bir çemberdir D) O merkezli çembere d›fltan te¤et bir çemberdir.
3. (O,4) çemberini 60° lik aç› alt›nda gören P noktas›n›n geometrik yeri nedir?
4. Düzlemde (O,2) çemberi ile O noktas›ndan geçen d do¤rusu veriliyor. d do¤rusuna te¤et ve (O,2) çemberine d›fltan te¤et olan 1 birim yar›çapl› en çok kaç çember çizilir?
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
5.
6. Afla¤›daki kenar uzunluklar› verilen üçgenlerden hangisi çizilmez?
A) Merkezi O, yar›çap› 8 birim olan çemberdir.
B) Merkezi O, yar›çap› 4 3 olan çemberdir.
C) Merkezi O, yar›çap› 16 birim olan çemberdir.
D) Merkezi O, yar›çap› 8 3 birim olan çemberdir.
Ölçüsü 80° olan AOB aç›s›n›n kollar›na eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri nedir?
A) Merkezi O ve AOB aç›s›n›n kolar›na te¤et olan çemberdir.
B) AOB aç›s›n›n aç›ortay do¤rusudur.
C) AB do¤rusu paralel bir do¤rudur.
D) O dan geçen ve AB do¤rusuna paralel bir do¤rudur.
A) a = 4 cm, b = 4 cm ve c = 4 cm B) a = 4 cm, b = 2 cm ve c = 3 cm
