Evn+1, (n+1) - boyutlu yarı öklid uzayında genelleştirilmiş yarı regle yüzeylerin kesit eğrilikleri

FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ

(((( ))))

1 , 1 E v n n

+ + +

+ + + + + − − − − BOYUTLU YARI ÖKL øD UZAYINDA GENELLE ùTøRøLMøù YARI REGLE YÜZEYLERøN

KES øT EöRøLøKLERø

DOKTORA TEZø

Mahmut AKYøöøT

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATøK

Tez Danıúmanı : Prof. Dr. Murat TOSUN Ortak Tez Danıúmanı : Yrd. Doç. Dr. Soley ERSOY

Nisan 2011

ii



TEùEKKÜR

Bu çalıúmanın hazırlanmasında de÷erli zamanını ayıran, her aúamasını titizlikle de÷erlendirip, önerileriyle yol gösteren danıúman hocam Sayın Prof. Dr. Murat TOSUN’a minnet ve úükranlarımı sunarım.

Çalıúmam süresince bana vakit ayıran, özenle çalıúmalarımı takip eden, her zaman ve her konuda deste÷ini gördü÷üm, ikinci danıúmanım olan hocam Sayın Yrd. Doç. Dr.

Soley ERSOY’a teúekkürü bir borç bilirim.

Doktora aúamasında engin bilgi ve tecrübelerini esirgemeyen ve de÷erli katkılar sa÷layan Atatürk Üniversitesi, Kazım Karabekir E÷itim Fakültesi, Ortaö÷retim Matematik Bölümü Ö÷retim Üyesi hocam Sayın Prof. Dr. Muhamet Emin ÖZDEMøR’e teúekkürlerimi sunarım.

Çalıúmam sırasında ellerinden gelen her türlü deste÷i ve sabrı gösteren aileme en derin duygularla teúekkür ederim.

2010-50-02-018 nolu proje ile çalıúmama destek veren SAÜ Bilimsel Araútırma Projeleri Komisyonuna da teúekkürü bir borç bilirim.

iii

TEùEKKÜR... ii

øÇøNDEKøLER... iii

SøMGELER VE KISALTMALAR LøSTESø... v

ÖZET... vi

SUMMARY... vii

BÖLÜM 1. GøRøù... 1

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR………... 5

2. 1. Yarı Öklid Uzayında Temel Kavramlar ……..……… 5

2. 2. Koneksiyonlar ve E÷rilik……...………... 2. 3. E_vⁿ⁺¹, Yarı Öklid Uzayında Genelleútirilmiú Yarı Regle Yüzeyler ………. 12 18

BÖLÜM 3. 1 n Ev⁺ ,

(

^{n +1}

)

⁻BOYUTLU YARI ÖKLøD UZAYINDA GENELLEùTøRøLMøù YARI REGLE YÜZEYLERøN KESøT EöRøLøKLERø ………...………... 30

BÖLÜM 4. SONUÇLAR VE ÖNERøLER... 115

iv

ÖZGEÇMøù... 119

v

1 n

Ev⁺ : Yarı Öklid uzayı gab : Birinci temel form

g : Birinci temel formun determinantı

D : Koneksiyon

k

Γij : Christoffel sembolleri

i

Rjkl : Riemann e÷rilik tensörü katsayıları Rijkl

Π

: Riemann-Christoffel e÷rilik tensörü : Te÷et kesiti

K : Kesit e÷rilik fonksiyonu

( )

E tk : Regle yüzeyin do÷rultman uzayı

( )

,

Ek_µ t : Yarı regle yüzeyin do÷rultman uzayı

( )

A t : Asimptotik demet

( )

T t : Te÷etsel demet

( )

Kk m₋ t : Regle yüzeyin sırt uzayı

( )

, k m r

K ₋ t : Yarı regle yüzeyin sırt uzayı

( )

Zk m₋ t : Regle yüzeyin merkez uzayı

( )

, k m r

Z ₋ t : Yarı regle yüzeyin merkez uzayı Ω : Regle yüzeyin merkez regle yüzeyi Pi : Regle yüzeyin .i asli da÷ılma parametresi P : Regle yüzeyin da÷ılma parametresi

vi

Anahtar Kelimeler: Yarı Öklid uzayı, Regle yüzey, Kesit e÷rili÷i, Yarı Öklidiyen Beltrami-Euler formülü, Yarı Öklidiyen Lamarle formülü, Yarı Öklidiyen Beltrami- Meusnier formülü.

Dört bölüm olarak hazırlanan bu çalıúmanın birinci bölümü giriú kısmı olup, literatür hakkında bilgi verildi. økinci bölümde yarı Öklid uzayı, yarı Riemann manifoldu, e÷rilikler ve kesit e÷rilikleri ile ilgili temel tanım ve teoremler verildi. Ayrıca, yarı Öklid uzayında yarı regle yüzeyler tanıtıldı.

Üçüncü bölüm bu çalıúmanın orijinal kısmını oluúturmaktadır. Bu bölümde E_vⁿ⁺¹,

(

^{n +1}

)

⁻boyutlu yarı Öklid uzayında genelleútirilmiú yarı regle yüzeylerin kesit e÷rilikleri incelendi. Böylece yarı regle yüzeylerin I. ve II. tip yarı Öklidiyen Beltrami-Euler formülü, yarı Öklidiyen Lamarle formülü ve yarı Öklidiyen Beltrami- Meusnier formülleri elde edildi.

Son bölümde ise tüm çalıúmanın geniú bir özeti yapıldı ve bundan sonra yapılacak araútırmalara yönelik öneride bulunuldu.

vii

SPACE, n 1 Ev +

SUMMARY

KEY WORDS: Semi Euclidean Space, Ruled Surface, Semi Euclidean Beltrami-Euler Formula, Semi Euclidean Lamarle Formula, Semi Euclidean Beltrami Meusnier Formula.

This study consists of four parts. The first part is an introduction devoted to the literature knowledge. In the second part of this study fundamental definitions and theorems related to semi Euclidean space, semi Riemannian manifold, curvatures and sectional curvature are given. Moreover, in semi Euclidean space semi ruled surfaces are introduced.

The third part is original part of this study. In this part the sectional curvatures of generalized semi ruled surfaces in

(

^{n +1}

)

⁻dimensional semi Euclidean space are investigated. Therefore, type I and type II semi Euclidean Beltrami Euler formula, semi Euclidean Lamarle formula and semi Euclidean Beltrami Meusnier formula of semi ruled surfaces are obtained.

In the forth chapter of this thesis, a brief summary of the study is given and a suggestion is proposed for investigations on the realm of sectional curvature of semi ruled surface.

Geometriye ait bilgileri ve yöntemlerini bilimsel bir anlayıú içinde sistemleútiren Euclides’dir (M.Ö. 330-275). Euclides bildiklerini M.Ö. 300 yıllarında Elementler adlı kitabında toplamıútır. Daha sonraki yıllarda, bu eserdeki konulara esas olan geometriye Öklid geometrisi denilmiútir. 17. yy. baúlarına kadar, geometri daha çok cebirsel olmayan bir tarzda, yani Euclides’in sentetik yöntemi denilen bir yöntem olarak biliniyordu. Geometri, bu yöntem içinde, geometrik úekillerin metrik özellikleri denen uzunluk, açı, alan, hacim v.b. gibi özellikleriyle ilgili olarak, çok sınırlı bir úekilde kalmıútır. Euclides’e ait temel geometri bilgileri, 19. yy. baúlarına kadar, Öklid dıúı geometrilerin kurulmasına kadar önemini korumuútur. 1854’te C. F.

Gauss’un ö÷rencisi olan B. Riemann, yüzeylerin esas geometrisi ile ilgili çalıúmasında analiz metodlarını uyguladı ve böylece Öklid olmayan farklı bir geometri buldu. Sonra, Riemann’ın bu çalıúması Einstien’ın izafiyet teorisi için temel teúkil etti.

Diferensiyel geometride yarı Riemann manifoldu, Riemann manifoldunun bir genelleútirilmiúidir. Ayrıca, Riemann’dan sonra adlandırılan bir çok matematiksel objeden birisidir. Riemann manifoldu ve yarı Riemann manifoldu arasındaki önemli fark metrik tensörün yarı Riemann manifoldu üzerinde pozitif tanımlı olmamasıdır.

Riemann geometrisinde kesit e÷rili÷i, Riemann manifoldlarının e÷rili÷ini tanımlayabilmenin yollarından birisidir. ^K

( )

^Π kesit e÷rili÷i, tanjant uzayının p noktasındaki

2 −

boyutlu Π alt düzlemine ba÷lıdır. Yüzeyin kesit e÷rili÷i, yüzeyin p noktasındaki tanjant düzleminin

2 −

boyutlu Π alt düzleminin gauss e÷rili÷idir.

Kısacası, e÷rilik kavramı keyfi metrik uzayının yerel yapısını tanımlamanın bir yoludur. Ancak, matematikçiler önceleri bunun farkında olmamalarına ra÷men, e÷rili÷i çalıúıyorlardı. Bir yüzeyin Gauss anlamında e÷rilik kavramı F. Gauss tarafından çalıúılırken, diferensiyellenebilir manifoldlardaki e÷rili÷in kesin olarak tanımlanması ve daha genel anlamda tartıúılması Riemann’ın tezi ile baúladı.

Riemann ve yarı Riemann manifoldları teorisinde, kovaryant türev terimi sıklıkla Levi-Civita koneksiyonu olarak kullanılır. Yerel koordinatlar sistemine göre bu koneksiyonun bileúenleri Christoffel sembolleri olarak adlandırılır. Aslında Levi- Civita koneksiyonu E. B. Christoffel tarafından bulunmasına ra÷men, T. Levi- Civita’dan sonra adlandırıldı.

L. Euler, yüzey ile yüzeyin normalini içeren düzlemin (normal düzlem) arakesiti olan normal e÷risini göz önüne almıú ve böylece normal e÷rilik ile asli e÷rilikler arasındaki ba÷ıntı olan Euler Teoremi (Euler e÷rilik formülü) literatüre girmiútir.

Daha sonra Meusnier, yüzeyin normal düzlemi olmak zorunda olmayan (yüzeyin belli bir noktasından geçen ve bu noktada yüzeyin normali ile bir açı yapan) düzlemler ile yüzeyin arakesit e÷rilerinin normal e÷riliklerini hesaplamıú ve böylece önemli sonuçları ile bilinen Meusnier teoremi ilk olarak 1776 da J. B. Meusnier tarafından açıklanmıútır. Meusnier teoremi, verilen bir p noktasında aynı te÷ete (asimptotik do÷rultu olmayan) sahip olan bütün e÷rilerin, p noktasında e÷rilik çemberleri bir küre üzerinde bulunurlar. Euler formülü, Lamarle formülü ve Meusnier formülü klasik yüzey teorisinden gelmektedir. Te÷et kesit e÷rilikleri için Beltrami formülü, te÷et kesitinin kesit e÷rili÷ine uygulanmıú olmasına ra÷men Euler formülü uygulanmamıútır. 1976 yılında H. Frank ve O. Giering “Verallgemeinerte Regelflachen” baúlıklı çalıúmasında E , ⁿ n−boyutlu Öklid uzayında merkez regle yüzeyli genelleútirilmiú regle yüzeyler için Euler formülünü her bir merkez noktada te÷et kesitlerin kesit e÷rili÷i için uygulamıú ve bu formül Beltrami Euler formülü adını almıútır. Ayrıca regle yüzeyin, te÷et kesitinin da÷ılma parametresi ile ba÷ımlı oldu÷una iúaret eden Lamarle formülü tanımlanmıútır. Bu formüller kullanılarak herhangi te÷et kesit düzleminin kesit e÷rili÷i için Beltrami Meusnier formülü verilmiútir.

Regle yüzeyler konusu, diferensiyel geometri ve kinematik teori tekniklerinin en uygun úekilde kullanılabildi÷i araútırma konulardan biri oldu÷undan, matematikçilerin her zaman ilgi oda÷ı olmuútur. Bu yüzden, literatürde bu konu ile ilgili çok sayıda kaynak bulmak mümkündür. Regle yüzeylerin sınıflandırılması, dayanak e÷risiyle ilgili özelliklere göre, regle yüzey ve yüzeyin üzerindeki e÷rilik

çizgileri, geodezikleri, striksiyon çizgileri ve yüzeyin úekil operatörü ve bunun cebirsel invaryantlarının incelenmesi, regle yüzeylerin açılabilirli÷i, açılım uzunlukları, kapalı regle yüzeylerin incelenmesi gibi konular regle yüzeyler üzerine yapılan çalıúmaların baúında gelmektedir.

M. Juza 1962 yılında genelleútirilmiú regle yüzeyleri çalıúmıútır. Daha sonra bu çalıúmaları H. Frank ve O. Giering’in çalıúmaları izlemiútir. Ülkemizde ise 1982 yılında A. Sabuncuo÷lu ve 1983 yılında M. Ergüt doktora tezlerinde genelleútirilmiú regle yüzeyleri çalıútılar. 1983 yılında S. Keleú ve N. Kuruo÷lu bu yapılan çalıúmalar do÷rultusunda n− boyutlu Öklid uzayında regle yüzeylerin özelliklerini ve Massey Teoremini ifade etti. Yine, 1984’te A. Altın “Yüksek mertebeden regle yüzeyler”

adlı doktora teziyle regle yüzeyler konusunu ele aldı. ølerleyen yıllarda regle yüzeyler konusu Lorentz uzayında da sık bir úekilde çalıúılmaya baúlandı. A. Turgut 1995’de 3 − boyutlu Minkowski uzayında timelike ve spacelike regle yüzeyleri inceledi. Daha sonra, regle yüzeyler n−boyutlu Lorentz uzayına genelleútirildi. 1995 yılında M. Tosun “IR₁ⁿ, Minkowski uzayında spacelike do÷rultman uzaylı genelleútirilmiú timelike regle yüzeyler” ve ø. Aydemir “IR₁ⁿ, Minkowski uzayında timelike do÷rultman uzaylı genelleútirilmiú timelike regle yüzeyler” baúlıklı doktora tezleriyle genelleútirilmiú regle yüzeyleri incelediler. Bu çalıúmaların devamında 1998 yılında da C. Ekici “Yarı Öklidiyen uzaylarda genelleútirilmiú yarı regle yüzeyler” adlı doktora tezini yapmıútır.

Çalıúmamızda, E_vⁿ⁺¹,

(

ⁿ

^{+ − 1} )

boyutlu yarı Öklid uzayında genelleútirilmiú yarı regle yüzeyin birinci temel formu ve metrik katsayıları hesaplanmıú ve bunlara ba÷lı olarak Christoffel sembolleri ve Riemann-Christoffel e÷rilikleri elde edilmiútir.

Böylece yarı regle yüzeyin kesit e÷rilikleri hesap edilmiútir. Bu yarı regle yüzeyin her bir noktasında nondejenere asli te÷et kesitlerinin kesit e÷rilikleri birinci temel formun matrisinin determinantı cinsinden elde edilmiútir. Buna ek olarak her bir merkez noktada da nondejenere asli te÷et kesitlerinin kesit e÷rilikleri incelenmiú ve böylece genelleútirilmiú yarı regle yüzeyin asli kesit e÷rili÷i ile asli da÷ılma parametresi arasında ba÷ıntı elde edilmiútir. Ayrıca nondejenere asli ıúın yüzeyi göz önüne alınarak bu yüzeyin kesit e÷rili÷i ile asli da÷ılma parametresi arasındaki ba÷ıntı ortaya konmuútur. Genelleútirilmiú yarı regle yüzeyin merkez noktasında

normal kesit e÷rili÷i ile asli kesit e÷rilikleri arasındaki ba÷ıntılar elde edilmiútir.

Ayrıca do÷rultman uzaylı genelleútirilmiú yarı regle yüzeyin herhangi te÷et kesitlerinin e÷rili÷i araútırılmıútır.

2. 1. Yarı Öklid Uzayında Temel Kavramlar

Tanım 2.1.1. ,V sonlu boyutlu reel vektör uzayı olmak üzere,

, :V V× → \

dönüúümü, ∀a b, ∈ \ ve ∀u v w V, , ∈ G G JG

için

) , ,

i u v = v u

G G G G

) , , ,

, , ,

ii a u b v w a u w b v w u a v b w a u v b u w

+ = +

+ = +

G G JG G JG G JG

G G JG G G G JG

özelliklerini sa÷lıyor ise , ya V vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer ( 2 − lineer) form denir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.2. V vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form , olsun. Bu durumda,

)

i ∀ ∈u V G

, u≠0 G G

için u u, >0 G G

ise , bilineer formu pozitif tanımlı, )

ii ∀ ∈u V G

, u≠0 G G

için u u, <0 G G

ise , bilineer formu negatif tanımlı, )

iii ∀ ∈u V G

için u u, ≥0 G G

ise , bilineer formu pozitif yarı tanımlı, )

iv ∀ ∈u V G

için u u, ≤0 G G

ise , bilineer formu negatif yarı tanımlı,

)

v ∀ ∈w V JG

için u w, =0 G JG

iken u= ∈0 V G G

oluyorsa , bilineer formuna nondejenere aksi halde dejeneredir denir (O’Neill, 1983).

Teorem 2.1.3. Bir , simetrik bilineer formu nondejeneredir gerek ve yeter úart , nın herhangi bir baza göre ters matrisi vardır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.4. Bir V vektör uzayı üzerinde , nondejenere simetrik bilineer formuna V vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpma ve

(

^{V, ,}

)

ikilisine de skalar çarpımlı uzay denir (Ekici, 1998).

Tanım 2.1.5. V , vektör uzayının bir alt uzayı W olmak üzere ^{W⊥ =}

{

^{v V vG∈ G⊥W}

}

olsun. W^⊥ altuzayına V vektör uzayının dik altuzayı denir (O’Neill, 1983).

Burada W^⊥ altuzayına W uzayının ortogonal komplemanı diyemeyiz. Çünkü W +W^⊥ genellikle V vektör uzayının tamamı de÷ildir (O’Neill, 1983).

Teorem 2.1.6. V skalar çarpım altuzayının bir alt uzayı W olmak üzere

)i boyW +boyW^⊥ =boyV ^{ii W)}

( )

^{⊥ ⊥ =W}

dır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.7.

(

^{V, ,}

)

bir skalar çarpım uzayı ve W da V nin bir altuzayı olsun.

E÷er W üzerinde , nondejenere ise W altuzayına nondejenere altuzay aksi halde W altuzayına dejenere altuzay denir (O’Neill, 1983).

Teorem 2.1.8. V bir skalar çarpım uzayı ve W da V vektör uzayının bir altuzayı olsun. W bir nondejenere altuzaydır gerek ve yeter úart V =W +W^⊥ dır (O’Neill, 1983).

Teorem 2.1.9. Bir ^{V ≠}

{ }

^0G skalar çarpım uzayı bir ortonormal baza sahiptir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.10. , , V üzerinde simetrik bilineer form ve W uzayı da V vektör uzayının bir altuzayı olsun. , dönüúümünün W üzerinde kısıtlanmıúı , _W olmak üzere

, _W :W W× → \

negatif tanımlı olacak úekilde en büyük boyutlu W altuzayının boyutuna, , simetrik bilineer formunun indeksi denir ve v ile gösterilir. Bu durumda

0≤ ≤ν boyV dir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.11. M , C^∞ sınıfından manifold ve M üzerindeki vektör alanlarının uzayı

^χ ( )

^{M olsun.}

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, : ,

, , , ,

M M C M

X Y X Y X Y

χ

×

χ

→ ^∞

→ =

\

G G G G G G

úeklinde bir skalar çarpım fonksiyonu tanımlı ise M manifolduna Riemann manifoldu ve , ye de M üzerinde bir metrik tensör denir. Bu metrik tensörün indeksine M manifoldunun indeksi denir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.12. M , C^∞ sınıfından bir manifold olmak üzere sabit indeksli , tensörü

)

i 2− lineer )

ii Simetrik

( )

)

iii ∀ ∈X

χ

M JJG

için X Y, =0 ŸY =0

JJG JG JG

ise

(

^{M, ,}

)

ikilisine bir yarı Riemann manifoldu denir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.13. Bir M yarı Riemann manifoldu üzerinde , metrik tensörünün indeksine yarı Riemann manifoldunun indeksi denir (O’Neill, 1983).

M , yarı Riemann manifoldunun indeksi

ν

olmak üzere 0≤ ≤ =ν n boyM dir. Özel olarak ν =0 ise M , bir Riemann manifoldu, ν =1 ve n≥2 ise M , bir Minkowski manifoldu adını alır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.14. Eⁿ⁺¹,

(

ⁿ⁺¹

)

⁻boyutlu Öklid uzayı verilsin. 0≤ν ≤n olmak üzere

1

1 1

,

n

i i i i

i i

X Y x y x y

ν

ν +

= = +

= −

¦

+

¦

G G

metrik tensör ile birlikte seçilen uzay yarı Öklid uzayı olarak isimlendirilir ve E_νⁿ⁺¹ ile gösterilir. Özel olarak ν = , 0 n≥2 ise E₀ⁿ⁺¹=Eⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Öklid uzayı ve ν = , 1 n≥2 ise E₁ⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Minkowski uzayı adını alır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.15. XG =

(

x x1, ,2 , ,x x_{n n+}1

)

∈E_vⁿ⁺¹

! olsun. E÷er

)i X X, 0

→ →

> veya X^→ = ise X^→0 ^→ vektörüne spacelike vektör,

)ii X X, <0 G G

ise X^→ vektörüne timelike vektör,

)iii X X, 0 ve X 0

→ → →

= ≠

G

ise X^→ vektörüne null vektör

denir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.16. E_vⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu yarı Öklid uzayı olsun. ∀ =X

(

x1, , ,x x_{n n+}1

)

, G

!

(

1, , _n, _n 1

)

_v^{n 1}

Y = y y y ₊ ∈E ⁺ JG

! için

, 0

X Y = G G

(2.1)

ise XG ve YG

vektörleri yarı Öklid anlamda diktirler denir.

Tanım 2.1.17. V , vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpma , olsun. X V∈ JJG vektörünün normu

, X = X X JJG JJG JJG

(2.2)

ile tanımlanır (O’Neill, 1983).

Teorem 2.1.18. E_vⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu yarı Öklid uzayı ve X =

(

x x1, ,2 , ,x x_{n n+}1

)

G

!

1 n

Ev⁺

∈ olmak üzere

) 0

i XG >

dır,

) 0

ii XG = ⇔ XG

bir null vektördür, )

iii X G

bir timelike vektör ise X ² = − X X,

G G G

dir, )

iv X

G bir spacelike vektör ise X ² = X X,

G G G

dir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.1.19.

(

^{V, ,}

)

bir yarı Öklid uzayı ve W ⊂V bir altuzay olsun. , _W , W altuzayı üzerine indirgenmiú metrik tensör olmak üzere

) , _W :

i W W× → \ pozitif tanımlı ise W ya spacelike altuzay, ) , _W :

ii W W× → \ 1− indeksli ve nondejenere ise W ya timelike altuzay, ) , _W:

iii W W× → \ dejenere ise W ya null altuzay denir (O’Neill, 1983).

Teorem 2.1.20. E₁ⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Minkowski uzayında, XG

ve YG

pozitif (negatif) timelike vektörler olsun. Bu durumda

,

X Y ≤ X Y

G G G G

(2.3)

eúitsizli÷i vardır. Bu eúitsizlikte eúitlik durumunun sa÷lanması için gerek ve yeter úart XG

ve YG

vektörlerinin lineer ba÷ımlı olmasıdır (Ratcliffe, 1994).

Teorem 2.1.21. E₁ⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Minkowski uzayında, XG

ve YG

pozitif (negatif) timelike vektörler olsun. Böylece

, cosh

X Y = − X Y θ

G G G G

(2.4)

olacak úekilde bir tek θ ≥ reel sayısı vardır. 0 θ reel sayısı XG

ve YG

timelike vektörleri arasındaki hiperbolik açıdır (Ratcliffe, 1994).

Teorem 2.1.22. E₁ⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Minkowski uzayında, iki lineer ba÷ımsız spacelike vektör XG

ve YG

olsun. Bu takdirde aúa÷ıdaki ifadeler birbirine denktir

) i X

G ve YG

vektörleri X Y, > X Y

G G G G

denklemini sa÷lar, )

ii X G ve YG

spacelike vektörleri tarafından gerilen V altuzayı timelikedır,

)

iii Sırasıyla, XG ve YG

ye Lorentz anlamda ortogonal olan H nin, P ve Qⁿ hiperdüzlemleri ayrıktır (Ratcliffe, 1994).

Teorem 2.1.23. E₁ⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Minkowski uzayında, XG

ve YG

spacelike vektörlerinin gerdikleri altuzay timelike ise X Y, > X Y

G G G G

eúitsizli÷i vardır.

Böylece,

, cosh

X Y = X Y θ

G G G G

(2.5)

olacak úekilde bir tek θ > reel sayısı vardır. 0 θ reel sayısı XG

ve YG

spacelike vektörleri arasındaki hiperbolik açıdır (Ratcliffe, 1994).

Teorem 2.1.24. E₁ⁿ⁺¹,

(

^{n+ −1}

)

boyutlu Minkowski uzayında, XG

bir spacelike vektör ve YG

timelike vektör ise

, sinh

X YG G = X YG G θ

(2.6)

olacak úekilde bir tek θ > reel sayısı vardır. Burada, 0 θ reel sayısı XG

spacelike vektörü ile YG

timelike vektörü arasındaki hiperbolik açıdır (Ratcliffe, 1994).

Tanım 2.1.25. E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzayı ve

α

da E_vⁿ⁺¹ de bir e÷ri olsun.

α

e÷risinin hız vektörü

α

JG<

olmak üzere

) , 0

i

α α

<

< <

JG JG

ise

α

timelike e÷ri,

) , 0

ii

α α

>

< <

JG JG

veya

α

=0 JG< G

ise

α

spacelike e÷ri,

) , 0

iii

α α

=

< <

JG JG

ve

α

≠0 JG< G

ise

α

null e÷ri

olarak isimlendirilir (O’Neill, 1983).

2.2. Koneksiyonlar ve E÷rilik

Tanım 2.2.1. M , bir yarı Riemann manifoldu ve M üzerinde vektör alanlarının uzayı

^χ ( )

^M olsun. ∀ XG

, YG

, ^ZG∈χ

( )

^{M ve ∀ ∈f C∞}

(

^M,\

)

^için

( ) ( ) ( )

( ) ( )

:

, , _X

D M M M

X Y D X Y D Y

χ

×

χ

→

χ

→ = ^G

G G G G G

operatörü,

D1) DX^G

(

Y +Z

)

=D YX^G +D ZX^G

G G G G

D2) D_{X Y}^G₊^GZ =D Z_X^G +D Z_Y^G

G G G

D3) D_{f X}^GYG= f D Y_X^G G

D4) ^DXG

( )

^{f YG =X f YG}

^{[ ]}

^{G+ f D YXG G}

özeliklerini sa÷lıyorsa D ye M üzerinde koneksiyon D_XY G

G ye de YG

vektör alanının X

G vektör alanına göre kovaryant türevi denir (Hacısaliho÷lu, 1983).

Tanım 2.2.2. M , bir yarı Riemann manifoldu ve M üzerindeki koneksiyon D olmak üzere ∀ XG

, YG

, ^ZG∈χ

( )

^{M için}

D5) ª¬X Y, º =¼ D Y_X^G −D X_Y^G

G G G G

D6) X Y Z, = D Y Z_X^G , + Y D Z, _X^G

G G G G G G G

özelikleri sa÷lanıyorsa D koneksiyonuna M üzerinde Levi-Civita koneksiyonu denir (Hacısaliho÷lu, 1983).

Tanım 2.2.3. M , bir yarı Riemann manifoldu ve M nin her bir U koordinat komúulu÷u üzerinde yerel koordinat fonksiyonları x₁,x₂,!,x_n ve tanjant uzayının bazı

{

∂ ∂1, ,2 !,∂_n

}

_{, i}

xi

∂ = ∂

∂ , 1 i n≤ ≤ , olsun.

( )

k

k k ij

i j

D∂ ∂ =

¦

Γ ∂ , 1≤ ,i j≤n (2.7) olmak üzere

: ^C

k

ij U ^∞

Γ → \

k

Γij fonksiyonları D koneksiyonun Christoffel sembolleri olarak adlandırılır (O’Neill, 1983).

, 0

i j

ª∂ ∂ º=

¬ ¼ ve (D5) den D_∂i

( )

∂j =D_∂j

( )

∂i dir. Böylece,

k ji k ij =Γ

Γ (2.8)

dir (O’Neill, 1983).

Önerme 2.2.4. U üzerinde yerel koordinat fonksiyonları x₁,x₂,!,x_n ve tanjant uzayının bazı

{

∂ ∂1, ,2 !,∂_n

}

_{, öyle ki}

i

xi

∂ = ∂

∂ , 1 i n≤ ≤ , olsun. _{j j}

j

W^JJG=

¦

W∂ ^olmak üzere

i

k k

j j ij j k

j k i j

D W W W

∂ x

§ · §∂ ·

∂ = + Γ ∂

¨ ¸ ¨ ¸

©

¦

¹

¦

© ∂

¦

¹ ^(2.9)

dır. Burada Γ_ij^k Christoffel sembolleri

¦

»»

¼ º

««

¬ ª

∂

−∂

∂ +∂

∂

= ∂ Γ

m m

ij j im i

km jm k

ij x

g x g x g g 2

1 (Koszul eúitli÷i) (2.10)

ile verilir. Ayrıca D_∂i , ∂ yönündeki yarı Öklid anlamda kovaryant türev ve _i g^km ise g matrisinin ters matrisidir (O’Neill, 1983). km

Tanım 2.2.5. M , bir yarı Riemann manifoldu ve M üzerinde Levi-Civita koneksiyonu D olsun.

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{X Y Z}

)

^R

(

^{X Y Z}

)

^{R Z}

M M

M M

R

Y X

G G

G G G

G G

G

= G

→

→

×

×

, , ,

,

:

χ χ χ χ

,

XY X Y Y X X Y

R Z D D Z D D Z D_{ª º}Z

¬ ¼

= − −

G G G G G G G G

G G G G

(2.11)

úeklinde tanımlanan fonksiyon M üzerinde 3. mertebeden bir kovaryant tensör alanıdır ve M manifoldunun Riemann e÷rilik tensörü olarak isimlendirilir (Hacısaliho÷lu, 1983).

Ayrıca xG , yG

, zG∈TP

( )

M

olmak üzere

xy^: P

( )

P

( )

xy

R T M T M

z R z

→

→

GG

GG

G G

operatörüne e÷rilik operatörü adı verilir (O’Neill, 1983).

Teorem 2.2.6. E÷er xG , yG

, zG , vG

, wG

( )

^M

T_P

∈ ise

1)

2) , ,

3) 0

4) , ,

xy yx

xy xy

xy yz zx

xy vw

R R

R v w R w v R z R x R y

R v w R x y

= −

= −

+ + =

=

GG GG

GG GG

GG GG GG

GG G G

G G G G

G G

G

G G G G

(2.12)

dır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.7. M , yarı Riemann manifoldunun x₁,x₂,!,x_n koordinat sisteminin koordinat komúulu÷unda tanjant uzayının bazı

{

∂ ∂1, ,2 !,∂_n

}

_,

i

xi

∂ = ∂

∂ , 1 i n≤ ≤ , olmak üzere M manifoldunun Riemann e÷rilik tensörü

( ) ¦

=

∂

∂ ∂ = ∂

n

i

i i jkl

j R

Rk l

1

(2.13)

úeklinde tanımlanır. Bu eúitlikteki Rⁱ_jkl fonksiyonlarına M nin Riemann e÷rilik tensörü katsayıları adı verilir (Beem, 1981).

Teorem 2.2.8. M , yarı Riemann manifoldunun Riemann e÷rilik tensörü

( ) ¦

=

∂

∂ ∂ = ∂

n

i

i i jkl

j R

R k l

1

olmak üzere Rⁱ_jkl Riemann e÷rilik tensörü katsayıları

( )

1 n

i i i i m i m

jkl lj kj km lj lm kj

k l m

R x x ₌

∂ ∂

= Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ

∂ ∂

¦

^(2.14)

dir (Beem, 1981).

Tanım 2.2.9. M , n−boyutlu

(

^n≥4

)

yarı Riemann manifoldu olsun. ∀X Y Z WG, , ,G G G

( )

^M

χ

∈ için

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

^{W X Y Z}

)

^R

(

^{W X Y Z}

)

^{W R Z}

IR M C M M

M M

R

Y X

K G G G K G G

G K G

G

, G

, , , ,

, ,

, :

=

→

→

×

×

×

χ χ χ

^∞

χ

(2.15)

úeklinde tanımlanan 4. mertebeden bir kovaryant tensöre, M üzerinde Riemann- Christoffel e÷rilik tensörü adı verilir (Hacısaliho÷lu, 1983).

Teorem 2.2.10. M , yarı Riemann manifoldunun Riemann-Christoffel e÷rilik tensörü

1 n

r

ijkl ir jkl

r

R g R

=

=

¦

(2.16)

dir (Beem, 1981).

Tanım 2.2.11. M , bir yarı Riemann manifoldu ve P∈M noktasındaki ^TP

( )

^M

tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayı Π olsun. Π ye M nin P noktasındaki te÷et kesiti denir (O’Neill, 1983).

( )

, _P

v w TG G∈ M

tanjant vektörleri, Π te÷et kesitinin bir bazını oluútursunlar. Bu takdirde

(

^v,w

)

^{v,v w,w v,w 2}

Q G G G G G G G G

−

= (2.17)

olmak üzere Π te÷et kesiti nondejeneredir ancak ve ancak ^Q

(

^vG,wG

)

^≠0 dır (O’Neill, 1983).

(

^{v w}

)

Q G G

, mutlak de÷eri vG ve wG

ile oluúturulan olan paralelkenarın alanının karesine eúittir. E÷er

, Π definit ise ^Q

(

^vG,wG

)

pozitif,

, Π indefinit ise ^Q

(

^vG,wG

)

negatiftir (O’Neill, 1983).

M yarı Riemann manifoldunun P noktasındaki Π nondejenere te÷et kesitinin bir bazı

{

^{v wG G,}

}

olsun. Bu takdirde M manifoldunun te÷et kesitleri

0 ,

,

,v w w − v w ² <

vG G G G G G

(timelike düzlem)

0 ,

,

,v w w − v w ² = vG G G G G G

(dejenere düzlem) 0

, ,

,v w w − v w ² >

vG G G G G G

(spacelike düzlem)

olacak úekilde sınıflandırılır (Beem, 1981).

Tanım 2.2.12. M , bir yarı Riemann manifoldu ve P∈M noktasındaki nondejenere te÷et kesiti Π olsun. Bu düzlem üzerinde ∀ wvG G∈Π

, için

( )

₂

, ,

, , ,

w v w w v v

w v w R

v

K G G G^vwG G G G G G

G ^GG

= − (2.18)

úeklinde verilen K reel de÷erli fonksiyonuna M nin P noktasındaki kesit e÷rilik fonksiyonu ve ^K

(

^vG,wG

)

reel de÷erine de M manifoldunun P noktasındaki kesit e÷rili÷i denir (Beem, 1981).

{

^vG,wG

}

bazı ile verilen Π te÷et kesitinin kesit e÷rili÷i,

¦

∂

= ∂

i

i x

v vG

ve

¦

∂

= ∂

i

i x

w wG

olmak üzere

( )

[ ]

²

,

¦ ¦

¦

= −

j i ij m

k km j i ij

m k j i ijkm

w v g w

w g v v g

v w v w w R

v K G G

(2.19)

dir (Beem, 1981).

Tanım 2.2.13. E_vⁿ⁺¹,

(

ⁿ⁺¹

)

⁻boyutlu yarı Öklid uzayında M ,

(

^k+1

)

⁻boyutlu yarı regle yüzeyin

ξ

∈TM

( ) ξ

noktasında tanjant uzayının iki boyutlu altuzayının bir bazı

{ }

^{b cG G, olsun. Sp b c}

{ }

^{G G,} te÷et kesiti nondejenere olmak üzere

( ) ( )

2

, ,

,

, , ,

b R b c c K b c

b b c c b c

ξ =

− G G G G G G

G G G G G G (2.20)

olarak tanımlanan ^Kξ

( )

^{b cG G,} reel de÷erine M yarı regle yüzeyinin ξ noktasındaki kesit e÷rili÷i denir.

M nin lineer ba÷ımsız te÷et vektörleri b G

ve c G

nin koordinatları sırasıyla

( β β

0, , ,1 ^!

β

_k

)

ve

( γ γ

0, ,1 ^!,

γ

_k

)

olmak üzere

ξ

∈TM

( ) ξ

noktasında M regle yüzeyinin kesit e÷rili÷i, bileúenleri cinsinden

( )

^{, , , , 0 2}

, , ,

k

ijrs i r j s i j r s

R K b c

b b c c b c

ξ

β β γ γ

= =

− G G

¦

G G G G G G (2.21)

dır.

2. 3. E_vⁿ⁺¹, Yarı Öklid Uzayında Genelleútirilmiú Yarı Regle Yüzeyler

1 n

Ev⁺ ,

(

ⁿ⁺¹

)

⁻boyutlu yarı Öklid uzayında,

{ }

^{0 ⊂ ⊂I R} olmak üzere diferensiyellenebilir bir nonnull e÷ri

( ) ( ( ) ( ) )

1

1 1

:

, ... ,

n v

n

I E

t t t t

α

α α α

+

+

→

→ =

verilmiú olsun. Her

^α ( )

^t noktasında tanımlanan

{

e t e t¹

( )

^{, 2}

( )

^,...,e tk

( ) }

ortonormal baz vektör alan sistemi,

α ( )

t ^∈Evⁿ⁺¹ noktasındaki TE_vⁿ+¹

( α ( )

t

)

tanjant uzayının bir alt uzayını gerer. Bu alt uzay Ek,_µ

( )

t ile gösterilirse

( ) { ( ) ( ) ( ) }

¹

, 1 , 2 ,..., ⁿ , 0

k k v

E _µ t ⁼Sp e t e t e t ^⊂E ^{+ ≤}

µ

^≤v

úeklinde k − boyutlu bir altuzaydır.

( )

^,

( )

^{, 1 , 1}

1 , 1

i j i ij i

i k e t e t

k i k

ε δ ε µ

µ

≤ ≤ −

= = ®­

− − + ≤ ≤

¯

olmak üzere E_k,_µ

( )

t ,

µ

≥1, altuzayına yarı altuzay denir. E_k,_µ

( )

t ,

µ

≥1, yarı altuzayında

µ

tane timelike vektör vardır. E÷er

µ

=0 ise Ek,0

( )

t altuzayında timelike vektör alanı olmayaca÷ından Ek,0

( )

t =E tk

( )

dır. Yani, bir Öklid altuzaydır.

E÷er

µ

=1 ise Ek,1

( )

t bir altuzayında bir tane timelike vektör alanı olaca÷ından

( )

,1

Ek t timelike altuzay olacaktır (Ekici, 1998).

Bundan sonra, E_k,_µ

( )

t ,

µ

≥1, yarı altuzay olarak kabul edilecektir.

Tanım 2.3.1. Ek,_µ

( )

t yarı altuzayı E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzayının α nonnull e÷risi boyunca hareket ederken E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzayında

(

^k+1

)

⁻boyutlu bir yüzey meydana getirir. Bu yüzeye Ev^n+1,

(

n+¹

)

−boyutlu yarı Öklid uzayında

(

^k+1

)

⁻boyutlu genelleútirilmiú yarı regle yüzey denir ve bu regle yüzeyi M ile gösterilir (Ekici, 1998).

Tanım 2.3.2. Ek,_µ

( )

t yarı altuzayına, M genelleútirilmiú yarı regle yüzeyinin

^α ( )

^t

noktasındaki do÷rultman uzayı ve α nonnull e÷risine de M genelleútirilmiú yarı regle yüzeyinin dayanak e÷risi denir (Ekici, 1998).

Böylece, ^M,

(

^k+1

)

⁻boyutlu yarı regle yüzeyi için bir parametrizasyon

(

1 2

) ( ) ( ) (

1 2

)

1

, , ,..., , , , ,..., x

k

k

k i i k

i

t u u u t u e t t u u u I

ϕ α

=

= +

¦

∈ ^{\ (2.22)}

ile verilir. E÷er

ϕ

nin t ve , 1u_i ≤ ≤ parametrelerine göre türevleri alınırsa i k

( ) ( ) ( )

1

, 1

i

k

t i i

i

u i

t u e t

e t i k

ϕ α

ϕ

=

= +

= ≤ ≤

<

¦

<

bulunur. Bu çalıúma boyuca aksi söylenmedikçe

( ) ( )

1 2

1

, , ,...,

k

i i k

i

t u e t e e e

α

=

­ ½

+

® ¾

¯^<

¦

^< ¿ (2.23)

sistemi daima lineer ba÷ımsız olarak kabul edilecektir.

Tanım 2.3.3. E_vⁿ⁺¹,

(

ⁿ⁺¹

)

⁻boyutlu yarı Öklid uzayında,

(

^k+1

)

⁻boyutlu bir yarı regle yüzey M ve yarı regle yüzeyin do÷rultman uzayı da

( ) { ( ) ( ) ( ) }

, 1 , 2 ,...,

k k

E _µ t =Sp e t e t e t olmak üzere

{

¹, ,..., , , ,...,² _k ^{1 2} _k

}

Sp e e e e e e

< < <

(2.24)

altuzayına, M yarı regle yüzeyinin Ek,_µ

( )

t do÷rultman uzayına göre asimptotik demeti denir ve ^{A t}

( )

ile gösterilir (Ekici, 1998).

( )

^{, 0 ,}

boy A t = +k m ≤m≤k olmak üzere ^{A t}

( )

asimptotik demetinin Ek,_µ

( )

t yarı alt uzayını ihtiva eden

{

e e1, ,..., ,2 e a_{k k+}1,a_k+2,...,a_{k m+}

}

úeklinde bir ortonormal baz bulunabilir. Ek,_µ

( )

t bir yarı altuzay oldu÷undan

( )

^{, 1 ,}

e ti ≤ ≤i k vektörleri için

( )

^,

( )

^{, 1 ,}

i j i ij

e t e t =ε δ ≤i j≤k

ba÷ıntıları sa÷lanır öyle ki burada

( ) ( )

^{, , 1 , 1}

1 , 1

i i i i

i k e t e t

k i k

ε ε µ

µ

≤ ≤ −

= = ®­

− − + ≤ ≤

¯

dır. E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzayının bir ortonormal bazında v tane timelike vektör oldu÷undan Ek,_µ

( )

t yarı altuzayını ihtiva eden ^{A t}

( )

asimptotik demetinin bir

{

e e1, ,..., ,2 e a_{k k+}1,a_k+2,...,a_{k m+}

}

bazında da en az

µ

tane timelike vektör vardır. Bu ifade eder ki

( ) {

¹, ,..., , , ,...,² _k ^{1 2} _k

}

A t =Sp e e e e e e

< < <

bir yarı altuzaydır.

Tanım 2.3.4. E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzayında

(

^k+1

)

⁻boyutlu yarı regle yüzey M ve M nin do÷rultman uzayı ve dayanak e÷risi sırasıyla Ek,_µ

( )

t ve

α

olsun.

{

¹, ,..., , , ,..., ,² _k ^{1 2} _k

}

Sp e e e e e e α

< < < <

(2.25) altuzayına, M yarı regle yüzeyinin Ek,_µ

( )

t do÷rultman uzayına göre te÷etsel demeti denir ve ^{T t}

( )

ile gösterilir (Ekici, 1998).

M yarı regle yüzeyinin asimptotik demeti için ^{boy A t}

( )

^{= +k m, 0≤m≤k, olmak}

üzere

( )

¹

k+m≤boy T t ≤ +k m+

dir.

Kabul edelim ki ^{boy T t}

( )

^{= +k m, 0≤m≤k,} olsun. Bu takdirde

{

e e1, ,..., ,2 e a_{k k+}1,a_k+2,...,a_{k m+}

}

hem ^{A t}

( )

asimptotik demetinin hem de ^{T t}

( )

te÷etsel demetinin bir ortonormal bazıdır. Bu durumda ^{A t}

( )

^{=T t}

( )

^{dir. A t}

( )

asimptotik demeti yarı altuzay oldu÷undan dolayı ^{T t}

( )

te÷etsel demeti de yarı altuzaydır.

Kabul edelim ki 0 m k≤ ≤ için ^{boy T t}

( )

^{= +k m+1} olsun. Bu takdirde ^{α< ∉A t}

( )

olaca÷ından ^{T t}

( )

te÷etsel demetinin

{

e e1, ,..., ,2 e a_{k k+}1,a_k+2,...,a_{k m+} ,a_{k m+ +}1

}

úeklindeki bir ortonormal bazı bulunabilir. E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzay oldu÷undan v tane timelike vektör var olup,

µ

^tanesi Ek,_µ

( )

t yarı altuzayı içinde kalır. Bu durumda da

( )

T t te÷etsel demetinin içinde en az

µ

tane timelike vektör bulunur. O halde, ^{T t}

( )

bir yarı altuzaydır.

Teorem 2.3.5. E_vⁿ⁺¹ de

(

^k+1

)

⁻boyutlu yarı regle yüzey M , M nin do÷rultman uzayı Ek,_µ

( )

t , asimptotik demeti ^{A t}

( )

^ve Ek,_µ

( )

t nin ortonormal bazı

{

e t1

( )

,...,

( )

^{, 1}

( )

^,...,

( ) }

m m k

e t e ₊ t e t olmak üzere ^{boy A t}

( )

^{= +k m} olsun. Bu takdirde

( ) ( )

{

e t1 ,...,e_m t

}

ortonormal sistemi, J⊂ açık aralı÷ında I

1

, , 1

k

i i j i j j

j

e e

ε

e e e i m

=

= −

¦

≤ ≤

D < <

(2.26)

olmak üzere

( )

^,

( )

^{0 , 1 , , ,}

i j

e t e t = ≤i j≤m i≠ j

D D

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 ... m 1 m 0

e t > > e − −µ t > e −µ t >

D D D

ve

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 ... 0

m m m

e − +µ t < e − +µ t < < e t <

D D D

olacak úekilde bulunabilir (Ekici, 1998).

Teorem 2.3.6. M , E_vⁿ⁺¹ yarı Öklid uzayında

(

^k+1

)

⁻boyutlu yarı regle yüzey, bu yüzeyin do÷rultman uzayı Ek,_µ

( )

t ve asimptotik demeti ^{A t}

( )

^olsun.

( )

^{, 0 ,}

boy A t = +k m ≤m≤k ise Ek,_µ

( )

t nin

{

e t e t1

( )

, 2

( )

,...,e t_k

( ) }

ortonormal bazı

1

1

, 1 ,

, 1 ,

k

i ij j k i i k i

j k

h hj h

j

e e a i m

e e m h k

α ε κ

α

+ +

=

=

= + ≤ ≤

= + ≤ ≤

¦

¦

<

< (2.27)

ba÷ıntıları sa÷lanacak úekilde seçilebilir, öyle ki burada

, , , , 1 ,

ij ij ji ij i j j e ej j i j k

ε α = −α ε =ε ε ε = ≤ ≤

ve

1 2

1 2

... 0

,

... 0

m r

m r m r m

r

κ κ κ

µ

κ κ κ

−

− + − +

> > > >

≤

< < < <

(2.28)