Çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin bir karakterizasyonu

(1)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DOKTORA TEZİ

ÇARPANLARA AYRILABİLİR YÜZEYLERİN BİR

KARAKTERİZASYONU

(2)

(3)

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Diferensiyel geometrinin başlıca konularından olan yüzeyler teorisi, sanayide ve mimaride uygulamaları olan bir alandır. Yüzeyler için çok sayıda inceleme mevcuttur. Bunlar içinde en dikkat çekici olan yüzeyler minimal ve düz yüzeylerdir. Bu tip yüzeyler Öklid ve Minkowski uzaylarında detaylıca incelenmiştir. Bu çalışmada 4-boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında çarpanlara ayrılabilir yüzeyler için kayda değer sonuçlar bulunmuştur. Elde edilen bu sonuçlar yeni incelemelere öncülük edecektir.

Yüksek lisansımda, doktoramda ve akademik hayata ilk adımlarımdan bu yana daima yanımda olan beni destekleyen, çalışma konularımı ve bu konuyu veren, inceleyen Danışman Hocam Sayın Doç. Dr. Günay ÖZTÜRK e, bu tezin yazılmasında tecrübeleriyle emek veren hocalarım Sayın Prof. Dr. Ahmet KÜÇÜK ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Ahmet ZOR a, yaptığım çalışmalarda fikirleriyle beni yönlendiren ve destekleyen Hocam Sayın Prof. Dr. Kadri ARSLAN a, teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca çalışmalarım süresince beni motive eden ve daima arkamda olan aileme teşekkür ederim.

(4)

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ... i İÇİNDEKİLER ... ii ŞEKİLLER DİZİNİ ... iii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... iv ÖZET... v ABSTRACT ... vi GİRİŞ ... 1 1. TEMEL KAVRAMLAR ... 2

1.1. Öklid Uzayı ve Riemann Manifoldu ... 2

1.2. Öklid Uzayında Yüzey Kavramı ... 6

1.3. Minkowski Uzayında Yüzey Kavramı ... 11

2. 3 BOYUTLU UZAYLARDA ÇARPANLARA AYRILABİLİR  YÜZEYLER ... 18

2.1. IE Uzayındaki Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler ... 18 3 2.2. IE13 Uzayındaki Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler ... 21

3. IE ÖKLİD UZAYINDA ÇARPANLARA AYRILABİLİR YÜZEYLER ... 25 4 3.1. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Düz Yüzeyler ... 32 4 3.2. 4 IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Yarı Umbilik Yüzeyler ... 35

3.3. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Minimal Yüzeyler ... 37 4 3.4. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Wintgen İdeal Yüzeyler ... 42 4 3.5. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyin Eğrilik Elipsi ... 43 4 3.6. Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyin Ganchev-Milousheva Değişmezleri ... 47

4. IE MİNKOWSKİ UZAYINDA ÇARPANLARA AYRILABİLİR 14 YÜZEYLER ... 50

4.1. IE Uzayında Spacelike Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler ... 53 14 4.2. IE Uzayında Timelike Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler ... 56 ₁4 4.3. IE deki Null Olmayan Çarpanlara Ayrılabilir Düz Yüzeyler ... 57 ₁4 4.4. IE deki Null Olmayan Çarpanlara Ayrılabilir Minimal Yüzeyler ... 61 ₁4 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 65

KAYNAKLAR ... 66

EKLER ... 70

KİŞİSEL YAYINLAR VE ESERLER ... 77

(5)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1. Eşitlik (3.16) ile verilen yüzeyin izdüşümü ... 29

Şekil 3.2. Münih Olimpiyat Stadyumu, Münih, Almanya ... 29

Şekil 3.3. Çarpanlara Ayrılabilir Bezier yüzeyi ve semer yüzeyi ... 30

Şekil 3.4. Heydar Aliyev Merkezi, Bakü, Azerbaycan ... 30

Şekil 3.5. Eşitlik (3.18) ile verilen yüzeyin izdüşümü ve modellemesi ... 31

Şekil 3.6. Eşitlik (3.19) ile verilen yüzeyin izdüşümü ve modellemesi ... 31

Şekil 3.7. Eşitlik (3.34) ile verilen düz yüzeyin izdüşümü ve Sekapark ... 35

Şekil 3.8. Eşitlik (3.37) ile verilen K KN olan yüzey ... 37

Şekil 3.9. Eşitlik (3.51) ile verilen minimal yüzeyin izdüşümü ... 42

Şekil 3.10. Eşitlik (3.62) ile verilen çarpanlara ayrılabilir yüzey ... 47

(6)

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ k N A : Şekil operatörü  C : Diferensiyellenebilme n

IE : n-boyutlu Öklid uzayı n

1

IE : n-boyutlu Minkowski uzayı h : İkinci temel form

H : M manifoldunun IE uzayındaki ortalama eğrilik vektörü n

p _{: Nokta}

IR : Reel sayılar kümesi ) M ( T : Tanjant uzay ) M ( T : Normal uzay ) M (

Tp : p M noktasındaki tanjant uzay

X : İmersiyon

 : Kovaryant türev

 

M

 : M manifoldunun C vektör alanları uzayı , : (M) uzayında iç çarpım fonksiyonu  : Kısmi türev

R~ : Riemann eğrilik tensörü k

ij

 : Christofel sembolleri g _{: Metrik tensör}

(7)

ÇARPANLARA AYRILABİLİR YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU

ÖZET

Bu tezde, 3 boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında ve  4boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında çarpanlara ayrılabilir yüzeyler incelenmiştir. İlk olarak literatürde var olan 3 boyutlu uzaylardaki çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin  karakterizasyonları verilmiştir. Daha sonra 4boyutlu uzaylardaki çarpanlara ayrılabilir yüzeyler tanımlanarak bu yüzeylerin düz ve minimal olma koşulları irdelenmiştir. 4boyutlu Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin eğrilik elipsi incelenmiş, ayrıca bu yüzeylerin Wintgen ideal (süperkonformal) yüzey olma koşulu ele alınmıştır. Son olarak 4

1

IE Minkowski uzayında spacelike ve timelike çarpanlara ayrılabilir yüzeyler tanımlanmış ve sınıflandırmaları verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Çarpanlara Ayrılabilir Yüzey, Eğrilik Elipsi, Gauss eğriliği,

(8)

A CHARACTERIZATION OF FACTORABLE SURFACES ABSTRACT

In this thesis, factorable surfaces were focused on, in 3 dimensional Euclidean and  Minkowski spaces and 4dimensional Euclidean and Minkowski spaces. Firstly, classification of factorable surfaces were analyzed in 3 dimensional spaces which  was in literature. Then in 4dimensional spaces, factorable surfaces were defined and the conditions were examined for such surfaces to become flat and minimal. Moreover, curvature ellipses of factorable surfaces were investigated in four dimensional Euclidean space IE and necessary and sufficient conditions were given 4 for this type of surfaces to become Wintgen ideal (superconformal) surface. Finally, spacelike and timelike factorable surfaces were introduced and classify in IE . ₁4

Keywords: Factorable Surface, Curvature Ellipse, Gaussian curvature, Normal

(9)

GİRİŞ

Çarpanlara ayrılabilir yüzeyler, ilk olarak 1993 yılında Van de Woestyne tarafından helikoidlerin bir sınıflandırması olarak ele alınmıştır [45, 46]. Homotetik yüzeyler olarak da anılan çarpanlara ayrılabilir yüzeyler birçok geometrici tarafından farklı uzaylarda farklı bakış açılarıyla değerlendirilmiştir [9, 10, 12, 34, 37, 44, 49]. Bu çalışmadaki amaç, çarpanlara ayrılabilir yüzeyleri 3 ve 4boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında karakterize etmek, bu yüzeyler için örnekler vererek bu yüzeyleri sınıflandırmaktır.

Bu tez, beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölüm, diğer bölümlere kaynak teşkil edecek bazı temel bilgileri içermektedir.

İkinci bölümde, 3 boyutlu Öklid uzayı ve  3 boyutlu Minkowski uzayında  çarpanlara ayrılabilir yüzeyler ve özelikleri verilmiştir.

Üçüncü bölümde, 4boyutlu Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeyler tanımlanmıştır. Çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin düz, yarıumbilik ve minimal olma durumları incelenmiştir. Buna ek olarak, bu yüzeylerin Wintgen ideal yüzeyine karşılık gelme şartı verilmiştir. Ayrıca bir yüzeyin eğrilik elipsi kavramı ele alınmış, çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin eğrilik elipsi için sınıflandırmalar yapılmıştır. Bu bölümün son kısmında çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin Ganchev-Milousheva değişmezleri ele alınmıştır.

Dördüncü bölümde, 4boyutlu Minkowski uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeyler tanımlanmıştır. Spacelike ve timelike çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin düz ve minimal olma koşulları incelenmiştir. Özel olarak, eliptik tipteki Aminov yüzeyinin

4 1

(10)

1. TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Öklid Uzayı ve Riemann Manifoldu

Bu kısımda bilinen önemli temel kavramlar ve literatürde var olan, ileriki kısımlarda yardımcı olacak bazı önermeler verilmiştir.

Tanım 1.1.1: A boştan farklı bir küme ve V, bir vektör uzayı olsun. P,QA noktaları için;



P,Q



PQ V V A A :       (1.1) dönüşümü tanımlansın. (1.1) dönüşümü 1) P,Q,RAiçin     PQ QR PR dir.

2) Her P Ave her V için  

PQ olacak şekilde bir tek Q A vardır, şartlarını sağlıyorsa A kümesine V ile birleştirilmiş afin uzay denir [29, 30]. Her vektör uzayı kendisi ile birleştirilmiş afin uzaydır.

Tanım 1.1.2: A, V vektör uzayı ile birleştirilmiş afin uzay olsun. V üzerinde;

 



1 2 n





1 2 n



n 1 i i iy , x x ,x ,...,x , y y ,y ,...,y x y , x y , x IR V V : ,      



 (1.2)

ile tanımlı , dönüşümü, Öklid iç çarpımıdır. Eşitlik (1.2) deki iç çarpım yardımıyla A kümesinde uzaklık, açı gibi metrik kavramlar tanımlanabilir. Bu durumda, A uzayına n-boyutlu Öklid uzayı denir. n

IE ile temsil edilir [29, 30]. Tanım 1.1.3: M boştan farklı bir küme olmak üzere

(11)

2) M kümesinin açık kümeleri ile n-boyutlu Öklid uzayının açık kümeleri arasında homeomorfizimler var,

3) M kümesi sonlu sayıda açık küme ile örtülebilir, ise, M kümesine topolojik manifold denir [30].

Tanım 1.1.4: M bir topolojik nmanifold olsun. M üzerinde Ck sınıfından bir diferensiyellenebilir yapı tanımlanabilirse M manifolduna k

C sınıfından diferensiyellenebilir manifold denir [30].

Tanım 1.1.5: M, 

C sınıfından (diferansiyellenebilir) bir manifold olsun., M üzerinde diferansiyellenebilir vektör alanlarının uzayı (M) ve M kümesinden reel sayılar kümesine tanımlı diferansiyellenebilir fonksiyonların uzayı C(M,IR) olmak üzere, M üzerinde;

g : (M) x (M)  C(M, IR) (1.3) metriği tanımlı ise M manifolduna bir Riemann Manifoldu denir. (1.3) de g, metrik tensör (veya Riemann metriği) dir [18].

Tanım 1.1.6: M, C_{sınıfından bir manifold olmak üzere;}

2 X 2 1 2 1 ,X ) (X ,X )= X (X (M); (M) (M) : 1          (1.4) verilsin. (1.4) dönüşümü,  f, g  C(M, IR) ve  X₁,X₂,X₃ (M) için;

i) _X (X₂ X₃) _XX₂ _X X₃ 1 1 1     ii) _f_X _g_X X₃ f _X X₃ g _X X₃ 2 1 2 1       iii) x₁(fX2)fx₁X2 X1(f)X2

lineerlik şartları sağlanırsa,  dönüşümü M üzerinde bir afin koneksiyon adını alır [30]. Burada

i

X

 operatörü, X_i ( i 1,2,3)_{vektör alanına bağlı kovaryant türevdir.}

(12)

i) _X X₂ _X X₁ [X₁,X₂]

2

1  

 (sıfır torsiyon)

ii) X1 X2,X3  X₁X2,X3  X2,X₁X3 (koneksiyonun metrikle bağdaşması) özelliklerini sağlıyorsa,  ya M nin Levi-Civita koneksiyonu ( veya sıfır torsiyonlu Riemann koneksiyonu) denir [18, 30].

Tanım 1.1.8: M ve ₁ M sırasıyla n ve 2



n d



boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar olmak üzere f:M₁M₂ diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. Her p  M için; ) M ( T ) M ( T : df_p _P ₁  _f₍_p₎ ₂ (1.5) dönüşümü birebir ise f dönüşümüne bir imersiyon (daldırma) denir. Ayrıca,

2 1

1 f(M ) M M

:

f   dönüşümü homeomorfizm ise f dönüşümüne bir gömme (imbedding) denir. Eğer M ₁ M₂ ve f:M₁M₂ bir gömme ise M manifolduna ₁

2

M manifoldunun nboyutlu bir gömülen (immersed) altmanifoldu adı verilir. Ayrıca (1.5) dönüşümü birebir (f imersiyon) olsun.  X₁,X₂  TpM için;

p 2 1 ) p ( f 2 p 1 p(X ),df (X ) X ,X df  (1.6) koşulu sağlanıyorsa f ye bir izometrik daldırma denir [18].

Tanım 1.1.9: M ₁ M₂ bir altmanifold ve ~ da M de kovaryant türev olsun. Bu ₂ durumda her X₁,X₂(M₁)ve her p M₁ noktası için X X2)p

~ ( 1  iyi tanımlıdır. Bununla birlikte (~_XX₂)_p T_pM₁ 1   ve h_p(X₁,X₂)T_pM₁ olmak üzere;



X



h (X ,X ) ) X ~ ( _p ₁ ₂ p 2 X p 2 X1   1   (1.7)

şeklinde Gauss denklemi elde edilir. Burada h, M manifoldunun ikinci temel ₁ formudur [18].

Önerme 1.1.10: f :M₁M₂_{bir izometrik daldırma ve}g ve ₁ g de sırasıyla ₂ M ve ₁ M üzerinde tanımlı metrikler olsun. Bu durumda h(X ,X ), M üzerinde bir

(13)

normal vektör alanı olup simetrik ve 2-lineerdir.  da M üzerinde indirgenmiş ₁ metrik g f*(g₂)

1  in bir Riemann koneksiyonudur [18].

Tanım 1.1.11: M 1 M2 bir altmanifold olmak üzere M manifolduna dik bir birim 1 normal vektör alanı  olsun. Böylece ~_X nın tanjant kısmı A_(X) ve dik kısmı

) ( DX  olmak üzere;       X A X DX ~ (1.8) biçiminde Weingarten denklemi tanımlanır. Burada A_ operatörüne şekil operatörü, D koneksiyonuna M manifoldunun normal demetindeki (normal) koneksiyonu ₁ denir [18].

Önerme 1.1.12:

i) A_(X),  ve Xüstünde 2-lineerdir.

ii) M alt manifoldunun her bir ₁  normal vektörü ve X₁,X₂ teğet vektörleri için ) ), X , X ( h ( g ) X ), X ( A ( g1  1 2  2 1 2  dır [18].

Tanım 1.1.13: M ₁ M₂, bir altmanifold olsun. Bu durumda M nin eğrilik tensörü ₂ R~ olmak üzere X1,X2,X3(M2) için;

X,X  3 3 X X 3 X X 3 2 1 X ~ X ~ ~ X ~ ~ )X X , (X R~ 2 1 1 2 2 1      (1.9) biçiminde tanımlanır. Ayrıca M alt manifoldunun eğrilik tensörü R için; ₁

) X , X ( h ), X , h(X ) X , X ( h ), X , h(X ) X , X ; X , R(X ) X , X ; X , (X R~ 3 2 4 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1    (1.10)

dir. Denklem (1.10) Gauss denklemi olarak bilinir. Ayrıca Eşitlik (1.9) daki 3 2 1,X )X (X R~ ün normal bileşeni; ( R~(X₁,X₂)X₃) = ( h 1 X  )(X ,₂ X₃)  ( _X h(X₁,X₃) 2  ) (1.11) denklemi ile verilir. Denklem (1.11) Codazzi denklemi olarak adlandırılır [18].

(14)

Ayrıca M alt manifoldunun normal vektör alanları ₁  ve  olmak üzere M ₁ manifoldunun normal demeti üzerindeki eğrilik tensörü R ise;

        _ _  2 1 2 1 2 1 R(X ,X ; , ) [A ,A ](X ),X ~ ) , ; X , X ( R (1.12)

şeklinde Ricci denklemi tanımlanır. Denklem (1.12) de [ , ] Lie parantez operatörü olup;



A,A



AA AA (1.13) eşitliği sağlanır [18]. Eğer  X₁,X₂,X₃(M₁)için;   0 D D D -D D ) X , (X R 2 1 1 2 2 1 X X X X,X X 2 1     (1.14) oluyorsa Eşitlik (1.14) ü sağlayan M alt manifolduna düz normal koneksiyonludur ₁

denir [18].

1.2. Öklid Uzayında Yüzey Kavramı

Bu kısımda Öklid uzayınlarındaki yüzey kavramı ve buna bağlı tanım ve teoremler ele alınmıştır.

Tanım 1.2.1: I, IR de bir açık bir aralık ve :IIRIEn bir diferensiyellenebilir dönüşüm olmak üzere s I için (s)0 koşulu sağlanıyorsa  dönüşümüne Öklid uzayında bir regüler eğri denir [39].

Tanım 1.2.2: n IE

S  olsun. X:UIE2 S, türevlenebilir dönüşümü IE n uzayında bir koordinat yaması oluşturur. X(U) yaması regüler ise S kümesine IE n Öklid uzayında bir lokal yüzey denir [39].

n IE

S  , X(u,v) regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. S yüzeyinin p noktasındaki teğet uzayı TpS nin bir bazı,



Xu,Xv



dir. Bu durumda S yüzeyinin birinci temel formu;

(15)

ile tanımlanır. Eşitlik (1.15) de birinci temel formun katsayıları; u

u,X X

E  , F  X_u,X_v , G  X_v,X_v (1.16) ile hesaplanır. X(u,v) yaması ile verilen S yüzeyinin regüler olması için gerek yeter koşul W2 EGF2 0 olmasıdır.

S nin p noktasındaki normal uzayı T_pS nin ortonormal bir bazı



N₁,...,N_n₂



, olmak üzere p S için; S T S T IE T_p n  _p  _p (1.17) dir.

~ ve  sırasıyla S ve IE in Levi-Civita koneksiyonları olmak üzere, n S

T X ,

X1 2 p

 ve N_kT_pS için Eşitlik (1.7) de tanımlanan Gauss denklemi;



       2 1 k 2 n 1 k k k ij k k ij j XX X c N ~ i (1.18) biçimine dönüşür. Eşitlik (1.7) de



    n 1 k k k ij j XiX X (1.19) ve



   n 2 1 k k k ij j i,X ) c N X ( h (1.20)

dir. Bununla birlikte Eşitlik (1.8) ile tanımlanan Weingarten denklemi;

k X i N k X N A X D N ~ i k i    ; 1i2, 1kn2 için





k ij j i i N X ,h X ,X c A k  (1.21)

dir. Denklem (1.18) de  ya Christofel sembolleri, Denklem (1.21) deki _ijk c ya k_ij ikinci temel form katsayıları adı verilir.

(16)

Tanım 1.2.3: n

IE uzayında X(u,v) yaması ile verilen S yüzeyi için 2. mertebeden kısmi türevler uu X Xu ~ X u   , uv X Xv ~ X u   , vv X Xv ~ X v   olmak üzere S yüzeyinin ikinci temel form katsayıları;

k vv k 22 k uv k 12 k uu k 11 N , X c 2 n k 1 , N , X c , N , X c       (1.22) ile hesaplanır [35].

Önerme 1.2.4: S IEn n-boyutlu Öklid uzayında bir lokal yüzey olmak üzere;





n 2 2 n 11 2 2 11 1 1 11 u u,X c N c N ... c N X h      _





n 2 2 n 12 2 2 12 1 1 12 v u,X c N c N ... c N X h      _ (1.23)





n 2 2 n 22 2 2 22 1 1 22 v v,X c N c N ... c N X h      _ dir [14].

Önerme 1.2.5: S:X(u,v) yüzeyi için Tp

 

S tanjant uzayının ortonormal baz vektörleri X₁,X₂ olmak üzere;

             2 u u v u v 2 u u 1 X X X , X X W E X X X X (1.24)



u v



h



Xu,Xu



WE F X , X h W 1 X , X h   (1.25)

(17)













2



u u



2 v u 2 v v 2 2 2 h X ,X E W F X , X h W F 2 X , X h W E X , X h    ile verilir [14]. Tanım 1.2.7: n IE

S  yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. (S) nin ortonormal bir bazı



X₁,X₂



olmak üzere S nin ikinci temel form katsayıları;



i j



k k

ij h X ,X ,N

h  (1.26) ile tanımlanır.

Önerme 1.2.8: S IEn yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. Her



X₁,X₂



(S) ve



N₁,N₂,..,N_n_₂



(S) ortonormal bazları için ikinci temel form katsayıları



1kn2















_                _     k 11 2 k 12 k 22 2 k 2 2 k 22 k 11 k 12 k 2 1 k 12 k 11 k 1 1 k 11 c E F Fc 2 Ec W 1 N , X , X h h , c E F c W 1 N , X , X h h , E c N , X , X h h (1.27) dir.

Sonuç 1.2.9: X(u,v) regüler yaması ile verilen S IEn yüzeyinin N normal _k vektörüne göre şekil operatörü matrisi;

                          _       _  k 11 2 k 12 k 22 2 k 11 k 12 k 11 k 12 k 11 N c E F Fc 2 Ec W 1 c E F c W 1 c E F c W 1 E c A k (1.28) dir.

İspat: X ve ₁ X ortonormal teğet vektörler omak üzere (1.8) ve (1.23) 2 eşitliklerinden;

(18)









2 k 12 1 k 11 2 k 2 1 1 k 1 1 2 2 1 N 1 1 1 N 1 N X h X h , X N , X , X h X N , X , X h , X X , X A X X , X A X A k k k       (1.29) dir. Ayrıca, 2 k 22 1 k 12 2 N X h X h X A k   (1.30)

dir. Dolayısıyla, Eşitlik (1.29) ve (1.30) dan

k

N

A şekil operatörü matrisi;

       k 22 k 12 k 12 k 11 N h h h h A k (1.31)

olduğundan Eşitlik (1.19) ve (1.27) yardımıyla istenilen sonuç elde edilir. Tanım 1.2.10: S yüzeyinin Gauss eğriliği;



    n 2 1 k 2 k 12 k 22 k 11 2 (c c (c ) ) W 1 K (1.32) şeklinde tanımlanır [36].

Tanım 1.2.11: S yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü;



      n 2 1 k k k 12 k 22 k 11 2 c G c E 2c F)N W 2 1 H (1.33)

dir. Ortalama eğrilik vektörünün normu

  H

H , S yüzeyinin ortalama eğriliği olarak adlandırılır [35].

Tanım 1.2.12: K 0 ise S yüzeyine düz (flat) yüzey, H 0 

ise S yüzeyine minimal yüzey denir [18].

Tanım 1.2.13: S yüzeyinin k yıncı ortalama eğrililiği

) F c 2 E c G c ( W 1 H_k  ₂ ₁₁k  ₂₂k  ₁₂k , 1kn2 (1.34)

(19)

dir. Eğer S yüzeyinin k yıncı ortalama eğriliği sıfırsa, S yüzeyine H -minimaldir _k denir [18].

Tanım 1.2.14: 4

IE uzayında S yüzeyi X(u,v) yaması ile verilsin. Tp(S) uzayının ortonormal bazı



X₁,X₂



, T_p(S) nin ortonormal bazı



N₁,N₂



olmak üzere S yüzeyinin normal eğriliği;

    1 2 2 1 N R (X ,X )N ,N K (1.35) şeklinde tanımlıdır [26]. Eğer normal eğrilik sıfır ise S yüzeyine düz normal koneksiyonludur denir.

Eşitlik (1.35) deki KN birinci ve ikinci temel form katsayıları yardımıyla aşağıdaki teorem yardımıyla verilir.

Teorem 1.2.15: IE Öklid uzayında bir yüzeyin normal eğrilik fonksiyonu; 4



 



3 1 12 2 11 2 12 1 11 1 22 2 11 2 22 1 11 1 22 2 12 2 22 1 12 N W c c c c G c c c c F c c c c E K       (1.36) dir [3].

1.3. Minkowski Uzayında Yüzey Kavramı

Minkowski uzayı, Einstein’in özel görelilik kuramının en uygun şekilde gösterimlendiği matematiksel yapıdır. Lorentz iç çarpımı yardımıyla tanımlanır. İç çarpım her zaman pozitif tanımlı olmadığından eğriler ve yüzeyler çeşitlilik gösterir. Spacelike vektörler, eğriler ve yüzeyler Öklid uzayındaki yapılara benzerlik gösterir. Tanım 1.3.1: n

t

IE , n-boyutlu yarı-Öklid uzayında iki vektör X(x₁,x₂,...,x_n) ve ) y ,..., y , y (

Y ₁ ₂ _n olmak üzere t indeksli Lorentz metriği;



      n 1 t j j j t 1 i i iy x y x ) Y , X ( g (1.37)

ile tanımlıdır. Bu metrik yardımıyla tanımlı yarı Öklid uzayı, n t

(20)

Bu durumda Eşitlik (1.37) daki Lorentz-metriği;



    n 2 j j j 1 1y x y x ) Y , X ( g (1.38)

biçiminde ifade edilir. Tanım 1.3.2: n

1

IE n-boyutlu Minkowski uzayında X,YE₁n için;



X,Y



0

g  (1.39) ise X ve Y vektörleri Lorentz anlamında diktir (ortogonaldir) denir [43].

Tanım 1.3.3: n 1 IE Y ,

X  Eşitlik (1.39) i sağlayan, sıfır olmayan Lorentz vektörler olsun. X timelike vektör ise Y spaceliketır [43].

Tanım 1.3.4: n 1 n 1,...,x ) IE x (

0 F

EG 2  ise S yüzeyi spaceliketır. 0

F

EG 2  ise S yüzeyi timeliketır. 0

F

EG 2  ise S yüzeyi null (ligtlike) tır [22, 23, 24]. S

p 

 için T_pIEn T_pST_pS olsun. Burada T_pS, IE uzayında tanjant uzayın ₁n ortogonal tümleyenidir.

S yüzeyine tanjant ve normal diferensiyellenebilir vektör alanlarının uzayı, (S) ve )

S ( 

 , S ve IE nin koneksiyonları ise sırasıyla ₁n  ve ~ olsun.X₁,X₂(S) ve ) S ( N_k_p için; 2 X 2 X 2 1 X X ~ ) X , X ( h ) S ( ) S ( ) S ( : h 1 1          (1.44)

şeklindeki dönüşüm S yüzeyinin ikinci temel form dönüşümüdür. S nin şekil operatörü; ) S ( X , ) N ( X A ); S ( ) S ( x ) S ( : A i T j X i N_k   _i       (1.45) olarak tanımlıdır [22,24]. Tanım 1.3.7: n 1 IE

S  yüzeyi X(u,v) yaması ile verilsin. X(u,v) yamasının ikinci mertebeden kısmi türevleri Xuu,Xuv,Xvv olmak üzere S yüzeyinin ikinci temel

(22)











vv k



k 22 k uv k 12 k uu k 11 N , X g c 2 n k 1 , N , X g c , N , X g c       (1.46) şeklinde tanımlanır [22,24].

Teorem 1.3.8:IE₁3, Minkowski uzayındaki bir S yüzeyinin Gauss eğriliği;

 

2 2 1 12 1 22 1 11 F EG c c c K     (1.47) dir [25].

Teorem 1.3.9: IE13, Minkowski uzayındaki bir S yüzeyinin ortalama eğriliği;

2 1 22 1 12 1 11 F EG 2 e c f c 2 g c H     , (1.48) dir [25]. 4 1

IE , 4-boyutlu Minkowski uzayında bir spacelike yüzey için EGF2 0 dır. N ₁ timelike, N spacelike olacak şekilde normal demetinin bir ₂



N₁,N₂



ortonormal bazını ele alalım. Bu durumda aşağıdaki tanımlar verilebilir:

) v , u (

X yaması ile verilen S IE₁4 spacelike yüzeyinin Eşitlik (1.32) deki ikinci temel form dönüşümü X_u ve X_v teğet vektörler olmak üzere;





v 2 11 u 1 11 u u,X c X c X X h   ,





v 2 12 u 1 12 v u,X c X c X X h   , (1.49)





v 2 22 u 1 22 v v,X c X c X X h   şeklinde yazılır [22]. ) v , u ( X :

S spacelike yüzeyi için T_p

 

S tanjant uzayının ortonormal baz vektörleri 2

1,X

(23)

      _   u v 2 u 1 X E F X E W X , E X X (1.50) şeklinde hesaplanır.

İkinci temel form dönüşümü ortonormal teğet vektörler yardımıyla;





2 2 11 1 1 11 1 1,X h X h X X h   ,





v 2 12 u 1 12 2 1,X h X h X X h   , (1.51)





2 2 22 1 1 22 2 2,X h X h X X h  

ile verilir. Eşitlik (1.51) deki, k ij

h lar S IE₁4_{spacelike yüzeyinin şekil operatörü} matrislerinin elemanlarıdır. Dolayısıyla, Eşitlik (1.49) ve (1.50) den S yüzeyinin şekil operatörü matrisleri;

                          _       _  k 11 2 k 12 k 22 2 k 11 k 12 k 11 k 12 k 11 N c E F Fc 2 Ec W 1 c E F c W 1 c E F c W 1 E c A k dır [22]. Tanım 1.3.10: 4 1

IE Minkowski uzayında şekil operatörü matrisleri

1 N A ve 2 N A olan bir spacelike yüzeyin Gauss eğriliği;



det(A ) det(A )



W 1 K 2 1 N N 2    (1.52) dir [22].

Dolayısıyla Eşitlik (1.52) ikinci temel formun katsayıları yardımıyla;



 



2 2 2 12 2 22 2 11 2 1 12 1 22 1 11 W ) c ( c c ) c ( c c K     (1.53) olarak elde edilir [31].

(24)

Tanım 1.3.11: 4 1

IE Minkowski uzayında ikinci temel formun katsayıları k22 k 12 k 11,c ,c c

olan bir spacelike yüzeyin k-yıncı ortalama eğriliği; ) F c 2 E c G c ( W 2 1 H 12k k 22 k 11 2 k    (1.54) dir.

Belirlenen baza göre spacelike yüzeyin ortalama eğrilik vektörü;



2





N₂,N₂



 dir. O halde; 1 ; N c N c X X X X ~ ; N c N c X X X X ~ ; N c N c X X X X ~ 2 2 22 1 1 22 v 2 22 u 1 22 vv v X 2 2 12 1 1 12 v 2 12 u 1 12 uv v X 2 2 11 1 1 11 v 2 11 u 1 11 uu u X v u u                            (1.56)

türev formüllerini elde edilir. Eşitlik (1.56) da k ij

 lar Christoffel sembolleridir [24].

Ayrıca ikinci temel form dönüşümü;

; N c N c ) X , X ( h ; N c N c ) X , X ( h ; N c N c ) X , X ( h 2 2 22 1 1 22 v v 2 2 12 1 1 12 v u 2 2 11 1 1 11 u u       (1.57) dir [24].

Önerme 1.3.12: IE Minkowski uzayında ₁4 S:X(u,v) timelike yüzeyinin Gram-Schmidt ortonormalleştirme metodu ile timelike Xu ve spacelike Xv vektörleri için ortonormal teğet vektörler;

(25)

, X E F X W E X , E X X u v 2 u 1       _   (1.58)

dir. Buradan ortonormal teğet vektörler yardımıyla ikinci temel form dönüşümü;

, N h N h ) X , X ( h , N h N h ) X , X ( h , N h N h ) X , X ( h 2 2 22 1 1 22 2 2 2 2 12 1 1 12 2 1 2 2 11 1 1 11 1 1       (1.59)

olup burada h fonksiyonları Eşitlik (1.57) ve (1.58) yardımıyla, k_ij

2 , 1 i , EW c F EFc 2 c E h , EW Fc Ec h , E c h ₂ k 11 2 k 12 k 22 2 k 22 k 11 k 12 k 12 k 11 k 11          (1.60) dir. Tanım 1.3.13: 4 1

IE Minkowski uzayında bir timelike yüzeyin Gauss eğriliği;



   2 1 k 2 k 12 k 22 k 11h (h ) h K (1.61)

dir [13]. Ayrıca IE de bir timelike yüzeyin ortalama eğriliği; ₁4



 





h X1,X1 h X2,X2



2 1 H    (1.62) olarak verilir [24].

(26)

2. 3 BOYUTLU  UZAYLARDA ÇARPANLARA AYRILABİLİR YÜZEYLER

2.1 IE Uzayındaki Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler 3

Tanım 2.1.1: )) v , u ( z , v , u ( ) v , u ( X IE IE U : X 2 3    (2.1) 

3 boyutlu uzaylarda bir Monge yaması olarak adlandırılır [28].

Tanım 2.1.2: S, 3 boyutlu Öklid uzayında bir yüzey olsun. u, v, z 3

IE uzayındaki kartezyen koordinatlar, f, g, C sınıfından fonksiyonlar olmak üzere;

) v ( g ) u ( f z  (2.2) olarak tanımlı S yüzeyi, çarpanlara ayrılabilir yüzey olarak adlandırılır. Dolayısıyla S yüzeyinin bir parametrizasyonu Eşitlik (2.1) deki gibi Monge yaması olarak,

)) v ( g ) u ( f , v , u ( ) v , u ( X  (2.3) şeklinde verilebilir [34, 49].

S, 3 boyutlu Öklid uzayında (2.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara  ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin teğet uzayı;

(v)) g f(u) (0,1, X (u)g(v)), f (1,0, X v u     (2.4)

vektör alanları tarafından gerilir. Dolayısıyla Eşitlik (1.16) ve (2.4) den yüzeyin birinci temel formunun katsayıları;

2 v v v u 2 u u ) g (f 1 X , X G , g g f f X , X F , g) f ( 1 X , X E              (2.5)

(27)

şeklindedir. Buradaki iç çarpım 3

IE Öklid uzayındaki standart iç çarpımdır. Bundan sonraki kullanımlar için W X_uX_v olsun.

v)

X(u, nin ikinci mertebeden kısmi türevleri;

(v)) g f(u) (0,0, X (v)), g (u) f (0,0, X (u)g(v)), f (0,0, X vv uv uu        (2.6)

dir. Ayrıca S yüzeyinin birim normal vektör alanı;

2 2 v u v u ) g (f g) f ( 1 ,1) g f g, f ( X X X X N             (2.7)

olarak bulunur. Eşitlikler (2.6) ve (2.7) yardımıyla ikinci temel formunun katsayıları;

W (u)g(v) f c111   W (v) g (u) f c1₁₂    (2.8) W (v) g f(u) c1 22  

dır. Eşitlik (2.8) ve (1.28) yardımıyla S yüzeyinin şekil operatörü matrisi;

                         2 2 2 N W g f F g f 2EF -g f E W g f F -g f E W g f F -g f E g f E 1 A , olarak bulunur.

Teorem 2.1.3: S, IE Öklid uzayında (2.3) parametrizasyonu ile verilen bir 3 çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri;

2 2 2 2 ) ) g (f g) f ( (1 ) g f ( g g f f K           (2.9) ve

(28)

2 3 2 2 2 2 2 ) ) g (f g) f ( 2(1 ) g f 2fg( ) g (f (1 g f ) g (f g(1 f H                (2.10) dir [12].

Teorem 2.1.4: S, IE Öklid uzayında (2.3) parametrizasyonu ile verilen çarpanlara 3 ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyi düz (flat) ise aşağıdaki yüzeylerden biri ya da onların bir parçasıdır:

(1) X(u,v) (u,v,c₁g(v)) (2) X(u,v) (u,v,c₁f(u))

(3) X(u,v) (u,v,exp(c1uc2vc3))

(4) X(u,v) (u,v,(c u c ) (c u c )k 1) k 4 3 k 1 1 2 1 1 1 1   _  

Burada k reel sabit, ₁ c_i(i1,2,3,4) integral sabitleridir [12].

Teorem 2.1.5: S, IE Öklid uzayında (2.3) parametrizasyonu ile verilen çarpanlara 3 ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin ortalama eğriliği sıfır ise aşağıdaki yüzeylerden biri ya da onların bir parçasıdır:

(1) X(u,v) (u,v,c₁uc₂), (2) X(u,v) (u,v,c₁vc₂), (3) X(u,v) (u,v,c₁utan(c₂v)), (4) X(u,v) (u,v,c₁vtan(c₂u)), (5) X(u,v) (u,v,f(u)g(v)) . Burada f(u) ve g(v)



_  1 c 2alnf(u) df(u) u ,



  2 b (v) g c dg(v) v 4 2 ya da

(29)



  2 a (u) f c df(u) u 4 1 ,



  2 c 2blng(v) dg(v) v ya da



_   2 k) 2(1 1f (u) c c df(u) u ,



   4 k) 2(1 3g (v) c c dg(v) v

eşitliklerini sağlar. Ayrıca a,b,k,c1,c2,c3,c4 reel sabitler, a b 0 2 2   , k1dir [49]. 2.2. 3 1

IE Uzayındaki Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler

Tanım 2.2.1: S, 3 boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey olsun. u, v, z  IE₁3 uzayındaki kartezyen koordinatlar, f, g 

C sınıfından fonksiyonlar olmak üzere;

z=f(u)g(v) (2.11) olarak tanımlı S yüzeyi, çarpanlara ayrılabilir yüzey olarak adlandırılır. Dolayısıyla S

yüzeyinin bir parametrizasyonu Monge yaması olarak, )) v ( g ) u ( f , v , u ( ) v , u ( X  (2.12) olarak verilebilir [37].

S yüzeyinin teğet uzayı;

(v)) g f(u) (0,1, X (u)g(v)), f (1,0, X v u     (2.13)

vektör alanları tarafından gerilir. Dolayısıyla Eşitlik (2.13) ve ( 1.43) den yüzeyin birinci temel formunun katsayıları;













2 v v v u 2 u u ) g (f 1 X , X g G , g g f f X , X g F , g) f ( 1 X , X g E              (2.14) şeklindedir.

(30)

v)

X(u, nin ikinci mertebeden kısmi türevleri;

(v)) g f(u) (0,0, X (v)) g (u) f (0,0, X (u)g(v)) f (0,0, X vv uv uu        (2.15)

dir. Ayrıca S yüzeyinin birim normal vektör alanı;

2 2 v u v u ) g (f g) f ( 1 ,1) g f g, f ( X X X X N            (2.16)

olarak bulunur. Eşitlik (1.46), (2.15) ve (2.16) yardımıyla ikinci temel formunun katsayıları aşağıdaki şekilde hesaplanır:

W (u)g(v) f c111   , W (v) g (u) f c1₁₂    , (2.17) W (v) g f(u) c122   .

Böylece, Eşitlik (1.47), (1.48) ve (2.17) kullanılarak aşağıdaki teorem elde edilir. Teorem 2.2.2: S, IE₁3 Minkowski uzayında bir null-olmayan çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri;

4 2 W ) g f ( g g f f K     (2.18) ve 3 2 2 2 2 2 2 2W g g f f 2 -) g f (-1 g f ) g f g(1 f H           (2.19) şeklindedir [12].

Teorem 2.2.3: S, IE13 Minkowski uzayında (2.12) parametrizasyonu ile verilen null olmayan çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin düz olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki yüzeylerden biri ya da onların bir parçası olmasıdır:

(31)

f(u)), c v, (u, v) X(u, (2)  ₁ ), c v c u exp(c v, (u, v) X(u, (3)  1  2  3 ). ) c u (c ) c u (c v, (u, v) X(u, (4) k 1 k 4 3 k 1 1 2 1 1 1 1   _  

  2 c 2blng(v) dg(v) v ya da

(32)



_   2 k) 2(1 1f (u) c c df(u) u ,



   4 k) 2(1 3g (v) c c dg(v) v

eşitliklerini sağlar. Ayrıca a,b,k, c1,c2,c3,c4 reel sabitler ve a b 0 2 2 _ _

, k 1dir [49].

(33)

3. IE ÖKLİD UZAYINDA ÇARPANLARA AYRILABİLİR YÜZEYLER 4

4

IE , 4boyutlu Öklid uzayında, birçok yüzey tipi tanımlanmıştır. Bu yüzeylerden bazıları genelleştirilmiş dönel yüzeyler, Benz yüzeyleri, tensör çarpım yüzeyleri, küresel çarpım yüzeyleri, Vranceanu yüzeyleri, süperkonformal regle yüzeyler ve Chen yüzeyleridir [4, 5, 6, 7, 8, 15, 32]. Bu yüzeylerle ilgili birçok sonuç elde edilerek, bu yüzeylerin karakterizasyonları verilmiştir. Bu bölümde 4

IE , 4boyutlu Öklid uzayında Monge yaması yardımıyla verilebilen çarpanlara ayrılabilir yüzeyler tanımlanmıştır ve bu yüzeyler için sonuçlar verilerek karakterizasyonları elde edilmiştir. Tanım 3.1: 2 4 IE IE U : X   )) v , u ( w ), v , u ( z , v , u ( ) v , u ( X  (3.1) 4-boyutlu uzayda bir Monge yaması olarak adlandırılır [1].

Tanım 3.2: S, 4 boyutlu Öklid uzayında bir yüzey olsun. u, v, z, w 4 IE deki kartezyen koordinatlar, f₁,f₂,g₁,g₂ C sınıfından fonksiyonlar olmak üzere;

) v ( g ) u ( f z ₁ ₁ , wf₂(u)g₂(v) (3.2) olarak tanımlı S yüzeyi, çarpanlara ayrılabilir yüzey olarak adlandırılır. Dolayısıyla S yüzeyinin bir parametrizasyonu Eşitlik (3.1) deki gibi Monge yaması olarak,

)) v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , v , u ( ) v , u ( X  ₁ ₁ ₂ ₂ (3.3) şeklinde verilir [17].

S yüzeyinin teğet uzayı;

)), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 1 , 0 ( X )), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 0 , 1 ( X 2 2 1 1 v 2 2 1 1 u       (3.4)

(34)

2 2 2 2 1 1 u u,X 1 (f (u)g (v)) (f (u)g (v)) X E      ) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f ) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f X , X F u v 1 1 1 1 2 2 2 2        (3.5) 2 2 2 2 1 1 v v,X 1 (f (u)g (v)) (f (u)g (v)) X G     

şeklinde elde edilir. Burada , , 4

IE uzayında Öklid iç çarpımıdır. Eşitlik (3.5) yardımıyla, 0 ) g g f f g g f f ( g ) f ( g ) f ( ) g ( f ) g ( f 1 F EG 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2                 

olduğundan S yüzeyi bir regüler yüzeydir. X(u,v) nin ikinci mertebeden kısmi türevleri; )), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 0 , 0 ( X_uu  ₁ ₁ ₂ ₂ )), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 0 , 0 ( X_uv  ₁ ₁ ₂ ₂ (3.6) )), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 0 , 0 ( X_vv  ₁ ₁ ₂ ₂ şeklinde bulunur.

Şimdi S yüzeyinin normal uzayını geren ortonormal vektör alanlarını elde edelim. Bunun için; 0 N , X_u ₁  , 0 N , X_v ₁  , 0 N , X_u ₂  , (3.7) 0 N , X_v ₂  , 0 N , N₁ ₂  ,

eşitliklerini sağlayan N ve ₁ N ortonormal vektör alanlarını hesaplayalım. ₂ 1

(35)

olmak üzere Eşitlik (3.4) ve (3.8) yardımıyla, , 0 ) a , a , a , a ( )), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 1 , 0 ( , 0 ) a , a , a , a ( )), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f , 0 , 1 ( 4 3 2 1 2 2 1 1 4 3 2 1 2 2 1       (3.9) bulunur ve (3.9) dan, , 0 a ) v ( g ) u ( f a ) v ( g ) u ( f a , 0 a ) v ( g ) u ( f a ) v ( g ) u ( f a 4 2 2 3 1 1 2 4 2 2 3 1 1 1           (3.10)

elde edilir. Eşitlik (3.10) da a3  , 1 a4  olarak alınırsa 0 a1 f1 (u)g1(v)    , ) v ( g ) u ( f a2 1 1    bulunur. Böylece;      _  _       f (u)g (v), f (u)g (v),1,0 )) v ( g ) u ( f ( )) v ( g ) u ( f ( 1 1 N ₁ ₁ ₁ ₁ 2 1 1 2 1 1 1 elde edilir. Benzer şekilde; ) b , b , b , b ( b b b b 1 N ₁ ₂ ₃ ₄ 2 4 2 3 2 2 2 1 2     (3.11)

olmak üzere Eşitlik (3.4) ve (3.11) den, 0 b ) v ( g ) u ( f b ) v ( g ) u ( f b₁ ₁ ₁ ₃ ₂ ₂ ₄ , 0 b ) v ( g ) u ( f b ) v ( g ) u ( f b₂ ₁ ₁ ₃ ₂ ₂ ₄ , (3.12) 0 b b ) v ( g ) u ( f b ) v ( g ) u ( f₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₃  ,

denklem sistemi elde edilir.

Denklem sistemi (3.12) nin çözümünde 1 2

2 1 2 1 2 1 4 1 (f (u)) (g (v)) (f (u)) (g (v)) b      yazarak;

(36)

) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f ) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f F ~ 2 1 2 1 2 1 2 1       , (3.13) 2 2 2 2 2 2 2 2 (u)) (g (v)) (f (u)) (g (v)) f ( 1 G~      ,

fonksiyonlarını ele alabiliriz. Ayrıca,

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 F EG W ) g g f f g g f f ( g ) f ( g ) f ( ) g ( f ) g ( f 1 F ~ G~ E ~                   

dir. Eşitlik (3.12) ve (3.13) yardımıyla,

) E ~ , F ~ ), v ( g ) u ( f E~ ) u ( g ) u ( f F ~ ), v ( g ) u ( f E~ ) v ( g ) u ( f F ~ ( W E ~ 1 N₂  ₁ ₁  ₂ ₂ ₁ ₁  ₂ ₂ 

bulunur. Böylece (3.3) parametrizasyonu ile verilen S çarpanlara ayrılabilir yüzeyinin normal uzayının ortonormal bir çatısı;

                     E~ , F ~ ), v ( g ) u ( f E~ ) u ( g ) u ( f F ~ ), v ( g ) u ( f E~ ) v ( g ) u ( f F ~ ( W E ~ 1 N ) 0 , 1 ), v ( g ) u ( f ), v ( g ) u ( f ( E ~1 N 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 (3.14)

şeklinde elde edilir.

Eşitlik (1.22), (3.6) ve (3.14) yardımıyla, S yüzeyinin ikinci temel formunun katsayıları;                                         W E~ F ~ g f E ~ g f c W E~ F ~ g f E ~ g f c W E~ F ~ g f E ~ g f c , E ~ g f c E~ g f c , E~ g f c 1 1 2 2 2 22 1 1 2 2 2 11 1 1 2 2 2 12 1 1 1 12 1 1 1 22 1 1 1 11 (3.15)

(37)

Örnek 3.3: ) u ln v exp , v ln u exp , v , u ( ) v , u ( X  (3.16) parametrizasyonu ile verilen yüzey 4

IE uzayında bir çarpanlara ayrılabilir yüzeydir. plot3d([x + y, z,w], x = a..b, y = c..d), a,b,c,dIR

maple çizim komutu ile IE4 uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeyin 3-boyutlu Öklid uzayına izdüşümü Şekil 3.1. de verilmiştir.

Şekil 3.1. Eşitlik (3.16) ile verilen yüzeyin izdüşümü

Bu yüzeyin Münih olimpiyat stadı üzerinde bir uygulaması mevcuttur. (Şekil 3.2)

(38)

Örnek 3.4: (Kuadratik Üçgensel Bezier Yüzeyi)

  

u,v u,v,2uv 5u 3v, uv 2u 4v



X       (3.17)

parametrizasyonu ile verilen yüzey bir kuadratik üçgensel Bezier yüzeyi ve çarpanlara ayrılabilir yüzeydir.

Eşitlik (3.17) yardımıyla verilen çarpanlara ayrılabilir Bezier yüzeyinin 3

IE Öklid uzayındaki izdüşümü Şekil 3.3. de verilmiştir. Ayrıca bu yüzey hiperbolik paraboloid (semer) yüzeyinin bir kesiti olup bir uygulaması Heydar Aliyev merkezinde (Azerbaycan’da) mevcuttur (Şekil 3.4) [42].

Şekil 3.3. Çarpanlara Ayrılabilir Bezier yüzeyi ve semer yüzeyi

(39)

Örnek 3.5: ) v sin u cos , v cos u cos , v , u ( ) v , u ( X  (3.18) parametrizasyonu ile verilen yüzey 4

IE uzayında bir çarpanlara ayrılabilir yüzeydir. 

3 boyutlu Öklid uzayındaki izdüşümü Şekil 3.5 de verilmiştir.

Şekil 3.5. Eşitlik (3.18) ile verilen yüzeyin izdüşümü ve modellemesi Örnek 3.6: ) v sin u exp , v cos u exp , v , u ( ) v , u ( X  (3.19) parametrizasyonu ile verilen yüzey IE4 uzayında bir çarpanlara ayrılabilir yüzeydir (Şekil 3.6).

(40)

3.1. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Düz Yüzeyler 4

Bu bölümde 4boyutlu Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin Gauss eğriliği elde edilerek 4

IE Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir düz yüzeyler karakterize edilmiştir.

Teorem 3.7: S, 4

IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin Gauss eğriliği;

                                           _   _                        E~ g f g g f f F ~ g g f f 2 g g f f g g f f G~ g f g g f f W 1 K 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 4 (3.20) dir. İspat: S, 4

IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Eşitlik (1.32) yardımıyla S yüzeyinin Gauss eğriliği;



 





2 2



12 2 22 2 11 2 1 12 1 22 1 11 2 c c (c ) c c (c ) W 1 K    (3.21) dır. Buradan Eşitlik (3.15) , Eşitlik (3.21) de yazılarak,

                            _                                   2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 W E ~ F ~ g f E~ g f W E~ g f F ~ g f E~ W E ~ g f F ~ g f E~ E~ g f E ~ g f E~ g f W 1 K

bulunur. Düzenleme yapılırsa Eşitlik (3.20) elde edilir.

Sonuç 3.8: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara 4 ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin düz olması için gerek ve yeter koşul;

(41)

0 E ~ g f g g f f F ~ g g f f 2 g g f f g g f f G~ g f g g f f 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1                            _   _                       (3.22) eşitliğinin sağlanmasıdır.

Sonuç 3.9: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara 4 ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyi düz ise, aşağıdaki yüzeylerden biri ya da onların bir parçasıdır: )), v ( g c ), v ( g c , v , u ( ) v , u ( X ) 1 (  1 1 2 2 )), u ( f c ), u ( f c , v , u ( ) v , u ( X ) 2 (  ₁ ₁ ₂ ₂ )), u ( f c ), v ( g c , v , u ( ) v , u ( X ) 3 (  ₁ ₁ ₂ ₂ )), c v c u c exp( , c , v , u ( ) v , u ( X ) 4 (  1 2  3  4 ), ) c v c ( ) c u c ( , c , v , u ( ) v , u ( X ) 5 ( k 1 k 5 4 k 1 1 3 2 1 1 1 1   _   (3.23) )), c v c c c u c exp( ), c v c u c exp( , v , u ( ) v , u ( X ) 6 ( ₅ 2 1 4 4 3 2 1      )), c v c c c u c exp( ), c v c u c exp( , v , u ( ) v , u ( X ) 7 ( ₅ 1 2 4 4 3 2 1     





dr(u). 1 ) u ( r 1 ) u ( r c u : v sin ) u ( r , v cos ) u ( r , v , u ) v , u ( X ) 8 ( 1



_   

Burada c , (_i i 1,..,5) ve k₁  reel sabitlerdir. 1 İspat: S, 4

IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. (3.20) eşitliğinde f₁(u)0,f₂(u)0 veya

0 ) v ( g , 0 ) v (

g₁  ₂  veya f₁(u)0,g₂(v)0 alınırsa K  olur. Böylece (1), 0 

  

(42)

0 g f g g f f 2 2 2 2 2 2 2 2       (3.24) bulunur. Eşitlik (3.24) de du df ) u ( p  2 ve dv dg ) v ( q  2 alalım. p(u)0 ve q(v)0 ise; 0 )) v ( q ) u ( p ( dg dq ) v ( q ) v ( g df dp ) u ( p ) u ( f 2 2 2 2 2   (3.25) diferensiyel denklemi elde edilir. Bu eşitlik üzerinde u ve v parametrelerine bağlı fonksiyonları ayırarak, 1 2 2 2 2 k dg dq ) v ( g ) v ( q ) u ( p df dp ) u ( f   (3.26)

bulunur. Burada k bir reel sabittir. ₁ (i) k₁  ise Eşitlik (3.26) dan; 1

       ) c v c exp( ) v ( g ) c u c exp( ) u ( f 4 3 2 2 1 2 (3.27) (ii) k₁  ise, 1            1 k k 4 3 2 k 1 1 2 1 2 1 1 1 ) c v c ( ) u ( g ) c u c ( ) u ( f (3.28)

bulunur. Dolayısıyla (4) ve (5) yüzeyleri elde edilir. Ayrıca Eşitlik (3.22) de,

0 g f g g f f 0 g f g g f f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1             (3.29) ile birlikte,           2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 f gg f f g g 2f f g g f =0 (3.30) ya da

(43)

olduğunu düşünelim. Eşitlik (3.29), Eşitlik (3.24) e denktir dolayısıyla; ) c v c exp( ) v ( g ) c u c exp( ) u ( f 4 3 1 2 1 1     ) c v c exp( ) v ( g ) c u c exp( ) u ( f 8 7 2 6 5 2     (3.32)

fonksiyonları elde edilir. Eşitlik (3.32) deki fonksiyonlar Eşitlik (3.30) da yerine yazılırsa (6) yüzeyi Eşitlik (3.31) de yerine yazılırsa (7) yüzeyi elde edilir. Son olarak

) u ( r ) u ( f ) u (

f₁  ₂  , g₁(v)cosv, g₂(v)sinvkabul edelim. Bu durumda ) v , u ( X :

S yüzeyi özel olarak 4

IE uzayında Aminov yüzeyine karşılık gelir. Bu fonksiyonlar Eşitlik (3.22) de yerine yazılırsa;

0 ) )) u ( r ( 1 ( )) u ( r ( )) u ( r 1 )( u ( r ) u ( r   2   2   2  (3.33) diferensiyel denklemi bulunur. Denklem (3.33) ün çözümünden (8) yüzeyi elde edilir.

Örnek 3.10:

S:X(u,v)(u,v,exp(uv),exp(uv)) (3.34) yüzeyi 4boyutlu Öklid uzayında bir düz yüzeydir. 3 boyutlu uzaya izdüşümünün  grafiği ve Sekapark (Kocaeli) mimarisi üzerindeki uygulaması Şekil 3.7. de verilmiştir.

Şekil 3.7. Eşitlik (3.34) ile verilen düz yüzeyin izdüşümü ve Sekapark

3.2. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Yarı Umbilik Yüzeyler 4

(44)

fonksiyonunu sıfırlayan noktaya umbilik nokta denir. Tüm noktaları yarı-umbilik olan yüzeye yarı-yarı-umbilik yüzey adı verilir [27].

Teorem 3.11: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir 4 çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin normal eğrilik fonksiyonu;

                        _            _             _     2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 N g g f f g g f f G g g f f g g f f F g g f f g g f f E W 1 K (3.35)

dir. Burada E, F, G, S yüzeyinin birinci temel formun katsayıları olup Eşitlik (3.5) te verilmiştir.

İspat: Eşitlik (3.15) Eşitlik (1.36) da yerine yazılırsa istenilen sonuç elde edilir.

Sonuç 3.12: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara 4 ayrılabilir yüzey olsun. Eğer f₁,f₂,g₁,g₂ fonksiyonları lineer polinom fonksiyonları ise S yüzeyi çarpanlara ayrılabilir yarı umbilik yüzeydir.

İspat: Eşitlik (3.31) de f₁,f₂,g₁,g₂ fonksiyonları lineer polinomlar olarak seçilirse Eşitlik (3.35) den her p S için KN(p)0 dır. Dolayısıyla S bir yarı umbilik yüzeydir.

Önerme 3.13: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir 4 çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Eğer,

) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f 2 1 1 2     (3.36)

ise S yüzeyinin Gauss eğriliği ile normal eğriliği çakışır.

İspat: Eşitlik (3.5) ve (3.7) de, f2 (u)f1(u) 

ve f2 (u)f1(u) 

alınırsa,

(45)

elde edilir. Dolayısıyla Eşitlik (3.20) ve (3.35) denk olup K KN bulunur. Örnek 3.14:





) v cos u ln , v sin u 1 , v , u ( ) v , u ( X 0 u : IE ) v , u ( U IE IE U : X 2 4 2       (3.37)

parametrizasyonu ile verilen yüzeyin Gauss ve normal eğrilikleri eşittir. plot3d([x + y, z,w], x = a..b, y = c..d) , a,b,c,dIR

maple çizim komutu ile (3.37) parametrizasyonu ile verilen yüzeyin 3-boyutlu uzaydaki izdüşümü Şekil 3.8 de verilmiştir.

Şekil 3.8. Eşitlik (3.37) ile verilen K KN olan yüzey

3.3. IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Minimal Yüzeyler 4

Bu bölümde 4boyutlu Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin ortalama eğriliği elde edilerek 4

IE Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir minimal yüzeyler sınıflandırılmıştır.

Teorem 3.15: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir 4 çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Buna göre S yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü;

(46)

2 3 1 1 1 1 1 '' 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 '' 1 N W E ~ 2 F g f 2 E g f G g f F ~ F g f 2 E g f G g f E~ N W E~ 2 F g f 2 E g f G g f H       _  _           _  _           (3.38) şeklindedir. İspat: S, 4

IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Eşitlik (1.33) yardımıyla, S yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü;



2



2 12 2 22 2 11 1 1 12 1 22 1 11 2 (c G c E 2c F)N (c G c E 2c F)N W 2 1 H       (3.39)

dir. Buradan Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.39) de yerine yazılırsa,

                            _        _                           2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 N F W E ~ g f F ~ g f E~ 2 E W E~ g f F ~ g f E ~ G W E~ g f F ~ g f E ~ N F E ~ g f 2 E E~ g f G E~ g f W 2 1 H

bulunur. Düzenleme yapılırsa istenilen sonuç elde edilir.

Sonuç 3.16: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara 4 ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin ortalama eğriliği;

2 1 2 2 2 2 2 2 '' 2 2 2 2 2 2 '' 2 1 1 1 1 1 '' 1 2 1 1 1 1 1 '' 1 3 F g f 2 E g f G g f E~ F g f 2 E g f G g f F g f 2 E g f G g f F ~ 2 F g f 2 E g f G g f G~ W 2 1 H                         _  _          _  _         _  _          _  _     dir.

Teorem 3.17: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir 4 çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin minimal olması için gerek ve yeter

(47)

0 F g f 2 E g f G g fi i i i  i i     , i 1,2 (3.40) eşitliğinin sağlanmasıdır. İspat: S, 4

IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyi minimal ise ortalama eğrilik vektörü sıfırdır. Eşitlik (3.38) dan Eşitlik (3.40) elde edilir. Tersine Eşitlik (3.40) sağlanırsa S yüzeyi minimaldir.

Sonuç 3.18: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara 4 ayrılabilir yüzey olsun. Buna göre S yüzeyi minimal ise aşağıda verilen yüzeylerden biri ya da onların bir parçasıdır:



u,v,c u c ,c u c



, ) v , u ( X ) 1 (  ₁  ₂ ₃  ₄



u,v,c v c ,c v c



, ) v , u ( X ) 2 (  ₁  ₂ ₃  ₄ ), c v c , c u c , v , u ( ) v , u ( X ) 3 (  ₁  ₂ ₁  ₂ )), v c tan( u c , c , v , u ( ) v , u ( X ) 4 (  1 2 3 )), u c tan( v c , c , v , u ( ) v , u ( X ) 5 (  ₁ ₂ ₃





    , e 1 c e c c 2 1 ) u ( r : v sin ) u ( r , v cos ) u ( r , v , u ) v , u ( X ) 6 ( 1 2 1 2 c c u 2 1 c c u 2 2 1 1                 )), v c tan( u c ), v c tan( u c , v , u ( ) v , u ( X ) 7 (  ₁ ₂ ₁ ₂ )), u c tan( v c ), v c tan( v c , v , u ( ) v , u ( X ) 8 (  1 2 1 2 )), u ( g ) u ( f , c , v , u ( ) v , u ( X ) 9 (  ₁ ₂ ₂ )), u ( g ) u ( f ), u ( g ) u ( f , v , u ( ) v , u ( X ) 10 (  ₁ ₁ ₁ ₁

burada c_i, i 1,..,4 reel sabitler olup f_i(u),g_i(v) fonksiyonları

, c ) u ( f c ) u ( df u , 2 a ) u ( f c ) u ( df u , c ) u ( f ln a 2 ) u ( df u 2 ) k 1 ( 2 i 1 i 4 i 1 i 1 i i



 _     

(48)



 _      4 ) k 1 ( 2 i 3 i 2 i i 4 i 2 i c ) v ( g c ) v ( dg v , c ) v ( g ln b 2 ) v ( dg v , 2 b ) v ( g c ) v ( dg v , denklemlerini sağlar. İspat: S, 4

IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen bir çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyi minimal ise H  dır. Bu durumda Eşitlik (3.40) 0 da birinci temel form katsayıları yerine yazılarak,

0 ) g g f f g g f f ( g f 2 ) g f g f 1 ( g f ) g f g f 1 ( g f 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1                     (3.41) ve 0 ) g g f f g g f f ( g f 2 ) g f g f 1 ( g f ) g f g f 1 ( g f 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2                     (3.42)

eşitlikleri elde edilir. f₁(u)0 ve f₂(u)0 ise Eşitlik (3.41) ve Eşitlik (3.42) den 0 ) v ( g1   ,g2 (v)0  dır. g1 (v)0  ve g2 (v)0  ise f1 (u)0  ,f2 (u)0  dır. 0 ) u ( f₂  ve g₁(v)0 ise f₁(u)0 ,g₂(v)0 dır. Sırasıyla, (1), (2) ve (3) yüzeyleri elde edilir. Eğer f₁(u)0 ve g₁(u)0 ise Eşitlik (3.41) sağlanır. Eşitlik (3.42) den, 0 ) u ( f )) v ( g ) v ( g ) v ( g ( ) v ( g )) u ( f ) u ( f ) u ( f ( ) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2               (3.43)

diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemde f2 (u)0 

ya da g2 (u)0 

ise (4) ve (5) yüzeyleri elde edilir. f2 (u)g2 (v)0

 

ise Eşitlik (3.43) ün önce u ya sonra v ye göre kısmi türevleri alınırsa;

k ) ) v ( g ( ) ) v ( g ) v ( g ) v ( g ( ) ) u ( f ( ) ) u ( f ) u ( f ) u ( f ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                (3.44)

(49)

bulunur. Bu eşitlikten; a )) u ( f ) k 1 ( ) u ( f ) u ( f ( 2 2 2 2      (3.45) ve b )) v ( g ) k 1 ( ) v ( g ) v ( g ( 2 2 2 2      (3.46) dir. a2 b2 0

olsun. Eşitlik (3.45) ve (3.46) da k1 ise, a ) u ( f ) u ( f2 2   (3.47) ve b ) v ( g 2 ) v ( g ) v ( g ( 2 2  22   (3.48) dir. Eşitlik (3.47) ve (3.48) den f₂(u) ve g₂(v) fonksiyonları (9) daki yüzey denklemlerini sağlar. Eğer f₁(u)f₂(u), g₁(v)g₂(v) ise Eşitlik (3.41) ve (3.42) birbirine denktir ve 0 ) u ( f 2 )) v ( g ) v ( g ) v ( g ( ) v ( g 2 )) u ( f ) u ( f ) u ( f ( ) v ( g ) v ( g ) u ( f ) u ( f 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1              

eşitliği elde edilir. f₁(u)0 ya da g₁(v)0 ise (7) ve (8) yüzeyleri elde edilir. Eğer f₁(u)g₁(v)0 alınırsa; k ) ) v ( g ( ) ) v ( g ) v ( g ) v ( g ( ) ) u ( f ( ) ) u ( f ) u ( f ) u ( f ( 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1                (3.49)

bulunur. Böylece Eşitlik (3.49), Eşitlik (3.44) ile denk olup (9) sağlanır. Ayrıca kabul edelim ki f1(u)f2(u)r(u) ve g1(v)cosv, g2(v)sinv olsun. Eşitlik (3.41) ve (3.42) de yerine yazarak,



1 (r(u))



r(u)



1 (r (u))



0 ) u ( r  2    2  (3.50) diferensiyel denklemi bulunur. Bu diferensiyel denklemden (6) yüzeyi elde edilir. Örnek 3.19:

(50)

Şekil 3.9: Eşitlik (3.51) ile verilen minimal yüzeyin izdüşümü

3.4 IE Uzayında Çarpanlara Ayrılabilir Wintgen İdeal Yüzeyler 4

1979 yılında Wintgen, yüzeyin Gauss eğriliği, normal eğriliği ve ortalama eğriliği arasında;

2

N H

K

K  (3.52) eşitliğinin var olduğunu ispatlamıştır. Yani, yüzeyin Gauss eğriliği, normal eğriliği

ve ortalama eğriliği arasında temel bir ilişki vardır [19, 47].

Tanım 3.20: K K_N  H2 eşitliğini sağlayan yüzeylere özel olarak Wintgen ideal yüzeyleri denir [2, 16, 47].

Teorem 3.21: S, IE Öklid uzayında (3.3) parametrizasyonu ile verilen çarpanlara 4 ayrılabilir yüzey olsun. S yüzeyinin Wintgen ideal yüzey olması için gerek ve yeter koşul;