diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3

7.4.2. diff Türev Alma Fonksiyonu

>> syms x

>> A=3*x^4+x^2-3*x A =

3*x^4+x^2-3*x

>> diff(A) // A fonksiyonunun türevini alır.

ans =

12*x^3+2*x-3

>> diff(A,2) // A fonksiyonunun türevini 2 kere alır.

ans = 36*x^2+2 ÖRNEK:

>> syms x

>> f1=cos(x)^2;

>> diff(f1) ans =

-2*cos(x)*sin(x)

ÖRNEK:

>> syms x

>> syms y

>> F=x^3+x^2-3*y;

>> diff(F,x) // F fonksiyonunun x e göre türevini alır.

ans = 3*x^2+2*x

>> diff(F,y) // F fonksiyonunun y ye göre türevini alır.

ans = -3

>> diff(F,x,2) // F fonksiyonunun x e göre 2. türevini alır.

ans = 6*x+2

>> diff(F,y,2) // F fonksiyonunun y ye göre 2. türevini alır.

ans =

0

7.4.3. İntegral Alma Fonksiyonları

function y = myfun(x) // bu iki satır m-file (FileNewM-File) de yazılır.

y = 1./(x.^3-2*x-5) // Aşağıdaki “quad” bu fonksiyonun altsınırı 0 üst sınırı 2 olan // integral sonucunu hesaplar.

>> Q = quad(@myfun,0,2) //Quad simpson yöntemine göre integral alır.

ÖRNEK: dblquad iki katlı integral alma fonksiyonu

dblquad

0

2 .cos integralini çözer.

pi pi

pi

x y

 

function dy=fonk1(x,y) dy=2*x*cos(y)^2

>> dblquad('fonk1',0,pi,-pi,pi) ans =

19.7392

7.4.4. dsolve Diferensiyel Denklem Çözüm Fonksiyonları

y”  d y

dx  Matlab da gösterimi D2y şeklindedir.

y’ dy

dx Matlab da gösterimiDy şeklindedir.

(1+t^2). dy

dt +2*t*y=cost diferansiyel denkleminin çözümü için;

>> k=dsolve('(1+t^2)*Dy+2*t*y=cost(t)') // ' ' lar arasındaki k diferensiyel denklemini çözer.

k =

(Int(cost(t),t)+C1)/(1+t^2) // genel çözümü verir.

>> pretty(k) // k diferansiyel denkleminin C ye bağlı çözümünü matematiksel olarak yazar.

/ |

| cost(t) dt + C1 |

/

---

2

1 + t

Alıştırma Soruları: Aşağıdaki dif.denklemleri dsolve komutu ile çözünüz.

MATLAB’ta ; lnx log(x) , e

exp(x) ve log x = log10(x) şeklinde ifade edilir.

y”-2y’+y= e .lnx

y”’-2y”-3*y’= 1 1  e

y”+3y’+2y= 1

1  e

y”+y’= 1

sin x

7.4.5. Euler Sayısal Yöntemiyle Diferensiyel Denklem Çözümü

y’= y-x diferansiyel denklemini y(0)=1 başlangıç şartıyla 0  x  0.3 aralığında 10 adımda Euler yöntemiyle çözelim.

Matlab’ta file  new  M-file diyerek aşağıdaki kodları yazalım.

%Euler Yöntemi

%y'=y-x ve y(0)=1 başlangıç değeri

%0<= x <= 0.3 aralığında Euler çözümü x0=0;

xn=0.3;

y0=1;

m=10;

h=(xn-x0)/m;

x=x0:h:xn;

y(1)=y0;

for i=1:m

y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-x(i)) end

display(' Euler Çözümü') display(' x y') disp([x;y]')

plot(x,y)

daha sonra bu dosyayı

euler1

Ekran çıktımız şu şekilde olacaktır.

( Columns 1 y nin çözüm değerlerini göstermektedir. Son satır son çözüm değerlerini verir.)

>> euler1

y =

Columns 1 through 2

y =

Columns 1 through 4

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 y =

Columns 1 through 5

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 y =

Columns 1 through 6

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 y =

Columns 1 through 7

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 y =

Columns 1 through 8

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 y =

Columns 1 through 9

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 1.2400 y =

Columns 1 through 10

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 1.2400 1.2700 y =

Columns 1 through 11

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 1.2400 1.2700 1.3000

Euler Çözümü x y 0 1.0000 0.0300 1.0300 0.0600 1.0600 0.0900 1.0900 0.1200 1.1200 0.1500 1.1500 0.1800 1.1800 0.2100 1.2100 0.2400 1.2400 0.2700 1.2700 0.3000 1.3000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

7.4.6. Runge-Kutta Sayısal Yöntemiyle Diferensiyel Denklem Çözümü

y’= y-x diferansiyel denklemini y(0)=1 başlangıç şartıyla 0  x  0.3 aralığında 10 adımda Runge-Kutta yöntemiyle çözelim.

Matlab’ta file  new  M-file diyerek aşağıdaki kodları yazalım.

%Euler örneğinin Runge-Kutta çözümü x0=0;

xn=0.3;

y0=1;

m=10;

h=(xn-x0)/m;

x=x0:h:xn;

y(1)=y0;

for i=1:m

k1=h*(y(i)-x(i));

k2=h*(y(i)+k1/2-(x(i)+h/2));

k3=h*(y(i)+k2/2-(x(i)+h/2));

k4=h*(y(i)+k3-(x(i)+h));

y(i+1)=y(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6 end

display(' x y') disp([x;y]')

plot(x,y)

daha sonra bu dosyayı

rungekutta1

>> rungekutta1

y =

Columns 1 through 2 1.0000 1.0300

y =

Columns 1 through 3 1.0000 1.0300 1.0600

y =

Columns 1 through 4

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900

y =

Columns 1 through 5

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200

y =

Columns 1 through 6

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 y =

Columns 1 through 7

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800

y =

Columns 1 through 8

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100

y =

Columns 1 through 9

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 1.2400

y =

Columns 1 through 10

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 1.2400 1.2700

y =

Columns 1 through 11

1.0000 1.0300 1.0600 1.0900 1.1200 1.1500 1.1800 1.2100 1.2400 1.2700 1.3000

x y 0 1.0000 0.0300 1.0300 0.0600 1.0600 0.0900 1.0900 0.1200 1.1200 0.1500 1.1500 0.1800 1.1800 0.2100 1.2100 0.2400 1.2400 0.2700 1.2700 0.3000 1.3000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

ÖRNEK: ode23 komutu 2. ve 3. mertebeden Runge-Kutta yaklaşımını, ode45 komutu 4. ve 5. mertebeden Runge-Kutta yaklaşımını kullanır. Ode fonksiyonunun kullanımı şöyledir:

[t x]=ode23(‘fonksiyon adı’,[t0 tson],x0)

M- file dosyasına 2. dereceden bir fonksiyon yazıp bunu ode23 komutuyla çözelim.

Diferensiyel denklem fonksiyonumuz dy 2

. x olsun

dx 

Bunun analitik(gerçek) çözümünü y(1)=1 başlangıç koşulu(x0=1,y0=1) altında, x in 1 ve 3 sınır değerleri arasında ise sayısal çözümünü bulalım.

Analitik(gerçek) çözüm: Diferensiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen olduğundan sol ve sağ tarafının doğrudan integrali alındığında genel çözümü

3 3

2 2 1

olup y(1)=1 için C=1/3 olup y= olarak gerçek çözümü bulunur.

3 3 3

y  x  C x 

Şimdi ise ode23 Matlab komutuyla Sayısal çözümünü bulalım: Öncelikle diferensiyel denklem fonksiyonunu bir function alt programıyla tanıtmamız gerekmektedir:

function dy=gcoz(x,y) dy = 2*x^2;

Bunu m-file( File  New  M-File) klasörüne gcoz olarak kaydedelim. Analitik çözümü ya=(2/3)*x.^3+1/3

olarak tanımlayalım. Ode23 ile Matlab çözüm komutları şöyle olacaktır;

>> [x ysay] = ode23('gcoz',[1 3],1);

>> [x ysay]

ans =

1.0000 1.0000

1.0400 1.0832

1.2281 1.5682

1.4281 2.2751

1.6281 3.2104

1.8281 4.4063

2.0281 5.8947

2.2281 7.7075

2.4281 9.8769

2.6281 12.4347

2.8281 15.4131

3.0000 18.3333

Burada 1.sütun x e ait değerler, 2.sütun ise ysay a ait y nin(dif. Denklemin) Sayısal çözüm

değerleridir. Şimdi Diferensiyel denklemin ysay Sayısal çözümünün ya Analitik(gerçek) çözümüne ne kadar yaklaştığını grafik üzerinde görelim.Aşağıdaki komutlar bu grafiğin çizimini gerçekleştirecektir:

>> ya=(2/3)*x . ^3+1/3; % Dif. Denklemin Analitik Çözümü

>> plot(x,ysay,x,ya,'o');% ysay ı çizgi ile ve ya yı o ile aynı grafikte çizen komut

>> xlabel('x');

>> ylabel('y=f(x)');

>> grid;

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Grafik incelendiğinde ode23 ile elde edilen sayısal çözüm değerlerinin( o ) sürekli çizgi şeklindeki

analitik(gerçek) çözüm değerleri ile üst üste çakıştığı görülmektedir. Bu durum ode23 ile yapılan

Matlab sayısal çözümünün hatasız olduğunu, çok başarılı bir çözüm olduğunu göstermektedir.