Elektronik ortamda Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Elektronik ortamda Ayr¬k Fourier Dönü¸sümü

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü MAT4012 Endüstriyel Matematik

Uzaktan E¼gitim Ders-III E-posta:erhan@ktu.edu.tr

14 Nisan 2020

Özet

Ayr¬k(discrete) Fourier dönü¸ sümünün elektronik ortamda nas¬l gerçekle¸stirilece¼ gini

klasik yöntem ve

H¬zl¬Fourier Dönü¸süm algoritmas¬yard¬m¬yla inceleyece¼ giz.

Özet

Ayr¬k(discrete) Fourier dönü¸ sümünün elektronik ortamda nas¬l gerçekle¸stirilece¼ gini

klasik yöntem ve

H¬zl¬Fourier Dönü¸süm algoritmas¬yard¬m¬yla inceleyece¼ giz.

Özet

Ayr¬k(discrete) Fourier dönü¸ sümünün elektronik ortamda nas¬l gerçekle¸stirilece¼ gini

klasik yöntem ve

H¬zl¬Fourier Dönü¸süm algoritmas¬yard¬m¬yla inceleyece¼ giz.

Hat¬rlatma

c = [ f

, f

, , f

]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümünü hat¬rlayal¬m.

w = e

,

B = [ W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. .

1 w

w

3 7 7

7 5 matrisi

için

Ayr¬k Fourier- >

c = F ( f ) = ¹

N Bf (1)

olarak tan¬mlanmaktad¬r. Ters Fourier - >

f = Bc (2)

Hat¬rlatma

c = [ f

, f

, , f

]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümünü hat¬rlayal¬m.

w = e

,

B = [ W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. .

1 w

w

3 7 7

7 5 matrisi

için

Ayr¬k Fourier- >

c = F ( f ) = ¹

N Bf (1)

olarak tan¬mlanmaktad¬r. Ters Fourier - >

f = Bc (2)

Hat¬rlatma

c = [ f

, f

, , f

]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümünü hat¬rlayal¬m.

w = e

,

B = [ W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. .

1 w

w

3 7 7

7 5 matrisi

için

Ayr¬k Fourier- >

c = F ( f ) = ¹

N Bf (1)

olarak tan¬mlanmaktad¬r. Ters Fourier - >

f = Bc (2)

Hat¬rlatma

c = [ f

, f

, , f

]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümünü hat¬rlayal¬m.

w = e

,

B = [ W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. .

1 w

w

3 7 7

7 5 matrisi

için

Ayr¬k Fourier- >

c = F ( f ) = ¹

N Bf (1)

olarak tan¬mlanmaktad¬r.

Ters Fourier - >

f = Bc (2)

Hat¬rlatma

c = [ f

, f

, , f

]

vektörünün ayr¬k Fourier dönü¸sümünü hat¬rlayal¬m.

w = e

,

B = [ W

W

W

] = 2 6 6 6 4

1 1 1

1 w w

.. . .. . .. .

1 w

w

3 7 7

7 5 matrisi

için

Ayr¬k Fourier- >

c = F ( f ) = ¹

N Bf (1)

olarak tan¬mlanmaktad¬r.

Ters Fourier - >

Ayr¬k Fourier interaktif Uygulamalar¬

Ayr¬k Fourier interaktif Uygulamalar¬

Örnek 1

>> f = [ 1 1 ]

sütun vektörünün Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü yukar¬da verilen Program yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

>> c=fourier(f) c =

0.00000 - 0.00000i

1.00000 - 0.00000i

elde ederiz.

Ayr¬k Fourier interaktif Uygulamalar¬

Örnek 2

>> f = [ 1 1 1 1 ]

sütun vektörünün Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü yukar¬da verilen program yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

>> f=[1 1 1 -1]’;

>> fourier(f)

0.50000 + 0.00000i

0.00000 - 0.50000i

0.50000 + 0.00000i

-0.00000 + 0.50000i

H¬zl¬Fourier dönü¸süm yöntemi

Yukar¬da ifade edilen Ayr¬k fourier dönü¸sümü B matrisinin N N boyutunda bir matris olmas¬durumunda N

adet çarpma i¸slemi yap¬lmas¬n¬gerektirir.

Bu ise çok say¬da elemana sahip olan f dizileri veya f matrisleri için çok fazla bilgisayar sistem kayna¼ g¬kullan¬m¬n¬gerektirir.

Bu durumda B matrisinin özelliklerinde faydalanmak suretiyle verilen dizi alt parçalara bölünmek suretiyle ayr¬k Fourier dönü¸sümü

gerçekle¸stirir.

Söz konusu yönteme H¬zl¬Fourier Dönü¸ sümü(Fast Fourier Transform) ad¬verilir ve MATLAB/OCTAVE ortam¬nda ¤t() fonksiyonu

yard¬m¬yla gerçekle¸stirilir.

H¬zl¬Fourier dönü¸süm yöntemi

Yukar¬da ifade edilen Ayr¬k fourier dönü¸sümü B matrisinin N N boyutunda bir matris olmas¬durumunda N

adet çarpma i¸slemi yap¬lmas¬n¬gerektirir.

Bu ise çok say¬da elemana sahip olan f dizileri veya f matrisleri için çok fazla bilgisayar sistem kayna¼ g¬kullan¬m¬n¬gerektirir.

Bu durumda B matrisinin özelliklerinde faydalanmak suretiyle verilen dizi alt parçalara bölünmek suretiyle ayr¬k Fourier dönü¸sümü

gerçekle¸stirir.

Söz konusu yönteme H¬zl¬Fourier Dönü¸ sümü(Fast Fourier Transform) ad¬verilir ve MATLAB/OCTAVE ortam¬nda ¤t() fonksiyonu

yard¬m¬yla gerçekle¸stirilir.

H¬zl¬Fourier dönü¸süm yöntemi

Yukar¬da ifade edilen Ayr¬k fourier dönü¸sümü B matrisinin N N boyutunda bir matris olmas¬durumunda N

adet çarpma i¸slemi yap¬lmas¬n¬gerektirir.

Bu ise çok say¬da elemana sahip olan f dizileri veya f matrisleri için çok fazla bilgisayar sistem kayna¼ g¬kullan¬m¬n¬gerektirir.

Bu durumda B matrisinin özelliklerinde faydalanmak suretiyle verilen dizi alt parçalara bölünmek suretiyle ayr¬k Fourier dönü¸sümü

gerçekle¸stirir.

Söz konusu yönteme H¬zl¬Fourier Dönü¸ sümü(Fast Fourier Transform) ad¬verilir ve MATLAB/OCTAVE ortam¬nda ¤t() fonksiyonu

yard¬m¬yla gerçekle¸stirilir.

H¬zl¬Fourier dönü¸süm yöntemi

Yukar¬da ifade edilen Ayr¬k fourier dönü¸sümü B matrisinin N N boyutunda bir matris olmas¬durumunda N

adet çarpma i¸slemi yap¬lmas¬n¬gerektirir.

Bu ise çok say¬da elemana sahip olan f dizileri veya f matrisleri için çok fazla bilgisayar sistem kayna¼ g¬kullan¬m¬n¬gerektirir.

Bu durumda B matrisinin özelliklerinde faydalanmak suretiyle verilen dizi alt parçalara bölünmek suretiyle ayr¬k Fourier dönü¸sümü

gerçekle¸stirir.

Söz konusu yönteme H¬zl¬Fourier Dönü¸ sümü(Fast Fourier Transform) ad¬verilir ve MATLAB/OCTAVE ortam¬nda ¤t() fonksiyonu

yard¬m¬yla gerçekle¸stirilir.

H¬zl¬Fourier dönü¸süm yöntemi

Örnek 3

f = [ 1 1 1 1 ]

nin Ayr¬k Fourier Dönü¸ sümünü ¤t program¬yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

>> f = [ 1 1 1 1 ]

;

>> ¤t(f)

ans =

2 + 0i

0 - 2i

2 + 0i

0 + 2i

Uyar¬

¤t ile elde etti¼ gimiz sonuçlar¬n, fourier program¬ile elde edilenlerin 4 kat¬oldu¼ guna dikkat ediniz.

Uzunlu¼ gu N olan vektör için ¤t() ile elde edilen sonuçlar, fourier() ile elde etti¼ gimiz sonuclar¬n N kat¬na e¸sit olur.

Bile¸sen say¬s¬fazla olan uygulamalar için ¤t() kullan¬lmal¬d¬r.

fourier() program¬n¬sadece yöntemin nas¬l çal¬¸st¬¼ g¬n¬göstermek

amac¬yla inceliyoruz.

Uyar¬

¤t ile elde etti¼ gimiz sonuçlar¬n, fourier program¬ile elde edilenlerin 4 kat¬oldu¼ guna dikkat ediniz.

Uzunlu¼ gu N olan vektör için ¤t() ile elde edilen sonuçlar, fourier() ile elde etti¼ gimiz sonuclar¬n N kat¬na e¸sit olur.

Bile¸sen say¬s¬fazla olan uygulamalar için ¤t() kullan¬lmal¬d¬r.

fourier() program¬n¬sadece yöntemin nas¬l çal¬¸st¬¼ g¬n¬göstermek

amac¬yla inceliyoruz.

Uyar¬

¤t ile elde etti¼ gimiz sonuçlar¬n, fourier program¬ile elde edilenlerin 4 kat¬oldu¼ guna dikkat ediniz.

Uzunlu¼ gu N olan vektör için ¤t() ile elde edilen sonuçlar, fourier() ile elde etti¼ gimiz sonuclar¬n N kat¬na e¸sit olur.

Bile¸sen say¬s¬fazla olan uygulamalar için ¤t() kullan¬lmal¬d¬r.

fourier() program¬n¬sadece yöntemin nas¬l çal¬¸st¬¼ g¬n¬göstermek

amac¬yla inceliyoruz.

Uyar¬

¤t ile elde etti¼ gimiz sonuçlar¬n, fourier program¬ile elde edilenlerin 4 kat¬oldu¼ guna dikkat ediniz.

Uzunlu¼ gu N olan vektör için ¤t() ile elde edilen sonuçlar, fourier() ile elde etti¼ gimiz sonuclar¬n N kat¬na e¸sit olur.

Bile¸sen say¬s¬fazla olan uygulamalar için ¤t() kullan¬lmal¬d¬r.

fourier() program¬n¬sadece yöntemin nas¬l çal¬¸st¬¼ g¬n¬göstermek

amac¬yla inceliyoruz.

H¬zl¬Fourier dönü¸sümü

1967 y¬l¬nda J. Cooley ve J. Tukey, B matrisinin özelliklerini inceleyerek söz konusu çarpma i¸sleminin

N = 2

için N

adet çarpma i¸slemi yerine çok daha küçük olan

1

2

Nl =

N log

( N ) adet çarpma i¸slemi ile h¬zl¬biçimde gerçekle¸stirilebilece¼ gini göstermi¸slerdir.

B Fourier matrisi ile h¬zl¬çarpma i¸slemini gerçekle¸stiren bu algoritma

H¬zl¬Fourier Algoritmas¬olarak adland¬r¬lm¬¸st¬r.

H¬zl¬Fourier dönü¸sümü

1967 y¬l¬nda J. Cooley ve J. Tukey, B matrisinin özelliklerini inceleyerek söz konusu çarpma i¸sleminin

N = 2

için N

adet çarpma i¸slemi yerine çok daha küçük olan

1

2

Nl =

N log

( N ) adet çarpma i¸slemi ile h¬zl¬biçimde gerçekle¸stirilebilece¼ gini göstermi¸slerdir.

B Fourier matrisi ile h¬zl¬çarpma i¸slemini gerçekle¸stiren bu algoritma

H¬zl¬Fourier Algoritmas¬olarak adland¬r¬lm¬¸st¬r.

H¬zl¬Fourier dönü¸sümü

1967 y¬l¬nda J. Cooley ve J. Tukey, B matrisinin özelliklerini inceleyerek söz konusu çarpma i¸sleminin

N = 2

için N

adet çarpma i¸slemi yerine çok daha küçük olan

1

2

Nl =

N log

( N ) adet çarpma i¸slemi ile h¬zl¬biçimde gerçekle¸stirilebilece¼ gini göstermi¸slerdir.

B Fourier matrisi ile h¬zl¬çarpma i¸slemini gerçekle¸stiren bu algoritma

H¬zl¬Fourier Algoritmas¬olarak adland¬r¬lm¬¸st¬r.

H¬zl¬Fourier algoritmas¬, B

matrisi ile B

matrisinin elemanlar¬aras¬ndaki a¸sa¼ g¬daki gözlemi esas al¬r:

n = 2m için w

= w

, w

= e

dir.

Gerçekten de

w

= ( e

)

= e

= e

= e

= w

dir.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

N = 4 için algoritmay¬inceleyelim:w

= e

= i ,

B

= 2 6 6 4

1 1 1 1

1 w w

w

1 w

w

w

1 w

w

w

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3

7 7

5

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

N = 4 için algoritmay¬inceleyelim:w

= e

= i ,

B

= 2 6 6 4

1 1 1 1

1 w w

w

1 w

w

w

1 w

w

w

3 7 7 5 =

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3

7 7

5

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

c = F ( f )

= ¹ 4 B

f

= ¹ 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

f

f

f

f

3 7 7 5

= ¹ 4

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3

7 7

5

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

N = 2 için w

= e

= 1,

B

= ^{1 1}

1 w = ^{1 1}

1 1

dir.

f

= [ f

, f

] , f

= [ f

, f

] olmak üzere f nin tek ve çift indisli terimleri

ile iki alt dizi olu¸stural¬m:

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

N = 2 için w

= e

= 1,

B

= ^{1 1}

1 w = ^{1 1}

1 1

dir.

f

= [ f

, f

] , f

= [ f

, f

] olmak üzere f nin tek ve çift indisli terimleri

ile iki alt dizi olu¸stural¬m:

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

N = 2 için w

= e

= 1,

B

= ^{1 1}

1 w = ^{1 1}

1 1

dir.

f

= [ f

, f

] , f

= [ f

, f

] olmak üzere f nin tek ve çift indisli terimleri

ile iki alt dizi olu¸stural¬m:

ü

y

= B

f

= ^{1 1}

1 1

f

f

= ^f

+ f

f

f

= ^y

y

y

= B

f

= ^{1 1}

1 1

f

f

= ^f

+ f

f

f

= ^y

y

tan¬mlayal¬m.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

y

= y

+ ( w

)

y

= f

+ f

+ f

+ f

, y

= y

+ ( w

)

y

= f

f

i ( f

f

)

y

= y

( w

)

y

= f

+ f

( f

+ f

) ,

y

= y

( w

)

y

= f

f

+ i ( f

f

)

olarak tan¬mlayal¬m.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

y

= y

+ ( w

)

y

= f

+ f

+ f

+ f

, y

= y

+ ( w

)

y

= f

f

i ( f

f

)

y

= y

( w

)

y

= f

+ f

( f

+ f

) ,

y

= y

( w

)

y

= f

f

+ i ( f

f

)

olarak tan¬mlayal¬m.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Bu durumda

y = 2 6 6 4

y

y

y

y

3 7 7 5 =

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3 7 7 5 = B

f

olup,

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹ 4 y elde ederiz.

Yukar¬da özetlenen i¸slemler H¬zl¬Fourier yöntemininin bir ad¬m¬n¬

olu¸sturmaktad¬r.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Bu durumda

y = 2 6 6 4

y

y

y

y

3 7 7 5 =

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3 7 7 5 = B

f

olup,

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹ 4 y elde ederiz.

Yukar¬da özetlenen i¸slemler H¬zl¬Fourier yöntemininin bir ad¬m¬n¬

olu¸sturmaktad¬r.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Bu durumda

y = 2 6 6 4

y

y

y

y

3 7 7 5 =

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3 7 7 5 = B

f

olup,

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹ 4 y elde ederiz.

Yukar¬da özetlenen i¸slemler H¬zl¬Fourier yöntemininin bir ad¬m¬n¬

olu¸sturmaktad¬r.

H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Bu durumda

y = 2 6 6 4

y

y

y

y

3 7 7 5 =

2 6 6 4

f

+ f

+ f

+ f

f

if

f

+ if

f

f

+ f

f

f

+ if

f

if

3 7 7 5 = B

f

olup,

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹ 4 y elde ederiz.

Yukar¬da özetlenen i¸slemler H¬zl¬Fourier yöntemininin bir ad¬m¬n¬

olu¸sturmaktad¬r.

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Öteyandan

B

f

= ^{1 1}

1 1

f

f

= ^f

+ f

f

f

i¸sleminin çarpma i¸slemi yapmaks¬z¬n gerçekle¸stirilebilece¼ gine dikkat

edelim

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Birinci sat¬r f

nün bile¸senler toplam¬, ikinci sat¬r ise bile¸senler fark¬d¬r.

Benzer sonuç B

f

için de geçerlidir.

16 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilen B

f çarp¬m¬, çarpma i¸slemi gerektirmeyen

B

f

ve B

f

ile sadece y

ve y

den y nin elde edilmesi için gerekli 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Yani N

= 16 i¸slem , 2

= N = 4 için l = 2 = log

( N ) ile

1

2

Nl =

N log

( N ) = 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Birinci sat¬r f

nün bile¸senler toplam¬, ikinci sat¬r ise bile¸senler fark¬d¬r.

Benzer sonuç B

f

için de geçerlidir.

16 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilen B

f çarp¬m¬, çarpma i¸slemi gerektirmeyen

B

f

ve B

f

ile sadece y

ve y

den y nin elde edilmesi için gerekli 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Yani N

= 16 i¸slem , 2

= N = 4 için l = 2 = log

( N ) ile

1

2

Nl =

N log

( N ) = 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Birinci sat¬r f

nün bile¸senler toplam¬, ikinci sat¬r ise bile¸senler fark¬d¬r.

Benzer sonuç B

f

için de geçerlidir.

16 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilen B

f çarp¬m¬, çarpma i¸slemi gerektirmeyen

B

f

ve B

f

ile sadece y

ve y

den y nin elde edilmesi için gerekli 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Yani N

= 16 i¸slem , 2

= N = 4 için l = 2 = log

( N ) ile

1

2

Nl =

N log

( N ) = 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Birinci sat¬r f

nün bile¸senler toplam¬, ikinci sat¬r ise bile¸senler fark¬d¬r.

Benzer sonuç B

f

için de geçerlidir.

16 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilen B

f çarp¬m¬, çarpma i¸slemi gerektirmeyen

B

f

ve B

f

ile sadece y

ve y

den y nin elde edilmesi için gerekli 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Yani N

= 16 i¸slem , 2

= N = 4 için l = 2 = log

( N ) ile

1

2

Nl =

N log

( N ) = 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Birinci sat¬r f

nün bile¸senler toplam¬, ikinci sat¬r ise bile¸senler fark¬d¬r.

Benzer sonuç B

f

için de geçerlidir.

16 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilen B

f çarp¬m¬, çarpma i¸slemi gerektirmeyen

B

f

ve B

f

ile sadece y

ve y

den y nin elde edilmesi için gerekli 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Yani N

= 16 i¸slem , 2

= N = 4 için l = 2 = log

( N ) ile

1

2

Nl =

N log

( N ) = 4 adet çarpma i¸slemi ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Kelebek diagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Kelebek diagram¬ad¬verilen diagramla, yukar¬daki i¸slemler a¸sa¼ g¬daki gibi ¸sematik olarak gösterilebilir:

f

! ^y

: = f

+ f

! ^y

^: = y

+ w

y

% %

f

& ^y

: = f

f

! ^y

^: = y

+ w

y

%

f

y

: = f

+ f

& ^y

^: = y

w

y

%

f

& ^y

: = f

f

& ^y

^: = y

w

y

Kelebek diagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Kelebek diagram¬ad¬verilen diagramla, yukar¬daki i¸slemler a¸sa¼ g¬daki gibi ¸sematik olarak gösterilebilir:

f

! ^y

: = f

+ f

! ^y

^: = y

+ w

y

% %

f

& ^y

: = f

f

! ^y

^: = y

+ w

y

%

f

y

: = f

+ f

& ^y

^: = y

w

y

%

f

& ^y

: = f

f

& ^y

^: = y

w

y

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

f nin çift ve tek indisli bile¸senlere ayr¬ld¬¼ g¬na dikkat edelim.

Daha aç¬kça son sütundan w

= i için,

y

: = y

+ w

y

= f

+ f

+ f

+ f

= f

+ f

+ f

+ f

y

: = y

+ w

y

= f

f

i ( f

f

) = f

if

f

+ if

y

: = y

w

y

= f

+ f

( f

+ f

) = f

f

+ f

f

y

: = y

w

y

= f

f

( i )( f

f

) = f

+ if

f

if

elde ederiz.

Buradan

y = B

f ve

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹

4 y

oldu¼ gu kolayca görülür

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

f nin çift ve tek indisli bile¸senlere ayr¬ld¬¼ g¬na dikkat edelim.

Daha aç¬kça son sütundan w

= i için,

y

: = y

+ w

y

= f

+ f

+ f

+ f

= f

+ f

+ f

+ f

y

: = y

+ w

y

= f

f

i ( f

f

) = f

if

f

+ if

y

: = y

w

y

= f

+ f

( f

+ f

) = f

f

+ f

f

y

: = y

w

y

= f

f

( i )( f

f

) = f

+ if

f

if

elde ederiz.

Buradan

y = B

f ve

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹

4 y

oldu¼ gu kolayca görülür

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

f nin çift ve tek indisli bile¸senlere ayr¬ld¬¼ g¬na dikkat edelim.

Daha aç¬kça son sütundan w

= i için,

y

: = y

+ w

y

= f

+ f

+ f

+ f

= f

+ f

+ f

+ f

y

: = y

+ w

y

= f

f

i ( f

f

) = f

if

f

+ if

y

: = y

w

y

= f

+ f

( f

+ f

) = f

f

+ f

f

y

: = y

w

y

= f

f

( i )( f

f

) = f

+ if

f

if

elde ederiz.

Buradan

y = B

f ve

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹

4 y

oldu¼ gu kolayca görülür

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

f nin çift ve tek indisli bile¸senlere ayr¬ld¬¼ g¬na dikkat edelim.

Daha aç¬kça son sütundan w

= i için,

y

: = y

+ w

y

= f

+ f

+ f

+ f

= f

+ f

+ f

+ f

y

: = y

+ w

y

= f

f

i ( f

f

) = f

if

f

+ if

y

: = y

w

y

= f

+ f

( f

+ f

) = f

f

+ f

f

y

: = y

w

y

= f

f

( i )( f

f

) = f

+ if

f

if

elde ederiz.

Buradan

y = B

f ve

c = F ( f ) = ¹

4 B

f = ¹

4 y

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Örnek 4

Kelebek diyagram¬ve klasik yöntem ile f = [ 1, 2, 3, 4 ] dizisinin H¬zl¬

Fourier dönü¸ sümünü hesaplay¬n¬z.

Kelebek diyagram¬ile

1 ! ^y

: = 1 + 3 = 4 ! ^y

: = y

+ w

y

% % = 10

3 & ^y

: = 2 ! ^y

: = y

+ w

y

% = 2 + 2i 2 y

: = 6 & ^y

: = y

w

y

% = 2

4 & ^y

: = 2 4 = 2 & ^y

: = y

w

y

= 2 2i için

1 1

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Klasik yöntemle de

c = ¹ 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

1 2 3 4

3 7 7 5 = ¹

4 2 6 6 4

10 2 + 2i

2 2 2i

3 7 7 5

elde ederiz.

Kelebek diyagram¬ile H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

Klasik yöntemle de

c = ¹ 4

2 6 6 4

1 1 1 1

1 i 1 i

1 1 1 1

1 i 1 i

3 7 7 5

2 6 6 4

1 2 3 4

3 7 7 5 = ¹

4 2 6 6 4

10 2 + 2i

2 2 2i

3 7 7 5

elde ederiz.

Al¬¸st¬rma 1

1

f = [ 1, 0, 2, 1 ] dizisi verilsin. f nin Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü klasik yöntem ve

kelebek diyagram¬(h¬zl¬Fourier algoritmas¬) yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

2

f = [ 1, 1, 0, 1 ] dizisi verilsin. f nin Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü klasik yöntem ve

kelebek diyagram¬ile hesaplay¬n¬z.

3

f = [ 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 4 ] dizisi verilsin. f nin Ayr¬k Fourier dönü¸ sümünü klasik yöntem ve

kelebek diyagram¬yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z, bu durumda kelebek

diyagram¬üç a¸ samal¬(sütunlu) olmal¬d¬r.

Kaynaklar

Co¸skun, E., Endüstriyel ve Uygulamal¬Matemati¼ ge Giri¸s, URL:erhancoskun.com.tr

Strang, G., Introduction to Applied Mathematics, Wellesley

Cambridge Press, ABD, 1986.