Soru 3.1 E˘ ger f ve g, L 1 (R) i¸cinde , yani ger¸cel sayılar ¨uzerinde Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlarsa a¸sa˘ gıdakileri g¨ osteriniz.

PROBLEMLER 3

Bu alı¸stırmalarda Lebesgue integral ile ilgili kimi ¨ ozellikleri kanıtlamanız buna ek olarak ta kimi soyut kanıtları yapmanız istenecektir. Bir e¸sitli˘ gin hemen heryerde (h.h.) olması onun ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ umenin dı¸sında gecerli olması anlamına gelmektedir.

Soru 3.1 E˘ ger f ve g, L ¹ (R) i¸cinde , yani ger¸cel sayılar ¨uzerinde Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlarsa a¸sa˘ gıdakileri g¨ osteriniz.

(1) E˘ ger f (x) ≥ 0 ise R f ≥ 0 dır.

(2) E˘ ger f (x) ≤ g(x) ise R f ≤ R g dır.

(3) E˘ ger f karma¸sık de˘ gerli bir fonksiyon ise ger¸cel kısmı Ref Lebesgue

¨

ol¸c¨ ulebilirdir ve

| Z

Ref | ≤ Z

|f | (4) Genel karma¸sık de˘ gerli bir fonksiyon i¸cin

(6.30) | Z

f | ≤ Z

|f |

g¨ osteriniz.(˙Ipucu: Kaynaklara bakabilirsiniz ama genellikle yapılan ¸sey θ ∈ [0, 2π] almak ve e ^iθ R f = R e ^iθ f kullanarak, ¨ onceki e¸sitsizli˘ gi g = e ^iθ f de kullanmaktır.

(5) ˙Integral

(6.31) Z

: L ¹ (R) → C s¨ urekli ve do˘ grusaldır.

Soru 3.2 I ger¸cel sayıların (−∞, a) veya (a, ∞) olasılıkların da dı¸slanmadı˘ gı bir aralı˘ gı ise bir f : I → C fonksiyonunun Lebesgue integrali

(6.32) f = ~  f (x) x ∈ I 0 x ∈ R − I Buradan f fonksiyonunun I ¨ uzerindeki integrali

(6.33) Z

I

f = Z

f ~ olarak tanımlanır.

(1) I ¨ uzerinde b¨ oylesi integrallenebilir fonksiyonların bir vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu uzay L ¹ (I) ile g¨ osterilecektir.

1

(2) f fonksiyonu I ¨ uzerinde integrallebilir ise |f | fonksiyonun da integral- lenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) E˘ ger f , I ¨ uzerinde integrallenebilir ve R |f | = 0 ise f = 0 h.h.

g¨ osteriniz.

(4) Bir ¨ onceki soruda yer alan ve N (I) ile g¨ osterece˘ gimiz sıfırımsı foksiyon- ların vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) R |f | ifadesinin L ¹ (I)/N ¨ uzerinde norm oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(6) f ∈ L ¹ (R) ise

(6.34) g : I → C, g(x) =  f (x) x ∈ I 0 x ∈ R − I

ile tanımlanan g fonksiyonunun I ¨ uzerinde integrallenebilirli˘ gini g¨ osteriniz.

(7) Yukarıdaki kısıtlama d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un

(6.35) L ¹ (R) → L ¹ (I)

¨

orten ve s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz. (Dikkat: Her iki uzayda integral- lenebilir fonksiyonların hemen heryerde e¸sitlik ile alınmı¸s b¨ ol¨ um uzaylarıdır.)

Soru 3.3 Bir ¨ onceki 3.2 nin devamıdır:

(1) I = [a, b) ve f ∈ L ¹ (I) ise f fonksiyonunun I _x = [x, b) aralı˘ gına kısıtlamasının , her a ≤ x < b i¸cin L ¹ (I x ) uzayının ¨ o˘ gesi oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2)

(6.36) F (x) = Z

I

f : [a, b) → C fonksiyonunun s¨ ureklili˘ gini g¨ osteriniz.

(3) x ⁻¹ cos( _x ¹ ) fonksiyonunun (0, 1] aralı˘ gı ¨ uzerinde Lebesgue integrallenebilir olmadı˘ gını g¨ osteriniz.˙Ipucu: yukarıda ne g¨ osterdi˘ gimizi biraz d¨ u¸s¨ un¨ un¨ uz).

Soru 3.4 ( Biraz daha zor ancak yapılabilir!) f ∈ L ¹ (R) olsun.

(1) Her t ∈ R i¸cin , kaydırmalar

(6.37) f _t (x) = f (x − t) : R → C lerinde L ¹ (R) i¸cinde oldu˘gunu g¨osteriniz.

(2)

(6.38) lim _t→0 Z

|f _t − f | = 0

oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu integrallenebilir fonksiyonların ortalama yakınsaması olarak betimlenir.

2

(3) f ∈ L ¹ (R) i¸cin

(6.39) t → [f _t ] ∈ L ¹ (R) fonksiyonunun s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Soru 3.5 Son soruda kompakt bir aralıkta s¨ urekli fonksiyonun, aralık dı¸sına sıfır olarak geni¸sletildi˘ ginde Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyon elde edildi˘ gini g¨ ord¨ uk. Bunu ve basamak fonksiyonlarının L ¹ (R) de yo˘gun olduklarını kulla- narak bir kompakt aralık dı¸sında sıfır olan R ¨uzerindeki s¨urekli fonksiyonların L ¹ (R) i¸cinde yo˘gun oldu˘gunu g¨osteriniz.

Soru 3.6 (1) E˘ ger g : R → C sınırlı ve s¨urekli ve f ∈ L ¹ (R) ise gf ∈ L ¹ (R) oldu˘ gunu ve

(6.40) Z

|gf | ≤ sup _R |g|.

Z

|f | g¨ osteriniz.

(2) S ¸imdi C(K) bir kompakt metrik uzayı ¨ uzerinde s¨ urekli fonksiyonları g¨ ostermek ¨ uzere G ∈ C([0, 1] × [0, 1]) alalım. Artık L ¹ [0, 1] tanımlı oldu˘ guna g¨ ore ilk kısmı kullanarak f ∈ L ¹ [0, 1] ise

(6.41) F (x) = Z

[0,1]

G(x, .)f (.) ∈ C

ifadesinin [0,1] deki her x i¸cin iyi tanımlı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) Her f ∈ L ¹ [0, 1] i¸cin F fonksiyonunun [0,1] ¨ uzerinde s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4)

(6.42) f → F

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un L ¹ [0, 1] uzayından C[0, 1] uzayına sınırlı (s¨ urekli ) oldu˘ gunu g¨ osteriniz. S¨ urekli fonksiyonlar ¨ uzerinde sup normunu alınız.

3