Topolojik ve ideal topolojik uzaylarda süreklilik ve uzay çeşitleri üzerine bir çalışma

i ÖZET

DOKTORA TEZĠ

TOPOLOJĠK VE ĠDEAL TOPOLOJĠK UZAYLARDA SÜREKLĠLĠK VE UZAY ÇEġĠTLERĠ ÜZERĠNE BĠR ÇALIġMA

Eser GÜRSEL ÇAYLAK

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL 2009, 73 Sayfa

Jüri: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL Prof. Dr. Cemil YILDIZ

Doç. Dr. Kemal AYDIN

Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKĠN

ÇalıĢmamız dört bölümden oluĢmaktadır. Birinci bölümde; g*

-kapalı kümeden yararlanarak g*lc-küme, g*lc-küme, sg*lc-küme, pg*lc-küme ve βg*lc-küme olarak adlandırdığımız yeni küme çeĢitlerini tanımladık. Bu kümelerden yararlanarak çeĢitli fonksiyon türleri elde ettik. Daha sonra bu fonksiyon türlerinin özelliklerini inceledik.

Ġkinci bölümde; weak-I-sürekli fonksiyonlarının özelliklerini inceledik. Bu sürekliliğin bazı süreklilik çeĢitleriyle karĢılaĢtırmasını yaptık.

Üçüncü bölümde; fuzzy -I-açık ve fuzzy strongly β-I-açık küme olarak adlandırdığımız yeni bir küme kavramlarını verdik. Fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy -I-açık kümenin birer ayrıĢımını elde ettik. Daha sonra fuzzy semi--I-sürekli ve fuzzy strongly β-I-sürekli fonksiyon kavramlarını verip fuzzy semi-I-sürekli ve fuzzy -I-sürekli fonksiyonun ayrıĢımlarını bulduk.

Anahtar Kelimeler: g*lc-küme, g*lc-küme, sg*lc-küme, pg*lc-küme, βg* lc-küme, weak-I-sürekli fonksiyon, fuzzy -I-açık ve fuzzy strongly β-I-açık küme.

ii ABSTRACT

Ph D. Thesis

A STUDY ON TYPES OF CONTINUITY AND SPACE IN TOPOLOGICAL AND IDEAL TOPOLOGICAL SPACES

Eser GÜRSEL ÇAYLAK

Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL 2009, 73 Pages

Jury: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL Prof. Dr. Cemil YILDIZ

Doç. Dr. Kemal AYDIN

Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKĠN

This study cosist of three sections.

In the first section; using g*-closed set, we defined new type of sets named g*lc-set, g*lc- set, sg*lc- set, pg*lc- set ve βg*lc- set. Using these sets, we obtained various types of functions. Moreover we investigated the properties of these function types.

In the second section; we investigated the properties of weak-I-continous functions. We also compared this continuity with various types of continuities.

In the third section; we defined fuzzy -I-open set and fuzzy strongly β-I-open set. We obtained decompositions of fuzzy semi-I-β-I-open set and fuzzy -I-open set. Afterwards we defined fuzzy semi --I-continous function and fuzzy strongly β-I-continous function and we obtained decompositions of fuzzy semi-β-I-continous function and fuzzy -I-continous function.

Key words: g*lc-set, g*lc-set, sg*lc-set, pg*lc-set, βg*lc-set, weak-I-continous function, fuzzy -I-open ve fuzzy strongly β-I-open set.

iii ÖNSÖZ

Bu ÇalıĢma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü‟ ne Doktora Tezi olarak sunulmuĢtur.

Tez çalıĢmamı büyük bir titizlikle ve dikkatle takip ederek çalıĢmamın her aĢamasında bilgi ve desteğiyle hep yanımda olan sayın hocam Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL„e sonsuz teĢekkürlerimi ve saygılarımı sunarım. Ayrıca çalıĢmam boyunca bana destek olan yardımcı danıĢmanım sayın Yrd. Doç. Dr. Ahu AÇIKGÖZ‟e ve aileme de teĢekkür ederim.

iv ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET……….i ABSTRACT……….ii ÖNSÖZ………iii ĠÇĠNDEKĠLER………iv SĠMGELER………..v 1.GĠRĠġ……….1

2. GENELLEġTĠRĠLMĠġ YENĠ KÜMELER VE BU KÜMELER YARDIMIYLA ELDE EDĠLEN YENĠ FONKSĠYONLAR ………...4

2.1. Topolojik Uzaylarda Tanımlanan ve Tarafımızdan Verilen Bazı Küme ÇeĢitleri ve Özellikleri ……….4

2.2. Topolojik Uzaylarda Tanımlanan ve Tarafımızdan Verilen Bazı Fonksiyon ÇeĢitleri ve Özellikleri ………...10

3. WEAK-I-SÜREKLĠ FONKSĠYONUN ÖZELLĠKLERĠ………...28

3.1. Ġdeal Topolojik Uzaylar ……….28

3.2 Weak-I-sürekli Fonksiyonlar ve Özellikleri ………..32

4.FUZZY -I-AÇIK KÜMELER VE FUZZY -I-SÜREKLĠLĠĞĠN AYRIġIMI…52 4.1. Fuzzy Topolojik Uzaylarla Ġlgili Temel Kavramlar ……….52

4.2. Fuzzy ideal Topolojik Uzaylar ………..55

4.3 Fuzzy -I-açık Kümeler ……….59

4.4. Fuzzy -I-Sürekliliğin AyrıĢımı ………...64

5. SONUÇ VE ÖNERĠLER ………...69

v SĠMGELER  : Ait  : Ait değil  : BoĢ küme  : EĢit değil = : EĢit  : Gerek Ģart  : Yeter Ģart  : Ancak ve ancak X : Evrensel küme P(X) : X kümesinin güç kümesi A  B : A kümesi kesiĢim B kümesi A  B : A kümesi birleĢim B kümesi A  B : B kümesi A kümesini kapsar A  B : B kümesi A kümesini kapsamaz A – B : A fark B kümesi

X – A : A kümesinin tümleyeni

A x B : A kümesi kartezyen çarpım B kümesi Gf : f fonksiyonunun grafiği

f|A : f fonksiyonununA kümesine kısıtlanması I : X kümesi üzerindeki herhangi bir ideal  : Topolojik yapı

vi (X,) : Topolojik uzay

(X,,I) : Ġdeal topolojik uzay

A : A  X olmak üzere X kümesi üzerindeki alt uzay topolojisi

(A,A) : Alt topolojik uzay

(x) :(X,) topolojik uzayındaki x noktasının komĢuluklar ailesi

N(x) :(X,) topolojik uzayındaki x noktasının açık komĢuluklar ailesi

1x : X kümesindeki en büyük sabit fuzzy küme

0x : X kümesindeki en küçük sabit fuzzy küme

  β :  fuzzy kümesi birleĢim  fuzzy kümesi   β :  fuzzy kümesi kesiĢim  fuzzy kümesi   β :  fuzzy kümesi kapsar  fuzzy kümesini 1x   :  fuzzy kümesinin tümleyeni

x : X kümesindeki fuzzy topolojik yapı

(X,x) : Fuzzy topolojik uzay

(X,x,I) : Fuzzy ideal topolojik uzay

x : Fuzzy nokta

x q  : x fuzzy noktası ile  fuzzy kümesi çakıĢığımsıdır

 q  :  fuzzy kümesi ile  fuzzy kümesi çakıĢığımsıdır

Nq(x) : (X,x) fuzzy topolojik uzayındaki x fuzzy noktasının q komĢuluklar ailesi

1. GĠRĠġ

1960 yılından günümüze kadar topolojik uzaylarda çeĢitli küme, fonksiyon ve uzay kavramları verildi. Levine (1963), Njåstad (1965), Mashhour ve ark. (1982) ([33]), Abd El-Monsef ve ark. (1983) tarafından sırasıyla, semi-açık küme, -açık küme, pre-açık küme ve -açık küme kavramları tanımlandı. Daha sonra topolojik uzayın submaximal ve extremally disconnected uzay olması halinde açık küme, -açık küme, semi-açık küme, pre-açık küme ve -açık küme kavramlarının eĢdeğer olduğu gösterildi (Janković 1983, Nasef ve Noiri 1998). Topolojistler için 1960 yılından günümüze kadar süreklilik çeĢitleri önemli bir çalıĢma konusu oldu. Levine (1960) strongly sürekliği tanımladı. Ardından weak süreklilik ve weak* süreklilik kavramlarını vererek sürekliliğin bir ayrıĢımını elde etti (Levine 1961). Daha sonra ise; süreklilikten daha zayıf olan almostH süreklilik ve almostS süreklilik çeĢitleri

tanımlandı (Husain 1966, Singal ve ark. 1968).

Bourbaki (1966) kapalı küme kavramından yararlanarak lokal kapalı kümeyi tanımladı. Bu küme kavramından esinlenerek Al-Nasef (2002) αlc-küme kavramını verdi. Daha sonra Beceren ve ark. (2006) tarafından slc-küme, plc-küme ve lc-küme tanımlandı. Benzer Ģekilde g-kapalı lc-kümeden yararlanarak Balachandran ve ark. (1996) glc**-küme kavramını; Beceren ve ark. (2006) da αglc-küme, sglc-küme, pglc-küme ve glc-küme kavramlarını verdiler.

Biz bu çalıĢmada; g*

-kapalı kümeden yararlanarak g*lc-küme, g*lc-küme, sg*lc-küme, pg*lc-küme ve βg*lc-küme olarak adlandırdığımız yeni küme çeĢitlerini elde ettik. Yeni elde ettiğimiz g*_{lc-küme (g}*

lc-küme, sg*lc-küme, pg*lc-küme ve βg*_{lc-küme) ailesi lc-küme (slc-küme, plc-küme, αlc-küme ve lc-küme) ailesinden}

daha zayıf, ancak glc**

-küme (sglc-küme, pglc-küme, αglc-küme ve glc-küme) ailesinden daha kuvvetlidir. Ayrıca yukarıda verdiğimiz kümelerden yararlanarak yeni fonksiyon türleri tanımladık. Bu fonksiyonların özelliklerini inceledik ve çeĢitli ayrıĢımlarını elde ettik.

Lokal fonksiyon kavramı ilk defa Kuratowski (1933) tarafından tanımlandı ve özellikleri incelendi. Ardından Vaidyanathaswamy (1945) lokal fonsiyon kavramından yararlanarak bir kapanıĢ iĢlemi tanımladı ve yeni bir topoloji oluĢturup bu topolojinin tabanını elde etti. Hayashi (1964) kendi adını verdiği Hayashi uzayını tanımladı. Daha sonra Samuels (1975) lokal fonksiyon kavramını ele alarak, idealleri değiĢtirmekle genel topolojide bildiğimiz kapanıĢ noktaları kümesi, yığılma noktaları kümesi ve yoğunlaĢma noktaları kümesine lokal fonksiyonun eĢit olduğunu gösterdi. Böylece lokal fonksiyon kavramının bu küme kavramlarının bir genellemesi olduğu sonucuna varıldı. Janković ve Hamlet (1990) lokal fonksiyon kavramıyla ilgili o zamana kadar yapılan tüm çalıĢmaları ayrıntılı incelediler ve bu kavaramlarla ilgili yeni özellikler elde ettiler. Ġdeal topolojik uzay 1990 yıllından günümüze kadar pek çok topolojist için önemli bir çalıĢma konusu oldu. Genel topolojideki pek çok topolojik kavram, bu çalıĢmalarla ideal topolojik uzaya taĢındı. Bu konu ile ilgili çalıĢmalar günümüze kadar devam etti ve hala da devam etmektedir.

Levine (1961) tarafından tanımlanan weak süreklilik kavramı Açıkgöz ve ark. (2004) tarafından ideal topolojik uzaylara weak-I-süreklilik olarak taĢındı ve sürekliliğin bir ayrıĢımı elde edildi. Daha sonra Jeyanthi ve ark. (2006), Kuyucu ve ark. (2007) weak-I-süreklilik kavramının bazı özelliklerini incelediler.

Biz bu çalıĢmada; weak-I-sürekliliğin yeni özelliklerini elde ettik. Bilinen bazı süreklilik çeĢitleriyle karĢılaĢtırmalarını yaptık. Ayrıca almost IH-süreklilik ve

subweak-I-süreklilik çeĢitlerini de verdik.

Sarkar (1997) fuzzy topolojik uzayda genel topolojidekine benzer Ģekilde fuzzy ideal kavramını vererek fuzzy lokal fonksiyonu tanımladı ve özelliklerini inceledi. Ardından Sarkar (1997) fuzzy lokal fonksiyon kavramından yararlanarak yeni bir kapanıĢ iĢlemi tanımladı ve yeni bir topoloji oluĢturdu. Bu konu ile ilgili günümüze kadar çeĢitli çalıĢmalar yapıldı (Nasef ve Mahmoud 2002, Hatır ve Jafari 2007, Nasef ve Hatır 2007, Yuksel ve ark. 2009, ve Keskin 2009).

Biz bu çalıĢmada; fuzzy -I-açık ve fuzzy strongly β-I-açık küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramlarını verdik. Fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy -I-açık kümenin birer ayrıĢımını elde ettik. Daha sonra fuzzy semi--I-sürekli ve fuzzy strongly β-I-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon

kavramlarını vererek fuzzy semi-I-sürekli ve fuzzy -I-sürekli fonksiyonlarının ayrıĢımlarını bulduk.

Bu tezin içeriğinde geçen (X,) topolojik uzayı, (X,x) fuzzy topolojik uzayı,

(X,,I) ideal topolojik uzayı ve (X,x,I) fuzzy ideal topoojik uzayı; üzerinde hiçbir

ayırma aksiyomu olmayan uzay olarak alınacaktır. (X,) topolojik uzayı ve (X,,I) ideal topolojik uzayındaki herhangi bir A  X alt kümesinin kapanıĢı, içi, lokal fonksiyonu ve yıldız kapanıĢı da sırasıyla A, A, A*

ve A* sembolleri ile; benzer Ģekilde (X,x) fuzzy topolojik uzayı ve (X,x,I) fuzzy ideal topolojik uzayındaki

herhangi bir A  X fuzzy alt kümesinin fuzzy kapanıĢı, fuzzy içi, fuzzy lokal fonksiyonu ve fuzzy yıldız kapanıĢı da sırasıyla A, A, A*

ve A* sembolleri ile gösterilecektir.

2. GENELLEġTĠRĠLMĠġ YENĠ KÜMELER VE BU KÜMELER YARDIMIYLA ELDE EDĠLEN YENĠ FONKSĠYONLAR

Bu bölüm iki kısımdan oluĢmaktadır.

Birinci kısımda bu bölüm için gerekli temel kavramları vereceğiz. Ayrıca g*

lc-küme, g*

lc-küme, sg*lc-küme, pg*lc-küme ve βg*lc-küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramlarını verip bazı küme çeĢitleriyle karĢılaĢtırmalarını yaparak diagram elde edeceğiz.

Ġkinci kısımda ise; g*

lc-küme, g*lc-küme, sg*lc-küme, pg*lc-küme ve βg* lc-küme olarak adlandırdığımız lc-kümelerden yararlanarak yeni fonksiyon çeĢitleri tanımlayacağız. Daha sonra da bu fonksiyonların ayrıĢımlarını bulup özelliklerini inceleyeceğiz.

2.1. Topolojik Uzaylarda Tanımlanan ve Tarafımızdan Verilen Bazı Küme ÇeĢitleri ve Özellikleri

Bu çalıĢmada önce, bilinen bazı kavram ve özellikleri verelim.

Tanım 2.1.1. (X,) topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer A kümesi için,

(i) A  ((A)) ise; A kümesine -açık küme (Njåstad 1965), (ii) A  ((A)) ise; A kümesine semi-açık küme (Levine 1963),

(iii) A (A) ise; A kümesine pre-açık küme (Mashhour ve ark. 1982 ([33])), (iv) A  ((A_)) _{ise; A kümesine -açık küme (Abd El-Monsef ve ark. 1983)}

(X,τ) topolojik uzayındaki bütün α-açık kümelerinin ailesini τα = α(X,), semi-açık kümelerinin ailesini SO(X,), pre-semi-açık kümelerinin ailesini PO(X,) ve β-semi-açık kümelerinin ailesini de βO(X,) sembolü ile göstereceğiz. τα _{= α(X,) ailesinin X}

uzayında bir topoloji oluĢturduğu ve τ  τα

olduğu Njåstad (1965) tarafından verilmiĢtir. Noiri‟de (1984) τα = PO(X,τ)  SO(X,τ) olduğunu göstermiĢtir.

ġimdi kapalılık kavramından daha genel olan küme kavramlarını verelim:

Tanım 2.1.2. (X,τ) topolojik uzayı ve A  X kümesi verilsin.

(i) U kümesi açık ve A  U iken, A _{ U oluyorsa, A kümesine}

genelleĢtirilmiĢ kapalı küme (kısaca g-kapalı küme) denir (Levine 1970). g-kapalı kümenin tümleyenine de g-açık küme denir (Levine 1970).

(ii) U kümesi g-açık ve A  U iken, A _{ U oluyorsa, A kümesine g}*

-kapalı küme denir (Kumar 2000).

Uyarı 2.1.1. Her kapalı küme g*

-kapalı ve her g*-kapalı küme de g-kapalıdır (Kumar 2000): Kapalı → g*-kapalı → g-kapalı. Genellikle bu geçiĢlerin karĢıtlarının doğru olmadığı Kumar (2000) tarafından gösterilmiĢtir. Ayrıca karĢıtlarının doğru olduğu uzayları da Kumar (2000) aĢağıdaki Ģekilde vermiĢtir:

Tanım 2.1.3. (X,τ) topolojik uzayı verilsin.

(i) Eğer X uzayının her g*-kapalı alt kümesi bu uzayda kapalı küme ise, bu takdirde (X,τ) uzayına T*

1/2-uzay (Kumar 2000) denir.

(ii) Eğer X uzayının her g-kapalı alt kümesi bu uzayda g*-kapalı küme ise, bu takdirde (X,τ) uzayına *

T1/2-uzay (Kumar 2000) denir.

ġimdi kapalı, g*

-kapalı ve g-kapalı kümelerden türetilen bilinen küme kavramlarını verelim:

Tanım 2.1.4. (X,τ) topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer A kümesi,

(i) S kümesi açık ve F kümesi kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine lokal kapalı küme ( kısaca lc-küme) (Bourbaki 1966),

(ii) S kümesi α-açık ve F kümesi kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine αlc-küme (Al-Nasef 2002),

(iii) S kümesi semi-açık ve F kümesi kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine slc-küme (Beceren ve ark. 2006),

(iv) S kümesi pre-açık ve F kümesi kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine plc-küme (Beceren ve ark. 2006),

(v) S kümesi β-açık ve F kümesi kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine βlc-küme (Beceren ve ark. 2006),

(vi) S kümesi açık ve F kümesi g-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine glc**

-küme (Balachandran ve ark. 1996),

(vii) S kümesi α-açık ve F kümesi g-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine αglc-küme (Beceren ve ark. 2006),

(viii) S kümesi semi-açık ve F kümesi g-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine sglc-küme (Beceren ve ark. 2006),

(ix) S kümesi pre-açık ve F kümesi g-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine pglc-küme (Beceren ve ark. 2006),

(x) S kümesi β-açık ve F kümesi g-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine βglc-küme (Beceren ve ark. 2006) denir.

(X,τ) topolojik uzayında verilen lc-küme, αlc-küme, slc-küme, plc-küme, βlc-küme, glc**

-küme, αglc-küme, sglc-küme, pglc-küme, βglc-küme aileleri sırasıyla LC(X,τ), αLC(X,τ), SLC(X,τ), PLC(X,τ), βLC(X,τ), GLC**_{(X,τ), αGLC(X,τ),}

SGLC(X,τ), PGLC(X,τ), βGLC(X,τ) sembolleri ile gösterilecektir.

ġimdi yeni küme kavramlarını verelim:

Tanım 2.1.5. (X,τ) topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer A kümesi,

(i) S kümesi açık ve F kümesi g*-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine g*

(ii) S kümesi α-açık ve F kümesi g*-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine αg*

lc-küme,

(iii) S kümesi semi-açık ve F kümesi g*-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine sg*

lc-küme,

(iv) S kümesi pre-açık ve F kümesi g*-kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine pg*

lc-küme,

(vi) S kümesi β-açık ve F kümesi g*- kapalı olmak üzere A = S  F Ģeklinde ise; A kümesine βg*

lc-küme denir.

(X,τ) topolojik uzayında verilen g*

lc-küme, αg*lc-küme, sg*lc-küme, pg* lc-küme, βg*

lc-küme ailelerini sırasıyla G*LC(X,τ), αG*LC(X,τ), SG*LC(X,τ), PG*LC(X,τ), βG*LC(X,τ) sembolleri ile göstereceğiz.

Uyarı 2.1.1., Tanım 2.1.4. ve Tanım 2.1.5.‟den aĢağıdaki diagramı elde ederiz.

lc-küme g*lc-küme glc**-küme

lc-küme αg*lc-küme αglc-küme

plc-küme pg*lc-küme pglc-küme

slc-küme sg*lc-küme sglc-küme

lc-küme g*

lc-küme glc-küme

Diagram 2.1.1.

Ayrıca Beceren ve ark. (2006) tarafından τ  LC(X,τ)  αLC(X,τ) PLC(X,τ), α(X,τ)  LC(X,τ) ve PO(X,τ)  PLC(X,τ) olduğu gösterilmiĢtir.

Diagram 2.1.1.‟den aĢağıdaki lemma elde edilir:

Lemma 2.1.1. Bir (X,τ) topolojik uzayı verilsin. Bu takdirde aĢağıdaki özellikler sağlanır : (i) LC(X,τ)  G*_{LC(X,τ)  GLC}**_(X,τ). (ii) αLC(X,τ)  αG*_{LC(X,τ)  αGLC(X,τ).} (iii) SLC(X,τ)  SG*_{LC(X,τ)  SGLC(X,τ).} (iv) PLC(X,τ)  PG*_{LC(X,τ)  PGLC(X,τ).} (v) βLC(X,τ)  βG*LC(X,τ)  βGLC(X,τ).

Ġspat. Uyarı 2.1.1. Tanım 2.1.4. ve Tanım 2.1.5.‟den açıktır.

(X,τ) topolojik uzayının T*1/2-uzayı alınması halinde Tanım 2.1.4. ve Tanım

2.1.5.‟de verilen kavramlar aĢağıdaki biçimde çakıĢmıĢtır:

Teorem 2.1.1. (X,τ) topolojik uzayı T*1/2-uzayı olsun. Bu takdirde aĢağıdaki

özellikler sağlanır : (i) LC(X,τ) = G*LC(X,τ). (ii) αLC(X,τ) = αG*LC(X,τ). (iii) SLC(X,τ) = SG*LC(X,τ). (iv) PGLC(X,τ) = PG*LC(X,τ). (v) βGLC(X,τ)= βG*LC(X,τ).

Ġspat. Tanım 2.1.3. ve Lemma 2.1.1.‟den görülür.

(X,τ) topolojik uzayının *T1/2-uzayı alınması halinde Tanım 2.1.4. ve Tanım

2.1.5.‟de verilen kavramlar aĢağıdaki biçimde çakıĢmıĢtır:

Teorem 2.1.2. (X,τ) topolojik uzayı *T1/2-uzay olsun. Bu takdirde aĢağıdaki

özellikler sağlanır :

(i) G*LC(X,τ) = GLC**(X,τ). (ii) αG*LC(X,τ) = αGLC(X,τ). (iii) SG*LC(X,τ) = SGLC(X,τ). (iv) PG*LC(X,τ) = PGLC(X,τ).

(v) βG*LC(X,τ) = βGLC(X,τ).

Ġspat. Tanım 2.1.3. ve Lemma 2.1.1.‟den görülür.

(X,τ) topolojik uzayının T*

1/2-uzayı ve *T1/2-uzayı olması halinde Teorem 2.1.1.

ve Teorem 2.1.2.‟den aĢağıdaki sonuç elde edilir:

Sonuç 2.1.1. (X,τ) topolojik uzayı T*

1/2-uzay ve *T1/2-uzay olsun. Bu takdirde

aĢağıdaki özellikler sağlanır :

(i) LC(X,τ) = G*LC(X,τ) = GLC**(X,τ). (ii) αLC(X,τ) = αG*LC(X,τ) = αGLC(X,τ). (iii) SGLC(X,τ) = SG*LC(X,τ) = SGLC(X,τ). (iv) PGLC(X,τ) = PG*LC(X,τ) = PGLC(X,τ). (v) βGLC(X,τ) = βG*LC(X,τ) = βGLC(X,τ).

Lemma 2.1.2. (X,τ) topolojik uzayının herhangi iki alt kümesi A ve B olsun. Bu takdirde aĢağıdaki özellikler sağlanır :

(i) Eğer APO(X,τ) ve BSO(X,τ) ise, A  B  PO(B,B) (Mashhour 1982

([32])) dır.

(ii) Eğer APO(X,τ) ve BSO(X,τ) ise, A  B  SO(A,A) (Mashhour 1982

([32])) dır.

(iii) Eğer APO(X,τ) ve Bα(X,τ) ise, A  B  α(A,A) (Mashhour 1983) dır.

(iv) Eğer Aα(X,τ) ve BβO(X,τ) ise, A  B  βO(A,A) (Abd El-Monsef ve

ark. 1983) dır.

Lemma 2.1.3. (X,τ) topolojik uzayı verilsin. Bu takdirde aĢağıdaki özellikler sağlanır :

(i) α(X,τ) = PO(X,τ)  αLC(X,τ) (Aslım ve Ayhan 2004). (ii) SO(X,τ) = βO(X,τ)  αLC(X,τ) (Al-Nasef 2002).

Tanım 2.1.6. Bir (X,τ) topolojik uzayı verildiğinde, eğer X uzayının her yoğun alt kümesi X uzayında açık küme ise (X,τ) topolojik uzayına submaximal uzay denir (Bourbaki 1966).

Tanım 2.1.7. Bir (X,τ) topolojik uzayı verildiğinde, eğer X uzayının her açık alt kümesinin kapanıĢı X uzayda açık küme ise (X,τ) topolojik uzayına extremally disconnected uzay denir (Njåstad 1965).

AĢağıdaki teorem; (X,τ) topolojik uzayının submaximal ve extremally disconnected uzay olması halinde τ = τα = SO(X,τ) = PO(X,τ) = βO(X,τ) (Janković 1983, Nasef ve Noiri 1998) olması gerçeğinden elde edilir:

Teorem 2.1.3. (X,τ) topolojik uzayı submaximal ve extremally disconnected uzay olsun. Bu takdirde aĢağıdaki özellikler sağlanır :

(i) αlc-kümeslc-kümeplc-kümeβlc-küme (Beceren ve ark. 2006). (ii) αglc-kümesglc-kümepglc-kümeβglc-küm (Beceren ve ark. 2006). (iii) g*lc-kümeαg*lc-kümesg*lc-kümepg*lc-kümeβg*lc-küme.

2.2. Topolojik Uzaylarda Tanımlanan ve Tarafımızdan Verilen Bazı Fonksiyon ÇeĢitleri ve Özellikleri

Tanım 2.2.1. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin.

(i) Eğer her VSO(Y,υ) kümesi için, f-1_{(V)SO(X,τ) ise; f fonksiyonuna}

irresolute (Crossley ve Hildebrand 1972),

(ii) Eğer her VPO(Y,υ) kümesi için, f-1_{(V)PO(X,τ) ise; f fonksiyonuna}

preirresolute (Reilly ve Vamanamurthy 1985),

(iii) Eğer her Vα(Y,υ) kümesi için, f-1_{(V)α(X,τ) ise; f fonksiyonuna}

α-irresolute (Maheshwari ve Thakur 1980),

(iv) Eğer her VβO(Y,υ) kümesi için, f-1_{(V)βO(X,τ) ise; f fonksiyonuna}

Tanım 2.2.2. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin.

(i) Eğer her Vα(Y,υ) kümesi için, f-1(V)PLC(X,τ) ise; f fonksiyonuna plcα-sürekli (Beceren ve Noiri 2008),

(ii) Eğer her Vυ kümesi için, f-1_{(V)PLC(X,τ) ise; f fonksiyonuna}

plc-sürekli (Beceren ve ark. 2006) denir.

Tanım 2.2.3. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y lc-kümesi (slc-lc-kümesi, plc-lc-kümesi, βlc-lc-kümesi, glc-kümesi, sglc-kümesi, pglc-kümesi, βglc-kümesi) için, f-1_{(V) kümesi X uzayında -açık ise; f fonksiyonuna}

strongly αlc-irresolute (strongly slc-irresolute, strongly plc-irresolute, strongly βlc-irresolute, strongly glc-irresolute, strongly sglc-irresolute, strongly pglc-irresolute, strongly βglc-irresolute) denir (Kocaman ve ark. 2009).

Tanım 2.2.4. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y lc-kümesi (slc-lc-kümesi, plc-lc-kümesi, βlc-lc-kümesi, glc-kümesi, sglc-kümesi, pglc-kümesi, βglc-kümesi) için, f-1_{(V) kümesi X uzayında pre-açık ise; f fonksiyonuna}

strongly αlc-preirresolute (strongly slc-preirresolute, strongly plc-preirresolute, strongly βlc-preirresolute, strongly glc-preirresolute, strongly sglc-preirresolute, strongly pglc-preirresolute, strongly βglc-preirresolute) denir (Kocaman ve Yuksel gönderildi).

Tanım 2.2.5. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y lc-kümesi (slc-lc-kümesi, plc-lc-kümesi, βlc-lc-kümesi, glc-kümesi, sglc-kümesi, pglc-kümesi, βglc-kümesi) için, f-1_{(V) kümesi X uzayında β-açık ise; f fonksiyonuna}

strongly αlcβ-irresolute (strongly slcβ-irresolute, strongly plcβ-irresolute, strongly βlcβ-irresolute, strongly glcβ-irresolute, strongly sglcβ-irresolute, strongly pglcβ-irresolute, strongly βglcβ-irresolute) denir (Kocaman ve Yuksel gönderildi).

Yukarıdaki fonksiyon çeĢitlerine benzer Ģekilde aĢağıdaki yeni fonksiyon çeĢitlerini verelim:

Tanım 2.2.6. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y lc-kümesi (slc-lc-kümesi, plc-lc-kümesi, βlc-lc-kümesi, glc-kümesi, sglc-kümesi, pglc-kümesi, βglc-kümesi) için, f-1_{(V) kümesi X uzayında semi-açık ise; f fonksiyonuna}

strongly αlc-semi-irresolute (strongly slc-semi-irresolute, strongly plc-semi-irresolute, strongly βlc-semi-plc-semi-irresolute, strongly glc-semi-irresolute, strongly sglc-semi-irresolute, strongly pglc-sglc-semi-irresolute, strongly βglc-semi-irresolute) denir.

Tanım 2.1.5.‟de tarafımızca verilen küme kavramlarından yararlanarak aĢağıdaki süreklilik çeĢitlerini verelim:

Tanım 2.2.7. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  υ kümesi için,

(i) f-1(V)  G*LC(X,τ) ise, f fonksiyonuna g*lc-sürekli, (ii) f-1(V)  αG*LC(X,τ) ise, f fonksiyonuna αg*lc-sürekli, (iii) f-1(V)  SG*LC(X,τ) ise, f fonksiyonuna sg*lc-sürekli, (iv) f-1(V)  PG*LC(X,τ) ise, f fonksiyonuna pg*lc-sürekli, (v) f-1(V)  βG*LC(X,τ) ise, f fonksiyonuna βg*lc-sürekli denir.

Tanım 2.2.8. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin.

(i) Eğer her VG*_{LC(Y,υ) kümesi için, f}-1_(V)G*_{LC(X,τ) ise; f fonksiyonuna}

g*lc-irresolute,

(ii) Eğer her VαG*_{LC(Y,υ) kümesi için, f}-1_(V)αG*_{LC(X,τ) ise; f}

fonksiyonuna αg*lc-irresolute,

(iii) Eğer her VSG*_{LC(Y,υ) kümesi için, f}-1_(V)SG*_{LC(X,τ) ise; f}

fonksiyonuna sg*lc-irresolute,

(iv) Eğer her VPG*_{LC(Y,υ) kümesi için, f}-1_(V)PG*_{LC(X,τ) ise; f}

fonksiyonuna pg*lc-irresolute,

(v) Eğer her VβG*_{LC(Y,υ) kümesi için, f}-1_(V)βG*_{LC(X,τ) ise; f}

Tanım 2.2.9. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y g*

lc-kümesi (g*

lc-kümesi, sg*lc-kümesi, pg*lc-kümesi, βg*lc-kümesi) için, f-1(V) kümesi X uzayında -açık ise; f fonksiyonuna strongly g*_{lc--irresolute (strongly}

g*_{lc--irresolute, strongly sg}*_{lc--irresolute, strongly pg}*_{lc--irresolute, strongly}

βg*_{lc--irresolute) denir.}

Tanım 2.2.10. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y g*

lc-kümesi (g*

lc-kümesi, sg*lc-kümesi, pg*lc-kümesi, βg*lc-kümesi) için, f-1(V) kümesi X uzayında semi-açık ise; f fonksiyonuna strongly g*

lc-semi-irresolute (strongly g*lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly pg* lc-semi-irresolute, strongly βg*

lc-semi-irresolute) denir.

Tanım 2.2.11. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y g*

lc-kümesi (g*

lc-kümesi, sg*lc-kümesi, pg*lc-kümesi, βg*lc-kümesi) için, f-1(V) kümesi X uzayında pre-açık ise; f fonksiyonuna strongly g*

lc-pre-irresolute (strongly g*lc-pre-irresolute, strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg* lc-pre-irresolute, strongly βg*

lc-pre-irresolute) denir.

Tanım 2.2.12. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y g*

lc-kümesi (g*

lc-kümesi, sg*lc-kümesi, pg*lc-kümesi, βg*lc-kümesi) için, f-1(V) kümesi X uzayında β-açık ise; f fonksiyonuna strongly g*

lc-β-irresolute (strongly g*

lc-β-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute, strongly βg*

lc-β-irresolute) denir.

Yukarıda verilen kavramlardan yararlanarak strongly g*

lc-α-irresolute fonksiyonunun bir ayrıĢımını aĢağıdaki gibi oluĢtururuz:

strongly g*lc--irresolute strongly g*lc-semi-irresolute

strongly g*lc-pre-irresolute strongly g*lc--irresolute Diagram 2.2.1.

Uyarı 2.2.1. Diagram 2.2.1.‟deki geçiĢlerin karĢıtları genellikle doğru değildir.

Örnek 2.2.1. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{a},{b},{a,b}} ve  = {X,,{a}} topolojileri verilsin. f : (X,τ) → (X,) fonksiyonu birim fonksiyon

olsun. Bu takdirde f fonksiyonu strongly g*lc-semi-irresolute, ancak strongly g* lc-pre-irresolute değildir.

Örnek 2.2.2. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{c},{a,b}} topolojisi verilsin. f : (X,τ) → (X,) fonksiyonu f(a) = b, f(b) = c ve f(c) = a olsun. Bu takdirde f fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute, ancak strongly g*lc-semi-irresolute değildir.

Tanım 2.2.13. f : (X,τ)  (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her V  Y g* lc-kümesi (g*

lc-kümesi, sg*lc-kümesi, pg*lc-kümesi, βg*lc-kümesi) için, f-1(V) kümesi X uzayında lc-küme ise; f fonksiyonuna strongly g*_{lc-lc-irresolute}

(strongly g*lc-lc-irresolute, strongly sg*lc-lc-irresolute, strongly pg* lc-lc-irresolute, strongly βg*_{lc-lc-irresolute) denir.}

Yukarıda verilen kavramlardan yararlanarak strongly αg*

lc-α-irresolute fonksiyonunun bir ayrıĢımını da aĢağıdaki gibi oluĢtururuz:

strongly αg*lc-α-irresolute strongly αg*lc-pre-irresolute

strongly αg*

lc-αlc-irresolute plcα-sürekli Diagram 2.2.2.

Uyarı 2.2.2. Diagram 2.2.2.‟de verdiğimiz geçiĢlerin karĢıtları genellikle doğru değildir.

Örnek 2.2.3. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{a}} topolojisi verilsin. f : (X,τ) → (X,τ) fonksiyonu birim fonksiyon olsun. Bu takdirde f fonksiyonu strongly αg*

lc-αlc-irresolute, ancak strongly αg*lc-pre-irresolute değildir.

Örnek 2.2.4. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ ={X,,{c},{a,b}} ve υ ={X,,{a}} topolojisileri verilsin. f : (X,τ) → (X,υ) fonksiyonu birim fonksiyon olsun. Bu takdirde f fonksiyonu strongly αg*

lc-pre-irresolute, ancak strongly αg* lc-αlc-irresolute değildir.

Strongly pg*lc-α-irresolute fonksiyonunun bir ayrıĢımını da aĢağıdaki gibi oluĢtururuz:

strongly pg*lc-α-irresolute strongly pg*lc-pre-irresolute

strongly pg*lc-αlc-irresolute plc-sürekli Diagram 2.2.2.

Uyarı 2.2.3. Diagram 2.2.2.‟deki geçiĢlerin karĢıtları genellikle doğru değildir.

Örnek 2.2.5. Örnek 2.2.3.‟de verilen fonksiyonu alalım. f fonksiyonu strongly pg*lc-αlc-irresolute ancak, strongly pg*lc-pre-irresolute değildir.

Örnek 2.2.6. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{c},{a,b}} topolojisi verilsin. f : (X,τ) → (X,τ) fonksiyonu birim fonksiyon olsun. Bu takdirde f fonksiyonu strongly pg*lc-pre-irresolute, ancak strongly pg*lc-αlc-irresolute değildir.

Uyarı 2.2.4. Strongly sg*_{lc--irresolute ve strongly g}*_{lc--irresolute}

Sürekli fonksiyonun kısıtlanması da süreklidir. Fonksiyon strongly g*

lc-α-irresolute (strongly αg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly pg* lc-α-irresolute, strongly βg*

lc-α-irresolute) ise, bu özellik; ancak alt küme pre-açık ise sağlanır:

Teorem 2.2.1. Eğer f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu strongly g*lc-α-irresolute (strongly αg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly βg*_{lc-α-irresolute) fonksiyon ve A  X alt kümesi pre-açık bir küme ise, bu}

takdirde f|A : (A,A) → (Y,υ) kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*lc-α-irresolute

(strongly αg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly βg*

lc-α-irresolute) fonksiyondur. Ġspat. V  Y alt kümesi bir g*_β*

-küme olsun. Hipotez gereği, f fonksiyonu strongly g*lc-α-irresolute olduğundan, f -1(V) kümesi α-açıktır. A  X alt kümesi de pre-açık bir küme olduğundan, Lemma 2.1.2. (iii) gereği, (f|A)-1(V) = A  f -1(V) kümesi (A,A) uzayında α-açık bir kümedir. Böylece Tanım 2.2.9. gereği, f|A

kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*

lc-α-irresolute fonksiyondur. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır

Teorem 2.2.2. Eğer f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu strongly g* lc-semi-irresolute (strongly αg*lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly βg*lc-semi-irresolute) fonksiyon ve A  X alt kümesi pre-açık bir küme ise, bu takdirde f|A : (A,A) → (Y,υ) kısıtlanmıĢ fonksiyonu

strongly g*lc-semi-irresolute (strongly αg*lc-semi-irresolute, strongly sg* lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly βg*lc-semi-irresolute) fonksiyondur.

Ġspat. V  Y alt kümesi bir g*

lc-küme olsun. Hipotez gereği, f fonksiyonu strongly g*lc-semi-irresolute olduğundan, f -1(V) kümesi semi-açıktır. A  X alt kümesi de pre-açık bir küme olduğundan, Lemma 2.1.2. (ii) gereği, (f|A)-1

(V) = A  f -1(V) kümesi (A,A) uzayında semi-açık bir kümedir. Böylece Tanım 2.2.10.

gereği, f|A kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*

lc-semi-irresolute fonksiyondur. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.3. Eğer f : (X,τ)→(Y,υ) fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute (strongly αg*

lc-pre-irresolute, strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg* lc-pre-irresolute, strongly βg*

lc-pre-irresolute) fonksiyon ve A  X alt kümesi semi-açık bir küme ise, bu takdirde f|A : (A,A) → (Y,υ) kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*

lc-pre-irresolute (strongly αg*lc-pre-irresolute, strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg*lc-pre-irresolute, strongly βg*lc-pre-irresolute) fonksiyondur.

Ġspat. V  Y alt kümesi bir g*

lc-küme olsun. Hipotez gereği, f fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute olduğundan, f -1(V) kümesi pre-açıktır. A  X alt kümesi de semi-açık bir küme olduğundan, Lemma 2.1.2. (i) gereği, (f|A)-1(V) = A  f -1(V) kümesi (A,A) uzayında pre-açık bir kümedir. Böylece Tanım 2.2.11. gereği, f|A

kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*

lc-pre-irresolute fonksiyondur. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.4. Eğer f : (X,τ)→(Y,υ) fonksiyonu strongly g*lc-β-irresolute (strongly αg*lc-β-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute, strongly βg*_{lc-β-irresolute) fonksiyon ve A  X alt kümesi -açık bir küme ise, bu}

takdirde f|A : (A,A) → (Y,υ) kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*lc-β-irresolute

(strongly αg*lc-β-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute, strongly βg*

lc-β-irresolute) fonksiyondur. Ġspat. V  Y alt kümesi bir g*

lc-küme olsun. Hipotez gereği, f fonksiyonu strongly g*lc-β-irresolute olduğundan, f -1(V) kümesi β-açıktır. A  X alt kümesi de -açık bir küme olduğundan, Lemma 2.1.2. (iv) gereği, (f|A)-1

(V) = A  f -1(V) kümesi (A,A) uzayında β-açık bir kümedir. Böylece Tanım 2.2.12. gereği, f|A

kısıtlanmıĢ fonksiyonu strongly g*

lc-β-irresolute fonksiyondur. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Ġki sürekli fonksiyonun bileĢkesi de süreklidir. Fonksiyon g*_{lc-sürekli (g}*

lc-sürekli, sg*

lc-sürekli, pg*lc-sürekli, βg*lc-sürekli) ise, bileĢke fonksiyonun durumu aĢağıdaki biçimdedir

Teorem 2.2.5. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu sürekli ve f fonksiyonu g*lc-sürekli (g*lc-sürekli, sg* lc-sürekli, pg*

lc-sürekli, βg*lc-sürekli) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da g*_{lc-sürekli (g}*

lc-sürekli, sg*lc-sürekli, pg*lc-sürekli, βg*lc-sürekli) fonksiyon olur.

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir açık küme olsun. g fonksiyonu sürekli olduğundan, g-1_{(W) kümesi Y uzayında açık küme olur. f fonksiyonu g}*

lc-sürekli olduğundan, (gof)-1

(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında g*lc-küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonu g*

lc-sürekli olur. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.6. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde f fonksiyonu g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg* lc-irresolute, βg*

lc-irresolute) ve g fonksiyonu g*lc-sürekli (g*lc-sürekli, sg*lc-sürekli, pg*lc-sürekli, βg*lc-sürekli) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da g*lc-sürekli (g*lc-sürekli, sg*lc-sürekli, pg*lc-sürekli, βg*lc-sürekli) fonksiyon olur.

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir açık küme olsun. g fonksiyonu g*

lc-sürekli olduğundan, g-1_{(W) kümesi Y uzayında g}*

lc-küme olur. f fonksiyonu g* lc-irresolute olduğundan, (gof)-1

(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında g*lc-küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonu g*

lc-sürekli olur. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Ġki g*_{lc-irresolute (g}*

lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg*lc-irresolute, βg* lc-irresolute) fonksiyonun bileĢkesi de g*_{lc-irresolute (g}*

lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg*lc-irresolute, βg*lc-irresolute) fonksiyondur:

Teorem 2.2.7. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde f ve g fonksiyonu g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg* lc-irresolute, βg*_{lc-irresolute) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke}

fonksiyonu da g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg*lc-irresolute, βg*

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu g* lc-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1_{(W) kümesi Y uzayında g}*

lc-küme olur. f fonksiyonu g*lc-irresolute olduğundan, (gof)-1(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında g*lc-küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun g*lc-irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.8. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu strongly g*lc-α-irresolute (strongly αg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly βg*lc-α-irresolute)

fonksiyon ve f fonksiyonu α-irresolute bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da strongly g*

lc-α-irresolute (strongly αg*

lc-α-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly βg*

lc-α-irresolute) fonksiyon olur.

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu strongly g*lc-α-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1(W) kümesi Y uzayında α-açık küme olur. f fonksiyonu α-irresolute fonksiyon olduğundan, (gof)-1

(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında α-açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun strongly g*lc-α-irresolute fonksiyon olduğu elde edilir.

Teorem 2.2.9. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu strongly g*lc-semi-irresolute (strongly αg*lc-semi-irresolute strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly βg* lc-semi-irresolute) fonksiyon ve f fonksiyonu irresolute bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da strongly g*

lc-semi-irresolute (strongly αg*

lc-semi-irresolute strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly βg*

lc-semi-irresolute) fonksiyon olur.

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu strongly g*lc-semi-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1(W) kümesi Y uzayında semi-açık küme olur. f fonksiyonu irresolute fonksiyon olduğundan, (gof)-1

(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında semi-açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke

Teorem 2.2.10. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute (strongly αg*lc-pre-irresolute ,strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg*lc-pre-irresolute, strongly g* lc-pre-irresolute) fonksiyonun) fonksiyon ve f fonksiyonu preirresolute bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da strongly g*

lc-pre-irresolute (strongly αg*lc-pre-irresolute ,strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg* lc-pre-irresolute, strongly g*

lc-pre-irresolute) fonksiyonun) fonksiyon olur. Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1(W) kümesi Y uzayında pre-açık küme olur. f fonksiyonu pre-irresolute fonksiyon olduğundan, (gof)-1(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında pre-açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke

fonksiyonunun strongly g*lc-pre-irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.11. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu strongly g*lc-β-irresolute (strongly αg*lc-β-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute, strongly g*lc--irresolute)

fonksiyon ve f fonksiyonu β-irresolute bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da strongly g*

lc-β-irresolute (strongly αg* lc-β-irresolute, strongly sg*

lc-β-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute, strongly g* lc--irresolute) fonksiyon olur.

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu strongly g*lc-β-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1(W) kümesi Y uzayında β-açık küme olur. f fonksiyonu β-irresolute fonksiyon olduğundan, (gof)-1

(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında β-açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun strongly g*lc-β-irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.12. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg*lc -irresolute, g*lc-irresolute) fonksiyon ve f fonksiyonu strongly g*lc--irresolute (strongly g*lc--irresolute, strongly sg*lc--irresolute, strongly pg*lc--irresolute,

strongly g*_{lc--irresolute) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke}

fonksiyonu da strongly g*lc--irresolute (strongly g*lc--irresolute, strongly sg* lc--irresolute, strongly pg*_{lc--irresolute, strongly g}*_{lc--irresolute) fonksiyon olur.}

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu g* lc-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1_{(W) kümesi Y uzayında g}*

lc-küme olur. f fonksiyonu strongly g*lc--irresolute olduğundan, (gof)-1(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında -açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun strongly g*

lc--irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.13. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg* lc-irresolute, g*lc-irresolute) fonksiyon ve f fonksiyonu strongly g*lc--irresolute (strongly g*lc--irresolute, strongly sg*lc--irresolute, strongly pg*lc--irresolute, strongly g*_{lc--irresolute) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke}

fonksiyonu da strongly g*lc--irresolute (strongly g*lc--irresolute, strongly sg*lc--irresolute, strongly pg*lc--irresolute, strongly g*lc--irresolute) fonksiyondur.

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu g* lc-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1_{(W) kümesi Y uzayında g}*

lc-küme olur. f fonksiyonu strongly g*lc--irresolute olduğundan, (gof)-1(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında -açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun strongly g*

lc--irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.14. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg* lc-irresolute, g*lc-irresolute) fonksiyon ve f fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute (strongly g*lc-pre-irresolute, strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg*

lc-pre-irresolute, strongly g*lc-pre-irresolute) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da strongly g*

lc-pre-irresolute (strongly g*

lc-pre-irresolute, strongly sg*lc-pre-irresolute, strongly pg*lc-pre-irresolute, strongly g*

Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu g* lc-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1(W) kümesi Y uzayında g*lc-küme olur. f fonksiyonu strongly g*lc-pre-irresolute olduğundan, (gof)-1(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında pre-açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun strongly g*

lc-pre-irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.15. f : (X,) → (Y,υ) ve g : (Y,υ) → (Z,) iki fonksiyon olsun. Bu takdirde g fonksiyonu g*lc-irresolute (g*lc-irresolute, sg*lc-irresolute, pg* lc-irresolute, g*

lc-irresolute) fonksiyon ve f fonksiyonu strongly g*lc-semi-irresolute (strongly g*lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly pg*

lc-semi-irresolute, strongly g*lc-semi-irresolute) bir fonksiyon ise, bu takdirde gof : (X,) → (Z,) bileĢke fonksiyonu da strongly g*

lc-semi-irresolute (strongly g*

lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly g*

lc-semi-irresolute) fonksiyon olur. Ġspat. W kümesi Z uzayında herhangi bir g*

lc-küme olsun. g fonksiyonu g* lc-irresolute fonksiyon olduğundan, g-1_{(W) kümesi Y uzayında g}*

lc-küme olur. f fonksiyonu strongly g*lc-semi-irresolute olduğundan, (gof)-1(W) = f -1(g-1(W)) kümesi X uzayında semi-açık bir küme olur. Böylece gof bileĢke fonksiyonunun strongly g*lc-semi-irresolute fonksiyon olduğu elde edilir. Diğerleri de benzer Ģekilde yapılır.

Teorem 2.2.16. f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer (X,τ) topolojik uzayı T*

1/2-uzay ise, bu takdirde aĢağıdakiler sağlanır:

(i) strongly αg*

lc-pre-irresolute (strongly αg*lc-semi-irresolute, strongly αg*

lc-α-irresolute, strongly αg*lc-β-irresolute)  strongly αlc-preirresolute (strongly αlc-semi-irresolute, strongly αlc-irresolute, strongly αlcβ-irresolute).

(ii) strongly sg*lc-pre-irresolute (strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute)  strongly slc-preirresolute (strongly slc-semi-irresolute, strongly slc-irresolute, strongly slcβ-irresolute).

(iii) strongly pg*lc-pre-irresolute (strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute)  strongly plc-preirresolute (strongly plc-semi-irresolute, strongly plc-irresolute, strongly plcβ-irresolute).

(iv) strongly βg*

lc-pre-irresolute (strongly βg*lc-semi-irresolute, strongly βg*

lc-α-irresolute, strongly βg*lc-β-irresolute)  strongly βlc-preirresolute (strongly βlc-semi-irresolute, strongly βlc-irresolute, strongly βlcβ-irresolute).

Ġspat. Teorem 2.1.1.‟den açıktır.

Teorem 2.2.17. f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer (X,τ) topolojik uzayı *

T1/2-uzay ise, bu takdirde aĢağıdakiler sağlanır:

(i) strongly αg*

lc-pre-irresolute (strongly αg*lc-semi-irresolute, strongly αg*

lc-α-irresolute, strongly αg*lc-β-irresolute)  strongly αglc-preirresolute (strongly αglc-semi-irresolute, strongly αglc-irresolute, strongly αglcβ-irresolute).

(ii) strongly sg*lc-pre-irresolute (strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute)  strongly sglc-preirresolute (strongly sglc-semiirresolute, strongly sglc-irresolute, strongly sglcβ-irresolute).(iii) strongly pg*lc-pre-irresolute (strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly pg* lc-α-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute)  strongly pglc-preirresolute (strongly pglc-semi-irresolute, strongly pglc-irresolute, strongly pglcβ-irresolute).

(iv) strongly βg*lc-pre-irresolute (strongly βg*lc-semi-irresolute, strongly βg*

lc-α-irresolute, strongly βg*lc-β-irresolute)  strongly βglc-preirresolute (strongly βglc-semi-irresolute, strongly βglc-irresolute, strongly βglcβ-irresolute).

Ġspat. Teorem 2.1.2.‟den açıktır.

(X,τ) topolojik uzayı T*

1/2-uzayı ve *T1/2-uzayı olarak alınırsa Teorem 2.2.16.

ve Teorem 2.2.17.‟den aĢağıdaki sonuç elde edilir:

Teorem 2.2.18. f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer (X,τ) topolojik uzayı T*

1/2-uzay ve *T1/2-uzay ise, bu takdirde aĢağıdakiler sağlanır:

(i) strongly preirresolute (strongly semi-irresolute, strongly αlc-irresolute, strongly αlcβ-irresolute)  strongly αg*

lc-pre-irresolute (strongly αg* lc-semi-irresolute, strongly αg*lc-α-irresolute, strongly αg*lc-β-irresolute)  strongly αglc-preirresolute (strongly αglc-semi-irresolute, strongly αglc-irresolute, strongly αglcβ-irresolute).

(ii) strongly preirresolute (strongly semi-irresolute, strongly slc-irresolute, strongly slcβ-irresolute)  strongly sg*

lc-pre-irresolute (strongly sg* lc-semi-irresolute, strongly sg*lc-α-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute)  strongly sglc-preirresolute (strongly sglc-semi-irresolute, strongly sglc-irresolute, strongly sglcβ-irresolute).

(iii) strongly preirresolute (strongly semi-irresolute, strongly plc-irresolute, plcβ-irresolute)  strongly pg*

lc-pre-irresolute (strongly pg* lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute)  strongly pglc-preirresolute (strongly pglc-semi-irresolute, strongly pglc-irresolute, strongly pglcβ-irresolute).

(iv) strongly preirresolute (strongly semi-irresolute, strongly βlc-irresolute, strongly βlcβ-irresolute)  strongly βg*

lc-pre-irresolute (strongly βg* lc-semi-irresolute, strongly βg*lc-α-irresolute, strongly βg*lc-β-irresolute)  strongly βglc-preirresolute (strongly βglc-semi-irresolute, strongly βglc-irresolute, strongly βglcβ-irresolute).

Ġspat. Sonuç 2.1.1.‟den açıktır.

Teorem 2.2.19. f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer (X,τ) topolojik uzayı submaximal ve extremally disconnected uzay ise, bu takdirde aĢağıdakiler sağlanır:

(i) strongly αlc-preirresolute (strongly αglc-preirresolute ,strongly αlcβ-irresolute, strongly αglcβ-irresolute)  strongly slc-preirresolute (strongly sglc-preirresolute, strongly slcβ-irresolute, strongly sglcβ-irresolute)  strongly plc-preirresolute (strongly pglc- plc-preirresolute, strongly plcβ-irresolute, strongly pglcβ-irresolute)  strongly βlc-preirresolute (strongly βglc-preirresolute, strongly βlcβ-irresolute, strongly βglcβ-irresolute) (Kocaman ve Yuksel gönderildi).

(ii) strongly αlc-irresolute (strongly αglc-irresolute)  strongly slc-irresolute (strongly sglc-irresolute)  strongly plc-irresolute (strongly pglc-irresolute)  strongly βlc-irresolute (strongly βglc-irresolute) (Kocaman ve Yuksel gönderildi).

(iii) strongly αlc-semi-irresolute (strongly αglc-semi-irresolute)  strongly slc-semi-irresolute (strongly sglc-semi-irresolute)  strongly plc-semi-irresolute

(strongly pglc-semi-irresolute)  strongly βlc-semi-irresolute (strongly βglc-semi-irresolute).

(iv) strongly g*lc-pre-irresolute (strongly g*lc-semi-irresolute, strongly g* lc-α-irresolute, strongly g*lc-β-irresolute)  strongly αg*lc-pre-irresolute (strongly αg*

lc-semi-irresolute, strongly αg*lc-α-irresolute, strongly αg*lc-β-irresolute)  strongly sg*lc-pre-irresolute (strongly sg*lc-semi-irresolute, strongly sg* lc-α-irresolute, strongly sg*lc-β-irresolute)  strongly pg*lc-pre-irresolute (strongly pg*lc-semi-irresolute, strongly pg*lc-α-irresolute, strongly pg*lc-β-irresolute)  strongly βg*

lc-pre-irresolute (strongly βg*lc-semi-irresolute, strongly βg* lc-α-irresolute, strongly βg*

lc-β-irresolute).

(v) g*lc-irresolute  g*lc-irresolute  sg*lc- irresolute  pg*lc- irresolute  βg*

lc- irresolute. (vı) g*

lc-sürekli  g*lc-sürekli  sg*lc-sürekli  pg*lc-sürekli  βg* lc-sürekli.

Ġspat. Teorem 2.1.3.‟den açıktır.

Teorem 2.2.20. f : (X,τ) → (Y,υ) fonksiyonu verilsin AĢağıdaki özellikler sağlanır:

(i) f fonksiyonunun strongly g*lc-α-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly g*

lc-pre-irresolute fonksiyon ve strongly g*lc-semi-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(ii) f fonksiyonunun strongly g*lc-α-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly g*

lc-pre-irresolute fonksiyon ve strongly g*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(iii) f fonksiyonunun strongly g*lc-semi-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly g*

lc-β-irresolute fonksiyon ve strongly g*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(iv) f fonksiyonunun strongly αg*lc-α-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly αg*

lc-pre-irresolute fonksiyon ve strongly αg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(v) f fonksiyonunun strongly αg*lc-semi-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly αg*

lc-β-irresolute fonksiyon ve strongly αg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(vi) f fonksiyonunun strongly sg*lc-α-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly sg*

lc-preirresolute fonksiyon ve strongly sg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(vii) f fonksiyonunun strongly sg*lc-semi-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly sg*

lc-β-irresolute fonksiyon ve strongly sg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(viii) f fonksiyonunun strongly pg*lc-α-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly pg*

lc-preirresolute fonksiyon ve strongly pg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(ix) f fonksiyonunun strongly pg*lc-semi-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly pg*lc-β-irresolute fonksiyon ve strongly pg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(x) f fonksiyonunun strongly βg*lc-α-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly βg*

lc-preirresolute fonksiyon ve strongly βg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

(xi) f fonksiyonunun strongly βg*lc-semi-irresolute fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart strongly βg*

lc-β-irresolute fonksiyon ve strongly βg*lc-αlc-irresolute fonksiyon olmasıdır.

Ġspat. Lemma 2.1.3.‟den açıktır.

Uyarı 2.2.5. (i) strongly g*

lc-semi-irresolute fonksiyon ile strongly g* lc-pre-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.1. ve Örnek 2.2.2.‟den görülür.

(ii) strongly g*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly g*lc-pre-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.3. ve Örnek 2.2.4.‟den görülür.

(iii) strongly g*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly g*lc-β-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.3. ve Örnek 2.2.4.‟den görülür.

(iv) strongly αg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly αg*lc-pre-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.3. ve Örnek 2.2.4.‟den görülür.

(v) strongly αg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly αg*lc-β-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.3. ve Örnek 2.2.4.‟den görülür.

(vi) strongly sg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly sg*lc-pre-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.3. ve Örnek 2.2.4.‟den görülür.

(vii) strongly sg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly sg*lc-β-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.3. ve Örnek 2.2.4.‟den görülür.

(viii) strongly pg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly pg*lc-pre-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.5. ve Örnek 2.2.6.‟dan görülür.

(ix) strongly pg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly pg*lc--irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.5. ve Örnek 2.2.6.‟dan görülür.

(x) strongly βg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly βg*lc-pre-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.5. ve Örnek 2.2.6.‟dan görülür.

(xi) strongly βg*lc-αlc-irresolute fonksiyon ile strongly βg*lc-β-irresolute fonksiyon kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu Örnek 2.2.5. ve Örnek 2.2.6.‟dan görülür.

3. WEAK-I-SÜREKLĠ FONKSĠYONUN ÖZELLĠKLERĠ

Bu bölüm iki ayrı kısımdan oluĢmaktadır.

Birinci kısımda; bu bölüm için gerekli ideal topolojik uzaydaki temel kavramları vereceğiz.

Ġkinci kısımda ise; weak-I-sürekli fonksiyonun özelliklerini inceleyip, bazı süreklilik çeĢitleri ile karĢılaĢtırmalarını yaparak gerekli karĢıt örnekleri vereceğiz.

3.1. Ġdeal Topolojik Uzaylar

Öncelikle, ideal topolojik uzay için gerekli bazı kavramları verelim:

Tanım 3.1.1 Topolojik uzayın bir x noktasının bir (p) özelliğine sahip bir U komĢuluğu varsa; uzay x noktasında (p) özelliğine sahiptir denir (Kuratowski 1933).

Kuratowski (1933); Tanım 3.1.1.‟de incelediğimiz kavramın değilini alarak, bir noktada verilen bu kavramı bir kümeye geniĢletti. Daha sonra; (p) özelliği yerine ideal kavramını alarak, lokal fonksiyon kavramını tanımladı ve bu fonksiyonun bazı özelliklerini verdi.

ġimdi, bu bölümde gerekli olan lokal fonksiyon kavramına geçmeden önce; belli özelliklere (kalıtımsallık ve sonlu toplamsallık) sahip kümelerin oluĢturduğu bir alt aile olan, ideal kavramı ile ilgili bazı hatırlatmalar yapalım:

Tanım 3.1.2. BoĢ olmayan bir X kümesi verilsin. P(X) güç kümesi olmak üzere; boĢ olmayan bir I  P(X) ailesi,

(ii) A, B  I ise, (A  B)  I (sonlu toplamsallık özelliği)

koĢullarını sağlıyorsa; bu taktirde I ailesine, X kümesi üzerinde bir idealdir denir (Kuratowski 1933).

En sık karĢılaĢılan idealler; minimal ideal (I = {}), sonlu kümelerin ideali (If), sayılabilir kümelerin ideali (Ic), hiçbir yerde yoğun değil kümelerin ideali (In),

ölçülebilir kümelerin ideali (Im) ve maksimal ideal (I = P(X)) olarak bilinir (Janković

ve Hamlet 1990).

Tanım 3.1.3. (X,) topolojik uzayı ve bir A  X kümesi verilsin. Ayrıca; I ailesi, X kümesi üzerinde bir ideal olsun. Bu taktirde,

A*(I,) = {x  X   U  N(x) için, (U  A)  I } kümesine, A kümesinin I

ideali ve  topolojisine bağlı lokal fonksiyonu denir (Kuratowski 1933).

Tez boyunca, karıĢıklığa neden olmadıkça; A*_{(I,) sembolü yerine, A}*

sembolünü kullanacağız. A*

sembolü ile, A kümesinin lokal fonksiyonundan bahsetmiĢ olacağız.

Lemma 3.1.1. (X,) topolojik uzayı, X kümesi üzerinde bir I ideali ve A,B  X kümeleri verilsin. Bu taktirde; aĢağıdaki özellikler sağlanır :

(i) Eğer A  B ise; A* _{ B}*

(ii) A* = (A*)  A (iii) (A*)*  A* (iv) (A  B)* = A*  B* (v) (A  B)* _{ A}* _{ B}* (vi) (A* - B*)  (A - B)*

(vii) Eğer U   ise; (U  A*_{)  (U  A)}*

(Kuratowski 1933).

Vaidyanathaswamy (1945); Kuratowski (1933) tarafından verilen *: P(X)P(X) Ģeklinde tanımlı lokal fonksiyon kavramını, 12 yıl sonra tekrar ele aldı. Bu çalıĢmada, lokal fonksiyon yardımıyla önce yeni bir fonksiyon tanımladı ve bu

fonksiyonun bir Kuratowski kapanıĢ iĢlemi olduğunu gösterdi. Ayrıca, tanımladığı fonksiyon yardımıyla, yeni bir topoloji elde etti. Daha sonra da Vaidyanathaswamy (1960) bu konudaki çalıĢmalarını ayrıntılı biçimde inceledi.

ġimdi, sırasıyla bu iki kavramı inceleyelim:

Tanım 3.1.4 . (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Herhangi bir A  X alt kümesi için, Cl*_{(A) = A  A}*

Ģeklinde tanımlanan Cl*: P(X)P(X) fonksiyonu Kuratowski kapanıĢ iĢlemidir (Vaidyanathaswamy

1960).

ÇalıĢma boyunca ; Cl*_{(A) sembolü yerine, A}*

sembolünü kullanacağız.

Tanım 3.1.5 . (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde,

*_{(I) = {U  X  (X  U)} * _{= (X  U)}}

Ģeklinde tanımlanan *_{(I) ailesi, X kümesi üzerinde bir topoloji belirtir. Bu topoloji, }

topolojisinden daha ince bir topolojidir (Vaidyanathaswamy 1960).

Janković ve Hamlet (1990) önce; minimal ideali (I = {}) ve maksimal ideali (I = P(X)) kullanarak *

(I) topolojilerini elde ettiler. Sonra; diğer idealler, bu iki ideal arasında yer aldığından, onlara karĢılık gelen *

(I) topolojileri ile ilgili sonuçlar verildi:

(i) I = {} için, A*

= A ve A* = A olduğundan *(I) = ,

(ii) I = P(X) için, A* =  ve A* = A olduğundan; *(I) = P(X) elde edilir. (i) ve (ii) ifadelerinden faydalanarak, Ģu sonuçlar verildi:

(X,) topolojik uzayı verilsin. X kümesi üzerindeki her I ideali için, {}  I  P(X) olduğundan;

 = *_{({})  }*_{(I)  }*

(P(X)) = P(X)

olduğu görüldü. Üstelik (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde, I  J olacak Ģekilde I ve J gibi iki ideal verildiğinde; *_{(I)  }*

Vaidyanathaswamy (1960), *

(I) topolojisinin açık kümelerini daha basit ifade etmek için, bir topoloji tabanı tanımladı:

Tanım 3.1.6. (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde; (I,) = { U  V  U  , V  I }ailesi *

(I) topolojisi için, bir tabandır (Vaidyanathaswamy 1960).

Janković ve Hamlet (1990), topolojik uzay ve ideal kavramlarını kullanarak, ideal topolojik uzay adlı yeni bir kavram tanımladılar:

Tanım 3.1.7. (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde tanımlı I ideali verilsin. I ideali ile birlikte (X,) topolojik uzayına, ideal topolojik uzay denir ve (X,,I) Ģeklinde gösterilir (Janković ve Hamlet 1990).

Ġdeal topolojik uzaylar üzerinde süren çalıĢmalar, bazı özel uzayların da tanımlanmasına olanak verdi. ġimdi bu uzaylardan bazılarını ele alalım:

Tanım 3.1.8. (X,,I) ideal topolojik uzayı verilsin. Eğer X = X*

ise, bu taktirde (X,,I) ideal topolojik uzayına, Hayashi uzayı denir (Hayashi 1964).

Tanım 3.1.9. (X,,I) ideal topolojik uzayında   I = {} ise bu taktirde (X,,I) ideal topolojik uzayına Samuels uzayı denir (Samuels 1975).

Janković ve Hamlet (1990), aslında farklı yıllarda verilen Hayashi uzayı ile Samuels uzayı kavramlarının çakıĢık olduklarını gösterdiler ve bu iki kavramı, Hayashi-Samuels uzayı olarak adlandırdılar. Ayrıca; bu uzayı karakterize eden bazı özellikleri de verdiler:

Lemma 3.1.2. (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde; aĢağıdaki özellikler birbirine denktir: