DEKİ KENDİSİNE BENZER EĞRİLER VE YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU

(1)

E DEKİ KENDİSİNE BENZER EĞRİLER VE YÜZEYLERİN BİR n

KARAKTERİZASYONU ESRA ETEMOĞLU

(2)

T. C.

ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

E DEKİ KENDİSİNE BENZER EĞRİLER VE YÜZEYLERİN BİR n

KARAKTERİZASYONU

Esra ETEMOĞLU

Prof. Dr. Kadri ARSLAN (Danışman)

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(3)

U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;

 tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,

 görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,

 başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,

 atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,

 kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,

 ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı

beyan ederim.

../../….

İmza

Esra ETEMOĞLU

(4)

TEZ ONAYI

Esra ETEMOĞLU tarafından hazırlanan “IE deki Kendisine Benzer Eğriler ve ⁿ Yüzeylerin Bir Karakterizasyonu” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman : Prof. Dr. Kadri ARSLAN

Üye: Prof. Dr. Kadri ARSLAN İmza

Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı

Üye: Prof. Dr. Rıdvan EZENTAŞ İmza

Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Anabilim Dalı

Üye: Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN İmza

Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı

Yukarıdaki sonucu onaylarım

Prof. Dr. Ali Osman DEMİR Enstitü Müdürü

(5)

i ÖZET Yüksek Lisans Tezi

E deki KENDİSİNE BENZER EĞRİLER VE YÜZEYLERİN BİR n

KARAKTERİZASYONU Esra ETEMOĞLU Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Kadri ARSLAN

Bu çalışmada E deki kendisine benzer yüzeylerin 1. ve 2. temel form katsayıları ⁿ yardımıyla bazı sınıflandırmaları verilmiştir.

Bu tez 5 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölüm giriş bölümüdür.

İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde E deki eğriler ele alınmıştır. Bu bölümde kendisine benzer eğriler ⁿ ile ilgili temel sonuçlar elde edilmiştir.

Dördüncü bölümde E deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu bölümde kendisine benzer ³ yüzeyler ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Beşinci bölümde E deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu bölümde kendisine benzer ⁴ yüzeyler ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Kendisine benzer eğriler, Kendisine benzer yüzeyler, Ortalama eğriliği, 1. Frenet eğriliği

2013, v + 34 sayfa.

(6)

ii ABSTRACT

MSc Thesis

A CHARACTERIZATION OF A SELFSIMILAR CURVES AND SURFACES IN E ⁿ Esra ETEMOĞLU

Uludağ University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Kadri ARSLAN

In this thesis, a characterizations of self similar surfaces in E with the help of ⁿ coefficients of the first and second fundamental form are given.

This thesis consist of five chapters.

First chapter is introduction.

In the second chapter it is given some basic definitions and theorems which will be use in the other chapters.

In the third chapter self similar curves in n-dimensional Euclidean space E are ⁿ considered.

In the fourth chapter self similar surfaces in 3-dimensional Euclidean space E are ³ considered. Some of the original results were obtained.

In the final chapter self similar surfaces in 4-dimensional Euclidean space E are ⁴ considered. Some of the original results were obtained.

Key Words: Self similar curves, Self similar surfaces, Mean curvature, 1.Frenet curvature

2013, v + 34 pages.

(7)

iii

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Yüksek lisans eğitimim boyunca sağlam bir bilgi birikimine sahip olmamı sağlayan, Yüksek lisans tez konusunun belirlenmesinde ve kayda değer sonuçlar elde edebileceğimiz problemlerin ortaya atılmasında çok büyük katkıları olan ve bu tez çalışmasının ortaya çıkışından son haline gelene kadar gerek akademik bilgisiyle gerek de manevi desteğiyle yanımda olduğunu hep gösteren hocam Sayın Prof. Dr. Kadri ARSLAN’a teşekkürü bir borç bilirim. Bu alanda her anlamda doğru, kendinden emin ve bilgili olmamda en büyük pay saygıdeğer hocama aittir. Ayrıca bilgi birikimiyle bana birçok konuda yardımcı olan, her zaman fikirlerine başvurduğum Arş. Gör. Dr. Betül BULCA’ya teşekkür ederim. Bununla birlikte beni bugünlere getiren ve desteklerini üzerimden hiç esirgemeyen kıymetli anne ve babama ayrıca teşekkür ederim.

Esra ETEMOĞLU .. / .. / ….

(8)

iv

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET... i

ABSTRACT ... ii

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER ... iv

SİMGELER DİZİNİ ... v

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR ... 2

2.0. Giriş ... 2

2.1. Frenet Çatısı ve Eğrilikleri ... 2

2.2. E de Yüzeyler ... ⁿ 4 3. EⁿDE KENDİSİNE BENZER EĞRİLER ... 8

3.0. Giriş ... 8

3.1. Bir Eğrinin Eğrilik Vektörü ... 8

3.2. E de Kendisine Benzer Eğriler... ⁿ 11 3.3. Kendisine Benzer Düzlemsel Eğriler ... 13

3.4. Kendisine Benzer Uzay Eğrileri ... 15

4. E³DE KENDİSİNE BENZER YÜZEYLER ... 17

4.0. Giriş ... 17

4.1. E de Kendisine benzer yüzeyler... ³ 17 4.2. Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler ... 19

4.3. Dönel Yüzeyler ... 22

4.4. Paralel Yüzeyler ... 24

5. E⁴DE KENDİSİNE BENZER YÜZEYLER... 26

5.0. Giriş ... 26

5.1. E de Kendisine Benzer Yüzeyler... ⁴ 26 KAYNAKLAR ... 32

ÖZGEÇMİŞ ... 34

(9)

v

SİMGELER DİZİNİ

Simgeler Açıklama

E n n-boyutlu Öklit uzayı

 Eğri

V i Frenet vektörleri

 i Frenet eğrilikleri

, Norm

S 3 3-küre

X Regüler yama

g Metrik tensör C  Diferansiyellenebilme

)

(M M nin teğet vektör alanlarının uzayı )

(M

 M nin normal vektör alanlarının uzayı )

, (M R

C^ M den R ye diferansiyellenebilir fonksiyonların kümesi

 M üzerinde indirgenmiş Riemann koneksiyonu

~

M~

üzerinde Riemann koneksiyon

  Normal koneksiyon

 Van-der Waerden –Bortolotti koneksiyonu

 

, Lie parantez operatörü

, (M)üzerinde iç çarpım fonksiyonu A Şekil operatörü

M

T_p p noktasında teğet uzay M

T_p^ p noktasında normal uzay H

Ortalama eğrilik vektörü H Ortalama eğrilik

k

c ij M nin ikinci temel form katsayıları

k

 ij M nin Christoffel sembolleri

k

h ij M nin ikinci temel form katsayıları

N i Normal vektörleri

K Gauss eğriliği

K N Normal eğrilik

 Kısmi türev

R M nin eğrilik tensörü R~

M~

nin eğrilik tensörü

 Laplas operatörü

(10)

1 1. GİRİŞ

Bu çalışmanın amacı E deki kendisine benzer eğriler ve yüzeylerin bir ⁿ karakterizasyonunu vermektir.

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.

İlk bölüm giriş bölümüdür.

İkinci bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar, teorem ve tanımlar verilmiştir. Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda E deki bir ⁿ eğrinin Frenet eğrilikleri ve Frenet çatısı ile ilgili temel özelikler verilmiştir. İkinci kısımda E de regüler bir yama ile verilen yüzeylerin ikinci temel formları, Gauss ve ⁿ ortalama eğrilikleri ile ilgili temel kavramlar ve bazı sonuçlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde n-boyutlu Öklit uzayı E deki eğriler ele alınmıştır. Bu bölüm iki ⁿ kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda E deki bir eğrinin eğrilik vektörü ile ilgili ⁿ bilinen özelikler ele alınmıştır. İkinci kısımda E deki kendisine benzer eğriler ile ilgili ⁿ temel sonuçlar verilmiştir.

Dördüncü bölümde 3-boyutlu Öklit uzayı E deki kendisine benzer yüzeylerin bir ³ karakterizasyonu verilmiştir. Bu bölüm dört kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda E³ de kendisine benzer yüzeylerin bir karakterizasyonu verilmiştir. İkinci kısımda Monge yaması ile, üçüncü kısımda dönel yüzey yaması ve dördüncü kısımda ise paralel yüzey yaması ile verilen kendisine benzer yüzeyler ile ilgili temel sonuçlar elde edilmiştir.

Son bölüm olan beşinci bölümde ise E deki kendisine benzer yüzeyler ile ilgili temel ⁴ sonuçlar verilmiştir.

(11)

2 2. TEMEL KAVRAMLAR

2.0. Giriş

Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar, teorem ve tanımlar verilmiştir. Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda E deki bir ⁿ eğrinin Frenet eğrilikleri ve Frenet çatısı ile ilgili temel özelikler verilmiştir. İkinci kısımda E de regüler bir yama ile verilen yüzeylerin ikinci temel formları, Gauss ve ⁿ ortalama eğrilikleri ile ilgili temel kavramlar ve bazı sonuçlar verilmiştir.

2.1. Frenet Çatısı ve Eğrilikleri En

I 

 : regüler parametrik bir eğri olsun. Bu takdirde t I için  nin yüksek mertebeden türevleri ^(t),^(t), ^^(s) ,...,⁽^d⁾(t), (d n) lineer bağımsız ve

), ( ), (t  t

^ ^ ^^(t) ,...,⁽^d⁾(t),⁽^{d }¹⁾(t) lineer bağımlı ise  eğrisine d-ranklı Frenet eğrisi adı verilir. Bu durumda d-ranklı bir Frenet eğrisi E nin d-boyutlu alt uzayında ⁿ yatacaktır. E nin d-boyutlu alt uzayını ⁿ _d(t) ile gösterelim. Bu alt uzay (t),(t),

)

(t ,...,⁽^d⁾(t) vektörleri ile gerildiğinden _d(t) ye  eğrisinin d. nci oskülatör uzayı denir. Açık olarak ₁(t)  ₂(t)  ..._d(t) dir. Eğer  , d-ranklı bir Frenet eğrisi ise

), ( ), (t  t

^ ^ ^^(t) ,...,⁽^d⁾(t) vektörlerine Gram-Schmidt ortanormalleştirme metodu uygulayarak V₁(t),V₂(t),V₃(t) ,...,V_d(t) ortanormal d-çatısı (Serret-Frenet Vektörleri) elde edilir. Yani;

 )

1(t

E ^(t),

) (

) ) (

(

1 1 1

t E

t t E

V  ,

 ) (t E_k

2 1

1 ) ( )

(

) (

) ) (

( ), ( )

(

t E

t t E E t t

i i k

i

i k

k







 

 (2.1.1)

) (

) ) (

( E t

t t E

V

k k

k  , 2k d

dir (Gluck 1966).

Bu bölümde eğrileri hızlarına göre birim hızlı (yay-parametreli) ve keyfi hızlı (keyfi parametreli) olarak inceleyeceğiz.

(12)

3

Teorem 2.1.1:  :I Eⁿ d-ranklı keyfi hızlı bir Frenet eğrisi olmak üzere  nın ortonormal çatısı V₁(t),V₂(t),V₃(t),...,V_d(t) nin türevleri v(t) (t) için

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

1 1

1 2 1 1

t V t t

t V

t V t s t V t t t

V

t V t t t V

d d

d

i i i

i i







 





 

















(2.1.2)

(2id1) dir. Burada k₁,...,k_d_₁:I E fonksiyonları  nın Frenet eğrilik fonksiyonlarıdır.

Açıklama 2.1.2: V₁(t),V₂(t),V₃(t),...,V_d(t) vektörlerine Frenet d-çatısı ve (2.1.2) deki eşitliklere de Frenet denklemleri adı verilir. Bu denklemler matris formunda aşağıdaki şekilde yazılır;















) ( ...

) (

3 2 1

t V

d

=















0 .

. 0

. .

0

0 .

. 0

1

1 1

2 1

1

d

















) ( ...

) (

3 2 1

t V

d

. (2.1.3)

Teorem 2.1.3:  :I Eⁿ d-ranklı keyfi hızlı bir Frenet eğrisinin ortonormal çatısı ),

( ),

( ₂

1 t V t

V V₃(t),...,V_d(t) için

 ) (t

F_k











k j

j j

k

k⁾(t) ⁽ ⁾(t),V (t) V (t)

( 

 (2.1.4)

olmak üzere

 )

k(s



1 1

F F

F

k

k  , 1kd1 (2.1.5)

dir.

(13)

4 2.2. E de Yüzeyler ⁿ

M yüzeyi X :U E² Eⁿ yaması ile verilsin. M nin p X( vu, ) noktasındaki teğet uzayı T_p(M), X ve _u X ile gerilen bir vektör uzayıdır. Böylece M nin birinci temel _v formu

2 2 2Fdudv Gdv Edu

I    (2.2.1) eşitliği ile hesaplanır. Burada

v v

v u

u u

X X G

X X F

X X E

, , ,

, ,



(2.2.2)

1. temel form katsayıları olup , bir Öklid iç çarpımıdır. Bununla birlikte (2.2.2) yardımıyla

2 2

F EG X

X_u _v   (2.2.3)

elde edilir. Eğer X_u X_v 0 ise X( vu, ) yaması regülerdir denir.

Şu andan itibaren aksi söylenmedikçe X( vu, ) yaması regüler kabul edilecektir ve

2

2 W

F

EG  (2.2.4)

ile gösterilecektir.

Tanım 2.2.1: M Eⁿ yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. E ⁿ de Riemann koneksiyonu ~

ile gösterilsin. Bu durumda X,Y(M) lokal vektör alanları için M yüzeyi üzerindeki indirgenmiş Riemann koneksiyonu  olmak üzere M nin ikinci temel form dönüşümü

~ , ) , (

; ) ( )

( ) (

: M M M h X Y Y Y

h   ^ _X _X (2.2.5)

(14)

5

biçiminde tanımlanır. Bu dönüşüm iyi tanımlı olup simetrik ve 2-lineerdir. Literatürde (2.2.5) eşitliği Gauss denklemi olarak bilinir (Chen 1973).

Tanım 2.2.2: M Eⁿ yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilsin. X (M) ve )

(M



 için M nin şekil operatörü dönüşümü





^ M  M  M A_X _X ^_X

A ~

; ) ( ) ( ) (

: (2.2.6)

biçiminde tanımlanır. Burada A_X ,  ya karşılık gelen şekil operatörü ve  ise ^ )

(M

 normal demete ait normal koneksiyondur. Herhangi X,YT_p(M) için

X,Y h(X,Y),

A  (2.2.7)

dir. Bu operatör self-adjoint ve 2-lineerdir. Literatürde (2.2.6) eşitliği Weingarten denklemi olarak bilinir (Chen 1973).

Ayrıca X,Y,ZT_p(M) için M yüzeyinin ikinci temel formu h nın kovaryant türevi

) , ( ) , ( ) , ( )

, )(

(_Xh Y Z ^_Xh Y Z h _XY Z hY _XZ dir. Böylece Codazzi denklemi

) , )(

( ) , )(

(_Xh Y Z  _Yh X Z (2.2.8)

dir (Chen 1973).

Tanım 2.2.3: M Eⁿ yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilsin. X( vu, ) yamasının 2.

mertebeden kısmi türevleri X_uu,X_uv,X_vv ve normal vektör alanları N₁,N₂,,N_n_₂ olmak üzere M nin ikinci temel form katsayıları

k v v k

vv k

k v u k

uv k

k u u k

uu k

N X X h N X c

n k N

X X h N X c

N X X h N X c

), , ( ,

2 1

, ), , ( ,

22 12 11









(2.2.9)

şeklinde tanımlanır (Mello 2003).

(15)

6

Tanım 2.2.4: M yüzeyi X:U E² Eⁿ regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun.

Bu durumda M yüzeyinin Christoffel sembolleri _ij^k(1i,j,k 2)

) (

2 2 )

( 2 2

) (

2 )

( 2

) (

2 2 )

( 2

2

2 2

2 22 1

22

2 2

2 12 1

12

2 2

2 11 1

11

F EG

FG FF EG

F EG

FG GG GF

F EG

FE EG F

EG FG GE

F EG

FE EE EF F

EG

FE FF GE

u v

v v

u v

v u u

v

u v u v

u u





 





 





 





 





 







 



(2.2.10)

biçiminde tanımlanır. Burada ₂₁¹ ₁₂¹ ve ₂₁² ₁₂² dir (Gray 1993).

Önerme 2.2.5: M yüzeyi X :U E² Eⁿ regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun.

Bu takdirde X_u,X_vT_p(M) ve



N₁,N₂,...,N_n_₂



T_p^(M) için

2 2 22 2

2 22 1 1 22 2

22 1

22

2 2 12 2

2 12 1 1 12 2

12 1

12

2 2 11 2

2 11 1 1 11 2

11 1

11

~ ...













































n n v

u v

X vv

n n v

u v

X uv

n n v

u u

X uu

N c N

c N c X X

X X

N c N

c N c X X

X X

N c N

c N c X X

X X

v u u

(2.2.11)

dir (Gray 1993).

Böylece (2.2.11), (2.2.5) ve (2.2.6) denklemleri yardımıyla aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

Sonuç 2.2.6: M yüzeyi X:U E² Eⁿ regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu takdirde

2 2 22 2

2 22 1 1 22

2 2 12 2

2 12 1 1 12

2 2 11 2

2 11 1 1 11

...

) , (

...

) , (

...

) , (















n n v

v

n n v

u

n n u

u

N c N

c N c X X h

N c N

c N c X X h

N c N

c N c X X h

(2.2.12)

dir.

Sonuç 2.2.7: M yüzeyi X:DE² Eⁿ regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu takdirde

(16)

7

v u

vv v

v

v u

uv v

u

v u

uu u

u

X X

X X X h

X X

X X X h

X X

X X X h

2 22 1

22

2 12 1

12

2 11 1

11

) , (































(2.2.13)

dir.

Tanım 2.2.8: X(u,v):(u,v)DE² regüler yaması ile verilen M Eⁿ yüzeyinin Gauss eğriliği











2 1

2 12 22

2 ( 11 ( ) )

1 ⁿ

i

i i

i c c

c W

K (2.2.14)

dir (Mello 2009).

Tanım 2.2.9: M Eⁿ yüzeyi X(u,v):(u,v)DE² regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde her



X₁,X₂



T_p(M) ve



N₁,N₂,...,N_n_₂



T_p^(M) ortonormal bazları için M nin ortalama eğrilik vektörü







2

1 n

i i iN H

H (2.2.15)

dir. Burada

 













2

1

22 12

2 11 2

2 1 ⁿ

i

i i i

i Gc Fc Ec

H W (2.2.16)

M nin i.nci ortalama eğriliğidir. Bununla birlikte M nin ortalama eğriliği H  H dir (Mello 2003).

(17)

8 3. EⁿDE KENDİSİNE BENZER EĞRİLER

3.0. Giriş

Bu bölümde n-boyutlu Öklit uzayı E deki eğriler ele alınmıştır. Bu bölüm iki kısımdan ⁿ oluşmaktadır. Birinci kısımda E deki eğriler ile ilgili temel kavramlar tanıtılmıştır. ⁿ İkinci kısımda E deki kendisine benzer eğriler ile ilgili temel sonuçlar verilmiştir. ⁿ 3.1. Bir Eğrinin Eğrilik Vektörü

Tanım 3.1.1:  :I Eⁿ birim hızlı parametrik bir eğri olsun. Bu takdirde  eğrisinin eğrilik vektörü

En

I 

^: ; (s)^(s)

(3.1.1) biçiminde tanımlanır. Bununla birlikte

) , 0 [

:I  



;  (s)

 =  (s) (3.1.2)

fonksiyonuna eğrisinin eğriliği denir (Gray 1993).

Y. Teorem 3.1.2: u:I Eⁿ

vektör değerli fonksiyonu verilsin. Bu taktirde

) ) (

( ) ( ), ( )

( 1 )

( ) ( )

( ) (

2 u t

t u

t u t u t

t u u

t u t

u t u dt

d 



 













  

 















(3.1.3)

dir (Gray 1993).

İspat: u^,v^:IEⁿ vektör değerli fonksiyonları verilsin. Analizde çarpımın türevi kuralı yardımıyla



u(t),v(t)



u(t),v(t)u(t),v(t) dt

d      

(3.1.4)

dir. Böylece

(18)

9

   

) (

) ( ), (

) ( ), ( 2

) ( ), ( )

( ), (

) ( ), ( )

(

t u

t u t u

t v t u

t u t u t

u t u

t u t dt u

t d dt u

d



 

 

 



 





 

 







yardımıyla

 

) ) (

( ) ( ), ( )

( 1 )

( ) (

) ( )

( ) ( )

( ) (

) ) ( ( 1 )

( ) ( )

( ) (

2 2

t t u

u t u t u t

t u u

t u

t u t

u t dt u

d

t u

t t u u dt

d t u

t u t

u t u dt

d

 



 



 













  

 





 













 

 













(3.1.5)

elde edilir.

Teorem 3.1.3:  :I Eⁿ keyfi parametreli regüler parametrik bir eğri olsun. Bu takdirde  eğrisinin eğrilik vektörü ^:I Eⁿ;















 

 

 



 ()

) (

) ( ), ) (

( ) ( ) 1

( ₂ ₂ t

t t t t

t

t 



 



^ (3.1.6)

dir (Gray 1993).

İspat: keyfi parametreli regüler bir eğri olsun. Böylece eğrisinin birim hızlı yeniden parametrelendirmesi:J Eⁿ;  h olacak şekilde vardır. Böylece

   

ds t dt dt t d ds

s) d ( ) ( )

(  

   ; h(s)t

dir. Ayrıca  s( ) 1 ve (t) dt

ds    olduğundan

) (

) ) (

( t

s t



 



 

 elde edilir. Böylece

(19)

10 )

( )

(s  s

  ^

 

ds dt t t dt

d t

t ds s d ds

d















 















 

) (

) ( )

( ) ) (

( 



 

(3.1.7)

dir. Ayrıca Y. Teorem 3.1.2 yardımıyla















 

 



 



 















) (

) ( ), ( )

( ) ( )

( ) (

2 t

t t t

t t

t dt

d



elde edilir. Son eşitlik (3.1.7) de yerine yazılıp (t) dt

ds    eşitliği kullanılırsa (3.1.6)

elde edilir. 

Teorem 3.1.3 ün bir sonucu aşağıdaki gibidir.

Sonuç 3.1.4:  :I  Eⁿ keyfi parametreli regüler bir eğri olsun. Bu taktirde  eğrisinin eğrilik vektörü ^(t) olmak üzere ^(t),(t)0 dır (Gray 1993).

Tanım 3.1.5:  :I Eⁿ keyfi parametreli regüler bir eğri olsun. Bu durumda  eğrisinin birim teğet vektörü u:I Eⁿ

; ( )

) ) (

( t

t t

u 





 

 biçiminde tanımlanır.  eğrisi

regüler ve  t( ) 0 olduğundan u(t)

vektörü iyi tanımlıdır. Ayrıca başka bir vektör değerli fonksiyon v:IEⁿ

; nin dik izdüşümü

) ( ) ( ), ( ) ( )

(t v t v t u t u t

v    







 

(3.1.8) şeklinde tanımlanır (Gray 1993).

Sonuç 3.1.6: Keyfi parametreli bir eğrisinin eğrilik vektörü ^(t) olmak üzere

) 2

( ) ) (

(

t t t



 



 

 

(3.1.9)

dir (Gray 1993).

(20)

11 İspat: (3.1.8) eşitliğinden

) ( )

( ) ( ), ) (

( )

( 2 t

t t t t

t 



 

 



 

 

 

^  (3.1.10)

elde edilir. Böylece (3.1.10) eşitliği (3.1.6) da yerine yazılırsa (3.1.9) elde edilir. 

3.2. Eⁿ de Kendisine Benzer Eğriler

En

I 

 : türevlenebilir bir eğri olsun. Bu taktirde  eğrisinin türevlerinden

) ( ) ( ) ) (

( ) ( ), ) (

(

) ( ) (

2 1 2 1

1

s v t s

t v t t t

v t t



 



 



 



 

 

 

 



(3.2.1)

elde edilir. Ayrıca (3.1.6) eşitliği yardımıyla eğrisinin eğrilik vektörü

 

) (

) 1 (

) ( )

( ) ( ), ) (

( ) ( ) 1 (

2 1

2 1 2 2

2 2

t v

t v v v

t t

t t t

t t





 





















 

 

 

 



(3.2.2)

bulunur. Buradan ) ( ) (t ₁ t

 

(3.2.3)

dir.

Tanım 3.2.1:  :I Eⁿ türevlenebilir bir eğri olsun. Bu taktirde

 ( )

) (t  t

^ =0 (3.2.4) eşitliği sağlanırsa  ya kendisine benzer eğri denir. Burada

) ( )

( ) ( ), ) (

( )

( ₂ t

t t t t

t 



 

 



 



 

(21)

12 ifadesi  eğrisinin dik izdüşümüdür.

Önerme 3.2.2:  :I Eⁿ türevlenebilir bir eğri olsun. Bu taktirde  eğrisinin kendisine benzer eğri olması için gerek ve yeter şarteğrisinin düz bir doğru yada 1.nci Frenet eğriliğinin

) ( ), ( )

( ₂

1 t  v t  t

  (3.2.5)

olmasıdır.

İspat: (3.2.2), (3.2.3) ve (3.2.4) eşitlikleri ve ^(t),^(t)  ^(t),(t) yardımıyla



( ) ( ), ( )



0 )

(

) ( ), ( ) ( ))

( ( ) ( ), ( )

( ), (

2 1

1

2 1 2 1















 ^

t t v t t

t t t

t





















  

elde edilir. Buradan ₁(t)0yada₁(t) v₂(t),(t) 0 dir .

Tanım 3.2.3:  :I IEⁿ regüler bir eğri olsun. Bu taktirdenın 1. eğriliği sabit ise bu eğriye Salkowski eğrisi adı verilir [Salkowski 1909].

Örnek 3.2.4: 3-boyutlu Öklit uzayı E de sabit ³ k₁ eğrilikli eğrilerin karakterizasyonu ilk olarak E. Salkowski tarafından verilmiştir (Salkowski 1909). Bu eğrilerin parametrik gösterimi

nt m

m t z

t t

n n t n

n n n m

t y

t t

n n t n

n n n m

t x

2 cos 1

4 ) 1 (

2cos ) 1 2 1 )cos(

2 1 ( 4 ) 1 2 1 )cos(

2 1 ( 4

1 1

) 1 (

2sin ) 1 2 1 )sin(

2 1 ( 4 ) 1 2 1 )sin(

2 1 ( 4

1 1

) 1 (

2 2 2











  



 













  



 





 

biçimindedir. Burada















 ,0

3 / 1

; 1 2,

1

2 m IR

m n m

n dır.

(22)

13

Tanım 3.2.5:  Eⁿ regüler bir eğri olsun. Eğer  eğrisi

E nin (n-ı)-boyutlu bir hiper n

küresinde yatıyor ise  eğrisine küresel eğri denir (Kocayiğit ve ark. 2003).

Önerme 3.2.6:  Eⁿeğrisi kendisine benzer bir eğri olsun. Eğer  eğrisi küresel bir eğri ise bu taktirde  eğrisi Salkowski eğrisidir.

İspat:  Eⁿ küresel bir eğri olduğundan   , 1dır. Buradan

0 , 2

,    dt 

d

elde edilir. Böylece

0 , ,

,      

    

dt 

d (3.2.6)

bulunur. Ayrıca  ,  v² olup  vv₁v²₁v₂ eşitlikleri (3.2.6) eşitliğinde yerine yazılırsa



^, ¹



⁰

, ² ₁ ₂

1   

v  v  v 

v (3.2.7)

elde edilir. Diğer taraftan (3.2.5) eşitliği yardımıyla



( )  ⁽ ⁾ ),

( ¹

2

t t t

v  dır. Buradan

) 0 1 (

,

2 2 1

1 









 

 



 v  ^t

v v

(3.2.8)

dır. Ayrıca  , 0 olduğundan v₁, 0bulunur. Böylece (3.2.8) den ₁²(t) sonucuna varılır. O halde, Tanım 3.2.3 gereği  bir Salkowsi eğrisidir.

3.3. Kendisine Benzer Düzlemsel Eğriler ) 2

(t E

 eğrisi (t )



x(t),y(t)



keyfi parametrelendirilme ile verilsin. Bu eğrinin Frenet vektörleri

     

    

, ( )



)) ( ( )) ( (

1

, ), ( )) ( ( )) ( (

1

2 2 2

2 1 2

t x t y t

y t

x t

v

t y t x t y t

x t

v



 

 







 





(3.3.1)

(23)

14 dir. Böylece  eğrisinin eğriliği

 

  

² ²



³^/²

2 1

1 ( ( )) ( ( ))

) ( ) ( ) ( ) ) (

( ) ,

(

t y t

x

t y t x t y t x t

t v t t v

 



 



 



 



  (3.3.2)

dir. Eğer  eğrisi kendisine benzer bir eğri ise Önerme 3.2.2. den



⁽ ⁾ ⁽ ^), ⁽ ⁾



⁰

)

( ₁ ₂

1 t  t  v t  t 



dir. Buradan



^x^^y^^^x^^y^

 

^x^^y^^^x^^y^^^



⁽^x^⁾²^⁽^y^⁾²

 

^x^^y^^x^y^

 

^⁰

elde edilir.

Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir;

Teorem 3.3.1: E² eğrisi (t )



x(t),y(t)



parametrelendirilmesi ile verilsin. Bu taktirde  eğrisi düz bir doğrudur yada



^x^^y^^^x^^y^

 

^x^^y^^^x^^y^^^



⁽^x^⁾² ^⁽^y^⁾²

 

^x^^y^^x^y^

 

^⁰ (3.3.3) eşitliğini sağlayan düzlemsel bir eğridir.

Örnek 3.3.2:  E² eğrisi (t )



t,f(t)



parametrelendirilmesi ile verilsin. Bu durumda (3.3.3) eşitliğinden

 

t at b

f   yada ^f ^

 

^t ^^



^^t^f^

 

^t ^ ^f⁽^t⁾

 

¹^⁽^f^

 

^t ⁾²



^⁰

elde edilir.

Örnek 3.3.3: (t )



cos(r(t)),sin(r(t))



parametrelendirilmesi ile verilen birim çemberi 1



 durumunda kendisine benzer bir eğridir.

(24)

15 3.4. Kendisine Benzer Uzay Eğrileri

E3

  eğrisi (t )



x(t),y(t),z(t)



keyfi parametrelendirilme ile verilsin.  eğrisinin türevleri

 



⁽ ^), ⁽ ^), ⁽ ⁾



) (

) ( ), ( ), ( ) (

t z t y t x t



 





 





olmak üzere



^y^^z^^^z^^y^ ^z^^x^^^x^^z^ ^x^^y^^^y^^x^





 , ,



elde edilir. Burada işlem kolaylığı için

, )

(

, )

(

, )

(

x y y x t c

z x x z t b

y z z y t a



 



 



 



 



 



 

alınacaktır. Böylece,

 

t b

 

t c

 

t a²  ²  ²

 

 



dır. Bu eğrinin Frenet vektörleri

       

     

    ^ ^



⁽ ^), ⁽ ^), ⁽ ⁾



^,

) ( ) ( ) ( ) 1

(

, ,

, )

( ) ( ) ( ) 1

(

, ) ( ), ( ), 1 (

) (

2 2

3 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 1 2

t c t b t a t c t b t a t v

x b y a z a x c y c z b t c t b t a z y x t

v

t z t y t x z y x t

v





 



 



 





 





 





(3.4.1)

dir. Böylece  eğrisinin eğriliği

     



² ² ²



²³

2 2

2 1

) ( ) ( ) ) (

(

z y x

t c t b t t a

 





 

 (3.4.2)

olarak bulunur. Eğer  eğrisi kendisine benzer bir eğri ise Önerme 3.2.2. den



⁽ ⁾ ⁽ ^), ⁽ ⁾



⁰

)

( ₁ ₂

1 t  t  v t  t 



(25)

16 dir. Buradan

     



² ² ²

        

0

2 2

2 b c  x  y  z xbzcy y cxaz z aybx 

a 

elde edilir.

Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir;

Teorem 3.4.1:  E³ eğrisi (t )



x(t),y(t),z(t)



parametrelendirilmesi ile verilsin.

Bu taktirde  eğrisi düz bir doğrudur yada

     



² ² ²

 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

⁰

2 2

2 b c  x  y  z xbzcy y cxaz z aybx 

a  (3.4.3)

eşitliğini sağlayan bir eğridir.

(26)

17 4. E DE KENDİSİNE BENZER YÜZEYLER ³

4.0. Giriş

Bu bölümde 3-boyutlu Öklit uzayı E deki kendisine benzer yüzeylerin bir ³ karakterizasyonu verilmiştir. Bu bölüm dört kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda E³ de kendisine benzer yüzeylerin bir karakterizasyonu verilmiştir. İkinci kısımda Monge yaması ile, üçüncü kısımda dönel yüzey yaması ve dördüncü kısımda ise paralel yüzey yaması ile verilen kendisine benzer yüzeyler ile ilgili temel sonuçlar elde edilmiştir.

4.1. E de Kendisine Benzer Yüzeyler ³ E3

M  yüzeyi

)) , ( ), , ( ), , ( ( ) ,

(u v x₁ u v x₂ u v x₃ u v

X 

(4.1.1) regüler yaması ile verilsin. M yüzeyinin 1’nci ve 2’nci temel form katsayıları sırasıyla

v v

v u

u u

X X G

X X F

X X E

, , ,



(4.1.2)

ve

u v

X X

N X X

 





birim normal vektör olmak üzere

N X g

N X f

N X e

vv uv uu

, , ,



(4.1.3)

dir. Hesaplama kolaylığından H.Anciaux tarafından

(27)

18

v u vv

v u uv

v u uu

X X X g

X X X f

X X X e













, , ,

(4.1.4)

alınarak M E³ yüzeyinin ortalama eğriliği

32 2) (

2 2

F EG

F f E g G H e



  (4.1.5)

biçiminde tanımlanır (Anciaux 2006).

Bununla birlikte bir M E³ yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü H HN biçiminde tanımlanır.

Tanım 4.1.1: M E³yüzeyi 0



 X^ H 

eşitliğini sağlarsa, bu yüzeye kendisine benzer yüzey denir (Anciaux 2006). Burada X^ vektörü X in normal bileşenidir.

Önerme 4.1.2: M E³yüzeyinin kendisine benzer yüzey olması için gerek ve yeter şart

0 ) , , det(

) (

2

2   ² 



gE fF EG F X X_u X_v

G

e  (4.1.6) olmasıdır (Anciaux 2006).

İspat: (): M yüzeyi kendisine benzer bir yüzey olsun. Bu taktirde HX^ 0 eşitliği sağlanır. Böylece kendisine benzer yüzey olma şartı

0 , 



 X N

H  (4.1.7) olarak yazılabilir. Buradan