Bu bölüm iki ayrı kısımdan oluĢmaktadır.
Birinci kısımda; bu bölüm için gerekli ideal topolojik uzaydaki temel kavramları vereceğiz.
Ġkinci kısımda ise; weak-I-sürekli fonksiyonun özelliklerini inceleyip, bazı süreklilik çeĢitleri ile karĢılaĢtırmalarını yaparak gerekli karĢıt örnekleri vereceğiz.
3.1. Ġdeal Topolojik Uzaylar
Öncelikle, ideal topolojik uzay için gerekli bazı kavramları verelim:
Tanım 3.1.1 Topolojik uzayın bir x noktasının bir (p) özelliğine sahip bir U komĢuluğu varsa; uzay x noktasında (p) özelliğine sahiptir denir (Kuratowski 1933).
Kuratowski (1933); Tanım 3.1.1.‟de incelediğimiz kavramın değilini alarak, bir noktada verilen bu kavramı bir kümeye geniĢletti. Daha sonra; (p) özelliği yerine ideal kavramını alarak, lokal fonksiyon kavramını tanımladı ve bu fonksiyonun bazı özelliklerini verdi.
ġimdi, bu bölümde gerekli olan lokal fonksiyon kavramına geçmeden önce; belli özelliklere (kalıtımsallık ve sonlu toplamsallık) sahip kümelerin oluĢturduğu bir alt aile olan, ideal kavramı ile ilgili bazı hatırlatmalar yapalım:
Tanım 3.1.2. BoĢ olmayan bir X kümesi verilsin. P(X) güç kümesi olmak üzere; boĢ olmayan bir I P(X) ailesi,
(ii) A, B I ise, (A B) I (sonlu toplamsallık özelliği)
koĢullarını sağlıyorsa; bu taktirde I ailesine, X kümesi üzerinde bir idealdir denir (Kuratowski 1933).
En sık karĢılaĢılan idealler; minimal ideal (I = {}), sonlu kümelerin ideali (If), sayılabilir kümelerin ideali (Ic), hiçbir yerde yoğun değil kümelerin ideali (In),
ölçülebilir kümelerin ideali (Im) ve maksimal ideal (I = P(X)) olarak bilinir (Janković
ve Hamlet 1990).
Tanım 3.1.3. (X,) topolojik uzayı ve bir A X kümesi verilsin. Ayrıca; I ailesi, X kümesi üzerinde bir ideal olsun. Bu taktirde,
A*(I,) = {x X U N(x) için, (U A) I } kümesine, A kümesinin I
ideali ve topolojisine bağlı lokal fonksiyonu denir (Kuratowski 1933).
Tez boyunca, karıĢıklığa neden olmadıkça; A*(I,) sembolü yerine, A*
sembolünü kullanacağız. A*
sembolü ile, A kümesinin lokal fonksiyonundan bahsetmiĢ olacağız.
Lemma 3.1.1. (X,) topolojik uzayı, X kümesi üzerinde bir I ideali ve A,B X kümeleri verilsin. Bu taktirde; aĢağıdaki özellikler sağlanır :
(i) Eğer A B ise; A* B*
(ii) A* = (A*) A (iii) (A*)* A* (iv) (A B)* = A* B* (v) (A B)* A* B* (vi) (A* - B*) (A - B)*
(vii) Eğer U ise; (U A*) (U A)*
(Kuratowski 1933).
Vaidyanathaswamy (1945); Kuratowski (1933) tarafından verilen *: P(X)P(X) Ģeklinde tanımlı lokal fonksiyon kavramını, 12 yıl sonra tekrar ele aldı. Bu çalıĢmada, lokal fonksiyon yardımıyla önce yeni bir fonksiyon tanımladı ve bu
fonksiyonun bir Kuratowski kapanıĢ iĢlemi olduğunu gösterdi. Ayrıca, tanımladığı fonksiyon yardımıyla, yeni bir topoloji elde etti. Daha sonra da Vaidyanathaswamy (1960) bu konudaki çalıĢmalarını ayrıntılı biçimde inceledi.
ġimdi, sırasıyla bu iki kavramı inceleyelim:
Tanım 3.1.4 . (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Herhangi bir A X alt kümesi için, Cl*(A) = A A*
Ģeklinde tanımlanan Cl*: P(X)P(X) fonksiyonu Kuratowski kapanıĢ iĢlemidir (Vaidyanathaswamy
1960).
ÇalıĢma boyunca ; Cl*(A) sembolü yerine, A*
sembolünü kullanacağız.
Tanım 3.1.5 . (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde,
*(I) = {U X (X U) * = (X U)}
Ģeklinde tanımlanan *(I) ailesi, X kümesi üzerinde bir topoloji belirtir. Bu topoloji,
topolojisinden daha ince bir topolojidir (Vaidyanathaswamy 1960).
Janković ve Hamlet (1990) önce; minimal ideali (I = {}) ve maksimal ideali (I = P(X)) kullanarak *
(I) topolojilerini elde ettiler. Sonra; diğer idealler, bu iki ideal arasında yer aldığından, onlara karĢılık gelen *
(I) topolojileri ile ilgili sonuçlar verildi:
(i) I = {} için, A*
= A ve A* = A olduğundan *(I) = ,
(ii) I = P(X) için, A* = ve A* = A olduğundan; *(I) = P(X) elde edilir. (i) ve (ii) ifadelerinden faydalanarak, Ģu sonuçlar verildi:
(X,) topolojik uzayı verilsin. X kümesi üzerindeki her I ideali için, {} I P(X) olduğundan;
= *({}) *(I) *
(P(X)) = P(X)
olduğu görüldü. Üstelik (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde, I J olacak Ģekilde I ve J gibi iki ideal verildiğinde; *(I) *
Vaidyanathaswamy (1960), *
(I) topolojisinin açık kümelerini daha basit ifade etmek için, bir topoloji tabanı tanımladı:
Tanım 3.1.6. (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde; (I,) = { U V U , V I }ailesi *
(I) topolojisi için, bir tabandır (Vaidyanathaswamy 1960).
Janković ve Hamlet (1990), topolojik uzay ve ideal kavramlarını kullanarak, ideal topolojik uzay adlı yeni bir kavram tanımladılar:
Tanım 3.1.7. (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde tanımlı I ideali verilsin. I ideali ile birlikte (X,) topolojik uzayına, ideal topolojik uzay denir ve (X,,I) Ģeklinde gösterilir (Janković ve Hamlet 1990).
Ġdeal topolojik uzaylar üzerinde süren çalıĢmalar, bazı özel uzayların da tanımlanmasına olanak verdi. ġimdi bu uzaylardan bazılarını ele alalım:
Tanım 3.1.8. (X,,I) ideal topolojik uzayı verilsin. Eğer X = X*
ise, bu taktirde (X,,I) ideal topolojik uzayına, Hayashi uzayı denir (Hayashi 1964).
Tanım 3.1.9. (X,,I) ideal topolojik uzayında I = {} ise bu taktirde (X,,I) ideal topolojik uzayına Samuels uzayı denir (Samuels 1975).
Janković ve Hamlet (1990), aslında farklı yıllarda verilen Hayashi uzayı ile Samuels uzayı kavramlarının çakıĢık olduklarını gösterdiler ve bu iki kavramı, Hayashi-Samuels uzayı olarak adlandırdılar. Ayrıca; bu uzayı karakterize eden bazı özellikleri de verdiler:
Lemma 3.1.2. (X,) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde; aĢağıdaki özellikler birbirine denktir:
(ii) I = {};
(iii) Eğer U I ise, Uo = ;
(iv) Her V kümesi için, V V* (Janković ve Hamlet 1990).
3.2. Weak-I-sürekli Fonksiyonlar ve Özellikleri
Önce ideal topolojik uzaylarda bilinen bazı küme kavramlarını verelim:
Tanım 3.2.1. (X,τ,I) topolojik uzay ve herhangi bir A X alt kümesi verilsin. Eğer A kümesi için,
(i) A (A*)o ise; A kümesine pre-I-açık küme (Dontchev 1996), (ii) (A*)o = A ise; A kümesine R-I-açık küme (Yüksel ve ark. 2005), (iii) R-I-açık kümenin tümleyenine R-I-kapalı küme (Yüksel ve ark. 2005) denir.
(X,τ,I) topolojik uzayındaki bütün pre-I-açık kümelerin ailesini PIO(X,τ), bütün R-I-açık kümelerin ailesini RIO(X,τ) ve bütün R-I-kapalı kümelerin ailesini RIC(X,τ) sembolü ile göstereceğiz.
Tanım 3.2.2. f : (X,τ,I1) (Y,υ,I2 ) fonksiyonu verilsin.
(i) Eğer her x X noktası ve her V f(x) açık komĢuluğu için, f(U) V*
olacak Ģekilde U (x) açık komĢuluğu var ise; f fonksiyonuna weak-I-sürekli
(Açıkgöz ve ark. 2004),
(ii) Eğer her xX noktası ve her V υf(x) açık komĢuluğu için,
f(U) (V*)o olacak Ģekilde U (x) açık komĢuluğu var ise; f fonksiyonuna
almost-I-sürekli (almost IS-sürekli) (Yüksel ve ark. 2005),
(iii) Eğer her x X noktası ve her V f(x) açık komĢuluğu için, (f -1(V))*
(iv) Eğer her V υ kümesi için, f -1(V) POI(X,) ise; f fonksiyonuna pre- I-
sürekli (Dontchev 1996) denir.
Teorem 3.2.1. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun almost IH-sürekli fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart f fonksiyonunun pre-I-sürekli
fonksiyon olmasıdır.
Ġspat. V kümesi Y uzayının herhangi bir açık kümesi ve x f -1
(V) olsun.f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (iii) gereği,
(f -1(V))* kümesi x noktasının bir komĢuluğudur. Buradan x U (f -1(V))*
olacak Ģekilde x noktasını içeren U X açık kümesi vardır. Buradan x U = Uo
((f -1(V))*)o olur. Böylece f -1(V) ((f -1(V))*)o elde edilir. Bu da f -1(V) kümesinin pre-I-açık küme olduğunu gösterir. Dolayısıyla Tanım 3.2.2. (iv) gereği, f fonksiyonu pre-I-sürekli fonksiyon olur.
Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasını içeren bir V Y açık kümesini alalım. f fonksiyonu pre-I-sürekli fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (iv) gereği, f -1(V) pre-I-açık bir kümedir. Buradan x f -1(V) ((f -1(V))*)o (f -1(V))* olur. Böylece (f -1
(V))* kümesi x noktasının bir komĢuluğudur. Dolayısıy Tanım 3.2.2. (iii) gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon olur.
Tanım 3.2.2. ve Teorem 3.2.1.‟den yararlanarak aĢağıdaki diagram elde edilir:
süreklilik almost IS-süreklilik
almost IH-süreklilik weak-I-süreklilik
pre-I-süreklilik
Uyarı 3.2.1. Diagram 3.2.1.‟de verdiğimiz geçiĢlerin karĢıtlarının genellikle doğru olmadığı aĢağıdaki örneklerde gösterilmiĢtir.
Örnek 3.2.1. Y={1,3,5} kümesi üzerinde υ = {Y,,{5},{1,5},{3,5}} topolojisi ve I={,{1},{3},{1,3}} ideali ile birlikte (Y,υ,I) ideal topolojik uzayı, X={a,b,c} kümesi üzerinde de τ = {X,,{c},{a,b}} topolojisi ile (X,τ) topolojik uzayı verilsin. f : (X,τ) → (Y,υ,I) fonksiyonu f(a)=1, f(b)=3 ve f(c)=5 Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur. Ancak sürekli bir fonksiyon
değildir.
f fonksiyonun almost IS-sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermek için, her
x X noktası ve her V f(x) açık komĢuluğu için, f(U) (V*)o olacak Ģekilde
U (x) açık komĢuluğunun olduğunu göstermeliyiz.
(1) x = a noktası için, f(a)=1 olur. Buradan {1,5}*={1,3,5}=Y ve Y*=Y olur. Böylece herhangi bir V f(a) açık komĢuluğu için, f(U) (V*)o olacak Ģekilde U
(a) açık komĢuluğu vardır.
(2) x = b noktası için, f(b)=3 olur. Buradan {3,5}*={1,3,5}=Y ve Y*=Y olur. Böylece herhangi bir V f(b) açık komĢuluğu için, f(U) (V*)o olacak
Ģekilde U (b) açık komĢuluğu vardır.
(3) x=c noktası için, f(c)=5 olur. Buradan {5}*={1,3,5}=Y, {1,5}*={1,3,5}= Y, {3,5}*={1,3,5}=Y ve Y*=Y olur. Böylece herhangi bir V f(c) açık
komĢuluğu için, f(U) (V*)o olacak Ģekilde U (c) açık komĢuluğu vardır.
(1), (2) ve (3) gereği, f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur. Ancak
{3,5} υ için, f -1({3,5}={b,c} olduğundan f fonksiyonu sürekli değildir.
Örnek 3.2.2. X={a,b,c,d} kümesi üzerinde τ = {X,,{b},{c},{b,c},{a,b}, {a,b,c},{b,c,d}} topolojisi ve I={,{d}} ideali ile birlikte (X,τ,I) ideal topolojik uzayı verilsin. f : (X,τ) → (X,τ,I) fonksiyonu f(a)=c, f(b)=d, f(c)=a, f(d)=b Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur.Ancak almost IS-sürekli bir fonksiyon değildir.
f fonksiyonun weak-I-sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermek için, her x X noktası ve her V f(x) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde U (x) açık
komĢuluğunun olduğunu göstermeliyiz.
(1) x = a noktası için, f(a)=c olur. Buradan {c}*={c,d}, {b,c}*={a,b,c,d}=X, {b,c,d}*={a,b,c,d}=X, {a,b,c}*={a,b,c,d}=X ve X*=X olur. Böylece herhangi bir V f(a) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde U = {a,b} (a) açık
komĢuluğu vardır.
(2) x = b noktası için, f(b)=d olur. Buradan {b,c,d}*={a,b,c,d}=X ve X*= X olur. Böylece herhangi bir V f(b) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde
U (b) açık komĢuluğu vardır.
(3) x = c noktası için, f(c)=a olur. Buradan {a,b}*={a,b,d}, {a,b,c}* ={a,b,c,d}=X ve X*=X olur. Böylece herhangi bir V f(c) açık komĢuluğu için,
f(U) V* olacak Ģekilde U={b,c}
(c) açık komĢuluğu vardır.
(4) x = d noktası için, f(d)=b olur. Buradan {b}*={a,b,d}, {a,b}*={a,b,d} {b,c}*={a,b,c,d}=X, {a,b,c}*={a,b,c,d}=X, {b,c,d}*={a,b,c,d}=X ve X*=X olur. Böylece herhangi bir V f(d) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde
U = {b,c,d} (d) açık komĢuluğu vardır.
(1), (2), (3) ve (4) gereği, f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur. Ancak d X noktası için, f(d)=b olur. Buradan {b} f(d) açık komĢuluğu için, ({b}*)o
={a,b} olur. {b,c,d} (d) açık komĢuluğu için, f({b,c,d})={a,b,d} {a,b}= ({b}*)o
bulunur. Böylece f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyon değildir.
Örnek 3.2.3. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{c},{a,c}}, υ = {X,,{b}, {b,c}} topolojileri ve I={,{a}} ideali ile birlikte (X,τ,I) ideal topolojik uzayı verilsin. f : (X,τ.I) → (X,υ) fonksiyonu f(a)=a, f(b)=c ve f(c)=b Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyondur. Ancak sürekli bir
fonksiyon değildir.
f fonksiyonunun almost IH-sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermek için,
Teorem 3.2.1. gereği, pre-I-sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için de her V υ kümesi için, f -1(V) POI(X,) olduğunu göstermeliyiz.
(1) {b} υ kümesi için, f -1
({b})={c} olup, {c}*={a,b,c} bulunur. Böylece {c} {a,b,c}=({c}*
)o elde edilir ki f -1({b})={c} PIO(X,) bulunur. (2) {b,c} υ kümesi için, f -1
({b,c})={b,c} olup, {b,c}*={a,b,c} bulunur. Böylece {b,c} {a,b,c}=({b,c}*
)o elde edilir ki f -1({b,c})={b,c} PIO(X,) bulunur.
(3) X, υ kümeleri için, f -1
(X) =X ve f -1() = olup, X, PIO(X,) bulunur.
(1), (2) ve (3) gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyondur. Ancak
{b,c} υ için, f -1({b,c}={b,c} olduğundan, f fonksiyonu sürekli değildir.
Uyarı 3.2.2. Weak-I-sürekli fonksiyon ile almost IH-sürekli fonksiyonun
birbirinden bağımsız olduğu Örnek 3.2.4. ve Örnek 3.2.5.‟de gösterilmiĢtir.
Örnek 3.2.4. X={a,b,c,d} kümesi üzerinde τ = {X, ,{a},{b,c,d}} topolojisi ve I1={,{a}} ideali ile birlikte (X,τ,I1) ideal topolojik uzayı, Y={x,y,z} kümesi
üzerinde de υ ={Y,,{x},{y},{x,y},{x,z}} topolojisi ve I2={,{y}} ideali ile
birlikte (Y,υ,I2) ideal topolojik uzayı verilsin. f : (X,τ,I1) → (Y,υ,I2) fonksiyonu
f(a)=x, f(b)=f(c)=y ve f(d)=z Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyondur.Ancak weak-I-sürekli bir fonksiyon değildir.
f fonksiyonunun almost IH-sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermek için,
Teorem 3.2.1. gereği, pre-I-sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için de her V υ kümesi için, f -1(V) POI(X,) olduğunu göstermeliyiz.
(1) {x} υ kümesi için, f -1
({x})={a} olup, {a}*={a} bulunur. Böylece {a} {a}=({a}*)o elde edilir ki f -1({x})={a} PIO(X,) bulunur.
(2) {y} υ kümesi için, f -1
({y})={b,c} olup, {b,c}*={b,c,d} bulunur. Böylece {b,c}{b,c,d}=({b,c}*
)o elde edilir ki f -1({y})={b,c} PIO(X,) bulunur. (3) {x,y} υ kümesi için, f -1
({x,y})={a,b,c} olup, {a,b,c}*={a,b,c,d} bulunur. Böylece {a,b,c}{a,b,c,d}=({a,b,c}*)o elde edilir ki f -1({x,y})={a,b,c} PIO(X,) bulunur.
(4) {x,z} υ kümesi için, f -1
({x,z})={a,d} olup, {a,d}*={a,b,c,d} bulunur. Böylece {a,d}{a,b,c,d}=({a,d}*
)o elde edilir ki f -1({x,z})={a,d}PIO(X,) bulunur.
(5) Y, υ kümeleri için, f -1(Y)=X ve f -1()= olup, X, PIO(X,) bulunur.
(1), (2), (3), (4) ve (5) gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyondur.
Ancak d X noktası için, f(d)=z olur. Buradan {x,z} f(d) açık komĢuluğu için,
{x,z}*={x,z} olur. {b,c,d} (d) açık komĢuluğu için, f({b,c,d})={y,z} {x,z}=
{x,z}* bulunur. Böylece f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyon değildir.
Örnek 3.2.5. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{c},{a,b}} topolojisi ve I1={,{b}} ideali ile birlikte (X,τ,I1) ideal topolojik uzayı, Y={x,y,z} kümesi
üzerinde de υ ={Y, ,{x},{x,z}} topolojisi ve I2={,{y}} ideali ile birlikte (Y,υ,I2)
ideal topolojik uzayı verilsin. f : (X,τ,I1) → (Y,υ,I2) fonksiyonu f(a)=y, f(b)=x ve
f(c)=z Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur.Ancak almost IH-sürekli bir fonksiyon değildir.
f fonksiyonun weak-I-sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermek için, her x X noktası ve her V f(x) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde U (x) açık
komĢuluğunun olduğunu göstermeliyiz.
(1) x = a noktası için, f(a)=y olur. Buradan Y*=Y olur. Böylece herhangi bir V f(a) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde U (a) açık komĢuluğu
vardır.
(2) x = b noktası için, f(b)=x olur. Buradan {x}*={x,y,z}=Y, {x,z}*={x,y,z} =Y ve Y*=Y olur. Böylece herhangi bir V f(b) açık komĢuluğu için, f(U) V*
olacak Ģekilde U (b) açık komĢuluğu vardır.
(3) x = c noktası için, f(c)=z olur. Buradan {x,z}*= {x,y,z} = Y, ve Y*= Y olur. Böylece herhangi bir V f(c) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde
U (c) açık komĢuluğu vardır.
(1), (2) ve (3) gereği, f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur. Ancak {x} υ için, f -1({x})={b} olur. Buradan {b}*={b} olup, ({b}*)o= bulunur.
Böylece {b} =({b}*
)o olduğundan, f fonksiyonu pre-I-sürekli bir fonksiyon değildir. Teorem 3.2.1. gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyon değildir.
Tanım 3.2.3. (X,τ,I) ideal topolojik uzayı verilsin.
(i) Eğer her x X noktası ve her V (x) açık komĢuluğu için,
x U U* V olacak Ģekilde U (x) açık komĢuluğu var ise; (X,τ,I) ideal
topolojik uzayına RI-uzayı (Açıkgöz ve ark. 2004),
(ii) Eğer her x X noktası ve her V (x) açık komĢuluğu için,
x U (U*)o V olacak Ģekilde U (x) açık komĢuluğu var ise; (X,τ,I) ideal
topolojik uzayına SI-R uzayı (Yüksek ve ark. 2005),
(iii) Eğer her x X noktası ve x noktasını içeren her V RIO(X,τ) kümesi için, x U U* U V olacak Ģekilde U RIO(X,τ) kümesi var ise; (X,τ,I) ideal topolojik uzayına AI-R uzayı (Yüksel ve ark. 2005) denir.
Tanım 3.2.4. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her U RIO(X,) kümesi için, f(U) υ ise, f fonksiyonuna almost-I-açık fonksiyon (almost IS-açık
fonksiyon) (Yüksel ve ark. 2005) denir.
Uyarı 3.2.3. Her açık fonksiyon almost IS-açıktır. Ancak almost IS-açık bir
fonksiyonun genellikle açık bir fonksiyon olmadığı Örnek 3.2.6 ‟da gösterilmiĢtir.
Örnek 3.2.6. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{a},{a,c}} topolojisi ve I={,{c}} ideali ile birlikte (X,τ,I) ideal topolojik uzayı, Y={x,y,z} kümesi üzerinde de υ ={Y,,{x},{y},{x,y},{x,z}} topolojisi ile birlikte (Y,υ) topolojik uzayı verilsin. f : (X,τ,I) → (Y,υ) fonksiyonu f(a)=z, f(b)=y ve f(c)=x Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu almost IS-açık bir fonksiyondur. Ancak açık bir fonksiyon
değildir.
f fonksiyonunun almost IS-açık fonksiyon olduğunu göstermek için, her U
RIO(X,) kümesi için, f(U) υ olduğunu göstermeliyiz. RIO(X,)={X,} olup f fonksiyonu almost IS-açık bir fonksiyondur. Ancak {a} için, f({a})={z} υ olur.
Almost IS-açık bir fonksiyonun hangi durumda açık fonksiyon olduğu aĢağıda
verilmiĢtir:
Teorem 3.2.2. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu almost IS-açık fonksiyon olsun.
Eğer (X,τ,I) ideal topolojik uzayı SI-R uzayı ise, bu takdirde f fonksiyonu açık bir fonksiyondur.
Ġspat. Herhangi bir U X açık kümesini ve x U noktasını alalım. (X,τ,I) ideal topolojik uzayı SI-R uzayı olduğundan, Tanım 2.2.3 (ii) gereği, x noktasını
içeren x V (V*)o U olacak Ģekilde V X açık kümesi vardır. Buradan U =
U x o x V )( * elde edilip, f(U) =
U x o x V f ) )
(( * olur. (Vx*)o kümesi R-I-açık
kümedir (Yüksel ve ark. 2005). f fonksiyonu da almost IS-açık olduğundan, Tanım
2.2.4 gereği, f((Vx*)o) açık bir kümedir. Böylece f(U) =
U x o x V f ) ) (( * açık bir küme olur. Buradan f fonksiyonu açık fonksiyondur.
Almost IS-sürekli fonksiyon için aĢağıdaki kriterleri verelim:
Teorem 3.2.3. f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyon verilsin. Bu takdirde aĢağıdaki ifadeler birbirine eĢdeğerdir:
(i) f fonksiyonu almost IS-sürekli fonksiyondur;
(ii) Her V RIO(Y,υ) kümesi için, f -1(V) X kümesi açıktır;
(iii) Her F RIC(Y,υ) kümesi için, f -1(V) X kümesi kapalıdır;
(iv) Her x X noktası ve f(x) noktasını içeren her V RIO(Y,υ) kümesi için, f(U) V olacak Ģekilde x noktasının bir U (x) açık komĢuluğu vardır.
Ġspat. (i) (ii) V kümesi Y uzayının herhangi bir R-I-açık kümesi ve x f -1(V) olsun. Her R-I-açık küme açık küme olup, f fonksiyonu da almost IS-sürekli fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (ii) gereği, f(U) (V*)o
olacak Ģekilde U (x) açık komĢuluğu vardır. V kümesi R-I-açık bir küme
olduğundan, (V*)o) = V olup, x U f -1((V*)o) = f -1(V) bulunur. Buradan f -1(V) kümesi her noktasının komĢuluğudur. Böylece f -1(V) kümesi X uzayında açık bir kümedir.
(ii) (iii) V kümesi Y uzayında herhangi bir R-I-kapalı küme olsun. Buradan Y F kümesi R-I-açık bir kümedir. (ii) gereği, f -1(Y F) = X f -1(F) kümesi X
uzayında açık bir kümedir. Böylece f -1(F) kümesi X uzayında kapalı bir küme olur.
(iii) (iv) Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasını içeren V RIO(Y,υ)
kümesini alalım. Y V kümesi R-I-kapalı bir küme olduğundan, (iii) gereği, f -1(Y V) = X f -1(V) kümesi X uzayında kapalı bir kümedir. Buradan f -1(V)
kümesi X uzayında x noktasını içeren açık bir kümedir. x U = f -1
(V) diyelim.Böylece f(U) V olacak Ģekilde x noktasının U (x) açık bir komĢuluğu
vardır.
(iv) (i) Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasının V f(x) açık
komĢuluğunu alalım. Buradan f(x) V V*
olup, f(x) V = (V)o (V*)o bulunur. (V*)o kümesi R-I-açık bir küme (Yüksel ve ark. 2005) olduğundan, (iv) gereği, f(U) (V*
)o olacak Ģekilde x noktasının U (x) açık bir komĢuluğu vardır.
Böylece Tanım 3.2.2. (ii) gereği, f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur.
Diagram 3.2.1.‟deki geçiĢlerin karĢıtlarının doğru olduğu durumlar aĢağıda verilmiĢtir:
Teorem 3.2.4. f : (X,τ,I1) (Y,υ,I2) fonksiyon verilsin. Bu takdirde aĢağıdaki
ifadeler sağlanır:
(i) Eğer f fonksiyonu weak-I-sürekli fonksiyon ve (Y,υ,I2) AI-R uzayı ise, bu
takdirde f fonksiyonu almost IS-sürekli fonksiyondur;
(ii) Eğer f fonksiyonu weak-I-sürekli ve açık fonksiyon ise, bu takdirde f fonksiyonu almost IS-sürekli fonksiyondur;
(iii) Eğer f fonksiyonu weak-I-sürekli, almost IS-açık fonksiyon ve (X,τ,I1) SI-R
uzayı ise, bu takdirde f fonksiyonu almost IS-sürekli fonksiyondur;
(iv) Eğer f fonksiyonu almost IS-sürekli fonksiyon ve (Y,υ,I2) SI-R uzayı ise, bu
takdirde f fonksiyonu sürekli fonksiyondur.
Ġspat. (i) V kümesi Y uzayının herhangi bir R-I-açık kümesi ve x f -1
(V) olsun. Hipotez gereği, (Y,υ,I2) AI-R uzayı olduğundan, Tanım 3.2.3. (iii) gereği,
kümesi vardır. Her R-I-açık küme açık küme olup, f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (i) gereği, f(W) U* olacak Ģekilde W υ
(x)
açık komĢuluğu vardır. Böylece x W f -1
(U*) f -1(V) elde edilir. Buradan f -1(V) kümesi, her noktasının komĢuluğu olduğundan, açık bir kümedir. Teorem 3.2.3. gereği, f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur.
(ii) Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasının V f(x) açık komĢuluğunu
alalım. f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (i) gereği, f(U) V* olacak Ģekilde U (x) açık komĢuluğu vardır. f fonksiyonu açık
bir fonksiyon olduğun, f(U) açık bir küme olup, (f(U))o = f(U) (V*
)o olur. Tanım 3.2.2. (ii) gereği, f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur.
(iii) (X,τ,I1) SI-R uzayı ve f fonksiyonu almost IS-açık bir fonksiyon
olduğundan, Teorem 3.2.2. gereği, f fonksiyonu açık bir fonksiyondur. Buradan f fonksiyonu açık ve weak-I-sürekli bir fonksiyon olup, (ii) gereği, f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur.
(iv) Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasının V f(x) komĢuluğunu
alalım. Buradan f(x) V1 V olacak Ģekilde V1 f(x) açık komĢuluğu vardır.
(Y,υ,I2) SI-R uzayı olduğundan, Tanım 3.2.3. (ii) gereği, f(x) V2 (V2*)o V1
olacak Ģekilde V2 f(x) açık komĢuluğu vardır. f fonksiyonu almost IS-sürekli bir
fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (ii) gereği, f(U) (V2*)o olacak Ģekilde
U (x) açık komĢuluğu vardır. Buradan f(U) V elde edilir. Böylece f fonksiyonu
sürekli bir fonksiyondur.
Teorem 3.2.5. (Y,υ,I) ideal topolojik uzayı RI-uzayı olsun. Bu takdirde f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonunun weak-I-sürekli fonksiyon olması için gerek ve
yeter Ģart f fonksiyonunu sürekli fonksiyon olmasıdır (Açıkgöz ve ark. 2004).
Sonuç 3.2.1. Bir f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonu verilsin. (Y,υ,I) ideal topolojik uzayı RI-uzayı olsun. Bu takdirde aĢağıdaki ifadeler eĢdeğerdir:
(i) f fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur;
(ii) f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur; (iii) f fonksiyonu almost IS-sürekli bir fonksiyondur.
Weak-I-sürekli fonksiyon için aĢağıdaki kriterleri verelim:
Teorem 3.2.6. f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonunun weak-I-sürekli fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart her V kümesi için, f -1(V) (f -1
(V*))o olmasıdır (Açıkgöz ve ark. 2004).
Teorem 3.2.7. f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonu ve bir β υ tabanı verilsin.Bu takdirde, f fonksiyonunun weak-I-sürekli fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart her B β kümesi için, f -1(B) (f -1
(B*))o olmasıdır. Ġspat. Teorem 3.2.6.‟dan açıktır.
Vυ kümesini alalım. βυ taban olduğudan, V =
I i i B { herhangi Bi β} elde edilir. f fonksiyonu weak-I-sürekli fonksiyon olduğundan, Teorem 3.2.6. gereği, her iI için, f-1
(Bi) (f-1(Bi*))o olur. Buradan, f1(V)= f 1(
I i i B )=
I i i B f ) ( 1
I i o i B f )) ( ( 1
I i i B f ) ( ( 1 )o=
I i o i B f )) ( ( ( 1 =
I i o i B f )) ) (( ( 1 =(f 1(V))obulunur.Böylece f1(V) o V f ( ))( 1 olup, Teorem 3.2.6. gereği, f fonksiyonu weak-I-sürekli fonksiyondur.
Almost IH-sürekli fonksiyon için bir kriter verelim:
Teorem 3.2.8. f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonu ve bir β υ tabanı verilsin.Bu takdirde, f fonksiyonunun almost IH-sürekli fonksiyon olması için gerek ve yeter Ģart
her B β kümesi için, f -1(B) ((f -1
(B)) *)o olmasıdır.
Ġspat. f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon olsun.Teorem 3.2.1. gereği,
f fonksiyonu ise pre-I-sürekli fonksiyondur. Buradan her B β υ kümesi için, f -1(B) ((f -1(B))*)o olur.
Vυ kümesini alalım. βυ taban olduğudan, V =
I i i B { herhangi Bi β} elde edilir. f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon olduğundan, Teorem 3.2.1.
gereği, f fonksiyonu pre-I-sürekli fonksiyondur. Buradan her i I için, f-1
(Bi) X
Buradan f 1(V)= f 1(
I i i B )=
I i i B f ) ( 1
I i o i B f ) )) ( (( 1
I i o i B f ) )) ( ( ( 1 =
I i o i B f ) )) ( (( 1 =
I i o i B f ) )) ( (( 1 =((f 1(V)))o bulunur. Böylece f 1(V) o V f ( )) )(( 1 olup, f fonksiyonu pre-I-sürekli fonksiyon olur. Teorem 3.2.1. gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyondur.
Tanım 3.2.5. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu ve bir β υ tabanı verilsin. Eğer her B β kümesi için, (f -1
(B))* f -1(B*) oluyorsa f fonksiyonuna subweak-I- sürekli fonksiyon denir.
Uyarı 3.2.4. Subweak-I-sürekli fonksiyon ile weak-I-sürekli fonksiyonun birbirinden bağımsız olduğu Örnek 3.2.7. ve Örnek 3.2.8.‟de gösterilmiĢtir.
Örnek 3.2.7. X ={a,b,c,d} kümesi üzerinde τ = {X,,{a},{b,c,d}} topolojisi ve I1={,{b},{c},{d},{b,c},{d,c},{b,d},{b,c,d}} ideali ile birlikte (X,τ,I1) ideal
topolojik uzayı, Y={x,y,z} kümesi üzerinde de υ ={Y,,{x},{y},{x,y},{x,z}} topolojisi ve I2={,{y}} ideali ile birlikte (Y,υ,I2) ideal topolojik uzayı verilsin.
β={{x},{y},{x,z}} υ topoloji tabanı olsun. f : (X,τ,I1) → (Y,υ,I2) fonksiyonu
f(a)=x, f(b)=f(c)=y ve f(d)=z Ģeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu subweak-I-sürekli bir fonksiyondur. Ancak weak-I-sürekli fonksiyon değildir.
(1) {x} β kümesi için, f -1
({x})={a} olup, {a}*={a} ve {x}*= {x,z} bulunur. Böylece (f -1
({x})*={a} {a,d}= f -1({x}*) olur. (2) {y} β kümesi için, f -1
({y})={b,c} olup, {b,c}*={b,c} ve {y}*= {y} bulunur. Böylece (f -1
({y})*={b,c} {b,c}= f -1(({y})*) olur. (3) {x,z} β kümesi için, f -1
({x,z})={a,d} olup, {a,d}*={a,d} ve {x,z}*= {x,z} bulunur. Böylece (f -1
({x,z})*={a,d} {a,d}= f -1(({x,z})*) olur. (1), (2) ve (3) gereği, f fonksiyonu subweak-I-süreklidir.
{y} kümesi için, (f -1
({y}*))o= (f -1({y}))o={b,c}o = olur. Böylece f -1({y}) = {b,c} = ((f -1({y}))*)o olup, Teorem 3.2.6 gereği, f fonksiyonu
Örnek 3.2.8. X={a,b,c} kümesi üzerinde τ = {X,,{c},{a,c}}, υ ={X,,{b}, {b,c}} topolojileri ve I1={,{a}}, I2={,{b}} idealleri ile birlikte (X,,I1) ve
(X,υ,I2) ideal topolojik uzayları verilsin. β={{b},{b,c},{a,b,c}} υ topoloji tabanı
olsun. f : (X,τ,I1) → (X,υ,I2) fonksiyonu f(a)=a, f(b)=c ve f(c)=b Ģeklinde
tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur. Ancak subweak-I-sürekli fonksiyon değildir.
(1) x = a noktası için, f(a)=a olur. Buradan X*=X olur. Böylece herhangi bir V f(a) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde U (a) açık komĢuluğu
vardır.
(2) x = b noktası için, f(b)=c olur. Buradan {b,c}*={a,b,c}=X olur. Böylece herhangi bir V f(b) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde U (b) açık
komĢuluğu vardır.
(3) x = c noktası için, f(c)=b olur.Buradan {b}*={b} ve {b,c}*={a,b,c}=X olur. Böylece herhangi bir V f(c) açık komĢuluğu için, f(U) V* olacak Ģekilde
U={c} (c) açık komĢuluğu vardır
(1), (2) ve (3) gereği, f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur.
Ancak {b} β kümesi için, f -1({b})={c} ve {c}*={a,b,c} olur. Buradan (f -1({b})* = {a,b,c} f -1({b}*) = f -1({b}) = {c}bulunur. Böylece f fonksiyonu subweak-I-sürekli fonksiyon değildir.
Uyarı 3.2.5. Subweak-I-sürekli fonksiyon ile almost IH-sürekli fonksiyonun
birbirinden bağımsız olduğu Örnek 3.2.9. ve Örnek 3.2.10.‟da gösterilmiĢtir.
Örnek 3.2.9. Örnek 3.2.7.‟ deki f fonksiyonu subweak-I-sürekli bir fonksiyondur. Ancak almost IH-sürekli fonksiyon değildir.
{y} υ kümesi için, f -1
({y})={b,c} ve ({b,c}*))o=({b,c})o= bulunur. Buradan f -1({y})={b,c} ((f -1({y}))*)o= olup, f fonksiyonu pre-I-sürekli değildir. Böylece Teorem 3.2.1. gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyon
Örnek 3.2.10. Örnek 3.2.8.‟deki f fonksiyonu almost IH-sürekli bir
fonksiyondur. Ancak subweak-I-sürekli fonksiyon değildir.
f fonksiyonunun almost IH-sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermek için,
Teorem 3.2.1. gereği, pre-I-sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için de her V υ kümesi için, f -1(V) POI(X,) olduğunu göstermeliyiz.
(1) {b} υ kümesi için, f -1({b})={c} olup, {c}*={a,b,c} bulunur. Böylece {c} {a,b,c}=({c}*
)o elde edilir ki f -1({b})={c} PIO(X,) bulunur. (2) {b,c} υ kümesi için, f -1
({b,c})={b,c} olup, {b,c}*={a,b,c} bulunur. Böylece {b,c} {a,b,c}=({b,c}*)o elde edilir ki f -1({b,c})={b,c} PIO(X,) bulunur.
(3) X, υ kümeleri için, f -1
(X)=X ve f -1()= olup, X, PIO(X,) bulunur.
(1), (2) ve (3) gereği, f fonksiyonu almost IH-sürekli bir fonksiyondur.
Teorem 3.2.9. f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu almost IH-sürekli ve subweak-I-sürekli fonksiyon ise, bu takdirde f fonksiyonu weak-
I-sürekli fonksiyondur.
Ġspat. Bir B β υ kümesini alalım. f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon
olduğundan, Teorem 3.2.8. gereği, f -1(B) ((f -1
(B))*)o olur. f fonksiyonu subweak-I-sürekli fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.5. gereği, (f -1(B))* f -1(B*) olur. Buradan f -1(B) ((f -1(B))*)o (f -1(B*))o bulunur. Böylece f -1(B) (f-1(B*))o olıp, Teorem 3.2.7. gereği, f fonksiyonu weak-I-sürekli fonksiyon olur.
Teorem 3.2.10. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon ve
(Y,υ) topolojik uzayı regüler ve lokal bağlantılı uzay olsun. Eğer her bağlantılı V Y kümesi için, (f -1
(V))* f -1((V*)) ise, f fonksiyonu süreklidir.
Ġspat. Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasının V f(x) açık
komĢuluğunu alalım.(Y,υ,I) uzayı regular ve lokal bağlantılı uzay olduğundan, f(x) W W V olacak Ģekilde bağlantılı ve açık W Y kümesi vardır. W bağlantılı bir küme olduğundan, hipotez gereği, x (f -1
(W))* f -1((W*)) f -1((W)) f -1(V) bulunur. Buradan (f -1(W))* f -1(V) olur. f fonksiyonu almost
IH-sürekli fonksiyon olduğundan, Tanım 3.2.2. (iii) gereği, (f -1(W))* kümesi x
noktasının komĢuluğu olup, f -1(V) kümesi de x noktasının komĢuluğu olur. Böylece
f fonksiyonu süreklidir.
Teorem 3.2.11. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon ve
(Y,υ) topolojik uzayı lokal bağlantılı uzay olsun. Eğer her bağlantılı V Y kümesi için, (f -1
(V))* f -1((V*)) ise, f fonksiyonu weak-I-sürekli fonksiyondur.
Ġspat. Herhangi bir x X noktasını ve f(x) noktasının V f(x) açık
komĢuluğunu alalım. (Y,υ,I) uzayı lokal bağlantılı uzay olduğundan, f(x) W V olacak Ģekilde bağlantılı ve açık W Y kümesi vardır. W bağlantılı bir küme olduğundan, hipotez gereği, x (f -1
(W))* f -1((W*)) f -1(V*) olur. Buradan (f -1(W))* f -1(V*) olur. f fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon olduğundan,
Tanım 3.2.2. (iii) gereği, (f -1
(W))* kümesi x noktasının komĢuluğu olur. KomĢuluğun üst kümesi de komĢuluk olduğundan, f -1
(V*) kümesi de x noktasının komĢuluğudur. Buradan x U f -1
(V*) olacak Ģekilde bir U X açık kümesi vardır. Böylece f(U) V*
olup, Tanım 3.2.2. (i) gereği, f fonksiyonu weak-I- sürekli fonksiyondur.
Tanım 3.2.6. f : (X,τ) (Y,υ) fonksiyonu verilsin. Eğer her bağlantılı ve kapalı V Y kümesi için, f -1(V) X kümesi bağlantılı ve kapalı ise, f fonksiyonuna
semi bağlantılı fonksiyon denir (Jones 1968). Eğer f fonksiyonu semi bağlantılı ise, her bağlantılı V Y kümesi için, (f -1
(V)) f -1(V) olur (Jones 1968).
Teorem 3.2.12. f : (X,τ,I1) (Y,υ,I2) fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu
semi bağlantılı ise, her bağlantılı V Y kümesi için, (f -1
(V))* f -1(V*) olur. Ġspat. Herhangi bir bağlantılı V Y kümesini alalım. V kümesi bağlantılı ve V V* V olduğundan, V* kümesi de bağlantılıdır. Aynı zamanda V* kümesi kapalı bir kümedir. f fonksiyonu semi bağlantılı olduğundan, Tanım 3.2.6. gereği f -1
(V*) kümesi bağlantılı ve kapalı bir küme olur. Buradan (f -1(V))* (f -1(V)) (f -1(V*)) = f -1(V*) olur. Böylece (f -1(V))* f -1((V)*) elde edilir.
Teorem 3.2.13. f : (X,τ,I) (Y,υ) fonksiyonu almost IH-sürekli fonksiyon ve
(Y,υ) topolojik uzayı lokal bağlantılı uzay olsun. Eğer f fonksiyonu semi bağlantılı ise, bu takdirde f fonksiyonu weak-I-sürekli fonksiyondur.
Ġspat. f fonksiyonu semi bağlantılı olduğundan, Teorem 3.2.12. gereği, her bağlantılı V Y kümesi için, (f -1
(V))* f -1(V*) olur. Teorem 3.2.11. gereği, f fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyondur.
“f : (X,τ) (Y,υ) fonksiyonu sürekli ve örten fonksiyon olsun. Eğer (X,τ) topolojik uzayı bağlantılı ise, (Y,υ) topolojik uzayı da bağlantılıdır.‟‟ Genel Topoloji‟de bilinen bu özelliğin benzeri aĢağıdaki gibidir:
Teorem 3.2.14. f : (X,τ) (Y,υ,I) fonksiyonu weak-I-sürekli ve örten fonksiyon olsun. Eğer (X,τ) topolojik uzayı bağlantılı ise, (Y,υ,I) ideal topolojik uzayı da bağlantılıdır.
Ġspat. Varsayalım ki (Y,υ,I) ideal topolojik uzayı bağlantılı olmasın. Bu takdirde V1 V2 = ve V1 V2 = Y olacak Ģekilde boĢtan farklı V1 ve V2 açık
kümeleri vardır. Buradan f -1
(V1) f -1(V2) = ve f -1(V1) f -1(V2) = X olup, f
fonksiyonunun örten olduğundan, f -1
(V1) ve f -1(V2) kümeleri boĢtan farklıdır. f
fonksiyonu weak-I-sürekli bir fonksiyon olduğundan, Teorem 3.2.6. gereği, i = 1, 2 için, f -1
(Vi) (f -1(Vi*))o olur. i = 1, 2 için, Vi kümeleri hem açık hem de kapalı
kümeler olduğundan, f -1
(Vi) (f -1(Vi*))o (f -1(Vi))o = (f -1(Vi))o olur. Buradan
i = 1, 2 için, f -1
(Vi) açık kümelerdir. Böylece (X,τ) topolojik uzayı bağlantısız olur.
Bu ise hipotezle çeliĢir. O halde (Y,υ,I) ideal topolojik uzayı bağlantılıdır.
Tanım 3.2.7. (X,τ,I) ideal topolojik uzayının herhangi iki farklı x, y noktası verildiğinde U* V* = olacak Ģekilde x U ve y V açık kümeleri varsa; (X,υ,I) ideal topolojik uzayına Urysohn-I-uzayı denir.
“Eğer g,f : (X,τ) (Y,υ) fonksiyonları sürekli fonksiyonlar ve (Y,υ) uzayı Hausdorff uzayı ise, A={ x X f(x)=g(x) } kümesi (X,τ) uzayında kapalıdır.‟‟ Genel Topoloji‟de bilinen bu özelliğin benzeri aĢağıdaki gibidir: