ÜÇGENİN ÇEMBERLERİ

(1)

ÜÇGENİN ÇEMBERLERİ

(2)

Üçgenin Çemberleri

Bir ABC üçgeninin, [AB] kenarının L ortasından çizilen, [BC] kenarının H ortasından ve [AC] kenarının

K ortasından çizilen üç dikmenin kesiştiği noktaya O diyelim.

|OA|=|OB|=|OC|=R olsun

Pergelimizi O ya batırıp R birim yarıçaplı çizilen çember, üçgenin köşelerinden geçer mi?

OAB, OBC, OAC üçgenleri İkizkenar üçgenler midir?

|OA|=|OB|=|OC| midir?

İşte bu çe mb ere , üç gen in ç evr el ç em ber i de nir!

(3)

Üçgenin Çemberleri

Bir üçgenin üç iç açıortayının kesiştiği noktaya I diyelim.

I dan inilen dikmeler

|IM|=|IK|=|IF| olsun.

Bu dikmelerin uzunlukları eşit midir?

Pergelimizi I ya batırıp r birim yarıçaplı çizilen çember, üçgenin

kenarlarına teğet olmaz mı? İşte bu çe mb ere , üç gen in i ç te ğet çe mb eri den ir!

(4)

Üçgenin Çemberleri

Bir üçgenin bir iç açıortayı ile iki dış açıortayının kesiştiği noktaya J diyelim.

J den kenarlara inilen dikmeler

|JS|=|JL|=|JR| olsun.

Bu dikmelerin uzunlukları eşit midir?

Pergelimizi J ye batırıp r

_b

birim yarıçaplı çizilen çember, üçgenin kenarlarına teğet olmaz mı?

İşte bu çe mb ere , üç gen in b ir d ış t eğe t çe mb eri den ir!

(5)

Üçgenin Çemberleri

Böy lece bir üç gen in b ir iç teğ et ç em ber i ve

üç tan e d ış t eğe t çe mb eri var dır!

(6)

Üçgenin Çemberleri

Üçgenin kenar uzunlukları a, b, c ve 2u=a+b+c olsun.

|AF|=|AK|=x

|BF|=|BM|=y

|CM|=|CK|=z olsun.

Bu uzunlukları u ya bağlı bulalım.

2u=2x+2y+2z u=x+y+z

y+z=a olduğundan x=u-a dır.

Benzer şekilde; y=u-b ve z=u-c bulunur..

Böy lece x= u-a , y =u- b v e z =u- c o lur!

(7)

Üçgenin Çemberleri

Üçgenin kenar uzunlukları a, b, c ve 2u=a+b+c olsun.

|AU|=|AT| midir?

|BS|=|BR| midir?

Peki bu uzunluklar birbirine eşit midir?

AU ve AT, A dan a kenarının dış teğet çemberlerine çizilen teğetler değil mi?

|CP|=|CQ| müdür?

|AU|=|AB|+|BU|=|AB|+|BN|

|AT|=|AC|+|CT|=|AC|+|CN|

Eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa;

2|AU|=2|AT|=a+b+c=2u

|AU|=|AT|=u bulunur.

Böy lece |AU |=|A T|= |BR |=|B S|= |CP |=|C Q|= u o lur!

(8)

Üçgenin Çemberleri

Acaba üçgenin alanını a+b+c=2u ve r cinsinden bulabilir miyiz?

A(ABC)=A(IBC)+A(IAC)+A(IAB)

Böy lece A(A BC ) = ur ola rak bu lun ur!

(9)

Üçgenin Çemberleri

Acaba bir çokgen, teğetler çokgeni,

çevresi 2u ve teğet çemberinin yarıçapı r ise alanını u ve r nin fonksiyonu olarak bulunabilir mi?

Örneğin ABCDE teğetler beşgeninin

kenarları a, b, c, d, e ve teğet çemberinin yarıçapı r olsun.

A(ABCDE)=A(IAB)+A(IBC)+A(ICD) +A(IDE)+A(IEA)

A(ABCDE)=(a+b+c+d+e).r/2 A(ABCDE)=(2u).r/2

A(ABCDE)= ur

Böy lece he rha ngi bir teğ etle r ço kge nini n ç evr esi 2u

ve teğ et ç em ber inin ya rıça pı r ise Ala nı A =ur dir .

(10)

Üçgenin Çemberleri

Acaba üçgenin alanını a+b+c=2u ve r^b cinsinden bulabilir miyiz?

A(ABC)=A(JAB)+A(JBC)-A(JAC)

Böy lece A(A BC )=(u -a)r

^a

=(u -b)r

^b

=(u -c)r

^c

bulu nur !

(11)

Euler Çemberi

Bir ABC üçgenini çizelim.

Üçgenin [AH] yüksekliğini çizelim.

(12)

Euler Çemberi

Üçgenin [BI] yüksekliğini çizelim.

(13)

Euler Çemberi

Sonra da [CJ] yüksekliğini çizelim.

(14)

Euler Çemberi

Üçgenin D, E, F kenar orta noktalarını işaretleyelim.

(15)

Euler Çemberi

Böylece, üçgenin H, I, J dikme ayaklarını;

D, E, F kenar orta noktalarını;

[OA], [OB], [OC] nın orta noktalarını işaretleyelim.

O yükseklik merkeziyle köşeler arası

doğru parçalarının K, L, M orta noktalarını İşaretlemiş olduk.

İşte bu 9 noktadan bir çember geçer…!

(16)

Euler Çemberi

İşte bu çe mb ere Eu ler (9 n okt a ) Çem ber i de nir!

(17)

İzm ir F en Lise si M ate ma tik Z üm res i

Teşekkür Ederiz…!

Bu sunu dosyasını http://www.ifl.k12.tr sayfasından indirebilirsiniz.