ÇOKGENSEL BÖLGELER‹N ALANLARI

(1)

ÇOKGENSEL BÖLGELER‹N ALANLARI

^{ÜN‹TE II}

1. ÇOKGENSEL BÖLGELER‹N ALANLARI 2. D‹KDÖRTGEN‹N ALANI

3. ÜÇGENSEL BÖLGELER‹N ALANI

4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER‹ ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER

5. PARALELKENARIN ALANI 6. KAREN‹N ALANI

7. EﬁKENAR DÖRTGEN‹N ALANI 8. YAMU⁄UN ALANI

(2)

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI

☞ ☞

NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?

De¤erli ö¤renciler,

* Çokgenlerin alan formüllerini iyi ö¤reniniz.

* Çözümlü örnekleri iyice inceledikten sonra örnekleri çözümlerine bakmadan bir de siz çözünüz. Çözümlerinizi örnek çözümlerle karﬂ›laﬂt›r›n›z.

* Konu sonlar›ndaki araﬂt›rma sorular›n› çözerken, örnek sorular›n çözüm metotlar›n› göz önünde tutunuz.

Bu bölümü çal›ﬂmadan önce,

* Geometri 1 kitab›n›zdan aﬂa¤›daki konular› ö¤reniniz, - Üçgende Kenarortay Ba¤›nt›lar›

- Üçgende Aç›ortay Ba¤›nt›lar›

- Üçgenlerin eﬂli¤i ve benzerli¤i

✍ ✍

Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda;

* Çokgenlerin alanlar›n›n nas›l hesapland›¤›n› ö¤renecek,

* Çokgenlerin alanlar› aras›ndaki iliﬂkileri anlayacaks›n›z.

(3)

1. ÇOKGENSEL BÖLGELER‹N ALANLARI

Alan hesaplar›n›, ölçmenin ne oldu¤u, uzunluk ölçüsü birimlerini önceki y›llarda gördünüz. Bu bölümde çokgensel bölgelerin alanlar› üzerinde duraca¤›z.

Bir çokgen ile iç bölgesinin birleﬂimine çokgensel bölge denir.

2. D‹KDÖRTGEN‹N ALANI

3. ÜÇGENSEL BÖLGELER‹N ALANI

Bir üçgen ile iç bölgesinin birleﬂimine üçgensel bölge denir.

Üçgensel bölge de bir çokgensel bölgedir. Bir üçgensel bölgeye karﬂ›l›k gelen pozitif reel say›ya üçgenin alan› denir.

A(ABCD) = a.b dir.

❂

Aksiyom : Bir çokgensel bölgeye bir ve yaln›z bir pozitif reel say› karﬂ›l›k gelir.

Aksiyom : Bir dikdörtgenin alan›, bitiﬂik iki kenar›n uzunluklar› çarp›m›d›r.

A(ABC) = a.h 2 dir.

(4)

EﬁKENAR ÜÇGEN‹N ALANI

a) Kenar cinsinden :

b) Yüksekli¤i cinsinden :

4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER‹ ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILAB‹LECEK

1. Kenarotay, bir üçgeni alan bak›m›ndan iki eﬂit bölgeye ay›r›r.

2. Kenarortaylar üçgeni alan bak›m›ndan alt› eﬂit parçaya ay›r›r.

3. Üçgende orta tabanlar üçgeni alan bak›m›ndan dört eﬂit bölgeye böler.

S₁= S₂

S₁= S₂= S₃= S₄= S₅= S₆

S₁= S₂= S₃= S₄ A = a² 3

4 A = h² 3

3 tür.

F ORMÜLLER

(5)

4. Üçgenin a¤›rl›k merkezini, üçgenin köflelerine birlefltiren do¤rular üçgeni alan bak›m›ndan üç eflit bölgeye ay›r›r.

Örnek

ﬁekilde [AN] aç›ortay, |AB| = 4 cm,

|AC| = 6 cm ve A(ABC) = 30 cm² oldu¤una göre ANC üçgeninin alan›

kaç cm² dir?

5. Yükseklikleri eﬂit olan üçgenlerinalanlar› oran›, tabanlar›n›n oran›na eﬂittir.

6.

7.

S₁ S₂ = a

b

A(ADE)

A(ABC) = |AE| . |AD|

|AB| . |AC|

A(DEF)

A(ABC) = |ED| . |AF|

|AB| . |AC|

S₁= S₂= S₃

(6)

Çözüm

Aç›ortay kural›na göre

Örnek

ﬁekilde G, üçgenin a¤›rl›k merkezi ve mavi bölgenin alan› 18 cm² ise ABC üçgeninin alan› kaç cm²dir?

Çözüm

Üçgenin a¤›rl›k merkezini, üçgenin köflelerine birlefltiren do¤rular, üçgeni üç eflit bölgeye ay›r›r.

O hâlde,

|BN|

|NC| = 4 6 = 2

3

|NC|

|BC| = 3

5 (Orant› özeli¤inden) A(ANC)

A(ABC) =|NC|

|BC| = 3 5

⇒ x30 = 3

5 ⇒ x = 18 cm² dir.

Mavi bölgenin alan›

A(ABC) = 2

3

⇒ 23 = 18 x

(7)

Örnek

ﬁekilde G, üçgenin a¤›rl›k merkezi |AN| = |NG| ve mavi bölgenin alan› 48 cm² ise ABC üçgeninin alan› kaç cm²dir?

Çözüm

|AN| = |NG| = |GD| = x

|BD| = |DC| = y ise;

Örnek

Çözüm : A(ABD)

A(ABC) =A(ADC) A(ABC) = 1

2 A(ABN)

A(ABC) =A(ANC) A(ABC) = 1

2 . 1 3 = 1

6 A(ABN) + A(ANC)

A(ABC) = 2 6 = 1

3

⇒ 13 = 48 A(ABC)

⇒ A(ABC) = 144 cm² dir.

fiekilde [AC] kenar› 6 eflit, [BD] kenar› 4 eflit parçaya ayr›lm›

m›ﬂt›r.A(ABE)

A(ABC) oran› kaçt›r?

A(ABD) A(ABC) = 4

6 = 2 3 A(ABE)

A(ABD) = 3 4

⇒ A(ABE) A(ABC) = 2

3 . 3 4 = 1

2 olur.

(8)

Örnek

Çözüm

Örnek

Çözüm

Örnek

ﬁekilde, |AB| = |AC| = |BD| = 12 cm ve

|DC| = 4 cm ise |AD| kaç cm dir?

Çözüm

|AB| = |AC| oldu¤undan ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. ‹kizkenar üçgende tabana ait yükseklik ayn› zamanda kenarortayd›r. Yani,

ﬁekilde, [AH]⊥ [BC], |AE| = |EC|,

|AH| = 18 cm, |DC| = 10 cm oldu¤una göre A(ADE) kaç cm² dir?

A(ADE) A(ADC) = 1

2 ⇒ A(ADC) = 10.18

2 = 90 cm² A(ADE) = 90. 1

2 = 45 cm² olur.

ABC eﬂkenar üçgen, [DF]⊥[AB], [DE]⊥[AE] ve |DF| - |DE| = 12 cm ise A(ABC) kaç cm² dir?

DF| - |ED| = h A = h² 3

3 = 12² 3

3 = 48 3 cm² olur.

|BH| = |HC| = 8 cm dir.

ABH diküçgeninde; h² = 12² - 8² = 80 AHD diküçgeninde; x² = h² + 4² = 96

⇒ x = |AD| = 4 6 olur.

(9)

ARAﬁTIRMA SORULARI (7)

1. ﬁekilde |AB| = |AD|, |AC| = |CD| = 4 cm ve |BC| = 8 cm ise A(ABC) kaçt›r?

2.

3.

4. ﬁekilde = 90°, [AN] aç›ortay |AC| = 12 cm ve |BN| = 3 cm ise A(ANC) kaç cm²dir?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 A) 12 3 B) 10 3

C) 8 3 D) 6 3

ABC eﬂkenar üçgen, [DH]⊥[BC], |DK|= |KH| = 4 cm ise A(ABC) kaç cm² dir?

ABC ve PHE eﬂkenar üçgenlerdir. |EH| = 2 3 cm ise A(ABC) kaç cm² dir?

A) 8 3 B) 12 3

C) 16 3 D) 18 3

A) 6 3 B) 9 3

C) 10 3 D) 12 3

m(B)

(10)

5. ﬁekilde |AD| = |DC|, |BD| = 2 cm ise A(ADC) kaç cm2 dir?

6. |AD| = |BD|, |AC| = 3.|AE|, A(DBCE) = 35 cm²ise A(ADE) kaç cm²dir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

7. ﬁekilde |AB| = |AC|, |AD| = 10 cm, |BD| = 15 cm ve |DC| = 3 cm ise A(ADC) kaç cm²dir?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21

8. fiekilde [AB] ve [BC] kenarlar› 4 eflit parçaya ayr›lm›flt›r. A(ABC) = 36 cm² oldu¤una göre A(EDF) kaç cm²dir?

A) 9 B) 12 C) 15 D) 16

A) 3 B) 2 3

C) 3 3 D) 4 3

(11)

5. PARALELKENARIN ALANI

A (ABCD) = A ise A = a . ha = b . hb

A = a . b . sinA = a . b . sinB dir.

Örnek

ABCD bir paralelkenar, [AK] ve [BK] aç›ortayd›r. |AK| = 6 cm, |AB| = 10 cm oldu¤una göre A(ABCD) kaç cm²dir?

Çözüm

[AK] ve [BK] aç›ortay oldu¤u için [AK]⊥[BK] d›r.

ABK dik üçgeninde;

|AB|² = |AK|² + |KB|² 100 = 36+x²

x = 8

A(AKB) =|AK|.|KB|

2 = 6.8 2 = 24 A(ABCD) = 2.A(AKB)

= 2.24

= 48 cm² olur.

(12)

Örnek

ABCD paralelkenar, |DE| = |EA| ve A(ABCD) = 72 cm²ise taral› alan kaç cm²dir?

Çözüm

Örnek

Çözüm A(ADB) = 1

2 A(ABC) A(EDK)

A(ADB) = y.2x 2y.6x = 1

6 A(EDK)

36 = 1 6

A(EDK) = 6 cm² olur.

ABCD bir paralelkenar, |AC| = 12 cm, |BD| = 8 cm m(CBA) = 18° ve m(CAB) = 42° ise A(ABCD) kaçt›r?

m(DBA) = m(BDC) = 18° (içters aç›lar) m(AKB) = 120° olur.

(AKB üçgeninin iç aç›lar› ölçüleri toplam›ndan) A = 1

2 Sin120. |AC|.|BD| (Dörtgen alan formülünden) A= 12 . 3

2 . 12.8 = 24 3 cm² olur.

(13)

6. KAREN‹N ALANI

7. EﬁKENAR DÖRTGEN‹N ALANI 1) Kenar› cinsinden

2) Köﬂegenleri cinsinden

1)

2)

3)

A = a²

A = e² 2 = f²

2 dir.

A = e.f 2 A = a.h

A = a² . sinA =a² . sinB

(14)

8. YAMU⁄UN ALANI Tabanlar› a ve c, yüksekli¤i h olan yamu¤un alan›;

Örnek A =(a+c).h

2

➠

‹spat

A(ABCD) = A(ABC) + A(ACD) A(ABCD) = a.h

2 + c.h

2 =(a+c).h 2

UYARI

Köﬂegenlerin ay›rd›¤› alanlara, S₁, S₂, S₃, S₄diyelim.

a) S₁ = S₃

b) S₁ . S₃ = S₂ . S₄

(S₁ = S₃ al›n›rsa, S₁² = S₂ . S₄ olur.) c) A(ABCD) = ( S₂ + S₄)²

ﬁekilde,|OC|

|OA| = 1

3 ve A(OCD) = 4 cm² ise, A(ABCD) kaçt›r?

(15)

Çözüm

Örnek

Çözüm

A(OCD) = 4 cm²

A(AOD) = A(COB) = 12 cm²

⇒ A(AOB) = 3.12 = 36 cm² olur.

A(ABCD) = A(COB) + A(AOB) + A(AOD) + A(DOC)

= 12 + 4 + 12 + 36 = 64 cm² olur.

ABCD bir yamuk, |CE| = |EB| ve [EF]⊥[AD] dir. |EF| = 8 cm ve |AD| = 4 cm ise, A(ABCD) kaç cm² dir?

E noktas›ndan [AD] // [KL] çizelim.

CEL≅ BEK d›r. AKLD paralelkenard›r.

⇒ (AKLD) = A(ABCD) A(AKLD) = 8.4 = 32 cm² dir.

Dolay›s›yla A(ABCD) = 32 cm² olur.

Δ Δ

(16)

Örnek

ABCD bir yamuk, A(AOD) = 4 cm²ve A(AOB) = 8 cm²ise, A(ABCD) kaç cm²dir?

Çözüm

S²= S₁. S₂ ⇒ 4²= x.8 ⇒ x = 2 cm² olur.

A(ABCD) = 4 + 2 + 4 + 8 = 18 cm² olur.

Örnek

ABCD bir yamuk, |AB| = 6 cm, |DC| = 3 cm dir. A(ABD) = S₁, A(BCD) = S₂ise, S₂/ S₁oran› kaçt›r?

Çözüm S₁ = 6.h

2 = 3h 2 S₂ = 3.h

2

⇒ S² S₁ =

3h 2 3h = 3h

2 . 1 3h

⇒ S¹ S₂ = 1

2 olur.

(17)

Örnek

ﬁekilde, ABCD ve AKLM birer karedir. Karelerin kenarlar›, birer tamsay› ve mavi alan 17 cm²ise, A(ABCD) kaçt›r?

Çözüm

|AB| = x, |AK| = y ise,

taral› alan = 17 = x²- y² ⇒ (x-y) (x+y) = 1.17

⇒ x - y = 1 x + y = 17 ⇒ x = 9 ⇒ A(ABCD) = 9²= 81 cm² olur.

Örnek

Çözüm

ABCD bir kare, [AK]⊥[CK], m(BCK) = 15° ve |CK| = 6 cm oldu¤una göre, A(ABCD) kaç cm² dir?

Köﬂegenleri aç›ortayd›r. ACK dik üçgeninde, m(ACK) = 60°, m(CAK) = 30°

ve |AC| = 12 cm A(ABCD) = 12²

2 = 72 cm² olur.

(18)

Örnek

ABCD bir kare, E ve F kenarlar›n orta noktalar›, mavi alanlar›n toplam› 6 cm² oldu¤una göre, A(ABCD) kaç cm²dir?

Çözüm

K noktas›, BCD üçgenin a¤›rl›k merkezidir . Mavi alanlar toplam›

A(ABCD) = 1 2 . 2

6 = 1 6 dir.

A(ABCD) = 6.6 = 36 cm² olur.

(19)

16 3

ARAﬁTIRMA SORULARI (8)

1. ﬁekilde, ABCD kare, AEFD bir dikdörtgendir. Karenin alan›, AEFD dikdörtgeni nin alan›ndan 27 cm²fazla, karenin çevresi, dikdörtgenin çevresinden 6 cm fazla oldu¤una göre, karenin alan› kaç cm²dir?

A) 27 B) 45 C) 63 D) 81

2. ABCD dikdörtgeni, paralel do¤rular yard›m› ile alt› dikdörtgene ayr›lm›ﬂt›r.

Dikdörtgelerden baz›lar›n›n alanlar› üzerine yaz›ld›¤›na göre, ABCD dikdörtgenin alan› nedir?

A) 52 B) 64 C) 66 D) 78

3. ABCD dikdörtgenin çevresi cm ve alan› 36 cm²ise, ACEF karesinin alan›

kaç cm²dir?

A) 90 B) 100 C) 110 D) 120

(20)

4.

A) 13 B) 26 C) 30 D) 33

5. Bir eflkenar dörtgenin çevresi 16 cm, köflegenlerinin uzunluklar› toplam› 16 cm oldu¤una göre, bu eflkenar dörtgenin alan› kaçt›r?

A) 42 B) 48 C) 50 D) 52

6.

A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2

ﬁekilde, ABCD karedir. m(DEA) = 60° ve |AC| = 2 3 cm ise |DE| kaç cm dir?

ABCD dikdörtgen |FC|

|DF| = 2 3,|EF|

|AF| = 1

4 ve A(ABCD) = 80 cm² ise, mavi alan kaç cm² dir?

(21)

7. ﬁekildeki ABCD dik yamu¤unun alan›, kaç cm²dir?

A) 30 B) 45 C) 50 D) 70

A) 32+32 3 B) 36+32 3

C) 32+32 5 D) 30+30 3

8. ﬁekildeki ABCD yamu¤unun alan›, kaç cm²dir?

(22)

^1. Bir çokgen ile iç bölgesinin birleﬂimine çokgensel bölge denir.^ÖZET 2. Bir dikdörtgenin alan›, bitiﬂik iki kenar›n uzunluklar› çarp›m›d›r.

3. Bir üçgen ile iç bölgesinin birleﬂimine üçgensel bölge denir. Üçgensel bölge de bir çokgensel bölgedir. Bir üçgensel bölgeye karﬂ›l›k gelen pozitif reel say›ya üçgenin alan› denir. Bir üçgenin alan›

4. Eﬂkenar üçgenin alan›

a) Kenar cinsinden : dir.

b) Yüksekli¤i cinsinden : dir.

5. Paralelkenar›n alan›

A = a . ha = b . hb

A = a . b . sinA = a . b . sinB dir.

6. Tabanlar› a ve c, yüksekli¤i h olan yamu¤un alan›; dir.

A(ABC) = a.h 2 dir.

A = a² 3 4

A = h² 3 3

A =(a+c).h 2

(23)

✎

^{TEST II}

1.

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30

2. ﬁekilde |BC| = 6 cm, |DE| = 2 cm, A(DBCE)= 128 cm²ise A(ADE) kaç cm²dir?

A) 10 B) 16 C) 20 D) 24

3. E ve F kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. ‹kizkenar yamukta köﬂegenler, dik olarak kesiﬂmektedir. |AB| = 18 cm, |KL| = 6 cm ise, A(ABCD) kaç cm²dir?

A) 96 B) 108 C) 112 D) 144

4. fiekildeki ABCD karesinin [BC] ve [DC] kenarlar› 3 er eflit parçaya ayr›lm›flt›r.

Buna göre, mavi alan›n, karenin alan›na oran› nedir?

A) 7/18 B) 5/9 C) 2/3 D) 3/4

m(A) +m(C) =60°, |AB| = 4 3 ,

(24)

5. ABCD dikdörtgen [DH]⊥ [AC], |AH| = 4 cm, |HC| = 9 cm ise, A(AHB) kaçt›r?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 24

6. ﬁekilde, ABCD yamuktur. A(AOD) = 6 cm², A(DOC) = 2cm² ise A(ABCD) kaçt›r?

A) 30 B) 32 C) 36 D) 40

7. ﬁekilde verilenlere göre A(CEB) kaçt›r?

A) 8 B) 9 C) 12 D) 15

(25)

S₁ S₂ = 9

7 ise x+y kaçt›r?

8. ﬁekilde, ABCD ve BEFG birer karedir. |AG| = 5cm ise A(ABCD) + A(BEFG) toplam› kaçt›r?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 32

9. ﬁekilde, ABCD paralelkenard›r. Verilenlere göre, |BC| uzunlu¤u kaçt›r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

10. ﬁekilde, ABCD dikdörtgendir.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11